К задаче об оптимальном управлении ламинарным пограничным слоем на проницаемых цилиндрических поверхностях в сверхзвуковых потоках

Аннотация

Рассматривается приближенный способ решения краевой задачи для уравнений оптимально управляемого ламинарного пограничного слоя на проницаемых цилиндрических поверхностях в высокоскоростных потоках газа.

Полный текст

1. Введение. Управление теплообменом в сверхзвуковом пограничном слое является актуальной темой исследований в области фундаментальной и прикладной газодинамики. Вследствие ограниченных энергетических ресурсов естественным образом возникает вариационная задача о построении оптимального закона вдува через проницаемый участок обтекаемой поверхности при заданном ограничении на мощность системы управления вдувом. Задача оптимального управления пограничным слоем на проницаемых поверхностях впервые была поставлена в работе [1] для случая несжимаемой жидкости. Впоследствии такие задачи были рассмотрены в работах [2–8]. В основном они рассматривались для граничных условий, удовлетворяющих на обтекаемой поверхности и на внешней границе пограничного слоя. Отметим, что в работе [2] рассмотрена история и современное состояние исследований теории оптимально управляемого пограничного слоя на проницаемых поверхностях.

В работе рассматривается вариационная задача о минимизации конвективного теплового потока, передаваемого от разогретого пограничного слоя к обтекаемой поверхности, при заданном ограничении на мощность системы управления вдувом. В качестве управления выступает удельный расход охладителя через проницаемый участок поверхности. При этом, согласно условиям трансверсальности, оптимальное управление должно обращаться в ноль на правом конце участка вдува. Данное требование вызывает большие математические затруднения и приводит к увеличению трудоемкости решения вариационной задачи. Автору известны только единичные публикации, в которых оптимальное управление удовлетворяет нулевому условию на правом конце участка вдува. В одной из них [6] было найдено приближенное решение для оптимального управления в аналитической форме; в других [7, 8] – решение находилось достаточно трудоемким конечно-разностным методом. Получение конечного результата в этих работах было сопряжено со значительными трудностями.

Новизна работы состоит в построении алгоритма оптимального управления, который более удобен для применения в инженерной практике. Достигается это путем использования классической теоремы Э. Нётер об инвариантных вариационных задачах, а также следствия из первого интеграла для сопряженной системы, который получен ранее в работе [6]. С содержательной точки зрения, использование следствия из первого интеграла позволило существенно уменьшить трудоемкость построения оптимального управления. Так как в этом случае аппроксимирующая система уравнений (в переменных А.А. Дородницына [9]), участвующая в вычислительных экспериментах, становится замкнутой относительно искомой функции. Таким образом, в рассматриваемой работе предложена процедура построения оптимального управления более удобная для применения в инженерной практике и сводится она к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрешимой особенностью в точке торможения потока. Научное значение работы заключается в развитии теории оптимально управляемого пограничного слоя в сверхзвуковых потоках газа.

2. Постановка задачи. Уравнения ламинарного пограничного слоя на проницаемом цилиндрическом профиле в сверхзвуковом потоке газа в переменных А.А. Дородницына имеют вид [9, 10]:

$\overline{u}\frac{\partial \overline{u}}{\partial \overline{s}}+\overline{w}\frac{\partial \overline{u}}{\partial \overline{t}}=\mathrm{\beta }\left(1-\mathrm{\psi }-{\overline{u}}^2\right)+\frac{\partial }{\partial \overline{t}}\left[b\left(\mathrm{\tau }\right)\frac{\partial \overline{u}}{\partial \overline{t}}\right]$

$\frac{\partial \overline{u}}{\partial \overline{s}}+\frac{\partial \overline{w}}{\partial \overline{t}}=0$ (2.1)

$\overline{u}\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \overline{s}}+\overline{w}\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial \overline{t}}=\frac{1}{\mathrm{Pr}}\frac{\partial }{\partial \overline{t}}\left[b\left(\mathrm{\tau }\right)\frac{\partial \psi }{\partial \overline{t}}\right]+{\alpha }_e^2\left(\frac{1}{\mathrm{Pr}}-1\right)\frac{\partial }{\partial \overline{t}}\left[b\left(\mathrm{\tau }\right)\frac{\partial {\overline{u}}^2}{\partial \overline{t}}\right]$

В системе (2.1):

$\overline{s}=\frac{1}{l}\underset{0}{\overset{x}{\int }}qdx$, $\overline{t}=\frac{U_e\mathrm{\eta }}{\sqrt{{\nu }_{e0}{V}_{\max }l}}$, $\eta =\underset{0}{\overset{y}{\int }}\frac{{(1-{\alpha }_e^2)}^{\gamma /(\gamma -1)}}{\tau }dy$, $\overline{u}=\frac{u}{U_e}$

$\overline{w}=\sqrt{\frac{V_{\max }l}{{\nu }_{e0}}}\left[{\left(1-{\alpha }_e^2\right)}^{\gamma /(\gamma -1)}\overline{u}\frac{\partial \eta }{\partial x}+\frac{\vartheta }{\tau U_e}\right]+\frac{\stackrel{•}{U_e}{\overline{t}}_{}\overline{u}}{U_e}$, $\mathrm{\psi }=1-\mathrm{\tau }-{\alpha }_e^2{\overline{u}}^2$

$q={\alpha }_e{\left(1-{\alpha }_e^2\right)}^{\gamma /(\gamma -1)}$, ${\alpha }_e=\frac{U_e}{V_{\max }}$, $\tau =\frac{T}{T_0}$, $V_{\max }=V_{\infty }\sqrt{1+\frac{2}{\left(\gamma -1\right){\text{M}}_{\infty }^2}}$,

где $b\left(\mathrm{\tau }\right)=\frac{\mathrm{\mu }}{{\mathrm{\mu }}_0\mathrm{\tau }}$, $\mathrm{\beta }=\frac{{\stackrel{•}{\alpha }}_e}{{\alpha }_e\left(1-{\alpha }_e^2\right)}$, ${\stackrel{•}{\alpha }}_e=\frac{d{\alpha }_e}{d\overline{s}}$, l – некоторый характерный размер; М_∞ – число Маха; Pr – число Прандтля; u и ϑ – проекции вектора скорости на координатные оси x и y; γ – показатель адиабаты; µ – динамическая вязкость газа; T – температура газа; ν – кинематическая вязкость газа; индекс «е» соответствует параметрам газа на внешней границе пограничного слоя, индекс «0» – в точке полного торможения потока, индекс «∞» – параметрам газа в набегающем потоке; U_е – скорость на внешней границе пограничного слоя, определяющая форму обтекаемой поверхности.

Краевые условия к системе (2.1) имеют вид [10]

$\overline{u}=0$, $\overline{w}=\frac{m\left(\overline{s}\right)}{q\left(\overline{s}\right)}$, $\mathrm{\psi }=1-{\mathrm{\tau }}_w$ $\left(\overline{t}=0\right)$

$\overline{u}\to 1$, $\mathrm{\psi }\to 0$ $\left(\overline{t}\to \infty \right)$ (2.2)

$\overline{u}=1$, $\mathrm{\psi }=0$ $\left(\overline{s}=0\right)$,

где $m=\frac{{\left(\mathrm{\rho }\vartheta \right)}_w}{{\mathrm{\rho }}_0}\sqrt{\frac{l}{{\nu }_0{V}_{\text{max}}}}$, индекс «w» соответствует расходу охладителя через проницаемый участок обтекаемого профиля.

Мощность, затрачиваемая системой управления на вдув газа через пористую стенку, в переменных А.А. Дородницына с учетом закона Дарси и минимизируемый функционал с точностью до постоянных запишутся, соответственно, в виде [11] (в дальнейшем для простоты черточки над переменными $\overline{t}$, $\overline{s}$, $\overline{u}$, $\overline{w}$ опустим)

$\overline{N}=\underset{0}{\overset{s_k}{}}f{\left(1-{\mathrm{\psi }}_w\right)}^2{m}^{2}ds$ (2.3)

$\overline{Q}=-\underset{0}{\overset{s_k}{}}{\left(b\left(\tau \right)\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial t}\right)}_{t=0}ds$, (2.4)

где $s_k=\frac{1}{l}\underset{0}{\overset{x_k}{\int }}qdx$, $f=1/{\alpha }_e{\left(1-{\alpha }_e^2\right)}^{3\gamma /\left(\gamma -1\right)}$.

Вариационная задача ставится следующим образом. Среди непрерывных на отрезке $\left[\mathrm{0,}{s}_k\right]$ управлений $m\left(s\right)$ требуется отыскать такое, которое реализует минимальное значение конвективного теплового потока (2.4) при связях (2.1), (2.2) и изопериметрическом условии (2.3). Вариационная задача рассматривается в области D, ограниченной линиями $t=0$, $s=s_k$, $t\to \infty$, $s=0$.

Сопряженная система относительно множителей Лагранжа ${\lambda }_1\left(s,t\right)$, ${\lambda }_2\left(s,t\right)$, ${\lambda }_3\left(s,t\right)$ в соответствии с формализмом Лагранжа имеет вид

$\begin{array}{l}2\mathrm{\beta }u{\lambda }_1+{\lambda }_3\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial s}-u\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial s}-\frac{\partial {\lambda }_2}{\partial s}-w\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial t}-{\lambda }_1\frac{\partial w}{\partial t}-b\left[\frac{{\partial }^2{\lambda }_1}{\partial t^2}+2{\alpha }_e^2\left(\frac{1}{\mathrm{Pr}}-1\right)u\frac{{\partial }^2{\lambda }_3}{\partial t^2}\right]-\\ -2{\alpha }_e^{2}u\frac{\partial b}{\partial \tau }\left\{\left[\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial t}+2{\alpha }_e^{2}u\left(\frac{1}{\mathrm{Pr}}-1\right)\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\right]\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{\mathrm{Pr}}\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\frac{\partial \psi }{\partial t}\right\}-\\ -\frac{\partial b}{\partial t}\left[\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial t}+2{\alpha }_e^2\left(\frac{1}{\mathrm{Pr}}-1\right)u\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\right]=\mathrm{0,}{\lambda }_1\frac{\partial u}{\partial t}+{\lambda }_3\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial t}-\frac{\partial {\lambda }_2}{\partial t}=0\end{array}$ (2.5)

$\begin{array}{l}\mathrm{\beta }{\lambda }_1-\frac{\partial b}{\partial \tau }\left\{\left[\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial t}+2{\alpha }_e^2\left(\frac{1}{\mathrm{Pr}}-1\right)u\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\right]\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{\mathrm{Pr}}\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial t}\right\}-\\ -\frac{\partial }{\partial s}\left({\lambda }_{3}u\right)-\frac{\partial }{\partial t}\left({\lambda }_{3}w+\frac{b}{\mathrm{Pr}}\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\right)=0\end{array}$

Краевые условия к системе (2.5) имеют вид

${\lambda }_1=0$, ${\lambda }_3=\mathrm{Pr}\left(t=0\right)$

${\lambda }_1\to 0$, ${\lambda }_2\to 0$, ${\lambda }_3\to 0\left(t\to \infty \right)$ (2.6)

${\lambda }_1={\lambda }_3=0\left(s=s_k\right)$

Интегрируя третье уравнение системы (2.5) по переменной u в пределах от 0 до 1, с учетом граничных условий (2.2) и (2.6) получим интегральное соотношение:

$\begin{array}{l}\frac{d}{ds}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\lambda }_{3}u\mathrm{\theta }du=\beta \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\lambda }_1\mathrm{\theta }du+{\left({\lambda }_{3}w+\frac{b}{\mathrm{Pr}}\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\right)}_{t=0}-\\ -\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial u}+2{\alpha }_e^2\left(\frac{1}{\mathrm{Pr}}-1\right)u\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial u}\right]\frac{\overline{b}}{\theta }du-\frac{1}{\mathrm{Pr}}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial u}\overline{q}du,\end{array}$ (2.7)

где $\overline{b}\left(\tau \right)=\frac{\partial b}{\partial \tau }$, $\overline{q}=\overline{b}\left(\tau \right)\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial t}$, $\mathrm{\theta }=\frac{1}{\partial u/\partial t}$.

Для рассматриваемой оптимальной задачи (2.1)–(2.4) сопряженная система уравнений (2.5) допускает первый интеграл [11], полученный с помощью классической теоремы Эмми Нётер об инвариантных вариационных задачах:

$\begin{array}{l}\frac{\partial }{\partial s}\left(u{\lambda }_2\right)+\left[{\lambda }_{1}w+2{\alpha }_e^2\left(1-\frac{1}{\mathrm{Pr}}\right){\lambda }_3{R}_1+{\lambda }_{4}b\left(\tau \right)\right]\frac{\partial u}{\partial t}+{\lambda }_2\frac{\partial w}{\partial t}+\\ +\left[{\lambda }_{3}w+{\lambda }_{5}b\left(\tau \right)\right]\frac{\partial \psi }{\partial t}-\frac{{\lambda }_3}{\mathrm{Pr}}\frac{\partial R_2}{\partial t}-\left[{\lambda }_1-2{\alpha }_e^2\left(1-\frac{1}{\mathrm{Pr}}\right)u{\lambda }_3\right]\frac{\partial R_1}{\partial t}=g\left(s\right)\end{array}$ (2.8)

$R_1=b\left(\tau \right)\frac{\partial u}{\partial t}$, $R_2=b\left(\tau \right)\frac{\partial \mathrm{\psi }}{\partial t}$,

где $g\left(s\right)$ – произвольная функция интегрирования. Предполагая, что при $t\to \infty$ функции $\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial t}$, $\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}$ являются ограниченными, из этого уравнения, с учетом граничных условий (2.2) и (2.6), получим $g\left(s\right)\equiv 0$.

Следствие из первого интеграла имеет вид [11]

$\frac{\partial {\lambda }_1}{\partial t}\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{1}{\mathrm{Pr}}\frac{\partial {\lambda }_3}{\partial t}\frac{\partial \psi }{\partial t}=0$ (2.9)

Равенство (2.9) устанавливает точную явную связь между градиентами множителей Лагранжа на произвольной поверхности при любых числах Прандтля и при произвольной зависимости вязкости газа от температуры.

Используя метод обобщенных интегральных соотношений А.А. Дородницына, систему уравнений в частных производных (2.1) с краевыми условиями (2.2) приближенно заменим аппроксимирующей системой второго приближения [6, 10, 12]

${{\mathrm{\theta }}^{\text{'}}}_0=18m-6\mathrm{\beta }q\left(\frac{7{\mathrm{\theta }}_1}{6}+\frac{9{\mathrm{\theta }}_0}{6}-\frac{5{\mathrm{\omega }}_1}{3}-\frac{4{\mathrm{\omega }}_0}{3}\right)-\frac{32q{b}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}+\frac{34q{b}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}$

${{\mathrm{\theta }}^{\text{'}}}_1=12m-12\mathrm{\beta }q\left(\frac{{\mathrm{\theta }}_0}{3}+\frac{{\mathrm{\theta }}_1}{2}-\frac{2{\mathrm{\omega }}_1}{3}-\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{3}\right)-\frac{16q{b}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}+\frac{20q{b}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}$ (2.10)

$\begin{array}{l}{{\mathrm{\omega }}^{\text{'}}}_1=6m\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}-6\mathrm{\beta }q\left(\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{6}+\frac{{\mathrm{\omega }}_1}{2}-\frac{2{\mathrm{\omega }}_1^2}{3{\mathrm{\theta }}_1}-\frac{{\mathrm{\omega }}_0^2}{6{\mathrm{\theta }}_0}\right)+\frac{6q{\mathrm{\omega }}_0{b}_0}{{\mathrm{\theta }}_0^2}+6q\left(1+\frac{1}{\mathrm{Pr}}\right)\times \\ \times \left[\frac{b_0}{6{\mathrm{\theta }}_0}\left(4\frac{{\mathrm{\omega }}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}-3\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}\right)-\frac{2}{3}\frac{b_1{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_1{\mathrm{\theta }}_0}\right]-\frac{6q{b}_0}{{\mathrm{Pr\theta }}_0^{}}\left(4\frac{{\mathrm{\omega }}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}-3\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}\right)+4q\left(\frac{1}{\mathrm{Pr}}-1\right){\mathrm{\alpha }}_{\mathrm{e}}^2\frac{b_1}{{\mathrm{\theta }}_1}\end{array}$

${{\mathrm{\omega }}^{\text{'}}}_0=-{\mathrm{\theta }}_0{{\mathrm{\tau }}^{\text{'}}}_{\mathrm{w}}+(1-{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{w}}){{\mathrm{\theta }}^{\text{'}}}_0$, где $\mathrm{\beta }q={{\alpha }^{\text{'}}}_e/\left({\alpha }_e\left(1-{\alpha }_e^2\right)\right)$

Уравнения (2.10) получены для произвольной зависимости вязкости газа от температуры. Они значительно упростятся, если допустить линейную зависимость (в этом случае $b_0=b_1=1$).

Начальные условия для интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.10) имеют вид [10, 12]

${\mathrm{\theta }}_0\left({\overline{\mathrm{x}}}_0\right)={\overline{\mathrm{\theta }}}_0{\overline{\mathrm{x}}}_0$, ${\mathrm{\theta }}_1\left({\overline{\mathrm{x}}}_0\right)={\overline{\mathrm{\theta }}}_1{\overline{\mathrm{x}}}_0$, ${\mathrm{\omega }}_0\left({\overline{\mathrm{x}}}_0\right)={\overline{\mathrm{\omega }}}_0{\overline{\mathrm{x}}}_0$, ${\mathrm{\omega }}_1\left({\overline{\mathrm{x}}}_0\right)={\overline{\mathrm{\omega }}}_1{\overline{\mathrm{x}}}_0$, (2.11)

где ${\overline{x}}_0$ – близкая к нулю точка [6]. Постоянные ${\overline{\mathrm{\theta }}}_0$, ${\overline{\mathrm{\theta }}}_1$, ${\overline{\mathrm{\omega }}}_0$, ${\overline{\mathrm{\omega }}}_1$ определяются из решения алгебраической системы вида [6, 10, 12]

${\overline{\mathrm{\theta }}}_0=18m\left(0\right)-7{\overline{\mathrm{\theta }}}_1-9{\overline{\mathrm{\theta }}}_0+10{\overline{\mathrm{\omega }}}_1+8{\overline{\mathrm{\omega }}}_0-\frac{32c{b}_1\left(0\right)}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}+\frac{34c{b}_0\left(0\right)}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}$

${\overline{\mathrm{\theta }}}_1=12m\left(0\right)-4{\overline{\mathrm{\theta }}}_0-6{\overline{\mathrm{\theta }}}_1+8{\overline{\mathrm{\omega }}}_1+4{\overline{\mathrm{\omega }}}_0-\frac{16c{b}_1\left(0\right)}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}+\frac{20c{b}_0\left(0\right)}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}$

$\begin{array}{l}{\overline{\mathrm{\omega }}}_1=6m\left(0\right)\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_0}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}-{\overline{\mathrm{\omega }}}_0-3{\overline{\mathrm{\omega }}}_1+\frac{4{\overline{\mathrm{\omega }}}_1^2}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}+\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_0^2}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}+\frac{6c{b}_0\left(0\right){\overline{\mathrm{\omega }}}_0}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0^2}+6c\left(1+\frac{1}{\mathrm{Pr}}\right)\times \\ \times \left[\frac{b_0\left(0\right)}{6{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}\left(4\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_1}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}-3\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_0}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}\right)-\frac{2b_1\left(0\right){\overline{\mathrm{\omega }}}_0}{3{\overline{\mathrm{\theta }}}_1{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}\right]-\frac{6c{b}_0\left(0\right)}{\mathrm{Pr}{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}\left(4\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_1}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}-3\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_0}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}\right)\end{array}$

${\overline{\mathrm{\omega }}}_0={\overline{\mathrm{\theta }}}_0\left(1-{\mathrm{\tau }}_{\mathrm{w}}\left(0\right)\right)$

Оптимальное управление определяется по формуле [6]

$m\left(\overline{x}\right)={\left(1-{\alpha }_e^2\right)}^{2\gamma /\left(\gamma -1\right)}\frac{{\lambda }_2\left(\overline{x}\mathrm{,0}\right)}{2\alpha {\tau }_w^2}$, (2.12)

где α – множитель Лагранжа, определяемый в соответствии с изопериметрическим условием (2.3),

$\begin{array}{l}{\mathrm{\lambda }}_2\left(\overline{\mathrm{x}}\mathrm{,0}\right)=-\frac{1}{12}\left[B_1\left(2l_0-\frac{2l_0}{\mathrm{Pr}}+l_1\right)+B_0\left(\frac{2l_0}{\mathrm{Pr}}+6l_0+2l_1\right)\right]\\ l_0=4\frac{{\mathrm{\omega }}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}-3\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_0},{\mathrm{l}}_1=4\left(\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}-2\frac{{\mathrm{\omega }}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}\right),\end{array}$ (2.13)

B₀ и B₁ – переменные коэффициенты в формуле для множителя Лагранжа λ₂.

Подчеркнем, что с учетом формулы (2.12) аппроксимирующая система (2.10) становится замкнутой, и мы получаем стандартную задачу Коши.

С целью оценки влияния нулевого «начального» условия для множителя Лагранжа λ₂ на правом конце участка вдува (${\overline{x}}_k=1$) на значение минимизируемого функционала (конвективного теплового потока) рассмотрим три задачи. Аппроксимации для множителей Лагранжа во всех трех задачах зададим в виде, удовлетворяющем граничным условиям на обтекаемой поверхности и на внешней границе пограничного слоя [6]

${\lambda }_1=u\left(1-u\right)A_0$, ${\lambda }_3=\left(1-u\right)\left(B_0+u{B}_1\right)$; $A_0=\frac{l_0}{\mathrm{Pr}}\left(B_0-B_1\right)$ (2.14)

Граничные условия для множителей Лагранжа во всех задачах имеют вид

${\lambda }_1=0$ при $u=0$, ${\lambda }_1=0$ при $u=1$

${\lambda }_3=\mathrm{Pr}$ при $u=0$; ${\lambda }_3=0$ при $u=1$ (2.15)

Отметим, что множители Лагранжа автоматически удовлетворяют на поверхности обтекаемого тела и на внешней границе пограничного слоя. В соответствии с работой [11] оптимальное управление на правом конце участка вдува должно обращаться в ноль и, следовательно, согласно формуле (2.13) $B_0\left({\overline{x}}_k\right)=B_1\left({\overline{x}}_k\right)=0$.

Задача 1. Учитываются: граничные условия на поверхности ($u=0$), на внешней границе пограничного слоя ($u=1$), а также следствие из первого интеграла (2.9). В этом случае A₀, B₀ и B₁, входящие в формулу (2.13), запишутся виде: $B_0=\mathrm{Pr}$, $B_1=0$, $A_0=l_0$. Следовательно, выражение (2.13) примет вид

${\mathrm{\lambda }}_2\left(\overline{\mathrm{x}}\mathrm{,0}\right)=\mathrm{Pr}\left[\left(\frac{5}{6}+\frac{1}{2\mathrm{Pr}}\right)\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}-\frac{2}{3}\left(1+\frac{1}{\mathrm{Pr}}\right)\frac{{\mathrm{\omega }}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}\right]$

Задача 2. Учитываются: граничные условия на поверхности (u = 0), на внешней границе пограничного слоя (u = 1), следствие из первого интеграла (2.9), а также «начальное» условие для функции $B_1\left(\overline{x}\right)$, которую необходимо найти. В этом случае $B_0=\mathrm{Pr}$, $B_1\left({\overline{x}}_k\right)=0$, $A_0\left({\overline{x}}_k\right)=l_0$.

Интегральное соотношение (2.7) запишется в виде [6]:

$B_0{Z}_0+B_1{U}_0+\overline{x}\frac{d}{d\overline{x}}\left(B_0{Z}_0+B_1{U}_0\right)=B_0{W}_0+B_1{S}_0$ (2.16)

Здесь $Z_0=-\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}{6}+\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}{3}$, $U_0=-\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}{6}+\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}{4}$, $W_0=m\left(0\right)-\frac{c}{\mathrm{Pr}{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}+\frac{{\overline{l}}_0}{\mathrm{Pr}}{Z}_0$, $S_0=m\left(0\right)-W_0$, ${\overline{l}}_0=4\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_1}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}-3\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_0}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}$, $c=\sqrt{\frac{\gamma -1}{\gamma }\left(1-\frac{p_{\infty }}{p_0}\right)}$.

Интегрируя (2.16), получим $B_1\left(\overline{x}\right)=\mathrm{Pr}\frac{K_2}{K_1}\left({\overline{x}}^{K_1}-1\right)$, где $K_1=\left(S_0/U_0\right)-1$, $K_2=\left(W_0-Z_0\right)/U_0$, $B_1\left({\overline{x}}_k\right)=0$ при ${\overline{x}}_k=1$.

Задача 3. Задача решается с учетом и граничных, и «начальных» условий. В этом случае $B_0\left({\overline{x}}_k\right)=0$, $B_1\left({\overline{x}}_k\right)=0$. Тогда из выражения (2.13) получим, что ${\lambda }_2\left({\overline{x}}_k\mathrm{,0}\right)=0$ при ${\overline{x}}_k=1$ и, следовательно, $m\left({\overline{x}}_k\right)=0$. Аппроксимацию $B_0\left(\overline{x}\right)$ зададим в виде $B_0\left(\overline{x}\right)=\mathrm{Pr}\left(1-{\overline{x}}^{\overline{\alpha }}\right)$, где $\overline{\alpha }>0$ при $0\le \overline{x}\le 1$ и задается в процессе вычислительного эксперимента с учетом значения минимизируемого функционала.

Интегрируя уравнение (2.16), получим функцию

$B_1\left(\overline{x}\right)=\mathrm{Pr}\left[\frac{K_2}{K_1}\left({\overline{x}}^{K_1}-1\right)+\frac{\overline{\alpha }{K}_3-K_2}{\overline{\alpha }-K_1}\left({\overline{x}}^{\overline{\alpha }}-{\overline{x}}^{K_1}\right)\right]$,

где $Z_0=-\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}{6}+\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}{3}$, $U_0=-\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}{6}+\frac{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}{4}$, $S_0=m\left(0\right)-W_0=\frac{c}{\mathrm{Pr}{\overline{\theta }}_0}-\frac{{\overline{l}}_0}{\mathrm{Pr}}{Z}_0$, ${\overline{l}}_0=4\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_1}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_1}-3\frac{{\overline{\mathrm{\omega }}}_0}{{\overline{\mathrm{\theta }}}_0}$, $W_0=m\left(0\right)-\frac{c}{\mathrm{Pr}{\overline{\theta }}_0}+\frac{{\overline{l}}_0}{\mathrm{Pr}}{Z}_0$, $K_1=\left(S_0/U_0\right)-1$, $K_2=\left(W_0-Z_0\right)/U_0$, $K_3=Z_0/U_0$, $c=\sqrt{\frac{\gamma -1}{\gamma }\left(1-\frac{p_{\infty }}{p_0}\right)}$, $B_1\left({\overline{x}}_k\right)=0$ при ${\overline{x}}_k=1$.

3. Вычислительный эксперимент. Вычислительный эксперимент по построению оптимального закона вдува был проведен для случая обтекания прямого кругового цилиндра сверхзвуковым потоком воздуха. Параметры эксперимента задавались следующим образом: число Маха ${\text{M}}_{\infty }=7$; радиус прямого кругового цилиндра $l=0.05\mathrm{м}$; число Прандтля $\mathrm{Pr}=0.74$; ${\overline{x}}_k=1$; параметры стандартной атмосферы соответствовали высоте 10000 м ($T_{\infty }=223.15\text{ K}$, $P_{\infty }=\text{26491.08 }\mathrm{кг}\text{/}\mathrm{м}\cdot {\mathrm{с}}^{\text{2}}$, ${\mathrm{\rho }}_{\infty }=4.1357\cdot \text{1}{0}^{-1}\mathrm{кг}\text{/}{\mathrm{м}}^{\text{3}}$, $a=299.4\text{5 }\mathrm{м}\text{/}\mathrm{с}$, ${\nu }_{\infty }=3.5232\cdot {10}^{-5}{\mathrm{м}}^{\text{2}}\text{/}\mathrm{с}$; безразмерная температура газа на стенке ${\mathrm{\tau }}_{\mathrm{w}}=0.25$; мощность системы управления вдуваемого газа $\overline{N}$ соответствует постоянному вдуву $m^{\left(0\right)}\left(\overline{x}\right)=0.2$. Зависимость вязкости газа от температуры предполагалась линейной. Результаты вычислительного эксперимента по минимизации функционала теплового потока [6] $Q=\underset{0}{\overset{{\overline{x}}_k}{\int }}\frac{1}{{\theta }_0}\left(3\frac{{\mathrm{\omega }}_0}{{\mathrm{\theta }}_0}-4\frac{{\mathrm{\omega }}_1}{{\mathrm{\theta }}_1}\right){\alpha }_e^{}{(1-{\alpha }_e^2)}^{\gamma /\left(\gamma -1\right)}d\overline{x}$, записанного с точностью до постоянного множителя, по сравнению с равномерным (автомодельным) вдувом приведены в табл. 1 (в %).

Таблица 1. Сравнение результатов вычислительного эксперимента с данными полученными в работах [6] и [8]

Задача № 1	Задача № 2	Задача № 3	Данные [6]	Данные [8]
24.92	25.03	26.32	31.3	26.12

На рис. 1 представлены графики оптимальных управлений для случая $m^{\left(0\right)}\left(\overline{x}\right)=0.2$; ${\mathrm{\tau }}_{\mathrm{w}}=0.25$.

Рис. 1. Зависимость оптимальной скорости вдува решения задач 1–3 от координаты

Заключение. Оптимальные управления, полученные работах [6, 8], по форме совпадают с управлениями, полученными в данной работе.

Значения теплового потока, полученные в задачах 1–3, оказались близкими к значению, полученному методом конечных разностей; при этом следует отметить близость тепловых потоков в задаче 1 и в работе [8]. Следовательно, в инженерных расчетах можно ограничиться рассмотрением математической модели, приведенной в задаче 1, которая существенно менее трудоемка нежели при использовании метода конечных разностей. Что касается результатов работы [6], то они дают завышенные значения минимизируемого функционала.

Отметим, что современное состояние исследований по рассматриваемой тематике, а также актуальность, новизна и практическая значимость, полученных ранее результатов, подробно рассмотрены в работе [2].

Подчеркнем, что новизна работы заключается в разработке менее трудоемкого (по сравнению с работами [6, 7, 11]) алгоритма решения вариационной задачи. Полученные результаты могут представить интерес при расчете систем активной тепловой защиты вдувом поверхностей в высокоскоростных потоках газа.