Invariant tori of the weakly dissipative version of the Ginzburg—Landau equation
- Authors: Kulikov A.N.1
-
Affiliations:
- Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
- Issue: Vol 216 (2022)
- Pages: 66-75
- Section: Статьи
- URL: https://ogarev-online.ru/2782-4438/article/view/269425
- DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-216-66-75
- ID: 269425
Cite item
Full Text
Abstract
We consider a periodic boundary value-problem for a weakly dissipative variant of the complex Ginzburg– Landau equation in the case where the period (wavelength) is small. The possibility of the existence of finite-dimensional invariant tori is proved. For solutions that belong to such tori, asymptotic formulas are obtained. We prove that all invariant tori, except for tori of dimension one (i.e., limit cycles), are unstable.We used various methods of the theory of dynamical systems with an infinitedimensional space of initial conditions, for example, the method of integral (invariant) manifolds, the method of normal forms, and methods of perturbation theory.
About the authors
A. N. Kulikov
Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Author for correspondence.
Email: anat_kulikov@mail.ru
Russian Federation, Ярославль
References
- Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974.
- Карякин Н. И., Быстров К. Н., Киреев П. С. Краткий справочник по физике. — М.: Высшая школа, 1964.
- Колесов А. Ю., Куликов А. Н., Розов Н. Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: принцип кольца// Диффер. уравн. — 2003. — 39, № 5. — С. 584–601.
- Колесов А. Ю., Куликов А. Н., Розов Н. Х. Инвариантные торы одного класса точечных отображений: сохранение инвариантного тора при возмущениях// Диффер. уравн. — 2003. — 39, №6. — С. 738—753.
- Колесов А. Ю., Куликов А. Н., Розов Н. X. Цилиндрические бегущие волны обобщенного кубического уравнения Шрёдингера// Докл. РАН. — 2006. — 406, № 1. — С. 21–29.
- Куликов А. Н. Инерциальные инвариантные многообразия нелинейной полугруппы в гильбертовом пространстве// Итоги науки техн. Совр. мат. прилож. Темат. обз. — 2020. — 186. — С. 57–66.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс ттеоретической физики. Т. 6. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988.
- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.
- Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1950.
- Якубов С. Я. Разрешимость задачи Kоши для абстрактных квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка и их приложения// Тр. Моск. мат. о-ва. — 1970. — 23. — С. 37–60.
- Aranson I. S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg–Landau equation// Rev. Modern. Phys. — 2002. — 74. — P. 99–143.
- Bartuccelli M. V., Constantin P., Doering C. R., Gibbon J. D., Gisselfalt M. On the possibility of soft and hard turbulence in the complex Ginzburg–Landau equation// Phys. D. — 1990. — 44. — P. 421–444.
- Broer H. W., Dumortier F., van Strien S. J., Takens F. Structures in Dynamics: Finite Dimensional Deterministic Studies. — Elsevier, 1991.
- Kulikov A. N., Kulikov D. A. Local bifurcations of plane running waves for the generalized cubic Schrödinger equation// Differ. Equations. — 2010. — 46. — P. 1299–1308.
- Kuramoto Y., Tsusuki T. On the formation of the dissipative structures in reaction-diffusion systems// Progr. Teor. Phys. — 2018. — 54, № 3. — P. 687–699.
- Scott A. Nonlinear Science: Emergence and Dynamics of Coherent Structures. — London: Oxford Univ. Press, 2003.
- Segal I. Nonlinear semigroups// Ann. Math. — 1963. — 78, № 2. — P. 339–364.
- Witham G. Linear and Nonlinear Waves. — New York: Wiley, 1974.
Supplementary files
