Periodic traveling waves of the Kuramoto–Sivashinsky equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A periodic boundary-value problem for the Kuramoto–Sivashinsky equation is considered. We prove that there exists a two-parameter family of traveling-wave solutions and obtain asymptotic formulas for them. We also prove that the set of such solutions forms a two-dimensional invariant manifold, which is a local attractor. The indicated solutions have different periods in the variable $t$, are unstable in the Lyapunov sense, but are stable in the Perron, Poincare, and Zhukovsky senses. The study is based on the theory of invariant manifolds and Poincare–Dulac normal forms.

About the authors

Anatolii Nikolaevich Kulikov

P.G. Demidov Yaroslavl State University

Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Dmitrii Anatol'evich Kulikov

P.G. Demidov Yaroslavl State University

Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

Dmitry Gennadievich Frolov

P.G. Demidov Yaroslavl State University

References

  1. Арнольд В. И., Дополнительные главы теории дифференциальные уравнений, Наука, М., 1978
  2. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф., Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей, Ин-т комп. иссл., М.-Ижевск, 2002
  3. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г., Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, Наука, М., 1970
  4. Демидович Б. П., Лекции по математической теории устойчивости, Наука, М., 1967
  5. Крейн С. Г., Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, Наука, М., 1967
  6. Куликов А. Н., “О гладких инвариантных многообразиях полугруппы нелинейных операторов в банаховом пространстве”, Исследования по устойчивости и теории колебаний, Изд-во ЯрГУ, Ярославль, 1976, 114–129
  7. Куликов А. Н., Куликов Д. А., “Формирование волнообразных наноструктур на поверхности плоских подложек при ионной бомбардировке”, Ж. вычисл. мат. мат. физ., 52:5 (2012), 930–945
  8. Куликов А. Н., Куликов Д. А., “Локальные бифуркации в периодической краевой задаче для обобщенного уравнения Курамото—Сивашинского”, Автомат. телемех., 11 (2017), 20–33
  9. Куликов А. Н., Куликов Д. А., “Локальные бифуркации в уравнениях Кана—Хиллиарда, Курамото—Сивашинского и их обобщениях”, Ж. вычисл. мат. мат. физ., 59:4 (2019), 670–683
  10. Леонов Г А., Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения, Ин-т комп. иссл., М.-Ижевск, 2006
  11. Сергеев И. Н., “О непрерывности показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости систем, задающих повороты плоскости”, Диффер. уравн., 54:6 (2018), 842–856
  12. Сергеев И. Н., “Определение и некоторые свойства устойчивости по Перрону”, Диффер. уравн., 55:5 (2019), 636–646
  13. Сергеев И. Н., “Зависимость и независимость свойств перроновской и ляпуновской устойчивости от фазовой области системы”, Диффер. уравн., 55:10 (2019), 1338–1346
  14. Скотт Э., Нелинейная наука. Рождение и развитие когерентных структур, Физматлит, М., 2007
  15. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Наука, М., 1988
  16. Соболевский П. Е., “Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве”, Тр. Моск. мат. о-ва., 10 (1967), 297–350
  17. Barker B., Johnson M. A., Noble P., Rodrigues L. M., Zumbrun K., “Nonlinear modulational stability of periodic traveling-wave solutions of the generalized Kuramoto–Sivashinsky equation”, Phys. D., 258 (2013), 11–46
  18. Bradley R. M., Gelfand M. P., “One-dimensional conservative surface dynamics with broken parity: Arrested collapse versus coarsening”, Phys. Lett. A., 379:3 (2015), 199–205
  19. Bradley R. M., Harper J. M. E., “Theory of ripple topography induced by ion bombardment”, J. Vac. Sci. Techn. A., 6:4 (1988), 2390–2395
  20. Bradley R. M., Loew K. M., “Effect of dispersion on the nanoscale patterns produced by ion sputtering”, Phys. Rev. E., 100 (2019), 012801
  21. Kulikov A. N., “Inertial invariant manifolds of a nonlinear semigroup of operators in a Hilbert space”, J. Math. Sci., 283:3 (2024), 402–411
  22. Kulikov A. N., Kulikov D. A., “Spatially ingomogeneous solutions for a modified Kuramoto–Sivashinsky equation”, J. Math. Sci., 219:2 (2016), 173–183
  23. Kuramoto Y., Chemical Oscillations, Waves and Turbulence, Springer-Verlag, Berlin, 1984
  24. Marsden J. E., McCraken M., The Hopf Bifurcation and Its Applications, Springer-Verlag, New York, 1976
  25. Noble P., Rodrigues L. M., “Whitham’s modulation equations and stability of periodic wave solutions of the Korteweg–de Vries–Kuramoto–Sivashinsky equation”, Indiana Univ. Math. J., 62:3 (2013), 753–783
  26. Sivashinsky G. I., “Weak turbulence in periodic flows”, Phys. D., 17 (1985), 243–255
  27. Temam R., Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York, 1997

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Kulikov A.N., Kulikov D.A., Frolov D.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».