On one loaded mixed-type integro-differential equation with fractional Gerasimov–Caputo operators

T. K. Yuldashev; Юлдашев Турсун Камалдинович; E. T. Karimov; Каримов Эркинжон Тулкинович

doi:10.36535/0233-6723-2022-211-96-113

On one loaded mixed-type integro-differential equation with fractional Gerasimov–Caputo operators

Authors: Yuldashev T.K.¹, Karimov E.T.²
Affiliations:
1. Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека
2. Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан
Issue: Vol 211 (2022)
Pages: 96-113
Section: Articles
URL: https://ogarev-online.ru/2782-4438/article/view/266239
DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2022-211-96-113
ID: 266239

Cite item

Full Text

Abstract
Full Text
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

In this paper, we examine the unique solvability of a boundary-value problem for a loaded mixed-type integro-differential equation with fractional Gerasimov–Caputo operators, spectral parameters, and small coefficients of mixed derivatives. The solution of the problem is obtained in the form of a Fourier series. The unique solvability of the problem for regular values of the spectral parameters is proved. The continuous dependence of the solution of the boundary-value problem on small parameters and on given functions is studied for regular values of the spectral parameters.

Keywords

integro-differential equation, mixed-type equation, degenerate kernel, unique solvability, fractional Gerasimov–Caputo operator

Full Text

1. Постановка задачи. Математическое моделирование многих процессов, происходящих в реальном мире, приводит к изучению смешанных и краевых задач для уравнений в частных производных. Поэтому теория краевых задач в настоящее время является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений. Сегодня бурно развивается теория нагруженных дифференциальных уравнений с локальными и нелокальными краевыми условиями. Изучению этого раздела теории дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ (см., например, [1–6, 8, 9, 11–16, 25, 44]).

Дробное исчисление играет важную роль в математическом моделировании во многих научных и инженерных дисциплинах (см. [34]). Так, в [31] рассматриваются некоторые основные проблемы сплошной среды и статистической механики; в [26] изучаются математические проблемы модели эпидемии Эболы; в [27, 40] изучается фракционная модель динамики туберкулезной инфекции и нового коронавируса (nCoV-2019), соответственно. Построение различных моделей задач теоретической физики с помощью дробного исчисления описано в [38, vols. 4, 5], [30, 37]. В [36] рассматривается конкретная физическая интерпретация дробных производных Хильфера и Герасимова–Капуто, описывающая случайное движение частицы, движущейся по действительной прямой с временами шага Пуассона с конечной скоростью. Подробный обзор применения дробного исчисления при решении прикладных задач приведен в [38, vol. 6-8], [32, 35].

Приложения для уравнений смешанного типа изучались в [7, 19, 39]. В частности, в [7] И. М. Гельфанд рассматривал пример движения газа в канале, окруженном пористой средой, причем движение газа в канале описывалось волновым уравнением, а вне канала — уравнением диффузии. Я. С. Уфлянд в [19] рассмотрел задачу о распространении электрических колебаний в составных линиях, когда потери на полубесконечной линии не учитывались, а остальная часть линии трактовалась как кабель без утечки. Он свел эту задачу к уравнению смешанного параболо-гиперболического типа. В [39] исследована гиперболо-параболическая система, возникающая при импульсном горении. Дробные дифференциальные уравнения смешанного типа изучаются во многих работах, в частности в [10, 17, 18, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46].

Одним из важных разделов теории интегральных и дифференциальных уравнений является теория интегро-дифференциальных уравнений. Наличие интегрального члена в дифференциальных уравнениях первого и второго порядков играет важную роль в теории динамических систем с автоматическим управлением (см. [20, 21]). Интегро-дифференциальные уравнения смешанного типа целого порядка с вырожденными ядрами и спектральными параметрами изучены в [41, 42].

В данной работе исследуются вопросы однозначной разрешимости краевой задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с дробными операторами Герасимова–Капуто и спектральными параметрами в многомерной прямоугольной области. Отметим, что краевые задачи для интегро-дифференциальных уравнений со спектральными параметрами имеют особенности при исследовании вопросов однозначной разрешимости (см. [22, 43]).

В основе настоящего исследования лежат дифференциальные операторы, которые относительно первого аргумента являются операторами Герасимова–Капуто дробного порядка $0 < α < 1$ , а относительно других аргументов являются частными дифференциальными операторами четвертого порядка. Оператор Герасимова–Капуто дробного порядка $m - 1 < α < m$ имеет вид

$_{C} D_{a t}^{α} f (t) = \frac{1}{Γ (m - α)} \int_{a}^{t} {(t - s)}^{m - α - 1} f^{(m)} (s) d s,$

где $Γ (z)$ — гамма-функция Эйлера.

В многомерной области $Ω = {- T < t < T, 0 < x_{1}, \dots, x_{m} < l}$ рассматривается следующее нагруженное интегро-дифференциальное уравнение дробного порядка:

$A_{ε} (U) - B_{1, ω} (U) = ν \int_{0}^{T} K_{1} (t, s) U (s, x) d s + F_{1} (t, x), t > 0, ν \int_{- T}^{0} K_{2} (t, s) U (s, x) d s + F_{2} (t, x), t < 0,$ (1)

где

$F_{i} (t, x) = k_{i} (t) f_{i} (x, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{i} (y) U (0, y) d y), i = 1,2,$

$A_{ε} (U) = \frac{1 + sgn (t)}{2} [_{C} D_{0 t}^{α_{1}} - \sum_{i = 1}^{m} {(ε_{1} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{i}} - ε_{2} \frac{\partial^{4}}{\partial x_{i} \partial x_{i} \partial x_{i} \partial x_{i}})}_{C} D_{0 t}^{β_{1}}] U (t, x) +$

$+ \frac{1 - sgn (t)}{2} [_{C} D_{0 t}^{α_{2}} - \sum_{i = 1}^{m} {(ε_{1} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i} \partial x_{i}} - ε_{2} \frac{\partial^{4}}{\partial x_{i} \partial x_{i} \partial x_{i} \partial x_{i}})}_{C} D_{0 t}^{β_{2}}] U (t, x),$

$B_{1, ω} (U) = \sum_{i = 1}^{m} (U_{x_{i} x_{i}} - U_{x_{i} x_{i} x_{i} x_{i}}), t > 0, ω^{2} \sum_{i = 1}^{m} (U_{x_{i} x_{i}} - U_{x_{i} x_{i} x_{i} x_{i}}), t < 0,$

$T$ и $l$ — положительные числа, $ω$ — положительный параметр, $ε_{1}$ , $ε_{2}$ — положительные малые параметры, $ν$ — действительный параметр, отличный от нуля, $0 \neq K_{j} (t, s) = a_{j} (t) b_{j} (s)$ — вырожденное ядро, $a_{j} (t) \in C^{2} [- T; T]$ , $b_{j} (s) \in C [- T; T]$ , $f_{i} \in C_{x}^{2} (Ω_{l}^{m} \times ℝ)$ ,

$\int_{Ω_{l}^{m}} | Θ_{i} (y) | d y < \infty, \int_{Ω_{l}^{m}} | Θ_{i} (y) | d y = \int_{0}^{l} \dots \int_{0}^{l} | Θ_{i} (y) | d y_{1} \cdot \dots \cdot d y_{m}, i, j = 1,2,$

$k_{1} (t) \in C^{2} [0; T], k_{2} (t) \in C^{2} [- T; 0], ℝ \equiv (- \infty; \infty),$

$x \in Ω_{l}^{m} \equiv {[0; l]}^{m}, 0 < β_{1} < α_{1} \leq 1, 1 < β_{2} < α_{2} \leq 2.$

Будем изучать следующую задачу.

Задача. Найти в области $Ω$ неизвестную функцию $U (t, x)$ , принадлежащую классу функций

$U (t, x) \in C (\bar{Ω}) \cap C^{α_{1},4} (Ω_{+}) \cap C^{α_{2},4} (Ω_{-}) \cap C_{t, x}^{α_{1} + 4} (Ω_{+}) \cap C_{t, x}^{α_{2} + 4} (Ω_{-}) \cap$

$\cap C_{t, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}}^{α_{1} + 4 + 0 + \dots + 0} (Ω_{+}) \cap C_{t, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}}^{α_{2} + 4 + 0 + \dots + 0} (Ω_{-}) \cap C_{t, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{m}}^{α_{1} + 0 + 4 + 0 + \dots + 0} (Ω_{+}) \cap$

$\cap C_{t, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{m}}^{α_{2} + 0 + 4 + 0 + \dots + 0} (Ω_{-}) \cap \dots \cap C_{t, x_{1}, \dots, x_{m - 1}, x_{m}}^{α_{1} + 0 + \dots + 0 + 4} (Ω_{+}) \cap C_{t, x_{1}, \dots, x_{m - 1}, x_{m}}^{α_{2} + 0 + \dots + 0 + 4} (Ω_{-})$ (2)

и удовлетворяющую смешанному интегро-дифференциальному уравнению (1) и следующим граничным условиям:

$U (- T, x) = φ_{1} (x),_{C} D_{0 t}^{θ} U (- T, x) = φ_{2} (x), x \in Ω_{l}^{m},$ (3)

$U (t,0) = U (t, l) = U_{x x} (t,0) = U_{x x} (t, l) = 0, - T < t < T,$ (4)

где $0 < θ < 1$ , $φ_{i} (x)$ — гладкие функции, $F_{i} (t,0) = F_{i} (t, l) = 0$ , $φ_{i} (0) = φ_{i} (l) = 0$ , $i = 1,2$ , $C^{r} (Ω)$ — класс функций $U (t, x_{1}, \dots, x_{m})$ с непрерывными производными

$\frac{\partial^{r} U}{\partial t^{r}}, \frac{\partial^{r} U}{\partial x_{1}^{r}}, \dots, \frac{\partial^{r} U}{\partial x_{m}^{r}}$

в области $Ω$ , $C_{t, x}^{r, s} (Ω)$ — класс функций $U (t, x_{1}, \dots, x_{m})$ с непрерывными производными

$\frac{\partial^{r} U}{\partial t^{r}}, \frac{\partial^{s} U}{\partial x_{1}^{s}}, \dots, \frac{\partial^{s} U}{\partial x_{m}^{s}}$

в области $Ω$ , $C_{t, x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}}^{r + r + 0 + \dots + 0} (Ω)$ — класс функций $U (t, x_{1}, \dots, x_{m})$ с непрерывными производными $\partial^{2 r} U / \partial t^{r} \partial x_{1}^{r}$ в области $Ω$ и т. д.; $C_{t, x_{1}, \dots, x_{m - 1}, x_{m}}^{r + 0 + \dots + 0 + r} (Ω)$ — класс функций $U (t, x_{1}, \dots, x_{m})$ с непрерывной производной $\partial^{2 r} U / \partial t^{r} \partial x_{m}^{r}$ в области $Ω$ , $r$ , $s$ — положительные числа,

$\bar{Ω} = {- T \leq t \leq T, x \in Ω_{l}^{m}},$

$Ω_{-} = {- T < t < 0, 0 < x_{1}, \dots, x_{m} < l}, Ω_{+} = {0 < t < T, 0 < x_{1}, \dots, x_{m} < l} .$

2. Разложение решение задачи (1)–(4) в ряд Фурье. Исходя из характера задания спектральных условий (4), решение нагруженного интегро-дифференциального уравнения (1) в области $Ω$ будем разыскивать в виде ряда Фурье по синусам

$U (t, x) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{\pm} (t) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x),$ (5)

где

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{\pm} (t) = \{\begin{cases} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t) = \int_{Ω_{l}^{m}} U (t, x) J_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x, t > 0, \\ u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t) = \int_{Ω_{l}^{m}} U (t, x) J_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x, t < 0, \end{cases}$ (6)

$\int_{Ω_{l}^{m}} U (t, x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x = \int_{0}^{l} \dots \int_{0}^{l} U (t, x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x_{1} \cdot \dots \cdot d x_{m},$

$ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) = {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{m} \sin \frac{π n_{1}}{l} x_{1} \cdot \dots \cdot \sin \frac{π n_{m}}{l} x_{m}, n_{1}, \dots, n_{m} = 1,2, \dots$

Предположим также, что имеет место следующее разложение в ряд Фурье:

$f_{i} (x, V_{i}) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} f_{i n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{i}) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x),$ (7)

где

$f_{i n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{i}) = \int_{Ω_{l}^{m}} f_{i} (y, V_{i}) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y, f_{i} (y, V_{i}) = f_{i} (y, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{i} (z) U (0, z) d z), i = 1,2.$

Подставляя ряды (5) и (7) в смешанное уравнение (1), получаем две счетные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка с вырожденными ядрами:

$_{C} D_{0 t}^{α_{1}} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t) +$

$+ μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} {(ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2})}_{C} D_{0 t}^{β_{1}} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t) + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (1 + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t) =$

$= ν \int_{0}^{T} a_{1} (t) b_{1} (s) u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (s) d s + F_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} (t), t > 0,$ (8)

$_{C} D_{0 t}^{α_{2}} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t) +$

$+ μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} {(ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2})}_{C} D_{0 t}^{β_{2}} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t) + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ω^{2} + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t) =$

$= ν \int_{- T}^{0} a_{2} (t) b_{2} (s) u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (s) d s + F_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (t), t < 0,$ (9)

где

$μ_{n_{1}, \dots, n_{m}} = \frac{π}{l} \sqrt{n_{1}^{2} + \dots + n_{m}^{2}}, F_{i n_{1}, \dots, n_{m}} (t) = k_{i} (t) f_{i n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{i}), i = 1,2.$ (10)

Будем использовать метод Фредгольма для вырожденного ядра. Введя обозначения

$τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} = \int_{0}^{T} b_{1} (s) u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (s) d s, τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} = \int_{- T}^{0} b_{2} (s) u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (s) d s,$ (11)

представим счетные системы обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений (8) и (9) в следующем виде:

$_{C} D_{0 t}^{α_{1}} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t) +$

$= ν a_{1} (t) τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} + F_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} (t), t > 0,$ (12)

$_{C} D_{0 t}^{α_{2}} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t) +$

$= ν a_{2} (t) τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} + F_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (t), t < 0.$ (13)

Решения счетных систем (12) и (13), удовлетворяющие условиям

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (0) = C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{+}, u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0) = C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}, \frac{d}{d t} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0) = C_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-},$

представим следующим образом:

$2 u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t) = ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} Ψ_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) + Ψ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) + C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} Ψ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t), t > 0,$ (14)

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t) = ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) +$

$+ C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) - C_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω), t < 0,$ (15)

где $C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{+}$ , $C_{i n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}$ ( $i = 1,2$ ) — неизвестные коэффициенты интегрирования, которые будут однозначно найдены в дальнейших вычислениях,

$Ψ_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) = \int_{0}^{t} a_{1} (t - s) s^{α_{1} - 1} \times$

$\times E_{(α_{1} - β_{1}, α_{1}), α_{1}} (- μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) s^{α_{1} - β_{1}}, - μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (1 + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) s^{α_{1}}) d s,$

$Ψ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) = \int_{0}^{t} F_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} (t - s) s^{α_{1} - 1} \times$

$Ψ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) = E_{(α_{1} - β_{1}, α_{1}),1} (- μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) t^{α_{1} - β_{1}}, - μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (1 + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) t^{α_{1}}),$

$Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \int_{t}^{0} a_{2} (s - t) {(- s)}^{α_{2} - 1} Ψ_{25 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) d s,$

$Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \int_{t}^{0} F_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (s - t) {(- s)}^{α_{2} - 1} Ψ_{25 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ε, ω) d s,$

$Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) =$

$= E_{(α_{2} - β_{2}, α_{2}),1} (- μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) {(- t)}^{α_{2} - β_{2}}, - μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ω^{2} + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) {(- t)}^{α_{2}}),$

$Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) =$

$= t E_{(α_{2} - β_{2}, α_{2}),2} (- μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) {(- t)}^{α_{2} - β_{2}}, - μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ω^{2} + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) {(- t)}^{α_{2}}),$

$Ψ_{25 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) =$

$= E_{(α_{2} - β_{2}, α_{2}), α_{2}} (- μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) {(- s)}^{α_{2} - β_{2}}, - μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ω^{2} + μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) {(- s)}^{α_{2}}) .$

Через $E_{(α, β), γ} (z_{1}, z_{2})$ обозначена функция Миттаг-Леффлера двух переменных:

$E_{(α, β), γ} (z_{1}, z_{2}) = \sum_{m_{1}, m_{2} = 0}^{\infty} \frac{z_{1}^{m_{1}} z_{2}^{m_{2}}}{Γ (γ + α m_{1} + β m_{2})},$

где $z_{i}, α, β, γ \in ℂ$ , $Re (α) > 0$ , $Re (β) > 0$ .

Из постановки задачи (см. свойства в (2)) следует, что для неизвестной функции выполняется условие непрерывного сопряжения $U (0 + 0, x) = U (0 - 0, x)$ . Следовательно, учитывая формулу (6), получаем условия на коэффициенты Фурье от неизвестной функции:

$\begin{array}{l} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (0 + 0) & = \int_{Ω_{l}^{m}} U (0 + 0, x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x = \\ = \int_{Ω_{l}^{m}} U (0 - 0, x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x = u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0 - 0) . \end{array}$ (16)

Положим

$φ_{i n_{1}, \dots, n_{m}} = \int_{Ω_{l}^{m}} φ_{i} (x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x, i = 1,2.$

Тогда с учетом формулы (6) из условий в (3) получаем

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (- T) = \int_{Ω_{l}^{m}} U (- T, x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x = \int_{Ω_{l}^{m}} φ_{1} (x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}},$ (17)

$_{C} D_{0 t}^{θ} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (- T) = {\int_{Ω_{l}^{m}}}_{C} D_{0 t}^{θ} U (- T, x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x =$

$= \int_{Ω_{l}^{m}} φ_{2} (x) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x = φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} .$ (18)

С помощью условия непрерывного сопряжения (16) из (14) и (15) получаем соотношение

$C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} = C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} .$

Чтобы найти неизвестные коэффициенты интегрирования $C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}$ и $C_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}$ в (15), воспользуемся условиями (17) и (18); получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

$\{\begin{cases} ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) + Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) + \\ + C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - C_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}, \\ ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} D_{0 t}^{θ} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) + D_{0 t}^{θ} Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) + \\ + C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - C_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) = φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}, \end{cases}$ (19)

где $D_{0 t}^{θ} Ψ (- T) \equiv D_{0 t}^{θ} Ψ (t) |_{t = - T}$ . При выполнении условия

$σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) \cdot D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) \cdot D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) \neq 0$ (20)

система (19) однозначно разрешима относительно $C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}$ и $C_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}$ . Решая ее, приходим к следующим представлениям для неизвестных коэффициентов:

$C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} = \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} \times$

$\times [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} \times$

$\times (Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)) +$

$+ Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)],$

$C_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} = \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} \times$

$\times [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} \times$

$\times (Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)) +$

$+ Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) - Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)] .$

Подставим полученные данные в (15); с учетом того, что $C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} = C_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}$ в (14), получаем следующие представления для коэффициентов Фурье основных неизвестных функций в положительной и отрицательной частях области:

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t, ω, ν) = [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}] N_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) +$

$+ ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} N_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) - ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} N_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) +$

$+ f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{1}) N_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) + f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{2}) N_{15 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω), t > 0,$ (21)

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t, ω, ν) = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} N_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} N_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) +$

$+ ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} N_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{2}) N_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω), t < 0,$ (22)

где

$N_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} Ψ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω), N_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) = Ψ_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t),$

$N_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)] Ψ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t),$

$N_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) = {\bar{Ψ}}_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t),$

$N_{15 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [{\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} {\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)] Ψ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t),$

$N_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)],$

$N_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) +$

$+ Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)],$

$N_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) -$

$- \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)] Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) +$

$+ \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)] Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω),$

$N_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = {\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) +$

$+ \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [{\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} {\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)] Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) +$

$+ \frac{1}{σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [{\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) D_{0 t}^{θ} {\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω)] Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω),$

${\bar{Ψ}}_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t) =$

$= \int_{0}^{t} k_{1} (t - s) s^{α_{1} - 1} E_{(α_{1} - β_{1}, α_{1}), α_{1}} (- μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} (ε_{1} + ε_{2} μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2}) s^{α_{1} - β_{1}}, - μ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{2} s^{α_{1}}) d s,$

${\bar{Ψ}}_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) = \int_{t}^{0} k_{2} (s - t) {(- s)}^{α_{2} - 1} Ψ_{25 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) d s .$

Согласно методу Фредгольма для вырожденного ядра, подставим (21) и (22) в (11):

$τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} [1 - ν χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)] + ν τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} χ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) =$

$= [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}] χ_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) + f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{1}) χ_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) +$

$+ f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{2}) χ_{15 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω),$ (23)

$τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} [1 - ν χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)] = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} χ_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} χ_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) +$

$+ f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{2}) χ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω),$ (24)

где

$2 χ_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = \int_{0}^{T} b_{1} (s) N_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (s, ω) d s, i = \bar{1,5},$

$χ_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = \int_{- T}^{0} b_{2} (s) N_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (s, ω) d s, i = \bar{1,4} .$

Решим линейные алгебраические уравнения (23) и (24) как систему алгебраических уравнений относительно величин $τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+}$ и $τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-}$ . Если выполняются условия

$ν χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) \neq 1, ν χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) \neq 1,$ (25)

то из (23) и (24) получим

$τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} M_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} M_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) +$

$+ f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{1}) M_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) + f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{2}) M_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω),$ (26)

$τ_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} M_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} M_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) +$

$+ f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} (V_{2}) M_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω),$ (27)

где

$M_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = \frac{1}{1 - ν χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [χ_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) - ν \frac{χ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) χ_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}{1 - ν χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}], i = 1,2,$

$M_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = \frac{χ_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}{1 - ν χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)},$

$M_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = \frac{1}{1 - ν χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} [χ_{15 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) - ν \frac{χ_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) χ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}{1 - ν χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}],$

$M_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = \frac{χ_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}{1 - ν χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}, i = 1,2,$

$M_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = \frac{χ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}{1 - ν χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} .$

Подставляя (26) и (27) в (21) и (22), при $t > 0$ получим

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t, ω, ν) = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ Q_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) \int_{Ω_{l}^{m}} f_{1} (y, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{1} (z) \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (z) d z) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y +$

$+ Q_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) \int_{Ω_{l}^{m}} f_{2} (y, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{2} (z) \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (z) d z) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y$ (28)

а при $t < 0$ —

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t, ω, ν) = φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ Q_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) \int_{Ω_{l}^{m}} f_{2} (y, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{2} (z) \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (z) d z) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y,$ (29)

где

$Q_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) = N_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + ν N_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) M_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) -$

$- ν N_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) M_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω), i = 1,2,$

$Q_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) = N_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + ν N_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) M_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω),$

$Q_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) = N_{15 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + ν N_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) M_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) -$

$- ν N_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) M_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω),$

$Q_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) = N_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + ν N_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) M_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (ω), i = 1,2,$

$Q_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) = N_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) + ν N_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω) M_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) .$

Подставляя представление (28) в ряд Фурье (5), получим следующее формальное решение задачи (1)–(4) при $t > 0$ :

$U (t, x, ω, ν) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) \times$

$\times [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

Подставляя представление (29) в ряд Фурье (5), получим следующее формальное решение задачи (1)–(4) при $t < 0$ :

$U (t, x, ω, ν) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) \times$

$\times [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

Рассмотрим интегралы, присутствующие в составе рядов (30) и (31). В представлениях (28) и (29) положим $t = 0$ :

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (0) = 0 \cdot \int_{Ω_{l}^{m}} f_{1} (y, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{1} (z) \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (z) d z) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y,$

$u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0) = 0 \cdot \int_{Ω_{l}^{m}} f_{2} (y, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{2} (z) \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (z) d z) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y .$

Отсюда следует, что $u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (0) = u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (0) = 0$ . Поэтому ряды (30) и (31) можно переписать в следующем виде:

$U (t, x, ω, ν) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + Q_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) \int_{Ω_{l}^{m}} f_{1} (y,0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y +$

$+ Q_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) \int_{Ω_{l}^{m}} f_{2} (y,0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y],$ (32)

$U t, x, ω, ν \sum_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{\infty} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} x φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} t, ω, ν +$

$+ φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + Q_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) \int_{Ω_{l}^{m}} f_{2} (y,0) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (y) d y] .$ (33)

Теперь предположим, что условие (20) нарушается при некоторых значениях спектрального параметра $ω$ . Тогда будем рассматривать следующее алгебраическое уравнение относительно спектрального параметра $ω$ :

$σ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) \cdot D_{0 t}^{θ} Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) -$

$- Ψ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ω) \cdot D_{0 t}^{θ} Ψ_{24 n_{1}, \dots, n_{m}} (- T, ε, ω) = 0.$ (34)

Множество положительных решений этого алгебраического уравнения (35) относительно спектрального параметра $ω$ обозначим через $ℑ_{1}$ . Указанные значения $ω \in ℑ_{1}$ назовем иррегулярными; для таких значений условие (20) нарушается. Множество $Λ_{1} = (0; \infty) \ ℑ_{1}$ называется множеством регулярных значений спектрального параметра $ω$ ; для таких регулярных значений условие (20) выполняется.

Теперь предположим, что условия в (25) нарушаются:

$ν χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ε, ω) = 1, ν χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) = 1.$

Имеем

$ν_{1} = \frac{1}{χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)}, ν_{2} = \frac{1}{χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω)} .$

Для регулярных значений $ω \in Λ_{1}$ имеют место неравенства

$χ_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) \neq 0, χ_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (ω) \neq 0.$

Множество ${ν_{1}, ν_{2}}$ обозначим через $ℑ_{2}$ . Тогда множество $Λ_{2} = (- \infty; 0) \cup (0; \infty) \ ℑ_{2}$ называется множеством регулярных значений спектрального параметра $ν$ . Для всех значений $ν \in Λ_{2}$ условия (25) выполняются. Введем обозначение

$ℵ = {n_{1}, \dots, n_{m} \in ℕ; ω \in Λ_{1}; ν \in Λ_{2}},$

где $ℕ$ — множество натуральных чисел. Это множество, в котором все значения спектральных параметров $ω$ и $ν$ регулярны. Для таких регулярных значений параметра $ν$ решения задачи (1)–(4) в подобластях $Ω_{1}$ и $Ω_{2}$ представляются в виде рядов (32) и (33) соответственно.

3. Сходимость рядов (32) и (33). Для установления единственности решения $U (t, x, ω, ν)$ задачи (1)–(4) предположим, что существуют два решения этой задачи $U_{1}$ и $U_{2}$ . Тогда их разность $U = U_{1} - U_{2}$ также является решением интегро-дифференциального уравнения (1), удовлетворяющим условиям (2)–(4) с функциями $φ_{i} (x) \equiv 0$ ( $i = 1,2$ ). Тогда для $φ_{i n_{1}, \dots, n_{m}} = 0$ ( $i = 1,2$ ) из формул (32) и (33) в области $Ω$ следует, что

$\int_{Ω_{l}^{m}} U (t, x, ω, ν) ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x = 0.$

Следовательно, в силу полноты системы собственных функций

$\{\sqrt{\frac{2}{l}} \sin \frac{π n_{1}}{l} x_{1}\}, \{\sqrt{\frac{2}{l}} \sin \frac{π n_{2}}{l} x_{2}\}, \dots, \{\sqrt{\frac{2}{l}} \sin \frac{π n_{m}}{l} x_{m}\}$

в пространстве $L_{2} (Ω_{l}^{m})$ , заключаем, что $U (t, x, ω, ν) \equiv 0$ для всех $x \in Ω_{l}^{m} \equiv {[0; l]}^{m}$ и $t \in [- T; T]$ . Следовательно, при регулярных значениях спектральных параметров $ω$ и $ν$ функция $U (t, x, ω, ν)$ является единственным решением интегро-дифференциального уравнения смешанного типа (1) с условиями (2)–(4), если эта функция существует в области $Ω$ .

Воспользуемся пространством $L_{2} (Ω_{l}^{m})$ суммируемых функций в области $Ω_{l}^{m}$ с нормой

$∥ ϑ (x) ∥_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} = \sqrt{\int_{Ω_{l}^{m}} {|ϑ (x)|}^{2} d x} < \infty .$

Условия гладкости. Пусть функции

$φ_{i} (x), f_{i} (x) \in C^{4} (Ω_{l}^{m}), i = 1,2$

имеют кусочно непрерывные производные пятого порядка в области $Ω_{l}^{m}$ .

Интегрируя по частям пять раз по всем переменным $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{m}$ , получим следующие формулы (см. [43]):

$| φ_{i n_{1}, \dots, n_{m}} | = {(\frac{l}{π})}^{5 m} \frac{|φ_{i n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}|}{n_{1}^{5} \dots n_{m}^{5}}, | f_{i n_{1}, \dots, n_{m}} | = {(\frac{l}{π})}^{5 m} \frac{|f_{i n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}|}{n_{1}^{5} \dots n_{m}^{5}},$ (35)

где

$φ_{i n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)} = \int_{Ω_{l}^{m}} \frac{¶^{5 m} φ_{i} (x)}{¶ x_{1}^{5} ¶ x_{2}^{5} \dots ¶ x_{m}^{5}} J_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x,$

$f_{i n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)} = \int_{Ω_{l}^{m}} \frac{\partial^{5 m} f_{i} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) d x, i = 1,2.$

Для этих функций имеют место неравенства Бесселя:

$\sqrt{\sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} {[φ_{i n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}]}^{2}} \leq {(\frac{2}{l})}^{m} {||\frac{\partial^{5 m} φ_{i} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})},$ (36)

$\sqrt{\sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} {[f_{i n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}]}^{2}} \leq {(\frac{2}{l})}^{m} {||\frac{\partial^{5 m} f_{i} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})}, i = 1,2.$ (37)

Также используем следующие известные свойства функции Миттаг-Леффлера: [1.]

Для всех $k > 0$ , $α_{0}, β_{0}, γ_{0} \in (0; 2]$ , $α_{0} \leq β_{0} \leq γ_{0}$ , $t \geq 0$ функция $t^{β_{0} - 1} E_{α_{0}, β_{0}, γ_{0}} (- k t^{α}, - k t^{β})$ является полной, монотонной и имеет место оценка

${(- 1)}^{s} {[t^{β_{0} - 1} E_{(α_{0}, β_{0}), γ_{0}} (- k t^{α_{0}}, - k t^{β_{0}})]}^{(s)} \geq 0, s = 0,1,2, \dots$ (38)

Для всех $α_{0}, β_{0} \in (0,2)$ , $γ \in ℝ$ и $\arg z_{1} = π$ , справедливы следующие оценки

$| E_{(α_{0}, β_{0}), γ_{0}} (z_{1}, z_{2}) | \leq \frac{C_{1}}{1 + | z_{1} |},$ (39)

$| E_{(α_{0}, β_{0}), γ_{0}} (ε_{1} z_{1}, z_{2}) - E_{(α_{0}, β_{0}), γ_{0}} (ε_{2} z_{1}, z_{2}) | \leq | ε_{1} - ε_{2} | \frac{C_{2}}{1 + | z_{1} |},$ (40)

где $0 < C_{i} = c o n s t$ не зависит от $z$ , $ε_{i} \in (0; ε_{0})$ , $0 < ε_{0} = c o n s t$ , $i = 1,2$ .

Используя условия гладкости, докажем, что при регулярных значениях спектральных параметров $ω$ и $ν$ ряды (32) и (33) сходятся абсолютно и равномерно; при этом возможно их почленное дифференцирование.

Согласно свойствам (38) и (39) функции Миттаг-Леффлера, функции $Q_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν)$ ( $i = \bar{1,4}$ ) и $Q_{2 j n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν)$ ( $j = \bar{1,3}$ ) равномерно ограничены на отрезке $[- T; T]$ . Тогда для всех положительных целых чисел $n_{1}, \dots, n_{m}$ существуют такие постоянные $C_{1 k}$ ( $k = 1,2$ ), что справедливы следующие оценки:

$\underset{n_{1}, \dots, n_{m} \in ℕ}{} \underset{i = \bar{1,4}}{} | Q_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) | \leq C_{11}, \underset{n_{1}, \dots, n_{m} \in ℕ}{} \underset{j = \bar{1,3}}{} | Q_{2 j n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) | \leq C_{12},$ (41)

где $C_{1 k} = c o n s t$ , $k = 1,2$ .

Применяя оценки (41), формулу (35), неравенство Коши–Буняковского и неравенства Бесселя (36) и (37) к рядам (32) и (33), получаем

$| U (t, x, ω, ν) | \leq \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} | u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t, ω, ν) | \cdot | ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) | \leq$

$\leq {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{m} C_{11} \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} [| φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} |] \leq$

$\leq γ_{1} [{||\frac{\partial^{5 m} φ_{1} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} φ_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} +$

$+ {||\frac{\partial^{5 m} f_{1} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} f_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})}] < \infty,$ (42)

где

$γ_{1} = {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{5 m / 2} C_{11} C_{01} {(\frac{l}{π})}^{5 m}, C_{01} = \sqrt{\sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} \frac{1}{n_{1}^{10} \dots n_{m}^{10}}};$

$| U (t, x, ω, ν) | \leq \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} | u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t, ω, ν) | \cdot | ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) | \leq$

$\leq γ_{2} [{||\frac{\partial^{5 m} φ_{1} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} φ_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} f_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})}] < \infty,$ (43)

где

$γ_{2} = {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{5 m / 2} C_{12} C_{01} {(\frac{l}{π})}^{5 m} .$

Из оценок (42) и (43) следует, что ряды (32) и (33) сходятся абсолютно и равномерно в области $\bar{Ω}$ при $(n_{1}, \dots, n_{m}, ω, ν) \in ℵ = {n_{1}, \dots, n_{m} \in ℕ; ω \in Λ_{1}; ν \in Λ_{2}}$ . Поэтому при таких чисел $(n_{1}, \dots, n_{m}, ω, ν) Î À$ функций (32) и (33) можно нужное число раз формально дифференцировать в области $\bar{Ω}$ :

$_{C} D_{0 t}^{α_{1}} U (t, x, ω, ν) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) \times$

$\times [{φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}}_{C} D_{0 t}^{α_{1}} Q_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + {φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}}_{C} D_{0 t}^{α_{1}} Q_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ {f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}}_{C} D_{0 t}^{α_{1}} Q_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + {f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}}_{C} D_{0 t}^{α_{1}} Q_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν)], t > 0,$ (44)

$_{C} D_{0 t}^{α_{2}} U (t, x, ω, ν) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) [{φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}}_{C} D_{0 t}^{α_{2}} Q_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ {φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}}_{C} D_{0 t}^{α_{2}} Q_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + {f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}}_{C} D_{0 t}^{α_{2}} Q_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν)], t < 0,$ (45)

$U_{x_{1} x_{1} x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} {(\frac{π n_{1}}{l})}^{4} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{11 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{12 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{13 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{14 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν)], t > 0,$ (46)

$U_{x_{1} x_{1} x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν) = \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} {(\frac{π n_{1}}{l})}^{4} ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) [φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{21 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) +$

$+ φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{22 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν) + f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} Q_{23 n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ω, ν)], t < 0.$ (47)

Аналогичным образом в области $Ω$ определяются разложения в ряды Фурье следующих функций:

$U_{x_{2} x_{2} x_{2} x_{2}} (t, x, ω, ν), U_{x_{3} x_{3} x_{3} x_{3}} (t, x, ω, ν), \dots, U_{x_{m} x_{m} x_{m} x_{m}} (t, x, ω, ν),$

$_{C} D_{0 t}^{α_{1}} U_{x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν),_{C} D_{0 t}^{α_{2}} U_{x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν),_{C} D_{0 t}^{α_{1}} U_{x_{2} x_{2}} (t, x, ω, ν), \dots,$

$_{C} D_{0 t}^{α_{2}} U_{x_{2} x_{2}} (t, x, ω, ν), \dots,_{C} D_{0 t}^{α_{1}} U_{x_{m} x_{m}} (t, x, ω, ν),_{C} D_{0 t}^{α_{2}} U_{x_{m} x_{m}} (t, x, ω, ν) .$

Сходимость рядов (44) и (45) доказывается аналогично доказательству сходимости рядов (32) и (33). Поэтому достаточно показать сходимость рядов (46) и (47). Принимая во внимание формулы (35)–(37) и оценки (41) и применяя неравенство Коши–Буняковского, получаем

$| U_{x_{1} x_{1} x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν) | \leq \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} {(\frac{π n_{1}}{l})}^{4} | u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t, ω, ν) | \cdot | ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) | \leq$

$\leq {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{m} {(\frac{π}{l})}^{4} C_{11} \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} n_{1}^{4} [| φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} |] \leq$

$\leq {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{m} C_{11} {(\frac{l}{π})}^{5 m - 4} [\sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} \frac{1}{n_{1} n_{2}^{5} \dots n_{m}^{5}} |φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}| + \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} \frac{1}{n_{1} n_{2}^{5} \dots n_{m}^{5}} |φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}| +$

$+ \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} \frac{1}{n_{1} n_{2}^{5} \dots n_{m}^{5}} |f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}| + \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} \frac{1}{n_{1} n_{2}^{5} \dots n_{m}^{5}} |f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}}^{(5 m)}|] \leq$

$\leq γ_{3} [{||\frac{\partial^{5 m} φ_{1} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} φ_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} +$

где

$γ_{3} = {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{5 m / 2} C_{11} C_{02} {(\frac{l}{π})}^{5 m - 2}, C_{02} = \sqrt{\sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} \frac{1}{n_{1}^{2} n_{2}^{10} \dots n_{m}^{10}}};$

$| U_{x_{1} x_{1} x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν) | \leq \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} {(\frac{π n_{1}}{l})}^{4} | u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t, ω, ν) | \cdot | ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) | \leq$

$\leq γ_{4} [{||\frac{\partial^{5 m} φ_{1} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} φ_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} f_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})}] < \infty,$

где

$γ_{4} = {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{5 m / 2} C_{12} C_{02} {(\frac{l}{π})}^{5 m - 2} .$

Аналогично доказывается сходимость рядов Фурье в области $Ω$ для следующих функций:

$U_{x_{2} x_{2} x_{2} x_{2}} (t, x, ω, ν), U_{x_{3} x_{3} x_{3} x_{3}} (t, x, ω, ν), \dots, U_{x_{m} x_{m} x_{m} x_{m}} (t, x, ω, ν),$

$_{C} D_{0 t}^{α_{1}} U_{x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν),_{C} D_{0 t}^{α_{2}} U_{x_{1} x_{1}} (t, x, ω, ν),_{C} D_{0 t}^{α_{1}} U_{x_{2} x_{2}} (t, x, ω, ν), \dots,$

$_{C} D_{0 t}^{α_{2}} U_{x_{2} x_{2}} (t, x, ω, ν), \dots,_{C} D_{0 t}^{α_{1}} U_{x_{m} x_{m}} (t, x, ω, ν),_{C} D_{0 t}^{α_{2}} U_{x_{m} x_{m}} (t, x, ω, ν) .$

Отсюда следует, что функции (32) и (33) обладают свойствами (2) для регулярных значений спектральных параметров $ω$ и $ν$ .

4. Непрерывная зависимость решения от малого параметра. Рассматривается непрерывная зависимость решения задачи (1)–(4) от малых параметров $ε_{i} > 0$ ( $i = 1,2$ ) при регулярных значениях спектральных параметров $ω$ и $ν$ . Пусть $ε_{11}$ и $ε_{12}$ — два разных значения первого малого положительного параметра $ε_{1}$ . С помощью оценок (38)–(40) легко проверить, что верны следующие оценки:

$\underset{n_{1}, \dots, n_{m} \in ℕ}{} \underset{t \in [0; T]}{} | Q_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ε_{11}, ω, ν) - Q_{1 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ε_{12}, ω, ν) | \leq C_{21} | ε_{11} - ε_{12} |, i = \bar{1,4},$ (48)

$\underset{n_{1}, \dots, n_{m} \in}{} \underset{ℕ t \in [- T; 0]}{} | Q_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ε_{11}, ω, ν) - Q_{2 i n_{1}, \dots, n_{m}} (t, ε_{12}, ω, ν) | \leq C_{22} | ε_{11} - ε_{12} |, i = \bar{1,3},$ (49)

где $0 < C_{2 i} = c o n s t$ , $ε_{1 i} \in (0; ε_{10})$ , $0 < ε_{10} = c o n s t$ , $i = 1,2$ .

Далее, учитывая формулу (35), оценки (48), (49) и применяя неравенство Коши–Буняковского и неравенства Бесселя (36) и (37), из рядов (32) и (33) получаем

$| U (t, x, ε_{11}, ω, ν) - U (t, x, ε_{12}, ω, ν | \leq$

$\leq \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} |u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t, ε_{11}, ω, ν) - u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{+} (t, ε_{12}, ω, ν)| \cdot | ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) | \leq$

$\leq {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{m} C_{21} | ε_{11} - ε_{12} | \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} [| φ_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | φ_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | f_{1 n_{1}, \dots, n_{m}} | + | f_{2 n_{1}, \dots, n_{m}} |] \leq$

$\leq γ_{5} | ε_{11} - ε_{12} | [{||\frac{\partial^{5 m} φ_{1} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} φ_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} +$

где

$γ_{5} = {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{5 m / 2} C_{21} C_{01} {(\frac{l}{π})}^{5 m}, 0 < C_{31} = c o n s t < \infty;$

$| U (t, x, ε_{11}, ω, ν) - U (t, x, ε_{12}, ω, ν) | \leq$

$\leq \sum_{n_{1}, \dots, n_{m} = 1}^{\infty} | u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t, ε_{11}, ω, ν) - u_{n_{1}, \dots, n_{m}}^{-} (t, ε_{12}, ω, ν) | \cdot | ϑ_{n_{1}, \dots, n_{m}} (x) | \leq$

$\leq γ_{10} | ε_{11} - ε_{12} | [{||\frac{\partial^{5 m} φ_{1} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} +$

$+ {||\frac{\partial^{5 m} φ_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})} + {||\frac{\partial^{5 m} f_{2} (x)}{\partial x_{1}^{5} \partial x_{2}^{5} \dots \partial x_{m}^{5}}||}_{L_{2} (Ω_{l}^{m})}] = | ε_{11} - ε_{12} | \cdot C_{32},$ (51)

где

$γ_{6} = {(\sqrt{\frac{2}{l}})}^{5 m / 2} C_{22} C_{01} {(\frac{l}{π})}^{5 m}, 0 < C_{32} = c o n s t < \infty .$

Из оценок (50) и (51) следует, что $| U (t, x, ε_{11}, ω, ν) - U (t, x, ε_{12}, ω, ν) |$ мало, если $| ε_{11} - ε_{12} |$ мало в области $\bar{Ω}$ при $(n_{1}, \dots, n_{m}, ω, ν) \in ℵ$ .

Аналогично доказывается, что решение $U (t, x, ω, ν)$ задачи (1)–(4) непрерывно зависит от второго малого параметра $ε_{2}$ и от заданных функций $φ_{1} (x)$ , $φ_{2} (x)$ .

5. Заключение и формулировка теоремы. В данной работе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи (1)–(4) для нагруженного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с операторами Герасимова–Капуто различных дробных порядков, спектральными параметрами и малым параметром при смешанных производных в многомерной прямоугольной области $Ω$ . Для $(n_{1}, \dots, n_{m}, ω, ν) \in ℵ$ доказаны некоторые утверждения при выполнении условий гладкости: пусть функции

$φ_{i} (x) \in C^{4} (Ω_{l}^{m}), f_{i} (x, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{i} (y) U (0, y) d y) \in C_{x}^{2} (Ω_{l}^{m} \times ℝ), i = 1,2,$

имеют кусочно непрерывные производные пятого порядка в области $Ω_{l}^{m}$ .

Сформулируем теорему доказанную в данной работе.

Теорема. Пусть выполняются условия гладкости. Тогда для всевозможных натуральных чисел $n_{1}, \dots, n_{m}$ и для всех регулярных значений параметров $ω$ и $ν$ из множества $ℵ$ граничная задача (1)–(4) однозначно разрешима в области $Ω$ , а её решение представляется в виде рядов Фурье (32) и (33) в соответствующих подобластях. Данное решение задачи (1)–(4) непрерывно зависит от заданных функций $φ_{1} (x)$ , $φ_{2} (x)$ . Кроме того, имеет место предельное равенство

$\underset{ε_{i} \to 0}{} U (t, x, ε_{1}, ε_{2}, ω, ν) = U (t, x,0,0, ω, ν), i = 1,2,$

где $U (t, x,0,0, ω, ν)$ — решение дробного интегро-дифференциального уравнения смешанного типа вида

$A_{0} (U) - B_{1, ω} (U) = \{\begin{cases} ν \int_{0}^{T} K_{1} (t, s) U (s, x) d s + F_{1} (t, x), t > 0, \\ ν \int_{- T}^{0} K_{2} (t, s) U (s, x) d s + F_{2} (t, x), t < 0, \end{cases}$

где

$A_{0} (U) = [{\frac{1 + sgn (t)}{2}}_{C} D_{0 t}^{α_{1}} + {\frac{1 - sgn (t)}{2}}_{C} D_{0 t}^{α_{2}}] U (t, x),$

$B_{1, ω} (U) = \{\begin{cases} \sum_{i = 1}^{m} (U_{x_{i} x_{i}} - U_{x_{i} x_{i} x_{i} x_{i}}), t > 0, \\ ω^{2} \sum_{i = 1}^{m} (U_{x_{i} x_{i}} - U_{x_{i} x_{i} x_{i} x_{i}}), t < 0, \end{cases}$

при граничных условиях (3) и (4),

$F_{i} (t, x) = k_{i} (t) f_{i} (x, \int_{Ω_{l}^{m}} Θ_{i} (y) U (0, y) d y), i = 1,2.$

About the authors

T. K. Yuldashev

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека

Author for correspondence.
Email: tursun.k.yuldashev@gmail.com
Russian Federation, Ташкент

E. T. Karimov

Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан

Email: erkinjon.karimov@mathinst.uz
Russian Federation, Ташкент

References

Абдуллаев О. Х. Нелокальная задача для нагруженного уравнения смешанного типа с интегральным оператором // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2016. – 20, № 2. – С. 220–240.
Абдуллаев О. Х. Об одной задаче для уравнения параболо-гиперболического типа с нелинейной нагруженной частью // Итоги науки и техн. Сер. Совр. мат. прилож. Темат. обз. – 2020. – 176. – С. 121–128.
Аттаев А. Х. Краевые задачи с характеристическими носителями для нагруженных вырождающихся гиперболических уравнений / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 1989.
Бозиев О. Л. Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типа / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 2000.
Борисов В. Н., Нахушев А. М. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложения к прогнозу уровня грунтовых вод // Диффер. уравн. – 1977. – 13, № 1. – С. 105–110.
Бородин A. B. Дифференцируемость по параметру решений нелинейно нагруженных краевых задач для уравнений в частных произволных второго порядка // Диффер. уравн. – 1979. – 15, № 1. – С. 18–26.
Гельфанд И. М. Некторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Усп. мат. наук. – 1959. – 14, № 3 (87). – С. 3–19.
Геккиева С. Х. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений с дробной производной по времени / Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. – Нальчик, 2003.
Дженалиев М. Т. К теории линейных краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. – Алматы: Гылым, 1995.
Зарубин А. Н. Краевая задача для дифференциально-разностного смешанно-составного уравнения с дробной производной, функциональным запаздыванием и опережением // Диффер. уравн. – 2019. – 55, № 2. – С. 217–226.
Казиев В. М. О задаче Дарбу для одного нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн. – 1978. – 14, № 1. – С. 181–185.
Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 6. – С. 840–853.
Нахушев A. M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Диффер. уравн. – 1976. – 12, № 1. – С. 103–108.
Нахушев A. M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Докл. АН СССР. – 1978. – 242, № 5. – С. 1008–1011.
Нахушев A. M. Краевые задачи для нагруженного интегро-дифференциального уравнения гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Диффер. уравн. – 1979. – 15, № 1. – С. 96–105.
Нахушев A. M. Нагруженные уравнения и их приложения // Диффер. уравн. –1983. – 19, № 1. – С. 86–94.
Репин О. А. Нелокальная задача с операторами Сайго для уравнения смешанного типа третьего порядка // Изв. вузов. Мат. – 2019. – 1. – С. 63–68.
Репин О. А. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с дробной производной // Изв. вузов. Мат. – 2018. – 8. – С. 46–51.
Уфлянд Я. С. О распространении колебаний в сложных электрических линиях // Инж.-физ. ж. – 1964. – 7, № 1. – С. 89–92.
Юлдашев Т. К. Нелокальная краевая задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Диффер. уравн. –2018. – 54, № 12. – С. 1687–1694.
Юлдашев Т. К. О разрешимости краевой задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром // Ж. вычисл. мат. мат. физ. – 2019. – 59, № 2. – С. 252–263.
Юлдашев Т. К. Спектральные особенности решений краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с отражением аргумента // Изв. Ин-та мат. информ. Удмурт. ун-та. – 2019. – 54. – С. 122–134.
Abdullaev O. Kh., Sadarangani K. Nonlocal problems with integral gluing condition for loaded mixed-type equations involving the Caputo fractional derivative // Electron. J. Differ. Equations. – 2016. – 164.
Agarwal P., Berdyshev A. S., Karimov E. T. Solvability of a nonlocal problem with integral transmitting condition for mixed type equation with Caputo fractional derivative // Results Math. – 2017. – 71, № 3. – P. 1235–1257.
Assanova A. T., Imanchiyev A. E., Kadirbayeva Zh. M. A nonlocal problem for loaded partial differential equations of fourth order // Вестн. Караганд. ун-та. Мат. – 2020. – № 1 (97). – С. 6–16.
Area I., Batarfi H., Losada J., Nieto J. J., Shammakh W., Torres A. On a fractional order Ebola epidemic model // Adv. Difference Equations. – 2015. – 278.
Hussain A., Baleanu D., Adeel M. Existence of solution and stability for the fractional order novel coronavirus (nCoV-2019) model // Adv. Difference Equations. – 2020. – 384.
Karimov E. T., Al-Salti N., Kerbal S. An inverse source non-local problem for a mixed-type equation with a Caputo fractional differential operator // East-Asian J. Appl. Math. – 2017. – 7, № 2. – P. 417–438.
Karimov E. T., Kerbal S., Al-Salti N. Inverse source problem for multi-term fractional mixed-type equation // in: Advances in Real and Complex Analysis with Applications. – Singapore: Springer Nature, 2017. – P. 289–301.
Kumar D., Baleanu D. Fractional calculus and its applications in physics // Front. Phys. 2019. – 7, № 6. – 81.
Mainardi F. Fractional calculus: Some basic problems in continuum and statistical mechanics // in: Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics (Carpinteri A., Mainardi F., eds.). – Wien: Springer, 1997.
Patnaik S., Hollkamp J. P., Semperlotti F. Applications of variable-order fractional operators: A review // Proc. Roy. Soc. A. – 2020. – 476. – 20190498.
Salakhitdinov M. S., Karimov E. T. Uniqueness of an inverse source non-local problem for fractional-order mixed-type equations // Eurasian Math. J. – 2016. – 7, № 1. – P. 74–83.
Samko S. G., Kilbas A. A., Marichev O. I. Fractional Integrals and Derivatives. Theory and Applications. – Yverdon: Gordon & Breach, 1993.
Sandev T., Tomovski Z. Fractional Equations and Models: Theory and Applications. – Cham, Switzerland: Springer Nature, 2019.
Saxena R. K., Garra R., Orsingher E. Analytical solution of space-time fractional telegraph-type equations involving Hilfer and Hadamard derivatives // Integral Transform. Spec. Funct. – 2016. – 21, № 1. – P. 30–42.
Sun H., Chang A., Zhang Y., Chen W. A review on variable-order fractional differential equations: Mathematical foundations, physical models, numerical methods, and applications // Fract. Calc. Appl. Anal. – 2019. – 22, № 1. – P. 27–59.
Tenreiro Machado J. A. Handbook of Fractional Calculus with Applications. – Berlin–Boston: De Gruyter, 2019.
Terlyga O., Bellout H., Bloom F. A hyperbolic-parabolic system arising in pulse combustion: Existence of solutions for the linearized problem // Electron. J. Differ. Equations. – 2013. – 46.
Ullah S., Khan M. A., Farooq M., Hammouch Z., Baleanu D. A fractional model for the dynamics of tuberculosis infection using Caputo–Fabrizio derivative // Discr. Cont. Dynam. Syst. Ser. S. – 2020. – 13, № 3. – P. 975–993.
Yuldashev T. K. On an integro-differential equation of pseudoparabolic-pseudohyperbolic type with degenerate kernels // Proc. Yerevan Univ. Phys. Mat. Sci. – 2018. – 52, № 1. – P. 19–26.
Yuldashev T. K. Nonlocal inverse problem for a pseudohyperbolic-pseudoelliptic type integro-differential equations // Axioms. – 2020. – 9, № 2. – 45.
Yuldashev T. K. On a boundary-value problem for Boussinesq-type nonlinear integro-differential equation with reflecting argument // Lobachevskii J. Math. – 2020. – 41, № 1. – P. 111–123.
Yuldashev T. K., Islomov B. I., Alikulov E. K. Boundary-value problems for loaded third-order parabolic-hyperbolic equations in infinite three-dimensional domains // Lobachevskii J. Math. – 2020. – 41, № 5. – P. 926–-944.
Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J. Boundary-value problem for weak nonlinear partial differential equations of mixed-type with fractional Hilfer operator // Axioms. – 2020. – 9, № 2. – 68.
Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J. Nonlocal problem for a mixed type fourth-order differential equation with Hilfer fractional operator // Ural Math. J. – 2020. – 6, № 1. – P. 153–167.

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

Username
Password
Remember me

Forgot password?	Register

Username
Password
Remember me

Forgot password?	Register