Об одном интегро-дифференциальном уравнении с дробным оператором Хильфера и нелинейными максимумами

Полный текст

1. Постановка задачи. В начале вводной части приведем операторы, которые будут использованы в данной статье. Пусть $(t_0;b)\subset {ℝ}^{+}\equiv [0;\infty )$ — конечный интервал на множестве положительных действительных чисел, $\alpha >0$. Дробный интеграл Римана–Лиувилля порядка $\alpha$ для функции $\eta \left(t\right)$ определяется следующим образом:

$I_{t_0+}^{\alpha }\eta \left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}\eta \left(s\right)ds,\alpha >\mathrm{0,}t\in (t_0;b),$

где $\Gamma \left(\alpha \right)$ — гамма-функция.

Пусть $n\in \mathbb{N}$, $n-1<\alpha \le n$. Дробная производная Римана–Лиувилля порядка $\alpha$ для функции $\eta \left(t\right)$ задается с помощью формулы

$D_{t_0+}^{\alpha }\eta \left(t\right)=\frac{d^n}{d{t}^n}{I}_{t_0+}^{n-\alpha }\eta \left(t\right),t\in (t_0;b).$

Дробная производная Герасимова–Капуто порядка $\alpha$ для функции $\eta \left(t\right)$ имеет следующий вид (см. [2, 12, 24, 26]):

${}_{*}{D}_{t_0+}^{\alpha }\eta \left(t\right)=I_{t_0+}^{n-\alpha }{\eta }^{\left(n\right)}\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma (n-\alpha )}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{\eta }^{\left(n\right)}\left(s\right)ds}{{(t-s)}^{\alpha -n+1}},t\in (t_0;b).$

Такие производные дробного порядка сводятся к следующим производным порядка $\alpha =n\in \mathbb{N}$:

$D_{t_0+}^n\eta \left(t\right){=}_{*}{D}_{t_0+}^n\eta \left(t\right)=\frac{d^n}{d{t}^n}\eta \left(t\right),t\in (t_0;b).$

Дробная производная Хильфера порядка $\alpha$ ($n-1<\alpha \le n$, $n\in \mathbb{N}$) и типа $\beta$ ($0\le \beta \le 1$) определяется как композиция трех операторов:

$D_{t_0+}^{\alpha ,\beta }\eta \left(t\right)=I_{t_0+}^{\beta (n-\alpha )}\frac{d^n}{d{t}^n}{I}_{t_0+}^{(1-\beta )(n-\alpha )}\eta \left(t\right),t\in (t_0;b).$

При $\beta =0$ этот оператор сводится к дробной производной Римана–Лиувилля $D_{t_0+}^{\alpha \mathrm{,0}}=D_{t_0+}^{\alpha }$. Случай $\beta =1$ соответствует дробной производной Герасимова–Капуто $D_{t_0+}^{\alpha \mathrm{,1}}{=}_{*}{D}_{t_0+}^{\alpha }$. Пусть $\gamma =\alpha +\beta n-\alpha \beta$. Тогда нетрудно убедиться, что $\alpha \le \gamma \le n$. Поэтому для оператора удобно использовать другое обозначение $D^{\alpha ,\gamma }\eta \left(t\right)=D_{t_0+}^{\alpha ,\beta }\eta \left(t\right)$. Обобщенный оператор Римана–Лиувилля был введен Р. Хильфером на основе эволюции дробного времени, возникающей при переходе от микроскопического масштаба времени к макроскопическому (см. [10, 13]). Используя интегральные преобразования, он исследовал задачу Коши для обобщенного уравнения диффузии, решение которой представлено в виде функции Фокса $H$. Отметим работы [14, 15], в которых обобщенный оператор Римана–Лиувилля использовался для исследования диэлектрической релаксации в стеклообразующих жидкостях различного химического состава. В [16] свойства обобщенного оператора Римана–Лиувилля были исследованы в специальном функциональном пространстве, и был разработан операционный метод решения дробных дифференциальных уравнений с таким оператором. Основываясь на результатах работы [16], авторы [20] разработали операционный метод решения дробно-дифференциальных уравнений, содержащий конечную линейную комбинацию обобщенных операторов Римана–Лиувилля с различными параметрами.

Дробное исчисление играет важную роль в математическом моделировании во многих научных и технических дисциплинах (см. [27]). Например, в [22] рассматриваются задачи сплошной среды и статистической механики. В [11] анализируются математические проблемы модели эпидемии лихорадки Эболы. В [17] и [31] изучаются фракционные модели динамики туберкулезной инфекции и нового коронавируса (nCoV-2019) соответственно. Построение различных моделей теоретической физики с помощью дробного исчисления описано в [13, тт. 4, 5] и [21, 30]. Конкретная интерпретация дробной производной Хильфера, описывающей случайное движение частицы, движущейся по действительной прямой с временами шага Пуассона с конечной скоростью, дается в [29]. Подробный обзор применения дробного исчисления при решении задач прикладных наук приведен в [13, тт. 6-8] и [25]. Более подробную информацию, относящуюся к теории дробного интегро-дифференцирования, включая дробную производную Хильфера, можно найти в монографии [28]. В [32] аналитическим методом исследуется однозначная разрешимость краевой задачи для слабых нелинейных уравнений в частных производных смешанного типа с дробным оператором Хильфера. В [33] изучается разрешимость нелокальной задачи для дифференциального уравнения смешанного типа четвертого порядка с дробным оператором Хильфера. В [34] рассматривается обратная задача для интегро-дифференциального уравнения смешанного типа с операторами Герасимова–Капуто дробного порядка. Интересные результаты получены также в [3, 8, 9, 18].

В настоящей статье рассматриваются вопросы однозначной разрешимости дробного интегро-дифференциального уравнения типа Хильфера с вырожденным ядром и нелинейными максимумами. Уравнение будем решать при заданных начальных условиях. Отметим, что дифференциальные уравнения с максимумами играют важную роль в решении задач управления продажей товаров и инвестициями производственных компаний в рыночной экономике (см. [7]). В [4] обоснована актуальность теоретического исследования дифференциальных уравнений с максимумами. Появление интегрального члена в дифференциальном уравнении имеет приложения в теории автоматического регулирования динамическими системами (см. [5, 6]).

Рассмотрим интегро-дифференциальное уравнение с дробным оператором типа Хильфера на интервале $(t_0;T)$:

$D^{\alpha ,\gamma }x\left(t\right)+\omega x\left(t\right)=\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}K(t,s)x\left(s\right)ds+f(t,x(t),\max \{x\left(\theta \right)|\theta \in [q_1\left(t\right);q_2\left(t\right)\left]\right\})$ (1)

с начальными условиями

$\underset{t\to +t_0}{}{J}_{t_0+}^{2-\gamma }x\left(t\right)={\phi }_0,\underset{t\to +t_0}{}\frac{d}{dt}{J}_{t_0+}^{2-\gamma }x\left(t\right)={\phi }_1,x\left(t\right)={\phi }_2\left(t\right),t\notin (t_0,T),$ (2)

 где $f(t,u,\vartheta )\in C\left(\Omega \right)$, ${\phi }_2\left(t\right)\in C\left(\right[0;t_0]\cup [T;\infty \left)\right)$, $0<\omega$ — действительный параметр, ${\phi }_0,{\phi }_1=const$, $\Omega \equiv [t_0;T]\times \mathbb{X}\times \mathbb{X}$, $0\le t_0$, $\mathbb{X}\subset ℝ\equiv (-\infty ;\infty )$, $q_i\left(t\right)=q_i(t,x(t\left)\right)\in C\left(\right[t_0;T]\times \mathbb{X})$, $i=\mathrm{1,2}$, $\mathbb{X}$ — замкнутое множество. Здесь

$D^{\alpha ,\gamma }=J_{t_0+}^{\gamma -\alpha }\frac{d^2}{d{t}^2}{J}_{t_0+}^{2-\gamma },1<\alpha \le \mathrm{2,}\gamma =\alpha +2\beta -\alpha \beta ,\alpha <\gamma \le 2.$

В данной работе рассмотрим простой случай вырожденного ядра: $K(t,s)=t\cdot s$. Положим $0<q_1<q_2<\infty$. Здесь возможны следующие три случая:

(i) $0<q_1<q_2<1$;

(ii) $0<q_1<1$, $1<q_2<\infty$;

(iii) $1<q_1<q_2<\infty$.

2. Сведение задачи к интегральному уравнению.

Лемма. Решение интегро-дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2) представляется следующим образом:

$x\left(t\right)={\phi }_0{(t-t_0)}^{\gamma -2}{E}_{\alpha ,\gamma -1}\left(\omega {(t-t_0)}^{\alpha }\right)+{\phi }_1{(t-t_0)}^{\gamma -1}{E}_{\alpha ,\gamma }\left(\omega {(t-t_0)}^{\alpha }\right)+$

$+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega {(t-s)}^{\alpha })[\chi \cdot s+f(s,x\left(s\right),\max \left\{x\right(\theta \left)\right|\theta \in \left[q_1\right(s);q_2(s\left)\right]\left\}\right)]ds,$ (3)

где $E_{\alpha ,\gamma }\left(z\right)$ — функция Миттаг-Леффлера, имеющая вид

$E_{\alpha ,\gamma }\left(z\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{z^k}{\Gamma (\alpha k+\gamma )},z,\alpha ,\gamma \in (0;\infty )$

(см. [13, т. 1, с. 269-295]),

$q_i\left(t\right)=q_i(t,x(t\left)\right),i=\mathrm{1,2,}\chi =\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\xi x\left(\xi \right)d\xi .$ (4)

Доказательство. Перепишем интегро-дифференциальное уравнение (1) в виде

$J_{t_0+}^{\gamma -\alpha }{D}_{t_0+}^{\gamma }x\left(t\right)=-\omega x\left(t\right)+f(t,\cdot ),$

где $f(t,\cdot )=f(t,x(t),\max \{x\left(\theta \right)|\theta \in [q_1\left(t\right);q_2\left(t\right)\left]\right\})$. Применяя оператор $J_{t_0+}^{\alpha }$ к обеим частям этого уравнения с учетом линейности данного оператора и формулы

$J_{t_0+}^{\delta }{D}_{t_0+}^{\delta }u\left(t\right)=u\left(t\right)-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{{(t-t_0)}^{\delta +k-n}}{\Gamma (\delta +k+1-n)}\underset{t\to t_0+}{}\frac{d^k}{d{t}^k}{J}_{t\to t_0+}^{n-\delta }u\left(t\right),\delta \in (n-1;n]$

(см. [20]), получаем, что

$x\left(t\right)=-\omega J_{t_0+}^{\alpha }x\left(t\right)\frac{{\phi }_0}{\Gamma (\gamma -1)}{(t-t_0)}^{\gamma -2}+\frac{{\phi }_1}{\Gamma \left(\gamma \right)}{(t-t_0)}^{\gamma -1}+J_{t_0+}^{\alpha }f(t,\cdot ).$ (5)

 Используя лемму из [1], представим решение уравнения (5) в виде

$u\left(t\right)=\frac{{\phi }_0}{\Gamma (\gamma -1)}{(t-t_0)}^{\gamma -2}+\frac{{\phi }_1}{\Gamma \left(\gamma \right)}{(t-t_0)}^{\gamma -1}+J_{t_0+}^{\alpha }f(t,\cdot )-$

$-\omega \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })\left[\frac{{\phi }_0}{\Gamma (\gamma -1)}{(s-t_0)}^{\gamma -2}+\frac{{\phi }_1}{\Gamma \left(\gamma \right)}{(s-t_0)}^{\gamma -1}+J_{t_0+}^{\alpha }f(s,\cdot )\right]ds.$ (6)

 Перепишем представление (6) как сумму двух выражений:

$\begin{array}{c}{I}_1\left(t\right)=\frac{{\phi }_0}{\Gamma (\gamma -1)}\left[{(t-t_0)}^{\gamma -2}-\omega \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha }){(s-t_0)}^{\gamma -2}ds\right]+\\ +\frac{{\phi }_1}{\Gamma \left(\gamma \right)}\left[{(t-t_0)}^{\gamma -1}-\omega \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha }){(s-t_0)}^{\gamma -1}ds\right],\end{array}$ (7)

$I_2\left(t\right)=J_{t_0+}^{\alpha }f(t,\cdot )-\omega \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })J_{t_0+}^{\alpha }f(s,\cdot )ds.$ (8)

Применим следующие представления (см. [13, т. 1, с. 269-295]):

$E_{\alpha ,\mu }\left(z\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\mu \right)}+z\cdot E_{\alpha ,\mu +\alpha }\left(t\right),\alpha >\mathrm{0,}\mu >\mathrm{0,}$ (9)

$\frac{1}{\Gamma \left(\nu \right)}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{(z-t)}^{\nu -1}{E}_{\alpha ,\beta }\left(\lambda t^{\alpha }\right)t^{\beta -1}dt=z^{\beta +\nu -1}\cdot E_{\alpha ,\beta +\nu }\left(\lambda z^{\alpha }\right),\nu >\mathrm{0,}\beta >0.$ (10)

Тогда для интеграла (7) получаем представление

$I_1\left(t\right)={\phi }_0\cdot {(t-t_0)}^{\gamma -2}{E}_{\alpha ,\gamma -1}(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha })+{\phi }_1\cdot {(t-t_0)}^{\gamma -1}{E}_{\alpha ,\gamma }(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha }).$ (11)

Интеграл в формуле (8) легко преобразуется к следующему виду:

 $\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-\xi )}^{\alpha })J_{t_0+}^{\alpha }f(\xi ,\cdot )d\xi =$

$=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-\xi )}^{\alpha })d\xi \underset{t_0}{\overset{\xi }{\int }}{(\xi -s)}^{\alpha -1}f(s,\cdot )ds=$

$=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}f(s,\cdot )ds\underset{s}{\overset{t}{\int }}{(t-\xi )}^{\alpha -1}{(\xi -s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-\xi )}^{\alpha })d\xi .$ (12)

С учетом представления (10) второй интеграл в последнем равенстве (12) можно записать так:

$\underset{s}{\overset{t}{\int }}{(t-\xi )}^{\alpha -1}{(\xi -s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-\xi )}^{\alpha })d\xi =\Gamma \left(\alpha \right){(t-\xi )}^{2\alpha -1}{E}_{\alpha \mathrm{,2}\alpha }(-\omega \cdot {(t-\xi )}^{\alpha }).$

Тогда с учетом формулы (9) представим (8) в следующем виде:

$I_2\left(t\right)=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-\xi )}^{\alpha })f(\xi ,\cdot )d\xi .$ (13)

Подставляя представления (11) и (13) в сумму $x\left(t\right)=I_1\left(t\right)+I_2\left(t\right)$, получаем (3).

Интегральное уравнение (3) подставим в (4):

$\chi ={\sigma }_1+\chi \cdot {\sigma }_2+$

$+\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}s\underset{t_0}{\overset{s}{\int }}{(s-\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(s-\xi )}^{\alpha })f(\xi ,x(\xi ),\max \{x\left(\theta \right)|\theta \in [q_1\left(\xi \right);q_2\left(\xi \right)\left]\right\})d\xi ds,$ (14)

где

 ${\sigma }_1=\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}s\cdot P_1\left(s\right)ds,q_i\left(t\right)=q_i(t,x(t\left)\right),i=\mathrm{1,2,}$

$P_1\left(t\right)={\phi }_0\cdot {(t-t_0)}^{\gamma -2}{E}_{\alpha ,\gamma -1}(\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha })+{\phi }_1\cdot {(t-t_0)}^{\gamma -1}{E}_{\alpha ,\gamma }(\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha }),$ (15)

${\sigma }_2=\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}s\underset{t_0}{\overset{s}{\int }}\xi \cdot {(s-\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(s-\xi )}^{\alpha })d\xi ds\ne 1.$ (16)

Если выполняется условие (16), то из представления (14) получаем

 $\chi =\frac{{\sigma }_1}{1-{\sigma }_2}+\frac{1}{1-{\sigma }_2}\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}s\underset{t_0}{\overset{s}{\int }}{(s-\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(s-\xi )}^{\alpha })\times$

$\times f(\xi ,x(\xi ),\max \{x\left(\theta \right)|\theta \in [q_1\left(\xi \right);q_2\left(\xi \right)\left]\right\})d\xi ds,$ (17)

где $q_i\left(t\right)=q_i(t,x(t\left)\right)$, $i=\mathrm{1,2}$. Подставляя представление (17) в интегральное уравнение (3), получаем

 $x\left(t\right)=G\left(t\right)+\frac{1}{1-{\sigma }_2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}s{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })\times$

$\times \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\zeta \underset{t_0}{\overset{\zeta }{\int }}{(\zeta -\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(\zeta -\xi )}^{\alpha })f(\xi ,x(\xi ),\max \{x\left(\theta \right)|\theta \in [q_1\left(\xi \right);q_2\left(\xi \right)\left]\right\})d\xi d\zeta ds+$

$+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega {(t-s)}^{\alpha })f(s,x(s),\max \{x\left(\theta \right)|\theta \in [q_1\left(s\right);q_2\left(s\right)\left]\right\})ds,$ (18)

где

$G\left(t\right)=P_1\left(t\right)+\frac{{\sigma }_1}{1-{\sigma }_2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}s{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })ds,q_i\left(t\right)=q_i(t,x(t\left)\right),i=\mathrm{1,2}$

и $P_1\left(t\right)$ определяется из формулы (15).

Вместо интегрального уравнения (18) исследуются вопросы однозначной разрешимости следующего интегрального уравнения на отрезке $[t_0;T]$:

$x(t,\omega ){(t-t_0)}^{2-\gamma }=\Im (t;x,\omega )\equiv G(t,\omega ){(t-t_0)}^{2-\gamma }+$

$+\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{1-{\sigma }_2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}s{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\zeta \underset{t_0}{\overset{\zeta }{\int }}{(\zeta -\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(\zeta -\xi )}^{\alpha })\times$

$\times f(\xi ,x(\xi ,\omega ),\max \{x(\theta ,\omega )|\theta \in [q_1(\xi ,x(\xi ,\omega \left)\right);q_2(\xi ,x(\xi ,\omega \left)\right)\left]\right\})d\xi d\zeta ds+$

$+\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{{(t-s)}^{1-\alpha }}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })\times$

$\times f(s,x(s,\omega ),\max \{x(\theta ,\omega )|\theta \in [q_1(s,x(s,\omega \left)\right);q_2(s,x(s,\omega \left)\right)\left]\right\})ds,$ (19)

который не имеет особенностей в точке $t=t_0$.

Для доказательства однозначной разрешимости нелинейного функционально-интегрального уравнения (19) воспользуемся пространством непрерывных функций $C[t_0;T]$ с нормой

 $\parallel x\left(t\right)\parallel =\underset{t_0\le t\le T}{}\left|x\right(t\left)\right|.$

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

 $\left(i\right)\max \left\{\underset{t\notin (t_0;T)}{}\right|{\phi }_2\left(t\right)|;\underset{t_0\le t\le T}{}|f(t,x,y)\left|\right\}\le M_0=const<\infty ;$

 $\left(ii\right)\left|f\right(t,x_1,y_1)-f(t,x_2,y_2\left)\right|\le L_0\left(\right|x_1-x_2|+|y_1-y_2\left|\right),0<L_0=const<\infty ;$

 $\left(iii\right)\left|q_i\right(t,x_1)-q_i(t,x_2\left)\right|\le L_{0i}|x_1-x_2|,0<L_{0i}=const<\infty ,i=\mathrm{1,2};$

$\left(iv\right)\rho =L_0{M}_3(2+M_0(L_{01}+L_{02}\left)\right)\underset{t_0\le t\le T}{}\left[\frac{k_0{M}_3}{|1-{\sigma }_2|}\frac{{(t-t_0)}^{\alpha +1}}{\alpha (\alpha +1)}+\frac{{(t-t_0)}^{\alpha }}{\alpha }\right]<\mathrm{1,}$

 где

 $k_0=\frac{{(T-t_0)}^{\alpha +2}}{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)},M_3\ge \underset{t_0\le t\le T}{}\left|E_{\alpha ,\alpha }\right(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha }\left)\right|.$

Тогда существует единственное решение начальной задачи (1), (2) в пространстве непрерывных функций $C(t_0;T)$. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений:

$\left\{\begin{array}{ll}& {(t-t_0)}^{2-\gamma }{x}_0(t,\omega )={(t-t_0)}^{2-\gamma }G(t,\omega ),\\ & {(t-t_0)}^{2-\gamma }{x}_{k+1}(t,\omega )=\Im (t;x_k),k=\mathrm{0,1,2,}\dots ,\end{array}\right.$ (20)

 где

$G(t,\omega )={\phi }_0\cdot {(t-t_0)}^{\gamma -2}{E}_{\alpha ,\gamma -1}(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha })+{\phi }_1\cdot {(t-t_0)}^{\gamma -1}{E}_{\alpha ,\gamma }(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha })+$

$+\frac{{\sigma }_1}{1-{\sigma }_2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}s{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })ds.$

Доказательство. Функция Миттаг-Леффлера $E_{\alpha ,\gamma }\left(z\right)$ обладает следующим свойством (см. [23]). Предположим, что $0<\alpha <2$, $\gamma$ — действительная постоянная $\arg z=\pi$. Тогда имеет место оценка

$\left|E_{\alpha ,\gamma }\right(z\left)\right|\le \frac{C_0}{1+\left|z\right|},$

где $0<C_0=const$. Нетрудно видеть, что из приближений (20) для уравнения (19) получаем следующую оценку:

$\parallel {(t-t_0)}^{2-\gamma }{x}_0(t,\omega )\parallel \le \underset{t_0\le t\le T}{}\left|{\phi }_0{E}_{\alpha ,\gamma -1}\right(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha }\left)\right|+$

$+\underset{t_0\le t\le T}{}|{\phi }_1\cdot (t-t_0\left)E_{\alpha ,\gamma }\right(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha }\left)\right|+\underset{t_0\le t\le T}{}\left|\frac{{\sigma }_1}{1-{\sigma }_2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }s}{{(t-s)}^{1-\alpha }}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })ds\right|\le$

$\le \left|{\phi }_0\right|M_1+\underset{t_0\le t\le T}{}\left[\left|{\phi }_1\right|(t-t_0)M_2+{\sigma }_0\cdot M_3\frac{{(t-t_0)}^{3+\alpha -\gamma }}{\alpha (\alpha +1)}\right],$ (21)

 где

$0<\underset{t_0\le t\le T}{}\left|E_{\alpha ,\gamma -1}\right(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha }\left)\right|\le M_1,0<\underset{t_0\le t\le T}{}\left|E_{\alpha ,\gamma }\right(-\omega \cdot {(t-t_0)}^{\alpha }\left)\right|\le M_2,$

${\sigma }_0=\left|\frac{{\sigma }_1}{1-{\sigma }_2}\right|,0<\underset{t_0\pounds t\pounds T}{}\left|E_{\alpha ,\alpha }\right(-\omega \times {(t-t_0)}^{\alpha }\left)\right|\pounds M_3,M_i=const,i=\mathrm{1,2,3.}$

В силу первого условия теоремы и оценки (21) из приближений (20) получаем

$\parallel x_1(t,\omega )-x_0(t,\omega )\parallel \le$

$\le \underset{t_0\le t\le T}{}\left|\frac{1}{1-{\sigma }_2}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{s}{{(t-s)}^{1-\alpha }}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })\underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\zeta \underset{t_0}{\overset{\zeta }{\int }}{(\zeta -\xi )}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(\zeta -\xi )}^{\alpha })f_{0}d\xi d\zeta ds\right|+$

$+\underset{t_0\le t\le T}{}\left|\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}{(t-s)}^{\alpha -1}{E}_{\alpha ,\alpha }(-\omega \cdot {(t-s)}^{\alpha })f_{0}ds\right|\le$

$\le M_0{M}_3\underset{t_0\le t\le T}{}\left[\frac{k_0{M}_3}{|1-{\sigma }_2|}\frac{{(t-t_0)}^{\alpha +1}}{\alpha (\alpha +1)}+\frac{{(t-t_0)}^{\alpha }}{\alpha }\right],$ (22)

где

$k_0=\frac{{(T-t_0)}^{\alpha +2}}{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)},f_0=f(s,x_0(s,\omega ),\max \{x_0(\theta ,\omega )|\theta \in [q_1(s,x_0(s,\omega \left)\right);q_2(s,x_0(s,\omega \left)\right)\left]\right\}).$

Продолжим итерационный процесс Пикара для интегрального уравнения (19) в соответствии с приближениями (20). Тогда в силу условий теоремы и с учетом оценки (22) для произвольных натуральных чисел $k$ получаем:

$\parallel x_{k+1}(t,\omega )-x_k(t,\omega )\parallel \le \underset{t_0\le t\le T}{}\left[\frac{k_0{\left(M_3\right)}^2}{|1-{\sigma }_2|}\frac{{(t-t_0)}^{\alpha +1}}{\alpha (\alpha +1)}+M_3\frac{{(t-t_0)}^{\alpha }}{\alpha }\right]\times$

 $\times Pf(t,x_k(t,\omega ),\max \{x_k(\theta ,\omega )\left|\theta Î\right[q_1(t,x_k(t,\omega \left)\right);q_2(t,x_k(t,\omega \left)\right)\left]\right\})-$

$-f(t,x_{k-1}(t,\omega ),\max \{x_{k-1}(\theta ,\omega )|\theta \in [q_1(t,x_{k-1}(t,\omega \left)\right);q_2(t,x_{k-1}(t,\omega \left)\right)\left]\right\})\parallel \le$

 $\le L_0{M}_3\underset{t_0\le t\le T}{}\left[\frac{k_0{M}_3}{|1-{\sigma }_2|}\frac{{(t-t_0)}^{\alpha +1}}{\alpha (\alpha +1)}+\frac{{(t-t_0)}^{\alpha }}{\alpha }\right][\parallel x_k(t,\omega )-x_{k-1}(t,\omega )\parallel +$

$+\parallel \max \left\{x_k\right(\theta ,\omega \left)\right|\theta \in \left[q_1\right(t,x_k(t,\omega ));q_2(t,x_k(t,\omega )\left)\right]\}-$

$-\max \left\{x_{k-1}\right(\theta ,\omega \left)\right|\theta \in \left[q_1\right(t,x_k(t,\omega ));q_2(t,x_k(t,\omega )\left)\right]\}\parallel +$

$+\parallel \max \left\{x_{k-1}\right(\theta ,\omega \left)\right|\theta \in \left[q_1\right(t,x_k(s,\omega ));q_2(t,x_k(s,\omega )\left)\right]\}-$

$-\max \left\{x_{k-1}\right(\theta ,\omega \left)\right|\theta \in \left[q_1\right(t,x_{k-1}(t,\omega ));q_2(t,x_{k-1}(t,\omega )\left)\right]\}\parallel ]\le$

 $\le L_0{M}_3\underset{t_0\le t\le T}{}\left[\frac{k_0{M}_3}{|1-{\sigma }_2|}\frac{{(t-t_0)}^{\alpha +1}}{\alpha (\alpha +1)}+\frac{{(t-t_0)}^{\alpha }}{\alpha }\right][2\parallel x_k(t,\omega )-x_{k-1}(t,\omega )\parallel +$

$+M_0\left(\right|q_1(t,x_k(t,\omega \left)\right)-q_1(t,x_{k-1}(t,\omega \left)\right)|+|q_2(t,x_k(t,\omega \left)\right)-q_2(t,x_{k-1}(t,\omega \left)\right)\left|\right)]\le$

 $\le \rho \cdot \parallel x_k(t,\omega )-x_{k-1}(t,\omega )\parallel ,$ (23)

 где

$\rho =L_0{M}_3(2+M_0(L_{01}+L_{02}\left)\right)\underset{t_0\le t\le T}{max}\left[\frac{k_0{M}_3}{|1-{\sigma }_2|}\frac{{(t-t_0)}^{\alpha +1}}{\alpha (\alpha +1)}+\frac{{(t-t_0)}^{\alpha }}{\alpha }\right].$

Согласно последнему условию теоремы имеем $\rho <1$. Рассматриваем решение интегрального уравнения (19) в пространстве непрерывных функций $C[t_0;T]$. Из оценок (21)–(23) следует, что интегральное уравнение (19) имеет единственное решение на отрезке $[t_0;T]$. Отсюда вытекает существование и единственность решения задачи (1), (2) на интервале $(t_0;T)$. Теорема 1 доказана.

3. Непрерывная зависимость решения от параметра $\omega$ и от начальных данных ${\phi }_0$ и ${\phi }_1$. Теперь покажем, что решение $x(t,\omega )$ начальной задачи для дробно-дифференциального уравнения (1) устойчиво относительно заданного параметра $\omega$.

Теорема 2. Предположим, что выполняются все условия теоремы 1. Тогда решение задачи (1), (2) на интервале $(t_0;T)$ является непрерывным по заданному параметру $\omega$.

Доказательство. Пусть $x(t,{\omega }_1)$ и $x(t,{\omega }_2)$ — два разных решения интегрального уравнения (19), соответствующие двум различным значениям параметра ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$. Предположим, что $|{\omega }_1-{\omega }_2|<\delta$, где $0<\delta$ — достаточно малое число.

В доказательстве этой теоремы воспользуемся следующими оценками:

$\underset{t_0\le t\le T}{}\left|E_{\alpha ,\alpha }\right(-{\omega }_1{(t-s)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2{(t-s)}^{\alpha }\left)\right|\le M_{41}|{\omega }_1-{\omega }_2|,0<M_{41}=const;$ (24)

$\underset{t_0\le t\le T}{}\left|E_{\alpha ,\gamma -1}\right(-{\omega }_1{(t-s)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\gamma -1}(-{\omega }_2{(t-s)}^{\alpha }\left)\right|\le M_{42}|{\omega }_1-{\omega }_2|,0<M_{42}=const;$ (25)

$\underset{t_0\le t\le T}{}\left|E_{\alpha ,\gamma }\right(-{\omega }_1{(t-s)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\gamma }(-{\omega }_2{(t-s)}^{\alpha }\left)\right|\le M_{43}|{\omega }_1-{\omega }_2|,0<M_{43}=const.$ (26)

Тогда из интегрального уравнения (19) получаем оценку

$\parallel {(t-t_0)}^{2-\gamma }\left(x\right(t,{\omega }_1)-x(t,{\omega }_2\left)\right)\parallel \le \left|{\phi }_0\right|\parallel E_{\alpha ,\gamma -1}(-{\omega }_1\cdot {(t-t_0)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\gamma -1}(-{\omega }_2\cdot {(t-t_0)}^{\alpha })\parallel +$

$+|{\phi }_1\cdot (T-t_0\left)\right|\parallel E_{\alpha ,\gamma }(-{\omega }_1\cdot {(t-t_0)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\gamma }(-{\omega }_2\cdot {(t-t_0)}^{\alpha })\parallel +$

$+\left|\frac{{\sigma }_1}{1-{\sigma }_2}\right|\underset{t_0\le t\le T}{}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }s}{{(t-s)}^{1-\alpha }}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_1\cdot {(t-s)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(t-s)}^{\alpha })\parallel ds+$

$+\underset{t_0\le t\le T}{}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{|1-{\sigma }_2|}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}s{(t-s)}^{\alpha -1}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_1\cdot {(t-s)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(t-s)}^{\alpha })\parallel \times$

$\times \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\zeta \underset{t_0}{\overset{\zeta }{\int }}{(\zeta -\xi )}^{\alpha -1}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_1\cdot {(\zeta -\xi )}^{\alpha })\parallel \times$

$\times \parallel f(\xi ,x(\xi ,{\omega }_1),\max \{x(\theta ,{\omega }_1)|\theta \in [q_1(\xi ,x(\xi ,{\omega }_1\left)\right);q_2(\xi ,x(\xi ,{\omega }_1\left)\right)\left]\right\})\parallel d\xi d\zeta ds+$

$+\underset{t_0\le t\le T}{}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{|1-{\sigma }_2|}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}s{(t-s)}^{\alpha -1}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(t-s)}^{\alpha })\parallel \times$

$\times \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\zeta \underset{t_0}{\overset{\zeta }{\int }}{(\zeta -\xi )}^{\alpha -1}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_1\cdot {(\zeta -\xi )}^{\alpha })-E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(\zeta -\xi )}^{\alpha })\parallel \times$

$\times \parallel f(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2),\max \{x(\theta ,{\omega }_2)|\theta \in [q_1(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2\left)\right);q_2(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2\left)\right)\left]\right\})\parallel d\xi d\zeta ds+$

$+\underset{t_0\le t\le T}{}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{|1-{\sigma }_2|}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}s{(t-s)}^{\alpha -1}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(t-s)}^{\alpha })\parallel \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}\zeta \underset{t_0}{\overset{\zeta }{\int }}{(\zeta -\xi )}^{\alpha -1}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(\zeta -\xi )}^{\alpha })\parallel \times$

 $\times \parallel f(\xi ,x(\xi ,{\omega }_1),\max \{x(\theta ,{\omega }_1)|\theta \in [q_1(\xi ,x(\xi ,{\omega }_1\left)\right);q_2(\xi ,x(\xi ,{\omega }_1\left)\right)\left]\right\})-$

 $-f(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2),\max \{x(\theta ,{\omega }_2)|\theta \in [q_1(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2\left)\right);q_2(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2\left)\right)\left]\right\})\parallel d\xi d\zeta ds+$

$+\underset{t_0\le t\le T}{}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{{(t-s)}^{1-\alpha }}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_1\cdot {(t-s)}^{\alpha })-E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(t-s)}^{\alpha })\parallel \times$

 $\times \parallel f(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2),\max \{x(\theta ,{\omega }_2)|\theta \in [q_1(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2\left)\right);q_2(\xi ,x(\xi ,{\omega }_2\left)\right)\left]\right\})\parallel ds+$

 $+\underset{t_0\le t\le T}{}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{{(t-s)}^{1-\alpha }}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(t-s)}^{\alpha })\parallel \times$

$+\underset{t_0\le t\le T}{}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }}{{(t-s)}^{1-\alpha }}\parallel E_{\alpha ,\alpha }(-{\omega }_2\cdot {(t-s)}^{\alpha })\parallel \times$

$-f(s,x(s,{\omega }_2),\max \{x(\theta ,{\omega }_2)|\theta \in [q_1(s,x(s,{\omega }_2\left)\right);q_2(s,x(s,{\omega }_2\left)\right)\left]\right\})\parallel ds.$ (27)

В силу условий теоремы 1 и оценок (24)–(26) аналогично оценке (23) из (27) получаем

$\parallel {(t-t_0)}^{2-\gamma }\left(x\right(t,{\omega }_1)-x(t,{\omega }_2\left)\right)\parallel \le \left|{\phi }_0\right|M_{42}\cdot |{\omega }_1-{\omega }_2|+|{\phi }_1\cdot (T-t_0\left)\right|M_{43}\cdot |{\omega }_1-{\omega }_2|+$

$+(M_0+|{\sigma }_0\left|\right)M_{41}\cdot |{\omega }_1-{\omega }_2|\underset{t_0\le t\le T}{}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }s}{{(t-s)}^{1-\alpha }}ds+$

$+(M_0+|{\sigma }_0\left|\right)M_{41}\cdot |{\omega }_1-{\omega }_2|\underset{t_0\le t\le T}{}\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}\frac{{(t-t_0)}^{2-\gamma }s}{{(t-s)}^{1-\alpha }}ds+$