Linear conjugation problem for the Cauchy–Riemann equation with a strong singularity in the lowest coefficient in a domain with piecewise smooth boundary

Abstract

In this work, a general solution of the Cauchy–Riemann equation with strong singularities in the lowest coefficient is constructed and the boundary-value problem of linear conjugation in a domain with a piecewise smooth boundary is examined.

Full Text

1. Интегральные представления решений в конечной области.

Пусть односвязная область $D^{+}$ ограничена простым кусочно гладким ляпуновским контуром $\Gamma$, составленным из гладких дуг ${\Gamma }_1\mathrm{,}{\Gamma }_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\Gamma }_m$ и ориентированным против часовой стрелки. Множество ${\tau }_1\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\tau }_m$ концов этих дуг обозначим $F$. Для определенности пусть $0\in D^{+}$ и $D_0^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{D}^{+}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$, $D_{\epsilon }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{D}^{+}\cap \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}\epsilon \mathrm{<mo>\}</mo>}$ при $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$, а область $D^{-}\mathrm{<mo>=</mo>}ℂ\backslash \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}^{+}\cup \Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ содержит бесконечно удаленную точку $z\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$.

Рассмотрим в области $D_0^{+}$ уравнение

$\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}-\frac{a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$                                           (1)

с коэффициентом $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\backslash D_{\epsilon }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C\left(\overline{D^{+}}\right)$, где $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$, $n\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ целая часть $\alpha$, причем $2{\partial }_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x+i{\partial }_y$, и функция $f$ принадлежит $L_{loc}^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$, т.е. $L_{loc}^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}f\mathrm{<mo>:</mo>}f\in L_{loc}^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_{\epsilon }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для любого $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$. В дальнейшем также воспользуемся классом $W_{loc}^{\mathrm{1,}p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}f\mathrm{<mo>:</mo>}f\in W_{loc}^{\mathrm{1,}p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_{\epsilon }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для любого $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$.

Следуя [9], обозначим $C_{\lambda }\left(\overline{D^{+}}\mathrm{,0}\right)$, где $\lambda \mathrm{<mo><</mo>0}$, пространство всех непрерывных в $\overline{D^{+}}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$ функций $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с точечной особенностью $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и c поведением $O\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\lambda }\right)$ при $z\to 0$. Это пространство снабжается нормой $\parallel \phi \parallel z \underset{\mathrm{z}\in \mathrm{D}}{\sup }{}^{-\lambda }\phi z$ относительно которой оно является банаховым.

Классическая теория И. Н. Векуа (см. [2]) обобщенных аналитических функций охватывает случай, когда коэффициенты уравнения

$\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}+au+b\overline{u}\mathrm{<mo>=</mo>}f$

принадлежат пространству $L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с показателем $p\mathrm{<mo>></mo>2}$. Коэффициенты таких систем могут допускать слабые особенности с требованием их $p$ -интегрируемости в области $D$. Уравнения с коэффициентами $a\in C_{-\alpha -1}$, где $\alpha \ge 0$, и $b\in C_{-1}$ не удовлетворяют этому условию. На необходимость изучения более общих уравнений (обобщенных систем Коши$–$Римана с коэффициентами, допускающими особенности не ниже первого порядка) впервые было указано И. Н. Векуа и A. В. Бицадзе (см. [1]). Вопросам построения общего решения уравнения (1), обобщенного уравнения Коши$–$Римана с сингулярными коэффициентами $a\in C_{-1}$ и $b\in C_{-1}$ были посвящены многочисленные исследования (см., например, [5, 11]). Понятие сверхсингулярных особенностей введено в монографии Н. Р. Раджабова [7]. В последнее десятилетие к исследованию обобщенного уравнения Коши$–$Римана с коэффициентами $a\in C_{-\alpha -1}$, где $\alpha \ge 0$, и $b\in C_{-1}$ со специальными видами посвящено достаточно много работ (см., например, [8]). Краевые задачи в областях с кусочно гладкими границами для уравнений с сингулярными коэффициентами почти не исследованы.

В настоящей работе найдено интегральное представление решения уравнения (1) с более общим коэффициентом в областях $D_0^{+}$ и $D_0^{-}$ и исследована задача линейного сопряжения в классе функций, ограниченных на бесконечности и допускающих особенность порядка меньше единицы при $z\to \tau$ в точках $\tau \in F$.

Функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in W_{loc}^{\mathrm{1,}p}\left(D_0^{+}\right)$, где $p\mathrm{<mo>></mo>2}$, удовлетворяющая уравнению (1) почти всюду, называется его регулярным решением.

В получении представления регулярного решения данного уравнения существенную роль играет интегральный оператор Помпейю$–$Векуа (см. монографию И. Н. Векуа [2, с. 29])

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_D}\frac{f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta }{\zeta -z}\mathrm{,}z\ne \mathrm{0,}$                                                                                               (2)

с плотностью $f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $p\mathrm{<mo>></mo>2}$. Здесь и ниже $d_2\zeta$ означает элемент площади. В частности, оператор $T$ компактен в пространствах $L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $C\left(\overline{D^{+}}\right)$.

Если в уравнении (1) функции $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}TA\in W_{loc}^{\mathrm{1,}p}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением уравнения ${\Omega }_{\overline{z}}-A\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Следовательно, для функции $V\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }u$ имеем соотношение

$V_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }{u}_{\overline{z}}-A{e}^{-\Omega }u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{.}$

В результате приходим к представлению

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\varphi +T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$

с произвольной аналитической в $D$ функцией $\varphi \in C\left(\overline{D}\right)$. Эта процедура получения общего решения хорошо известна (см. [2]).

Лемма 1. Если $\alpha$ не является четным целым числом, то существует регулярное решение уравнения

${\Omega }_{1\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

представимое в виде

${\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{z}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}-\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}+\frac{2}{\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}{\displaystyle \sum _{k_1+k_2\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{1}{k_1\mathrm{<mo>!</mo>}{k}_2\mathrm{<mo>!</mo>}}\cdot \frac{{\partial }^{k_1+k_2}a}{{\partial }^{k_1}z{\partial }^{k_2}\overline{z}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \frac{z^{k_1}{\overline{z}}^{k_2+1}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\alpha }\mathrm{.}$                                                  (3)

Доказательство. Прежде всего заметим, что функция $\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }$ является многозначной; при разрезе расширенной комплексной плоскости $\overline{ℂ}$ вдоль линии, соединяющей точки $0$ и $\infty$ (например, луча $\arg z\mathrm{<mo>=</mo>}\beta$ ), мы выбираем фиксированную ветвь данной функции, и этот выбор нужно учитывать при дифференцировании. В самом деле,

$\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}{z}^{-\alpha \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\overline{z}}^{-\alpha \mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \left(-\frac{\alpha }{2}\ln z\right)\exp \left(-\frac{\alpha }{2}\ln \overline{z}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}$

при этом значения логарифма $\ln z\mathrm{<mo>=</mo>}\ln \mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}+i\arg z$ и $\ln \overline{z}\mathrm{<mo>=</mo>}\ln \mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}-i\arg z$ комплексно сопряжены, так что значение функции остается положительным вещественным числом.

Запишем коэффициент $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в виде

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k_1+k_2\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{2}{k_1\mathrm{<mo>!</mo>}{k}_2\mathrm{<mo>!</mo>}}\cdot \frac{{\partial }^{k_1+k_2}a}{{\partial }^{k_1}z{\partial }^{k_2}\overline{z}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot z^{k_1}{\overline{z}}^{k_2}\mathrm{.}$

Тогда

${\Omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{z}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}-\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}$

является решением уравнения ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }$, а второе слагаемое ${\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением уравнения ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\overline{z}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Теорема 1. Пусть нечетное число $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$ и функция $f_0\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-{\Omega }_1}f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $p\mathrm{<mo>></mo>2}$. Тогда любое регулярное решение уравнения (1) с правой частью $f$ представимо в виде

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{{\Omega }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\varphi +T{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$                                                                                                                   (4)

где $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольная аналитическая в области $D_0^{+}$ функция.

Замечание 1. Если при $z\to 0$ функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет поведение

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\left(e^{-Re{\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\mathrm{,}$                                                                                                              (5)

то функция $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет слабую особенность в точке $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и аналитична в области $D^{+}$.

Замечание 2. В случае, если $\alpha$ является четным целым числом, вид решения существенно меняется: в его представлении возникают слагаемые, содержащие логарифмы. Этот случай исследуется нами отдельно.

2. О поведении решений в окрестности изолированной особой точки коэффициента уравнения.

Как видно из (5), при $z\to 0$ функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ может вести себя весьма разнообразно в зависимости от значений $Re{\Omega }_1$. Теперь рассмотрим в качестве примера уравнение, решение которого $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $z\to 0$ по всем направлениям ведет себя одинаково. Как видно из следующего примера, для этого достаточно, чтобы функция $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ была однородной по переменной $z$. Рассмотрим в области $D_0^{+}$ частный случай уравнения (1) с коэффициентом

$A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}\frac{a_{k}z}{\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha -k+1}}\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}p\mathrm{<mo>></mo>2,}$                                                                                     (6)

где $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$, с коэффициентами $a_k\in ℂ$, а функция $f$ принадлежит классу $L_{loc}^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_0^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$.

Введем следующее обозначение:

${\omega }_k^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha -k+1}}\mathrm{,}$

где $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$ $—$ нецелое число.

Теорема 2. Пусть $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$ $—$ нецелое число. Тогда функция

${\Omega }_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{a}_k{\omega }_k^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\ne \mathrm{0,}$

представляет собой решение уравнения

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\alpha }za\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В предположении $f^0\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-{\Omega }_1^0}f\in L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ любое регулярное решение уравнения (1) с коэффициентом (6) дается формулой

$u\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{{\Omega }_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\varphi +T{f}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$                                                                                                                              (7)

где $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольная аналитическая в области $D_0^{+}$ функция, причем она аналитична в $D^{+}$, если

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\left(\exp \left\{\frac{-2Re{a}_0}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{n-1}}\right\}\right)\text{при z}\to \text{0}\text{.}$                                                                                         (8)

Доказательство. Из равенства ${\Omega }_1^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ следует, что функция

${\Omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{a}_k{\omega }_k^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

удовлетворяет уравнению

${\partial }_{\overline{z}}{\Omega }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}\frac{a_{k}z}{\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha -k+1}}\mathrm{.}$

С другой стороны, как было отмечено выше, для $A_0\in L^p$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$, функция $T{A}_0$ является решением уравнения ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\overline{z}}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_0$.

Замечание 3. В этом случае, как следует из (8), в зависимости от $Re{a}_0$ функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет единственное предельное значение при $z\to 0$ по любым направлениям:

$uz\left\{\begin{array}{cc}0& \text{при z}\to {\text{0,\hspace{0.17em} когда Re a}}_{\text{0}}\text{>0,}\\ \infty & \text{при z}\to {\text{0, когда Re a}}_{\text{0}}\text{<0}\\ 0& \text{при z}\to {\text{0, когда Re a}}_{\text{0}}\text{=0.}\end{array}\right.$

3. Интегральные представления решений в бесконечной области.

В этом случае интегральный оператор Помпейю$–$Векуа $T$ понимается по отношению к неограниченной области $D^{-}\mathrm{<mo>=</mo>}ℂ\backslash \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}D\cup \Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Хорошо известно (см. [2]), что если функция $f$ непрерывно дифференцируема и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\delta }\right)$ при $z\to \infty$ с некоторым $\delta \mathrm{<mo><</mo>}-1$, то функция

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{ℂ}}\frac{f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}_2\zeta }{\zeta -z}\mathrm{,}\zeta \mathrm{,}z\in ℂ\mathrm{,}$                                                                                               (9)

непрерывно дифференцируема и является решением уравнения (1) при $a\mathrm{<mo>=</mo>0}$. В монографии [2] И. Н. Векуа описал условие на функцию $f$, обеспечивающее принадлежность $Tf$ классу $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в терминах введенного им пространства $L^{p\mathrm{,}\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $p\mathrm{<mo>></mo>2}$. Под $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ здесь понимается класс непрерывных функций $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которые вместе с $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принадлежат $C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в единичном круге $\mathbb{T}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}\le \mathrm{1<mo>\}</mo>}$. По определению пространство $L^{p\mathrm{,}\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ состоит из всех функций $f$, для которых $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\nu }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принадлежат $L^p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В этих обозначениях, если $f\in L^{p\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$, то функция $Tf\in C^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\mu \mathrm{<mo>=</mo>1}-\mathrm{2<mo>/</mo>}p$, и обращается в нуль на бесконечности (см. [2, теоремы 1.24, 1.25]). В частности, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}o\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\mu -1}\right)$ при $z\to \infty$.

В работах А. П. Солдатова [9, 10] даны оценки классического интеграла Помпейю (2), рассматриваемого на всей комплексной плоскости с особыми точками $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $z\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$ в семействах различных весовых пространств, некоторые из которых мы используем в данной работе.

Далее, под регулярным решением уравнения (1) в области $D^{-}$ понимается функция $u$, которая допускает обобщенную производную по $\overline{z}$, принадлежит классу $L^{p\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ограничена на бесконечности и удовлетворяет уравнению (1) почти всюду.

Теорема 3. Пусть нечетное число $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$ и функция $f_0\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-{\Omega }_1}f\in L^{p\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $p\mathrm{<mo>></mo>2}$. Тогда любое регулярное решение уравнения (1) с правой частью $f$ представимо в виде (4), где $\varphi \in C^{\mu }\left(\overline{D^{-}}\backslash F\right)$ $—$ произвольная аналитическая в области $D^{-}$ функция и $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}o\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\mathrm{2<mo>/</mo>}p}\right)$ при $\mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty$.

Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Замечание 4. При $\mathrm{0<mo><</mo>}\delta \mathrm{<mo><</mo>1}$ и $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$, как следует из поведения $e^{-Re{\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}O\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{1-\alpha }\right)$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tf\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}o\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\mu -1}\right)$ при $z\to \infty$, условие

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\left(\mathrm{<mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\delta }{e}^{-Re{\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)$

при $z\to \infty$ равносильно тому, что в этом представлении функция $\varphi$ имеет в $z\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$ устранимую особую точку и, следовательно, аналитична во всей области $D^{-}$.

Поэтому фактически функция $u$ относится к классу функций, для которых $e^{-\Omega }u\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}^{-}\backslash F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Функция $\varphi$ в окрестности точки $z\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$ также удовлетворяет условию $\mathrm{<mo>|</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo><mo>|</mo>}z{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\delta }$, где $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$. Класс таких функций, удовлетворяющих условию Гёльдера с некоторым показателем, удобно обозначить $H\left(\overline{D^{-}}\backslash F\mathrm{,}{e}^{\Omega }\right)$. Аналогично, через $H\left(\overline{D^{+}}\backslash F\mathrm{,}{e}^{\Omega }\right)$ обозначим класс функций, удовлетворяющих условию $e^{-\Omega }u\in H\left(\overline{D^{+}}\backslash F\right)$.

Обозначим через $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ класс кусочно непрерывных функций на $\Gamma$, которые принадлежат $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на каждой закрытой дуге ${\Gamma }_j$, $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}$.

4. Задача типа линейного сопряжения.

Рассмотрим функцию $G\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая всюду отлична от нуля, включая $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \pm \mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Требуется найти регулярное решение уравнения (1) в областях $D^{+}$, $D^{-}$, соответственно принадлежащее классам $H\left(\overline{D^{+}}\backslash F\mathrm{,}{e}^{\Omega }\right)$ и $H\left(\overline{D^{-}}\backslash F\mathrm{,}{e}^{\Omega }\right)$ и такое, что для функций ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\pm }$, ограниченных в $D^{+}$ и $D^{-}$, предельные значения на контуре $\Gamma$ удовлетворяют следующему граничному условию:

${\left(e^{-\Omega }u\right)}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(e^{-\Omega }u\right)}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \Gamma \mathrm{,}$        (10)

где $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, причем $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$, $t\in \Gamma$ и $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}o\left(\mathrm{<mo>|</mo>}t{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\delta }\right)$ при $t\to \infty$, где $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$. Функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вблизи особых точек $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $z\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$ и в узлах $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }_j\in F$ контура $\Gamma$ имеет поведение

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}O\left(e^{-Re{\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)& \text{при z}\to \text{0}\text{,}\\ O\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-{\tau }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\epsilon }_j}\right)& \text{при z}\to {\tau }_{\text{j}}\text{, j=}\overline{\text{1}\text{,m}}\text{, где}-\text{1<}{\epsilon }_{\text{j}}\text{,}\\ O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}& \text{при z}\to \infty \mathrm{.}\end{array}\right.$                        (11)

Используя интегральное представление (4) и условие задачи (10), мы приходим к следующей задаче линейного сопряжения теории аналитических функций:

${\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\tilde{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \Gamma \mathrm{,}$                                                                                              (12)

где

$\tilde{g}\mathrm{<mo>=</mo>}{T}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g-G{T}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{T}^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\Omega }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left\{\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{D^{\pm }}}\frac{e^{-\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\zeta -z}{d}_2\zeta \right\}}^{\pm }\mathrm{.}$

Из (9) и (10) следует, что индекс $\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}IndG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Задача линейного сопряжения исчерпывающим образом изучена в известных монографиях [2, 3, 6] в классе $H^{\ast }$ интегрируемых функций $\varphi$, принадлежащих классу $C_{\lambda }^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с некоторыми $-\mathrm{1<mo><</mo>}\lambda \mathrm{<mo><</mo>0}$ и $\mathrm{0<mo><</mo>}\mu \mathrm{<mo><</mo>1}$, а также в классах $H_{\epsilon }$ почти ограниченных функций $H\left(\overline{D}\mathrm{,}F\right)$ и ограниченных функций, принадлежащих соответственно классам $C_{\lambda }^{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{D}\mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{0<mo><</mo>}\lambda \mathrm{<mo><</mo>1}$, и $C_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}+\mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mu }\left(\overline{D}\mathrm{,}F\right)$ c некоторым $\mathrm{0<mo><</mo>}\mu \mathrm{<mo><</mo>1}$. Однако различные приложения требуют исследования этой задачи в пространстве $C_{\lambda }^{\mu }\left(\overline{D}\mathrm{,}F\right)$ для всех весовых порядков.

Рассмотрим задачу (12). Тогда дополнительные условия (11) переходят в условия

$\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}O\left(e^{-Re{\Omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)& \text{при z}\to \text{0}\text{,}\\ O\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-{\tau }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\epsilon }_j}\right)& \text{при z}\to {\tau }_{\text{j}}\text{, j=}\overline{\text{1}\text{,m}}\text{, где}-\text{1<}{\epsilon }_{\text{j}}\text{,}\\ O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}& \text{при z}\to \infty \text{.}\end{array}\right.$                       (13)

Исследование задачи (12) осуществляется с помощью так называемой $G$ -канонической функции (см. [9]). По определению под ней понимается функция $X\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{D}_0^{+}\cup D^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая всюду отлична от нуля, включая ее граничные значения $X^{\pm }$, вместе с $\mathrm{1<mo>/</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет конечный порядок на бесконечности и удовлетворяет соотношению

$X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \Gamma \backslash F\mathrm{,}$                                                                                                   (14)

которые, в силу определения кусочно аналитической функции, мы должны иметь вблизи всех узлов $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }_j\in F$:

$\mathrm{<mo>|</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo>}\frac{const}{\mathrm{<mo>|</mo>}z-\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{<mo><</mo>1,}$                                                                                                  (15)

$\frac{1}{\mathrm{<mo>|</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>}\frac{const}{\mathrm{<mo>|</mo>}z-\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}\mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}const\mathrm{<mo><</mo>1.}$                                                                                                 (16)

Функция $G\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \backslash F\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ кусочно непрерывна на $\Gamma$, т.е. существуют односторонние пределы $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \pm \mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lim G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $t\to \tau$, $t\in {\Gamma }_{\tau \pm 0}$ в точках $\tau \in F$. Согласно этим условиям $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ отлична от нуля, включая $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \pm \mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lim G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $t\to \tau$, $t\in {\Gamma }_{\tau \pm 0}$ и $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \pm \mathrm{0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в точках $\tau \in F$. Следовательно,

$\underset{\mathrm{t}\to \mathrm{\tau }\pm 0}{\lim }\ln Gt\ln G\tau \pm$                                                                                                            (17)

Рассмотрим функцию

$\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{\ln G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\tau -z}d\tau \mathrm{.}$                                                                                                         (18)

На основании формул Сохоцкого$–$Племеля легко проверить, что в обыкновенных точках функция $e^{\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ удовлетворяет однородному граничному условию (14).

Выясним ее поведение вблизи точек $\tau \in \Gamma$. Согласно [6, с. 255],

$\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_{\tau }+i{\beta }_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                                   (19)

где ${\gamma }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция, аналитическая в каждом секторе $S_{\tau }$, на которые окрестность точки $\tau \in \Gamma$ разбивается контуром $\Gamma$.

Множитель ${\alpha }_{\tau }+i{\beta }_{\tau }$ выражается суммой

${\alpha }_{\tau }+i{\beta }_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\tau }}\frac{\mp \ln G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2\pi i}\mathrm{.}$                                                                                                         (20)

Легко видеть, что

 $\left\{\begin{array}{ll}{\alpha }_{\tau }& \sum _{\tau }{\alpha }_{\tau }^0-\frac{1}{\pi }\sum _{\tau }\left(\arg G\tau +-\arg G\tau -\right)\mathrm{,}\\ {\beta }_{\tau }& \sum _{\tau }{\beta }_{\tau }^0-\frac{1}{2\pi }\sum _{\tau }\ln \left|\frac{G\tau +}{G\tau -}\right|\mathrm{.}\end{array}\right.$                                                                    (21)

Пусть существует рациональная функция, определенная формулой

$\Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{\tau \in F}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\lambda }_{\tau }}\mathrm{,}$                                                                                                                  (22)

где показатели ${\lambda }_{\tau }$ $—$ целые числа, удовлетворяющие условию

$-\mathrm{1<mo><</mo>}{\alpha }_{\tau }^0+{\lambda }_{\tau }\mathrm{<mo><</mo>1,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}\mathrm{.}$                                                                                                (23)

Очевидно, что функция

$X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$                                                                                                                      (24)

представляет собой каноническую функцию, которая в силу неравенства (23) удовлетворяет второму условию (13).

Решение $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не вполне определяется условиями (23); оно определяется однозначно лишь в том случае, когда ${\alpha }_{\tau }^0$ $—$ целое число, и тогда ${\lambda }_{\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}-{\alpha }_{\tau }^0$.

По терминологии Н. И. Мусхелишвили (см. [6, с. 256]) узлы $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }_j$, $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}$, для которых ${\alpha }_{\tau }^0$ $—$ целое число, назовем особенными, остальные узлы $—$ неособенными.

Целое число

$\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{\lambda }_k$                                                                                                                          (25)

мы назовем индексом задачи. При этом индекс $\varkappa$ не зависит от выбора значений функции $\ln G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, так как

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Gamma }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}\mathrm{,}\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^m}{\Gamma }_j\mathrm{.}$

Из (24) следует, что $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет на бесконечности порядок $-\varkappa$, т.е. нуль порядка $\varkappa$ при $\varkappa \mathrm{<mo>></mo>0}$ и полюс порядка $-\varkappa$, если $\varkappa \mathrm{<mo><</mo>0}$; при $\kappa \mathrm{<mo>=</mo>0}$ имеем $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$. Во всех случаях

$\underset{z\to \infty }{\lim }{z}^{\varkappa }Xz$                                                                                                                 (26)

Найдем граничные значения канонического решения $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Применяя к (24) формулы Сохоцкого$–$Племеля, получаем

$X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{X}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\sqrt{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}$                                                                                              (27)

где ветвь корня $\sqrt{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ фиксируется формулой $\sqrt{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\ln G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}$.

Таким образом, $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принадлежит классу $H^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а также классу $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в окрестностях узлов ${\tau }_j$, $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}$, и обращается в нуль на них. Наконец, в окрестностях особенных узлов она принадлежит классу $H_{\epsilon }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$, оставаясь ограниченной.

Тогда функция

$\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                                                        (28)

где $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ произвольный полином, представляет собой также решение задачи из данного класса. Верно и обратное: всякое решение $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из данного класса дается формулой (28) при надлежащем выборе полиномов $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Действительно, из равенств

${\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{X}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

получаем

$\frac{{\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{на }\Gamma$

в обыкновенных точках ${\Gamma }_j$, $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}m}$, как предельные значения функции, голоморфной во всей плоскости, кроме (может быть) узлов и точки $z\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$. Вблизи узлов она может обращаться в бесконечность порядка меньше единицы; следовательно, узлы $—$ устранимые особые точки. Так как $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет на бесконечности конечный порядок, то

$\frac{\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\text{полином}\mathrm{.}$

Утверждение доказано.

Используя каноническую функцию $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, на основе равенства $X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{X}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получим

$\frac{{\varphi }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{{\varphi }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\tilde{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\text{на }\Gamma \mathrm{.}$

Так как по условию функция $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ остается ограниченной вблизи узлов, на которых $X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обращается в нуль в этих узлах, то вблизи узлов

$\left|\frac{\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right|\mathrm{<mo><</mo>}\frac{c}{\mathrm{<mo>|</mo>}z-\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\alpha }}\mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}\alpha \mathrm{<mo><</mo>1.}$

Следовательно, $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ кусочно голоморфная функция, которая имеет конечный порядок на бесконечности.

Таким образом, задача (12) приводится к задаче о скачке из теории краевых задач аналитических функций, решение которой можно выписывать явным образом (см. [6, с. 311]).

Мы остановимся на классе решений, исчезающих на бесконечности, которое часто используется в приложениях:

$\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{2\frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{\tilde{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{d\tau }{\tau -z}+X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_{\varkappa -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{при }\varkappa \ge \mathrm{0,}\frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{\tilde{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{d\tau }{\tau -z}\text{при }\varkappa \mathrm{<mo><</mo>0,}\right.$      (29)

где $X^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется как предельное значение канонической функции (24), $P_{\varkappa -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ полином степени не выше $\varkappa -1$ с произвольными комплексными коэффициентами, $P_{\varkappa -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ при $\varkappa \mathrm{<mo><</mo>0}$.

При $\varkappa \mathrm{<mo><</mo>0}$ решение данного класса существует тогда и только тогда, когда выполняется еще следующее условие:

${\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{{\tau }^k\tilde{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>0,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}-\varkappa -1.$                                                                                       (30)

Как следует из интегрального представления (4), решение исчезает в бесконечно удаленной точке. Подставляя в краевое условие (10) равенство ${\varphi }^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, получим $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Следовательно, чтобы задача линейного сопряжения для полуплоскости имела решение, исчезающее на бесконечности, свободный член краевого условия должен на бесконечности обращаться в нуль. Это выполнимо при $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}o\left(\mathrm{<mo>|</mo>}t{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{-\delta }\right)$ при $t\to \infty$, где $\delta \mathrm{<mo>></mo>0}$.

Доказана следующая теорема.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теорем 1 и 3 и условия задачи линейного сопряжения. Тогда в случае $\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}IndG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ задача линейного сопряжения безусловно разрешима, и при этом общее решение уравнения (1) дается формулой

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{{\Omega }_1}\cdot \left[\frac{X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2\pi i}{\displaystyle {\int }_{\Gamma }}\frac{\tilde{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{X^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{d\tau }{\tau -z}+X\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_{\varkappa -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+T{f}^0\right]\mathrm{,}$                                                                (31)

причем это решение зависит линейно от $\varkappa$ произвольных постоянных.

В случае $\varkappa \mathrm{<mo>=</mo>}IndG\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>0}$ решение данного класса, исчезающее на бесконечности, существует тогда и только тогда, когда выполнено условие (30), выражающее, что $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. При соблюдении этих условий единственное решение задачи дается формулой (31) с $P_{\varkappa -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$.

Кроме того, функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в особых точках $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $z\mathrm{<mo>=</mo>}\infty$, а также в узловых точках $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tau }_j\in F$ контура $\Gamma$ имеет следующее поведение:

$uz\left\{\begin{array}{cc}O\left(e^{-Re{\Omega }_{1}z}\right)& \text{при z}\to \text{0}\text{,}\\ O\left({z-{\tau }_j}^{{\epsilon }_j}\right)& \text{при z}\to {\tau }_{\text{j}}\text{, j=}\overline{\text{1}\text{,m}}\text{, где}-\text{1<}{\epsilon }_{\text{j}}\text{,}\\ O& \text{при z}\to \infty \text{.}\end{array}\right.$                                (32)