l - Problem of moments in problems of optimal control and state estimation for multidimensional fractional linear systems

1. Введение.

Как известно, метод моментов широко применяется для поиска управления, оптимального в смысле минимальности нормы управления или времени перехода в заданное состояние при явном ограничении на норму управления (см. [2, ч. 2]). С помощью этого метода возможно построить точное решение задач оптимального управления для линейных (по управлению) систем с сосредоточенными параметрами, а также приближённые решения для линейных (по управлению) систем с распределёнными параметрами (см. [1, гл. 3]). Данный метод применим и к исследованию задач оптимального управления системами, которые описываются дифференциальными уравнениями дробного порядка (см. [3]).

Н. Н. Красовским было рассмотрено иное применение метода моментов: задача «наблюдения в случайных обcтоятельствах» или оценивания состояния некоторой системы по результатам наблюдений в условиях действия внешних возмущений (см. [2, § 46]). Аналогичная задача была исследована и для одно- и двумерных линейных систем дробного порядка (см. [4]).

Ранее задачи оптимального управления и оценивания состояния системы были рассмотрены для линейных одномерных систем дробного порядка и для некоторых двумерных и многомерных систем частного вида (см. [3, 4] и ссылки в этих работах). В настоящей работе аналогичное исследование проводится для более общего случая линейных многомерных систем произвольной конечной размерности с коэффициентами, зависящими от времени, и различным порядком операторов дробного дифференцирования в каждом из уравнений, описывающих поведение системы.

2. Предварительные сведения.

Рассматриваются многомерные линейные динамические системы дробного порядка, поведение которых описывается уравнением следующего вида:

${}_{t_0}{D}_t^{{\alpha }_i}{q}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{a}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$                                                    (1)

где ${}_{t_0}{D}_t^{{\alpha }_i}$ $—$ оператор дробного дифференцирования порядка ${\alpha }_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ компоненты вектора состояния системы, $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ компоненты вектора управления, $f_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ компоненты вектора возмущения, $a_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ коэффициенты, в общем случае зависящие от времени. Оператор дробного дифференцирования в формуле (1) понимается либо в смысле Римана$–$Лиувилля, либо в смысле Капуто (см. [6, Ch. 2]). Соответственно, начальные условия для системы (1) ставятся либо в нелокальном, либо в локальном виде:

$2\underset{t\to t_0+}{{\displaystyle \lim }}\left[{}_{t_0}{I}_t^{1-{\alpha }_i}{q}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_i^0\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$                                                                               (2)

$q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}_i^0\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$                                                                                                       (3)

где ${}_{t_0}{I}_t^{1-{\alpha }_i}$ $—$ оператор дробного интегрирования Римана$–$Лиувилля (см. [6, Ch. 2]).

В [5, Theorems 5, 6] получены аналитические решения уравнения (1) с начальными условиями (2) или (3), которые могут быть записаны в виде

$q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left({\tilde{Z}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_j^0+{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{Z}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[u_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]d\tau \right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$                                                (4)

где ${\tilde{Z}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Z}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в случае, когда оператор дробного дифференцирования в уравнении (1) понимается в смысле Римана$–$Лиувилля, и ${\tilde{Z}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}}^C{Z}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в случае, когда оператор дробного дифференцирования в уравнении (1) понимается в смысле Капуто. Функции $Z_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${}^C{Z}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в общем случае вычисляются как решение однородного уравнения (1) с оператором дробного дифференцирования Римана$–$Лиувилля и Капуто соответственно (см. [5, Sec. 4]). Для функций $Z_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедлива следующая оценка (см. [5, Lemma 5]):

$\left|Z_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \frac{const}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-{\alpha }_i}}\mathrm{.}$                                                                                                 (5)

Сформулируем $l$ -проблему моментов, к которой далее будут сведены задачи оптимального управления и оценивания состояния.

$l$ -Проблема моментов.

Пусть дана система функций $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_{p^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $p^{\prime }\ge 1$, и набор чисел $c_n$, $n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N$ (называемых моментами), хотя бы одно из которых отлично от нуля. Необходимо построить такую функцию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $p\mathrm{<mo>></mo>1}$, $\mathrm{1<mo>/</mo>}p+\mathrm{1<mo>/</mo>}{p}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>1}$, что выполняются соотношения:

${\displaystyle \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}}{g}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{c}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                                (6)

$\parallel u{\parallel }_{L_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le l\mathrm{.}$                                                                                                    (7)

Следует отметить, что функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ могут быть и вектор-функциями: $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(g_n^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{g}_n^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)$, $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(u^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{u}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)$.

Проблема моментов вида (6)$–$(7) разрешима, если выполнено одно из эквивалентных условий (см. [1, 2]):

(i)  функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ линейно независимы или среди них можно выделить подсистему линейно независимых функций;

(ii)  выполняется неравенство ${\Lambda }_N\mathrm{<mo>></mo>0}$, где число ${\Lambda }_N$ определяет минимальное значение нормы (7) и находится из условия

$\underset{{\xi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_N}{\min }{\left(\underset{0}{\overset{T}{\int }}\sum _k^N{\left|\sum _i^N{\xi }_i{g}_i^{k}t\right|}^{p^{\text{'}}}dt\right)}^{p^{\text{'}}}\frac{1}{{\Lambda }_N}\mathrm{,}$                                                                        (8)

где ${\xi }_i$ $—$ такие числа, что

${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\xi }_i{c}_i\mathrm{<mo>=</mo>1.}$                                                                                                                 (9)

Решением $l$ -проблемы моментов, обладающим минимальной нормой, является вектор-функция, компоненты которой имеют следующий вид:

$u^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Lambda }_N^{p^{\prime }}{\left|{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\xi }_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{g}_i^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^{p^{\prime }-1}sign\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\xi }_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{g}_i^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$                                         (10)

где ${\xi }_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ $—$ числа, доставляющие минимум в задаче (8)-(9).

Решением $l$ -проблемы моментов, обладающим минимальным носителем, является вектор-функция, компоненты которой имеют следующий вид:

$u^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{l}^{p^{\prime }}{\left|{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\xi }_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{g}_i^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^{p^{\prime }-1}sign\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\xi }_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}{g}_i^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{T}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{,}$                                         (11)

где $T^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ определяется как минимальное вещественное положительное значение $T$, для которого выполнено неравенство ${\Lambda }_N\le l$.

Следует отметить, что моменты $c_n$, вообще говоря, параметрически зависят от $T$, что определяет (в соответствии с (9)) и зависимость от данного параметра чисел ${\xi }_i^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$.

3. Задача оптимального управления.

Будем рассматривать следующую формулировку задачи оптимального управления. Найти управление $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, чтобы система (1) перешла из начального состояния, определяемого условиями (2) или (3), в конечное состояние, определяемое условием

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}^T\mathrm{,}$                                                                                                                             (12)

и при этом было выполнено одно из следующих требований:

(i)   норма управления $\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}$ была минимальной (среди всех допустимых управлений) при заданном времени $T$;

(ii)  время $T$ было минимальным при заданном ограничении (7) на норму управления.

Теорема 1. Пусть справедливы следующие выражения:

$c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left({\tilde{Z}}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_k^0-{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}}{Z}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \right)\mathrm{,}$                                                                  (13)

$g_n^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Z}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$                                                                                                       (14)

Поставленная выше задача оптимального управления сводится к проблеме моментов (6)$–$(7), где моменты $c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются выражениями (13) и (14) соответственно, при выполнении следующих условий:

${\alpha }_n\mathrm{<mo>></mo>}\frac{1}{p}\mathrm{,}n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$                                                                                                            (15)

Доказательство. Воспользуемся формулами (4) и запишем решение системы (1) в момент времени $t\mathrm{<mo>=</mo>}T$:

$q_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left({\tilde{Z}}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_k^0+{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}}{Z}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[u_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]d\tau \right)\mathrm{,}n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$

Данное выражение с учётом обозначений (13) и (14) может быть переписано в виде проблемы моментов (6). Теперь необходимо убедиться, что функции, определяемые выражением (14), являются элементами пространства $L_{p^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $p^{\prime }\mathrm{<mo>></mo>1}$. Оценим норму этих функций в пространстве $L_{p^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, воспользовавшись неравенством (5):

${\left({\displaystyle \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}}{\left|{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{Z}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^{p^{\prime }}d\tau \right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}{p}^{\prime }}\le N{\left({\displaystyle \underset{t_0}{\overset{T}{\int }}}{\left|\frac{const}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{1-{\alpha }_n}}\right|}^{p^{\prime }}d\tau \right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}{p}^{\prime }}\mathrm{.}$

Выражение в правой части будет ограничено при выполнении условий (15). Теорема доказана.

Замечание 1. Условия (15) обобщают условия, полученные в [3, 4] при рассмотрении частных случаев системы (1).

Следствие 1. Пусть матрица $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет хотя бы один ненулевой элемент (и, следовательно, в системе функций $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно выделить подсистему линейно независимых функций) и условия (15) выполнены. Тогда проблема моментов (6)$–$(7), где моменты $c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются выражениями (13) и (14) соответственно, является разрешимой, и её решение определяется формулами (10)$–$(11).

Следствие 2. Пусть матрица $A\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel a_{nk}{\parallel }_1^N$ не зависит от времени. В этом случае элементы матрицы $Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выражаются формулой

$Z_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{E_{{\alpha }_n\mathrm{,}{\alpha }_n}\left[a_{nk}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\alpha }_n}\right]}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\alpha }_n}}\mathrm{.}$

(см. [5]). Если выполнены условия (15), то проблема моментов (6)$–$(7), где моменты $c_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функции $g_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются выражениями (13) и (14) соответственно, будет разрешимой даже в случаях, когда матрица $A$ является нулевой или вырожденной.

4. Задача оценивания состояния системы.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда динамика некоторой системы описывается системой уравнений (1) при $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, но состояние $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ недоступно для непосредственного измерения, а может быть восстановлено с определённой погрешностью по результатам измерения состояния $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ другой системы, динамика которой подчиняется одномерному уравнению:

${}_{t_0}{D}_t^{\beta }z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\ge t_0\mathrm{,}$                                                                   (16)

где ${}_{t_0}{D}_t^{\beta }$ $—$ оператор дробного дифференцирования порядка $\beta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, понимаемый, как и выше, в смысле либо Капуто, либо Римана$–$Лиувилля; $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ внешнее возмущение; $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $G_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ зависящие от времени коэффициенты, $n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N$. Будем далее называть функцию $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ наблюдением.

Примем, что возмущение $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ представляет собой последовательность $\delta$ -импульсов, моменты появления которых $t_i$ подчиняются распределению Пуассона с математическим ожиданием $\lambda$ (как и в [2, § 46]):

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\eta }_i\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                                               (17)

${\eta }_i$ $—$ случайные величины, принимающие с одинаковой вероятностью значения $\pm \epsilon$, $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$.

Начальные условия для наблюдения поставим, как и выше, в локальном или нелокальном виде для случаев, когда оператор ${}_{t_0}{D}_t^{\beta }$ понимается в смысле Капуто или Римана$–$Лиувилля соответственно:

$\underset{t\to t_0+}{\lim }\left[{}_{t_0}^{RL}{I}_t^{1-\beta }zt\right]z^0\mathrm{,}$                                                                                                    (18)

$z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{z}^0\mathrm{.}$                                                                                                                            (19)

Поставим следующую задачу оценивания состояния системы, аналогичную рассмотренной Н. Н. Красовским задаче о «наблюдении в случайных обстоятельствах» для систем целого порядка (см. [2, § 46]): найти оптимальную операцию $\phi \left[t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$, восстанавливающую компоненту состояния системы $q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по наблюдению $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с наименьшей возможной погрешностью $w$,

$q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \left[t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]+w\mathrm{,}$                                                                                                              (20)

$M\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}^2\mathrm{<mo>\}</mo>}\to \min \mathrm{,}$                                                                                                                 (21)

где $M\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}^2\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ математическое ожидание погрешности $w$. При этом должно выполняться условие $w\mathrm{<mo>=</mo>0}$ при $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Замечание 2. Можно пополнить вектор $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ компонентой $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и в этом случае рассматривать поставленную задачу оценивания состояния системы как задачу восстановления одной из координат нового (пополненного) вектора по набору других.

Используя формулу (4) в одномерном случае и заменяя функции $q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $Z_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на функции $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а неоднородность $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на неоднородность ${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, запишем решение уравнения (16):

$z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}^0+{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]d\tau \mathrm{,}$                                                                     (22)

где $\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в случае, когда оператор дробного дифференцирования в уравнении (16) понимается в смысле Римана$–$Лиувилля, и $\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}}^{C}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в случае, когда оператор дробного дифференцирования в уравнении (16) понимается в смысле Капуто. Функции $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${}^{C}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в общем случае вычисляются как решение однородного уравнения (16) с оператором дробного дифференцирования Римана$–$Лиувилля и Капуто соответственно (см. [5, Sec. 4]). Для функций $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедлива оценка вида (5).

Первое слагаемое в формуле (22) не зависит ни от состояния $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ни от возмущения $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, поэтому можно рассматривать задачу оценивания для функции

$\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}^0\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]d\tau \mathrm{.}$                                                           (23)

Соответственно, поставленная выше задача оптимального оценивания состояния может быть переформулирована: найти оптимальную операцию $\phi \left[\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$, такую что

$\phi \left[{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \right]\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                      (24)

$M\left\{{\left[\phi \left[{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \right]\right]}^2\right\}\to \min \mathrm{.}$                                                                                  (25)

Будем искать оптимальную операцию $\phi \left[t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]$ в виде

$\phi \left[t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\phi \left[\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dV\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                        (26)

где $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ некоторая функция с ограниченным изменением.

Теорема 2. Пусть $G_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C_{{\gamma }_n}^1\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\gamma }_n}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tilde{f}\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, $G_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ отлична от константы $0$ на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, ${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\tilde{Z}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_j^0\ne 0$ и выполнены следующие условия:

${\gamma }_n+{\alpha }_n\mathrm{<mo>></mo>}\frac{1}{2}\mathrm{,}n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$                                                                                                (27)

Тогда поставленная задача оценивания (24)$–$(25) при фиксированном $t$ эквивалентна следующей проблеме моментов: найти такую функцию $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ с минимальной нормой, что

${\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\tilde{Z}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_j^0\mathrm{,}\zeta \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$                                                                          (28)

$g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\tilde{Z}}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_k^0\mathrm{,}$                                                                                             (29)

$U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\zeta }{\overset{t}{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dV\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                                                       (30)

Доказательство. Перепишем формулу (24) с учётом (26) и поменяем в полученном выражении порядок интегрирования:

${\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}\left[{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \right]dV\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \left[{\displaystyle \underset{\zeta }{\overset{t}{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dV\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                   (31)

Внутренний интеграл в полученном выражении представляет собой функцию $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. (30)). Тогда будем иметь

${\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{G}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}{q}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                                               (32)

Функция $q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением уравнения (1) при $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ с начальным условием (2) или (3) и может быть записана в явном виде с помощью формулы (4). Подставив получившееся выражение в уравнение (32) и выражение в правой части отличным от нуля, получим выражение (28), где функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой (29).

Рассмотрим теперь величину в фигурных скобках в выражении (25). Используя выражение (26), можно, по аналогии с выражением (31), поменять порядок интегрирования и получить формулу:

${\left[\phi \left[{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \right]\right]}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left[{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \right]}^2\mathrm{.}$

Возмущение (17), как указывалось выше, представляет собой последовательность $\delta$ -импульсов, моменты появления которых подчиняются распределению Пуассона, а амплитуды с одинаковой вероятностью принимают значение $\pm \epsilon$. В [2, § 46] было показано, что для такой модели возмущения справедливо соотношение

$M\left\{{\left[{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \right]}^2\right\}\mathrm{<mo>=</mo>}{\epsilon }^2\lambda {\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{U}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\zeta \mathrm{<mo>=</mo>}{\epsilon }^2\lambda \parallel U{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{.}$                                                     (33)

Таким образом, требование минимизации погрешности (25) в данном случае эквивалентно требованию минимизации нормы функции $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Итак, показано, что исходная задача (24)$–$(25) при фиксированном $t$ эквивалентна одномерной проблеме моментов вида (28) для функции $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, определяемой формулой (30), относительно известной функции $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определяемой формулой (29), и момента $c\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\tilde{Z}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_j^0$, который по условию теоремы отличен от нуля.

Поскольку ${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}{\tilde{Z}}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{q}_j^0$ и $G_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ отлична от константы $0$, то функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на полуинтервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ отлична от нуля. Для нормы функции $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в пространстве $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ справедливо неравенство

$\parallel g{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le {\displaystyle \sum _{n\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left|q_j^0\right|\parallel G_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\tilde{Z}}_{nk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$                                                                  (34)

По условию теоремы $G_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C_{{\gamma }_n}^1\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\gamma }_n}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tilde{f}\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, также справедлива оценка (5); следовательно, при выполнении условий (27) выражение в правой части неравенства (34) будет ограничено. Следовательно, норма функции $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в пространстве $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ будет определена. Теорема доказана.

Следствие 3. Можно непосредственно убедиться, что в одномерном случае задача условной оптимизации (8)$–$(9) имеет единственное решение:

$\Lambda \mathrm{<mo>=</mo>}{\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}c\mathrm{<mo>|</mo>}}{\parallel g\parallel }}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$

Если теорема 2 справедлива и норма $\parallel g{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}$ определена, то $\Lambda \mathrm{<mo>></mo>0}$, и проблема моментов (28) разрешима.

Замечание 3. Если рассматривать более общий случай $U\in L_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $p\mathrm{<mo>></mo>1}$, $g\in L_{p^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $p^{\prime }\ge 1$, $\mathrm{1<mo>/</mo>}p+\mathrm{1<mo>/</mo>}{p}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>1}$, то условия (27) запишутся в виде

${\gamma }_n+{\alpha }_n\mathrm{<mo>></mo>}\frac{1}{p}\mathrm{,}n\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$