О построении решения неоднородного бигармонического уравнения в задачах механики тонких изотропных пластин

1. Введение.

Многие практически значимые инженерные проблемы, связанные с деформацией тонкой пластины, приводят к необходимости решения неоднородного бигармонического уравнения (см. [1–5,8,10,13]). Построение его решения вызывает ряд трудностей, в частности, связанных с наличием в этом уравнении производных четвертого порядка, оказывающих существенное влияние на обусловленность исходных краевых задач (см. [5]). При этом достижение требуемой степени детализации области интегрирования предполагает решение систем линейных уравнений очень высокого порядка с неразреженной матрицей (см. [4]). Одним из перспективных подходов к решению проблемы является развитие методов полиномиальной аппроксимации.

Представленная работа посвящена построению решения неоднородного бигармонического уравнения с использованием системы ортогональных многочленов Чебышева первого рода. Выбор в качестве базисных функций многочленов Чебышева обусловлен тем, что такое приближение минимизирует количество членов усеченного ряда, необходимых для аппроксимации решения [6, 9]. В представленной работе предложено развитие метода полиномиальной аппроксимации Чебышева путем представления в виде усеченного ряда по полиномам Чебышева смешанной производной восьмого порядка искомой функции и использования в качестве точек коллокации нулей этих полиномов.

2. Постановка задачи.

Рассмотрим задачу моделирования прогиба упругой изотропной прямоугольной пластины, закрепленной на краях $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $x\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_1$, $y\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $y\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_2$ и находящейся под действием поперечной нагрузки $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пластина предполагается тонкой. В этом случае прогиб срединной поверхности пластины $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем описывать на основе бигармонического уравнения Софи Жермен$–$Лагранжа, которое запишем в следующем виде (см. [12]):

$\frac{{\partial }^4\omega }{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^4\omega }{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^4\omega }{\partial y^4}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{q}{D}\mathrm{,}$                                                                        (1)

где $D\mathrm{<mo>=</mo>}E{h}^3\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>12<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-{\nu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ цилиндрическая жесткость пластины, $h$ $—$ толщина пластины, $E$ $—$ модуль Юнга, $\nu$ $—$ коэффициент Пуассона.

В качестве граничного условия используем защемление по каждому краю прямоугольной области (см. [12]):

$\omega \mathrm{<mo>=</mo>0,}\frac{\partial \omega }{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\mathrm{<mo>=</mo>0,}{d}_1\mathrm{,}$                                                                                                (2)

$\omega \mathrm{<mo>=</mo>0,}\frac{\partial \omega }{\partial y}\mathrm{<mo>=</mo>0,}y\mathrm{<mo>=</mo>0,}{d}_2\mathrm{.}$                                                                                                 (3)

3. Построение решения краевой задачи.

Представим смешанную производную восьмого порядка функции $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в виде усеченного ряда по полиномам Чебышева первого рода $\mathrm{<mo>\{</mo>}{T}_{j_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_i\arccos x_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0,}{n}_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ (см. [9]) по каждой введенной новой переменной $x_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ( $n_i\in \mathbb{N}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$ ):

$x_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2}{d_1}x-\mathrm{1,}{x}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2}{d_2}y-1.$                                                                                                 (4)

Тогда

$\frac{{\partial }^{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1{}^4\partial x_2{}^4}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}{j}_i\mathrm{<mo>=</mo>0}\\ i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}\end{array}}^{n_i}}{a}_{j_1{j}_2}{T}_{j_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_{j_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ I_{s\mathrm{,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\otimes \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ I_{s\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}$                                               (5)

где $T_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ матрица-строка размером $1\times {n^{\prime }}_i$ ( ${n^{\prime }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{n}_i+5$ ):

$T_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots T_{n_i-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_{n_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_{n_i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_{n_i+2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_{n_i+3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_{n_i+4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$I_{s\mathrm{,}i}$ $—$ матрица-строка размером $1\times {n^{\prime }}_i$ с ненулевыми элементами $I_{s\mathrm{,}i\mathrm{,0,}{j}_i}\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ( $j_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0,}{n}_i}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$ ), знаки $\circ$ и $\otimes$ соответственно обозначают произведение Адамара и тензорное произведение Кронекера двух матриц (см. [7]). Нумерацию строк и столбцов каждой из введенных матриц осуществляем с нуля. Матрица-столбец $A$ имеет размер ${n^{\prime }}_1{n^{\prime }}_2\times 1$ и содержит неизвестные коэффициенты

$A\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{00}{a}_{01}\dots a_{0n_2}{a^{\prime }}_{0n_2+1}{a^{\prime }}_{0n_2+2}{a^{\prime }}_{0n_2+3}{a^{\prime }}_{0n_2+4}{a}_{10}\dots a_{n_1{n}_2}{a^{\prime }}_{n_1{n}_2+1}\dots {a^{\prime }}_{n_1+4n_2+4}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{.}$

Интегрируя (5) по переменой $x_2$ и используя обозначения для интегралов из [11], получаем

$\frac{{\partial }^{7}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1{}^4\partial x_2{}^3}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}{j}_i\mathrm{<mo>=</mo>0}\\ i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}\end{array}}^{n_i}}{a}_{j_1{j}_2}{T}_{j_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{x_2}{{\displaystyle \int }}{T}_{j_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_2+{\displaystyle \sum _{j_1\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{n_1}}{a^{\prime }}_{j_1{n}_2+1}{T}_{j_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                      (6)

Последовательно $k$ раз интегрируя (6) по переменой $x_2$, получаем

$\frac{{\partial }^{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1{}^4\partial x_2{}^{3-k}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}{j}_i\mathrm{<mo>=</mo>0}\\ i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}\end{array}}^{n_i}}{a}_{j_1{j}_2}{T}_{j_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{x_2^{k+1}}{{\displaystyle \int }}{T}_{j_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}^{k+1}{s}_2+$

$+{\displaystyle \sum _{j_1\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{n_1}}{T}_{j_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left({a^{\prime }}_{j_1{n}_2+k+1}+{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>1}}^k}{a^{\prime }}_{j_1{n}_2+l}\frac{x_2^{k+1-l}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k+1-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\right)\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}3}\mathrm{.}$                                                        (7)

Для нахождения интегралов от многочленов Чебышева первого рода в (6) и (7) учитывая, что $T_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ и $T_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}_2$ [9], имеем

$\stackrel{x_2}{{\displaystyle \int }}{T}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_2\mathrm{,}\stackrel{x_2}{{\displaystyle \int }}{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x_2^2}{2}\mathrm{,}$                                                                                                (8)

для четных $j_2\ge 2$ согласно [9] получаем

$2\stackrel{x_2}{{\displaystyle \int }}{T}_{j_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{T_{j_2+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{j_2+1}-\frac{T_{j_2-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{j_2-1}\mathrm{,}$                                                                                               (9)

для нечетных $j_2\ge 3$:

$2\stackrel{x_2}{{\displaystyle \int }}{T}_{j_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{T_{j_2+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{j_2+1}-\frac{T_{j_2-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{j_2-1}-\frac{2j_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{j_2^2-1}\mathrm{.}$                                                                                   (10)

Постоянная в (10) получена с использованием следующего представления (см. [9]):

$T_{j_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{j}_2\mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}}}{\chi }_k{x}_2^{j_2-2k}\mathrm{,}{\chi }_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k{2}^{j_2-2k-1}{j}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2-k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2-2k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{.}$                                                                                 (11)

Здесь $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{j}_2\mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ обозначает целую часть числа $j_2\mathrm{<mo>/</mo>2}$.

Для нечетных $j_2\ge 3$ из (11) получаем

$\frac{{\chi }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{j_2+1}-\frac{{\chi }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{j_2-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{j_2+1}-\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{j_2-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2j_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}}{j_2^2-1}\mathrm{.}$                                                                                     (12)

Далее, подставляя (8)$–$(12) в (6) иЁ(7), имеем

$\frac{{\partial }^{8-k}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1{}^4\partial x_2{}^{4-k}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ I_{s\mathrm{,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\otimes \left(\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{G}_2{}^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ I_{s\mathrm{,2}}+P_{k\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)A\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,4}}\mathrm{,}$                                             (13)

где $G_2$ $—$ квадратная матрица размером ${n^{\prime }}_2\times {n^{\prime }}_2$, в которой последний столбец нулевой, ненулевые элементы первой строки:

$G_{\mathrm{2,0}1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{4}\mathrm{,}{G}_{\mathrm{2,0}2j_2+1}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{j}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\frac{2j_2+1}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}{j}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-1}\mathrm{,}{j}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,<mo\; stretchy="false">[</mo>}{n^{\prime }}_2\mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>}-1}\mathrm{,}$

ненулевые элементы второй строки: $G_{\mathrm{2,1}0}\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $G_{\mathrm{2,1}2}\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{1<mo>/</mo>2}$, одиночные ненулевые элементы предпоследней и последней строк: $G_{\mathrm{2,}{n^{\prime }}_2-2{n^{\prime }}_2-3}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}{n^{\prime }}_2-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $G_{\mathrm{2,}{n^{\prime }}_2-1{n^{\prime }}_2-2}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}{n^{\prime }}_2-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, парные ненулевые элементы остальных строк:

$G_{\mathrm{2,}{j}_2{j}_2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{i+1}}{j_2^2}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}{j}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{2,}{n^{\prime }}_2-3}\mathrm{<mo>;</mo>}$

$P_{k\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ( $k\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,4}}$ ) $—$ матрицы-строки размером $1\times {n^{\prime }}_2$ каждая, в $P_{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ один ненулевой элемент $P_{\mathrm{1,2,0}{n}_2+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, в остальных матрицах $P_{k\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ненулевые элементы

$P_{k\mathrm{,2,0}{n}_2+k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{P}_{k\mathrm{,2,0}n+j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{x_2^{k-j}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k-j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}k-1}\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{2,4}}\mathrm{.}$

При $n_2\mathrm{<mo>=</mo>4}$ приведем развернутую форму матрицы $G_2$:

$G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccccccccc}0& \frac{1}{4}& 0& -\frac{3}{8}& 0& \frac{5}{24}& 0& -\frac{7}{48}& 0\\ 1& 0& -\frac{1}{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0& -\frac{1}{4}& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{6}& 0& -\frac{1}{6}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{8}& 0& -\frac{1}{8}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& \frac{1}{10}& 0& -\frac{1}{10}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{12}& 0& -\frac{1}{12}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{14}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \frac{1}{16}& 0\\ & & & & & & & & \end{array}\right)$

Аналогично, последовательно интегрируя (13) по переменой $x_1$, получаем

$\frac{{\partial }^{8-k_1-k_2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1{}^{4-k_1}\partial x_2{}^{4-k_2}}\mathrm{<mo>=</mo>}{Q}_{k_1-\mathrm{1,}i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\otimes Q_{k_2-\mathrm{1,}i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{k}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0,4}}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$                                                  (14)

$Q_{\mathrm{0,}i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{T}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ I_{s\mathrm{,}i}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$                                                                                                                  (15)

$Q_{k_i\mathrm{,}i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{G}_i{}^{k_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\circ I_{s\mathrm{,}i}+P_{k_i\mathrm{,}i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{k}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,4}}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$                                                                            (16)

где матрицы $G_1$ и $P_{k_1\mathrm{,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяются аналогичным образом, что и матрицы $G_2$ и $P_{k_2\mathrm{,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В качестве точек коллокации в (13) для переменных $x_1$ и $x_2$ будем использовать нули многочлена $T_{n_i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. [9]):

$x_{i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{<mo>=</mo>}\cos \left(\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}{n}_i-2j_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\mathrm{,}{j}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0,}{n}_i}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$ (17)

Значения полиномов Чебышева в точках (13) находим, используя геометрическое представление $T_{q_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_i\arccos x_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$T_{q_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\cos \left(\frac{\pi q_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}{n}_i-2j_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\mathrm{,}{j}_i\mathrm{,}{q}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0,}{n}_i}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

Подставляя (4)$–$(17) в (1) и используя (2) и (3), приходим к системе линейных ${n^{\prime }}_1{n^{\prime }}_2$ -уравнений в матричной форме:

$BA\mathrm{<mo>=</mo>}F\mathrm{,}B\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^5}{B}_i\mathrm{,}$                                                                                                                          (18)

где $B_i$ ( $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,5}}$ ) $—$ квадратные матрицы размером ${n^{\prime }}_1{n^{\prime }}_2\times {n^{\prime }}_1{n^{\prime }}_2$, $F\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{01}{F}_{02}\mathrm{,}\dots F_{{n^{\prime }}_1{n^{\prime }}_2}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$ $—$ матрица-столбец размером ${n^{\prime }}_1{n^{\prime }}_2\times 1$ с элементами $F_{k_1{k}_2}\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,}{k}_1}+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2,}{d}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,}{k}_2}+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}D$ за исключением нулевых элементов при $k_1\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{n_1+\mathrm{1,}{n}_1+4}$ или $k_2\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{n_2+\mathrm{1,}{n}_2+4}$, которые соответствуют граничным условиям (2) и (3). Ненулевые строки $B_i$ ( $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,3}}$ ) получены из уравнения (1) в узлах (17) с использованием (14)$–$(16):

$B_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\kappa }_1\left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \dots \\ Q_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,}{n}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \dots \\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,}{n}_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\mathrm{,}{B}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\kappa }_2\left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \dots \\ Q_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,}{n}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \dots \\ Q_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,}{n}_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],$

$B_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\kappa }_3\left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\text{}\dots \\ Q_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,}{n}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{2,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{2,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \dots \\ Q_{\mathrm{2,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,}{n}_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\mathrm{,}{\kappa }_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{16}{d_i^4}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}{\kappa }_3\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{32}{d_1^2{d}_2^2}\mathrm{.}$

Ненулевые строки матриц $B_4$ и $B_5$ соответствуют граничным условиям (2) и (3):

$B_4\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ \mathrm{...}\\ 0\\ {\kappa }_4{Q}_{\mathrm{3,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\kappa }_4{Q}_{\mathrm{3,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \mathrm{...}\\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,}{n}_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\kappa }_5{Q}_{\mathrm{3,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\kappa }_5{Q}_{\mathrm{3,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right]\mathrm{,}{B}_5\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{l}{Q}_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \mathrm{...}\\ Q_{\mathrm{4,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,}{n}_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{l}0\\ 0\\ \mathrm{...}\\ 0\\ {\kappa }_5{Q}_{\mathrm{2,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\kappa }_5{Q}_{\mathrm{2,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Q_{\mathrm{4,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right],$

где ${\kappa }_4\mathrm{<mo>=</mo>2<mo>/</mo>}{d}_1$, ${\kappa }_5\mathrm{<mo>=</mo>2<mo>/</mo>}{d}_2$.

Для приведения матрицы $B$ в (18) к разреженной и уменьшения числа вычислений при ее заполнении используем свойство конечных сумм многочленов Чебышева в точках (17) (см. [9]):

${\displaystyle \sum _{j_i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{n_i}}{T}_{l_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_{q_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\gamma }_{l_i}{\delta }_{l_i\mathrm{,}{q}_i}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$

где ${\delta }_{l_i\mathrm{,}{q}_i}$ $—$ символ Кронекера, коэффициент ${\gamma }_{l_i}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>2}$, если $l_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$, иначе ${\gamma }_{l_i}\mathrm{<mo>=</mo>1}$. В этом случае левые и правые части уравнения (18) умножаем на матрицу $S\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_1\otimes S_2$, где отличные от нуля элементы квадратных матриц $S_1$ и $S_2$, имеющих размер соответственно ${n^{\prime }}_i\times {n^{\prime }}_i$, определяются как $S_{i\mathrm{,0,}{j}_i}\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $S_{i\mathrm{,}{q}_i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{<mo>=</mo>2}{T}_{q_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ( $j_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0,}{n}_i}$, $j_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}{n}_i}$ ), $S_{n_i+k_i\mathrm{,}{n}_i+k_i}\mathrm{<mo>=</mo>1}$, ( $k_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,4}}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$ ). В результате получаем

$B_{S}A\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_S\mathrm{,}{B}_S\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^5}{B}_{S\mathrm{,}i}\mathrm{,}$                                                                                                                   (19)

где $B_{S\mathrm{,}i}\mathrm{<mo>=</mo>}S{B}_i$ ( $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,5}}$ ), $F_S\mathrm{<mo>=</mo>}SF$. Решение уравнения (19) находим $LU$ -методом. Зная элементы матрицы $A$, функцию $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получаем, используя (14).

4. Представление и анализ результатов.

Рассмотрим изгиб пластины, на которую действует распределенная нагрузка:

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{q}_0\left(\cos \left(\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}x-d_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d_1}\right)\cos \left(\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}y-d_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d_2}\right)+\right.$

$\left.+\frac{d_1^4{d}_2^4}{{\pi }^{4}D{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_1^2+d_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\left(\frac{1}{d_1^2}\cos \left(\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}x-d_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d_1}\right)+\frac{1}{d_2^2}\cos \left(\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}y-d_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d_2}\right)\right)\right)\mathrm{,}$

где $q_0{\mathrm{<mo>=</mo>10}}^5$ Па. В этом случае аналитическое решение задачи (1)$–$(3) имеет вид

$\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{q_0{d}_1^4{d}_2^4}{{\pi }^{4}D{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_1^2+d_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\left(1+\cos \left(\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}x-d_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d_1}\right)\right)\left(1+\cos \left(\frac{\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}y-d_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d_2}\right)\right)\mathrm{.}$                                                    (20)

При проведении вычислений предложенным методом (ChPIn) использованы значения физических параметров из [1, 2]: $d_1\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_2\mathrm{<mo>=</mo>10}$ м, $h\mathrm{<mo>=</mo>0,1}$ м, $E\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГПа, $\nu \mathrm{<mo>=</mo>0,28}$, $n_{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo>=</mo>}n$. В таблице 1 представлены результаты вычислений, где для расчета погрешности построенного решения применены 100 равномерно распределенных контрольных точек $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. [1]):

$\parallel E_n{\parallel }_{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\underset{i\mathrm{,}j}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{\underset{i\mathrm{,}j}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>|</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{y}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}\mathrm{.}$

В таблице приведены также значения погрешности численного решения краевой задачи (1)$–$(3), полученного на основе представления в виде усеченного ряда по многочленам Чебышева первого рода самой искомой функции. Результаты вычислений в этом случае без использования интегрального подхода в таблице имеют аббревиатуру ChP. Здесь приходим к системе линейных $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_1+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнений, полученных при использовании точек (17), и осуществляем замену уравнений согласно граничным условиям (2) и (3) в точках, для которых $x_1\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{1,0}}$, $x_{\mathrm{1,}{n}_1}$ или $x_2\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{2,0}}$, $x_{\mathrm{2,}{n}_2}$, соответственно на уравнения

$w\mathrm{<mo>=</mo>0,}\frac{\partial w}{\partial x_1}\mathrm{<mo>=</mo>0,}{x}_1\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{1,}\mathrm{1,}$

$w\mathrm{<mo>=</mo>0,}\frac{\partial w}{\partial x_2}\mathrm{<mo>=</mo>0,}{x}_2\mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{1,}1.$

В последнем столбце таблицы представлены результаты полиномиальной интерполяции (ChPS) аналитического решения (20), коэффициенты в разложении которого определяются с использованием значений $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2,}{d}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, вычисленных в узлах (17):

$A\mathrm{<mo>=</mo>}S{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_1{}^{-1}\otimes S{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_2{}^{-1}W\mathrm{,}$

где элементы квадратных матриц $S{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_1$ и $S{\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}}_2$, имеющих размер $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{n}_i+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, равны соответствующим элементам матриц $S_1$ и $S_2$:

${S^{\prime }}_{i\mathrm{,0,}{j}_i}\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{i\mathrm{,0,}{j}_i}\mathrm{,}{S^{\prime }}_{i\mathrm{,}{q}_i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{<mo>=</mo>}{S}_{i\mathrm{,}{q}_i\mathrm{,}{j}_i}\mathrm{,}{j}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0,}{n}_i}\mathrm{,}{j}_i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}{n}_i}\mathrm{,}$

$W\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_{00}{w}_{01}\dots w_{n_1{n}_2-1}{w}_{n_1{n}_2}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$ $—$ матрица-столбец размера ${n^{\prime }}_1{n^{\prime }}_2\times 1$, элементы которой равны $w_{k_1{k}_2}\mathrm{<mo>=</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{1,}{k}_1}+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2,}{d}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{\mathrm{2,}{k}_2}+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ( $k_i\mathrm{<mo>=</mo>0,}{n}_i$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$ ).

$\begin{array}{cccc}n& \mathrm{3<mo>|</mo>}c\mathrm{<mo>|</mo>}\parallel E_n{\parallel }_{\infty }& & \\ 2-4& \text{ChPIn}& \text{ChP}& \text{ChPS}\\ 6& \mathrm{1,3}\cdot {10}^{-4}& \mathrm{7,1}\cdot {10}^{-2}& \mathrm{1,4}\cdot {10}^{-3}\\ 9& \mathrm{5,1}\cdot {10}^{-7}& \mathrm{1,8}\cdot {10}^{-3}& \mathrm{4,2}\cdot {10}^{-5}\\ 12& \mathrm{2,7}\cdot {10}^{-11}& \mathrm{2,7}\cdot {10}^{-6}& \mathrm{1,2}\cdot {10}^{-8}\\ 18& \mathrm{1,2}\cdot {10}^{-12}& \mathrm{3,5}\cdot {10}^{-12}& \mathrm{9,8}\cdot {10}^{-15}\\ & & & \end{array}$

Таблица 1. Значения погрешности полученного решения

Из таблицы видно, что высокая точность полученного решения с использованием нулей многочленов Чебышева первого рода достигается при сравнительно малых значениях $n$.

5. Заключение.

В работе методом полиномиальной аппроксимации с использованием интегрального подхода построено решение задачи расчета напряженно-деформированного состояния прямоугольной изотропной пластины под действием заданной поперечной нагрузки для случая граничного условия защемленого края. Показано, что построенное решение с высокой точностью приближает аналитическое решение.