О восстановлении решения задачи Коши для сингулярного уравнения теплопроводности

Аннотация

Задача восстановления решения сингулярного уравнения теплопроводности по положительной части действительной прямой в данный момент времени решается на основе неточных измерений этого решения в другие предыдущие моменты времени. Получены явные выражения для оптимального метода восстановления и его ошибок.

Полный текст

1. Введение. Постановка проблемы.

Хорошо известно, что распределение температуры в ${ℝ}^N$ описывается уравнением

$\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}\Delta u+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\Delta \mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }^2\mathrm{<mo>/</mo>}\partial x_1^2+\dots +{\partial }^2\mathrm{<mo>/</mo>}\partial x_n^2$ $—$ оператор Лапласа в ${ℝ}^N$.

В [10] была поставлена следующая задача. Пусть известны температурные распределения $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{t}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в моменты времени $0\le t_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{t}_p$, заданные приближенно. Точнее, известны такие функции $y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что

$\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j\mathrm{,}$

где ${\delta }_j\mathrm{<mo>></mo>0}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p$. Для каждого набора таких функций требуется найти функцию в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая наилучшим образом аппроксимирует реальное распределение температуры в ${ℝ}^N$ в фиксированный момент времени $\tau$ в некотором смысле. В данной работе исследуется аналогичная задача для сингулярного уравнения теплового типа с оператором Бесселя (см. [2$–$9,13$–$15]). Особенности вышеуказанного типа возникают в моделях математической физики в таких случаях, когда характеристики сред (например, характеристики диффузии или характеристики теплопроводности) имеют вырожденные степенные неоднородности. Кроме того, к таким уравнениям приводят ситуации, когда исследуются изотропные диффузионные процессы с осевой или сферической симметрией.

Мы далее сосредоточимся на уравнении с одной пространственной переменной. Однако изложенные ниже результаты без труда переносятся на многомерный случай.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения

$\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}Bu\mathrm{,}x\in {ℝ}_{+}\mathrm{,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}$

где $B$ $—$ оператор Бесселя в ${ℝ}_{+}$, определенный формулой

$Bu\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{\gamma }{x}\frac{\partial u}{\partial x}\mathrm{,}$

с начальным условием

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$

Предполагаем, что $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Единственное решение этой задачи было получено в [2, 15]. Оно выражается следующей формулой, обобщающей хорошо известную формулу Пуассона:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2t{x}^{\nu }}{\displaystyle \underset{ℝ+}{\int }}{\eta }^{\nu +1}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{\nu }\left(\frac{\eta x}{2t}\right)\exp \left(-\frac{{\eta }^2+x^2}{4t}\right)d\eta \mathrm{,}$                                                                       (1)

где

$I_{\nu }\left(z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{z^{2m+\nu }}{2^{2m+\nu }m\mathrm{<mo>!</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+\nu +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$

$—$ модифицированная функция Бесселя первого рода порядка $\nu$, $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ гамма-функция Эйлера.

Поставим следующую задачу. Пусть функции $y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ известны в моменты $0\le t_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{t}_p$ и

$\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}$

где ${\delta }_j\mathrm{<mo>></mo>0}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p$. Требуется, каждому такому набору функций поставить в соответствие функцию из $L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая в некотором смысле наилучшим образом аппроксимировала бы истинное распределение температуры в ${ℝ}_{+}$ в фиксированный момент времени $\tau$. В связи с этим, следуя [10], любое отображение $m\mathrm{<mo>:</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \dots \times L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ мы называем методом восстановления (температуры в ${ℝ}_{+}$ в момент $\tau$ согласно этой информации). Значение

$e\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{U}{{\displaystyle \sup }}\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

где $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{\delta }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\delta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{\delta }_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$,

$U\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{<mo>\}</mo>,}$

называется ошибкой этого метода. Значение

$E\tau \mathrm{,}\overline{\delta }e\underset{{\mathrm{mL}}_2^{\mathrm{\gamma }}{\mathrm{ℝ}}^{\mathrm{p}}\to {\mathrm{L}}_2^{\mathrm{\gamma }}{\mathrm{ℝ}}_{+}}{\inf }\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{,}m$

называется ошибкой оптимального восстановления. Метод $\widehat{m}$, для которого

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}e\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{,}\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

называется оптимальным методом восстановления.

2. Необходимые сведения.

Введем следующие обозначения:

$R_N^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{x^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{n+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_1\mathrm{<mo>></mo>0,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>,}$

$\gamma \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\gamma }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i^{{\gamma }_i}\mathrm{,}{\gamma }_i\mathrm{<mo>></mo>0.}$

Через ${\Omega }^{+}$ будем обозначать область, прилегающую к гиперплоскостям $x_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $\dots$, $x_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Граница области ${\Omega }^{+}$ состоит из двух частей: ${\Gamma }^{+}$, расположенной в части пространства $R_N^{+}$, и ${\Gamma }_0$, принадлежащей гиперплоскостям $x_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $\dots$, $x_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Через $L_p^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем обозначать линейное пространство функций, для которых

$\parallel f{\parallel }_{L_p^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \underset{{\Omega }^{+}}{\int }}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^p{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\gamma }dx\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}p}\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{.}$

Пусть $\Omega \subset {ℝ}^N$ $—$ объединение множества ${\Omega }^{+}$ и множества ${\Omega }^{-}$, полученного из ${\Omega }^{+}$ симметрией относительно пространства $x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Смешанный обобщенный сдвиг определим формулой

$f\to \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}^{y}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{T}_{x_i}^{y_i}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{x^{\prime }}^{\prime }-{y^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                   (2)

где каждый из обобщенных сдвигов $T_{x_i}^{y_i}$ определен по формуле (см.[8])

$T_{x_i}^{y_i}fx\frac{\Gamma \frac{{\gamma }_i+1}{2}}{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{{\gamma }_i}{2}\right)}{\int }_0^{\pi }f\left(x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_{i-1}\mathrm{,}\sqrt{x_i^2+y_i^2-2x_i{y}_i\cos \alpha }\mathrm{,}{x}_{i+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_N\right){\sin }^{{\gamma }_i-1}\alpha d\alpha \mathrm{,}$                    (3)

$i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$, а произведение ${\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{T}_{x_k}^{y_k}$ понимается как произведение (суперпозиция) операторов.

Обобщенная свертка функций $f\mathrm{,}g\in L_p^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}_N^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется формулой

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\ast g\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{R_N^{+}}{\int }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}_x^{y}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}^{\prime }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\gamma }dy\mathrm{.}$                     (4)

Прямое и обратное смешанные преобразования Фурье$–$Бесселя определяются соответственно формулами

$F_{B\mathrm{,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}{x^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{R_N^{+}}{\int }}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{j}_{{\nu }_k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_k{x}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-i{x^{\prime }}^{\prime }\cdot {{\xi }^{\prime }}^{\prime }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\gamma }dx\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{N-n}{2}^{\mathrm{2<mo>|</mo>}\nu \mathrm{<mo>|</mo>}}{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\Gamma }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_{B\mathrm{,}\gamma }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }\mathrm{,}-{x^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$     (5)

где

$x^{\prime }\cdot {\xi }^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1{\xi }_1+\dots +x_n{\xi }_n\mathrm{,}{x^{\prime }}^{\prime }\cdot {{\xi }^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{n+1}{\xi }_{n+1}+\dots +x_N{\xi }_N\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}\nu \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}{\nu }_1+\dots +{\nu }_n\mathrm{,}$

$j_{{\nu }_k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2^{{\nu }_k}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{z_k^{{\nu }_k}}{J}_{{\nu }_k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^m{z}_k^{2m}}{2^{2m}m\mathrm{<mo>!</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+{\nu }_k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$

$—$ нормированная функция Бесселя первого рода порядка ${\nu }_k$, $\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ гамма-функция Эйлера, $J_{{\nu }_k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция Бесселя первого рода порядка ${\nu }_k\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_k-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$.

3. Нижняя граница оптимального метода.

Пусть $P_t\mathrm{<mo>:</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ оператор, определенный формулой (1):

$u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{\nu }\left(\frac{\eta x}{2t}\right)\exp \left(-\frac{{\eta }^2+x^2}{4t}\right)d\eta \mathrm{,}$

$t\mathrm{<mo>></mo>0}$ $—$ фиксированное значение, $P_0$ $—$ тождественный оператор.

Пусть $\tau \ge 0$. Рассмотрим следующую задачу:

$\parallel P_{\tau }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\to \max \mathrm{,}$                                          (6)

$\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                          (7)

Функция, удовлетворяющая условию(7) называется допустимой функцией задачи (6)$–$(7).

Пусть $S$ означает верхнюю границу $\parallel P_{\tau }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ с условиями (7).

Лемма 1. Имеет место неравенство $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge S$.

Доказательство. Пусть ${\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая функция задачи (6)$–$(7). Тогда $-{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ допустимая функция задачи (6)$–$(7). Для всякого метода $m\mathrm{<mo>:</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p\to L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеем:

$2\parallel P_{\tau }{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel P_{\tau }{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-P_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le$

$\le \parallel P_{\tau }{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\parallel m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-P_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\overline{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le$

$\le 2\underset{\begin{array}{c}{u}_0\cdot \in L_2^{\gamma }{ℝ}_{+}\\ \parallel P_{t_j}{u}_0\cdot {\parallel }_{L_2^{\gamma }ℝ}\le {\delta }_j\mathrm{,}\\ j\dots \mathrm{,}p\end{array}}{\mathbf{sup}}\parallel P_{\tau }{u}_0\cdot -m\cdot {\parallel }_{L_2^{\gamma }{ℝ}_{+}}\le$

$\le 2 \underset{\mathbf{U}}{\mathbf{sup}}\parallel P_{\tau }{u}_0\cdot -m\overline{y}\cdot \cdot {\parallel }_{L_2^{\gamma }{ℝ}_{+}}\mathrm{.}$

В левой части полученного неравенства мы переходим к верхней границе допустимых функций, а в правой $—$ к нижней границе всех методов. Этот шаг завершает доказательство леммы.

С помощью [1, формула 6.633(4)] легко убещиться в справедливости равенства

$F_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{P}_t{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^{2}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_{\gamma }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Следовательно, по теореме Парсеваля$–$Планшереля для преобразования Фурье$–$Бесселя квадрат значения задачи (6)$–$(7) равен значению следующей задачи:

$\frac{1}{2^{2\nu }{\Gamma }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{\xi }^{2\nu +1}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }\mathrm{<mo>|</mo>}{F}_{\gamma }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}d\xi \to \max \mathrm{,}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                  (8)

$\frac{1}{2^{2\nu }{\Gamma }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{\xi }^{2\nu +1}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}\mathrm{<mo>|</mo>}{F}_{\gamma }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}d\xi \le {\delta }_j^2\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$                                                            (9)

Перейдем от задачи (8)$–$(9) к расширенной задаче (согласно терминологии [10]). Для этого заменим $\frac{1}{2^{2\nu }{\Gamma }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>|</mo>}{F}_{\gamma }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{\xi }^{2\nu +1}d\xi$ на положительную меру $d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \max \mathrm{,}$                                                                                                    (10)

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\delta }_j^2\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$                                                                                                (11)

Функция Лагранжа для этой задачи имеет вид

$\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }_0{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\lambda }_j\left({\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\delta }_j^2\right)\mathrm{,}$

где $\lambda \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_0\mathrm{,}{\lambda }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\lambda }_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ набор множителей Лагранжа. Расширенная проблема (10)$–$(11) была решена в [10]. Для полноты повествования нам нужно будет переписать это решение, слегка изменив конкретные значения в соответствии с нашими потребностями. На двумерной плоскости $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ построим множество

$M\mathrm{<mo>=</mo>}co\left\{\left(t_j\mathrm{,}\ln \left(\frac{1}{{\delta }_j}\right)\right)\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\right\}+\left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}t\ge 0\right\}\mathrm{,}$

где $coA$ означает выпуклую оболочку множества $A$. Введем функцию $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на луче $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с помощью формулы

$\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}y\mathrm{<mo>:</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in M\mathrm{<mo>\}</mo>,}$

предполагая, что $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\infty$, если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\notin M$ при всех $y$. На луче $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_1\mathrm{,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ график функции $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ направленная вверх выпуклая (вогнутая) ломаная линия. Пусть $t_1\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_{s_1}\mathrm{<mo><</mo>}{t}_{s_2}\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{t}_{s_{\varrho }}$ $—$ точки ее изломов. Очевидно,

$\mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_{s_1}\mathrm{<mo><</mo>}{t}_{s_2}\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{t}_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo>\}</mo>}\subseteq \mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_1\mathrm{<mo><</mo>}{t}_2\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{t}_p\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Рассмотрим три случая.

(a) Пусть $\tau \ge t_1$, в то время как справа от $\tau$ имеется точка излома функции $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Предположим, что $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{s_j}\mathrm{,}{t}_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}^{\gamma }{T}_{\xi }^{{\xi }_0}{\delta }_{\gamma }$, где параметры $A_0$ и ${\xi }_0$ определяются из условий

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_k}\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_k^2\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_j\mathrm{,}{s}_{j+1}\mathrm{.}$                                                                                           (12)

Из условия (12) получим

$A\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{s_j}^{2t_{s_{j+1}}\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta }_{s_{j+1}}^{-2t_{s_j}\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\ln {\delta }_{s_j}\mathrm{<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}\mathrm{.}$

Пусть ${\widehat{\lambda }}_0\mathrm{<mo>=</mo>}-1$, ${\widehat{\lambda }}_k\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $k\ne s_j$, $s_{j+1}$. Для того, чтобы найти числа ${\lambda }_{s_j}$, ${\lambda }_{s_{j+1}}$, сделаем некоторые приготовления. Пусть

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }_0+{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\lambda }_j{e}^{-2v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Потребуем, чтобы $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно ${\lambda }_{s_j}$, ${\lambda }_{s_{j+1}}$:

${\lambda }_{s_j}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_j}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\lambda }_{s_{j+1}}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>1,}$

${\lambda }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_j}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_j}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\lambda }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Решив эту систему, находим

${\lambda }_{s_j}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{t_{s_{j+1}}-\tau }{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}{\left(\frac{{\delta }_{s_{j+1}}}{{\delta }_{s_j}}\right)}^{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{\lambda }_{s_j}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\tau -t_{s_j}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}{\left(\frac{{\delta }_{s_j}}{{\delta }_{s_{j+1}}}\right)}^{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Для меры $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеем:

$\underset{\mathrm{d\mu }\cdot \ge 0}{\min }\mathcal{L}d\mu \cdot \widehat{\lambda }\mathcal{L}d\mu \cdot \widehat{\lambda }$                                                                                                                (13)

${\widehat{\lambda }}_j\left({\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\delta }_j^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$                                                                                                (14)

Пусть

$\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{t_{s_{j+1}}-t_{s_j}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Прямая $y\mathrm{<mo>=</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ проходит через точки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_j}\mathrm{,}\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}\mathrm{,}\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и лежит ниже графика функции $y\mathrm{<mo>=</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для найденных значений $A$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2$ имеем

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_i}d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{s_j}^{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta }_{s_{j+1}}^{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le e^{-2\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_i^2\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$

Это означает, что $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вляется допустимой мерой в расширенной задаче (10)$–$(11) и является ее решением. Если мы подставим $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в функционал, определенный в (10), получим значение задачи (10)$–$(11), которое также является решением задачи (8)$–$(9):

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_{s_j}^{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta }_{s_{j+1}}^{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-2\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Это означает, что значение задачи (6)$–$(7) равно $S\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

(b) Пусть $\tau \ge t_{s_{\varrho }}$. Если график функции $y\mathrm{<mo>=</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ представляет собой прямую линию, то $t_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_1$. На этот раз положим ${\widehat{\lambda }}_0\mathrm{<mo>=</mo>}-1$, ${\widehat{\lambda }}_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo>=</mo>1}$, ${\widehat{\lambda }}_{s_j}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, где $j\ne \varrho$, $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}^{\gamma }{\delta }_{s_{\varrho }}{\delta }_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для всех $\xi \in {ℝ}_{+}$ выполняется неравенство

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-1+e^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{\varrho }}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\ge \mathrm{0<mo>;</mo>}$

также имеет место неравенство $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Следовательно, условие (13) также выполняется. На луче $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{s_{\varrho }}\mathrm{,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, равенство $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выполняется тождественно. Следовательно, $\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p$. Отсюда

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\delta }_{s_{\varrho }}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-2\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Таким образом, мера $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ допустима в задаче (10)$–$(11) и является ее решением. Значение этой задачи вычисляется следующим образом:

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\delta }_{s_{\varrho }}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-2\ln \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{\delta }_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-2\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Это снова означает, что решение проблемы (6)$–$(7) равно $S\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

(c) Пусть $\tau \mathrm{<mo><</mo>}{t}_1$. Для произвольного $y_0\mathrm{<mo>></mo>0}$, существует прямая линия, заданная уравнением $y\mathrm{<mo>=</mo>}at+b$, $a\mathrm{<mo>></mo>0}$, разделяющая точку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}-y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и множество $M$. В то же время

$-a\tau -y_0\ge b\ge -a{t}_j+\ln \frac{1}{{\delta }_{s_j}}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$

Пусть $A\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-2b}$. Выберем ${\xi }_0\in {ℝ}_{+}$, чтобы обеспечить $\mathrm{<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}a$. Тогда

$A{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}\le {\delta }_j^2\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$

Это значит, что мера $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}^{\gamma }{T}_{\xi }^{{\xi }_0}{\delta }_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ допустима в задаче (10)$–$(11) и $A{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}{\xi }_0{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }\ge e^{2y_0}$. В силу произвольности $y_0\mathrm{<mo>></mo>0}$ значение задачи (10)$–$(11), а вместе с ним и решение задачи (6)$–$(7) равно $+\infty$.

Во всех трех случаях, для всех $\tau \ge 0$, ошибка оптимального восстановления оценивается снизу: $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge e^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

4. Верхняя оценка оптимальной ошибки восстановления

Пусть $\tau \ge t_1$ и ${\widehat{\lambda }}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\widehat{\lambda }}_p$ $—$ множители Лагранжа из случаев (a), (b) для таких значений $\tau$.

Лемма 2. Пусть для множества функций $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p$ задача

${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\to \min \mathrm{,}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                     (15)

имеет решение ${\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда для любого ${\sigma }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\sigma }_p$ значение задачи

$\parallel P_{\tau }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-P_{\tau }{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\to \max \mathrm{,}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                          (16)

$\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\sigma }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}$                                                                                           (17)

не превосходит значения задачи

$\parallel P_{\tau }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\to \max \mathrm{,}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                       (18)

${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\le {\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\sigma }_j^2\mathrm{.}$                                                                                             (19)

Доказательство. Равенство нулю дифференциала Фреше выпуклого гладкого целевого функционала из (15) в точке ${\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т.е. равенство

$2{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{x}^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}_{t_j}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>0,}$                                                                                             (20)

является необходимым и достаточным условием для доставки минимума к этому функционалу функцией ${\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Принимая во внимание это равенство, легко получить, что

${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-P_{t_j}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{.}$

Пусть функция $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ действительна для задачи (16)$–$(17). Тогда

${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\le$

$\le {\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\le {\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\sigma }_j\mathrm{.}$

Это означает, что функция $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ допустима в задаче (18)$–$(19). Значение функционала (16) на функции $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равно значнию функционала (18).

Лемма 3Значения задач (6)$–$(7) и (18)$–$(19), где ${\sigma }_j\mathrm{<mo>=</mo>}{\delta }_j$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p$, совпадают.

Доказательство. С помощью равенства Парсеваля$–$Планшереля перейдем от задачи (18)$–$(19) к задаче

${\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \max \mathrm{,}$                                                                                                          (21)

${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\delta }_j^2\mathrm{,}$                                                                                             (22)

где

$d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2^{2\nu }{\Gamma }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>|</mo>}{F}_{\gamma }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2{\xi }^{2\nu +1}d\xi \ge 0.$

Функция Лагранжа этой задачи имеет вид

${\mathcal{L}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\nu }_0{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\nu }_1\left({\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}d\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\delta }_j^2\right)\mathrm{,}$

где множество $\nu$ множителей Лагранжа теперь имеет вид $\nu \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_0\mathrm{,}{\nu }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Из того, что мера $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая является решением проблемы (18)$–$(19), допустимо в этой задаче, следует, что она также допустима в задаче (21)$–$(22). Пусть ${\nu }_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\nu }}_0\mathrm{<mo>=</mo>}-1$, ${\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\widehat{\nu }}_1\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Тогда

$\underset{\mathbf{d}\mathbf{\mu }\mathbf{\cdot }\mathbf{\ge }\mathbf{0}}{\mathbf{min}}{\mathcal{L}}_{1}d\mu \cdot \widehat{\nu }{\mathcal{L}}_{1}d\widehat{\mu }\cdot \widehat{\nu }\mathcal{L}d\widehat{\mu }\cdot \widehat{\lambda }\underset{d\mu \cdot \ge 0}{\mathbf{min}}\mathcal{L}d\mu \cdot \widehat{\lambda }$                                                                              (23)

где $\widehat{\nu }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\widehat{\nu }}_0\mathrm{,}{\widehat{\nu }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; с учетом (14), имеем

${\widehat{\nu }}_1\left({\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_j}d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\delta }_j^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$                                                                                             (24)

Это значит, что $d\widehat{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением задачи (21)$–$(22). Следовательно, значение этой задачи равно значению задачи (21)$–$(22). Отсюда следует, что возведенное в квадрат значение задачи (10)$–$ (11) равно решению задачи (18)$–$(19). Следовательно, значения задач (10)$–$(11) и (18)$–$(19) совпадают.

5. Основной результат.

Теорема 1. Для любого $\tau \mathrm{<mo>></mo>0}$ имеет место равенство

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

(i)      Если $0\le \tau \mathrm{<mo><</mo>}{t}_1$, то $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\infty$.

(ii)  Если $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{t}_{s_j}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\varrho$, то метод $\widehat{m}$, определенный формулой $\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, является оптимальным.

(iii)  Если $\varrho \ge 2$, $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_j}\mathrm{,}{t}_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то метод $\widehat{m}$, определенный формулой

$\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Psi }_{s_j}\ast y_{s_j}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Psi }_{s_{j+1}}\ast y_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                                 (25)

где ${\Psi }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\Psi }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функции, образы Фурье$–$Бесселя которых имеют вид

$F_{\gamma }{\Psi }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}^2{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}^2+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_j}^2{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}$                                                                     (26)

$F_{\gamma }{\Psi }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_j}^2{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau +t_{s_{j+1}}-2t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}^2+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_j}^2{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}$                                                                   (27)

является оптимальным.

(iv)  Если $\tau \mathrm{<mo>></mo>}{t}_{s_{\varrho }}$, то метод $\widehat{m}$, определенный формулой $\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_{\tau -t_{s_{\varrho }}}{y}_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, является оптимальным.

Доказательство. Пусть $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{t}_{s_j}\mathrm{,}{t}_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Выше было показано, что можно было бы выбрать набор множителей Лагранжа, в котором только множители ${\widehat{\lambda }}_{s_j}$ и ${\widehat{\lambda }}_{s_{j+1}}$ не равны нулю. Следовательно, задача (15) принимает вид

${\widehat{\lambda }}_{s_j}\parallel P_{t_{s_j}}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\widehat{\lambda }}_{s_{j+1}}\parallel P_{t_{s_{j+1}}}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\to \min \mathrm{,}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Пусть ${\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение этой задачи. Тогда выполнено условие (20). В образах Фурье$–$Бесселя это условие может быть записано в виде

${\displaystyle \sum _{\kappa \mathrm{<mo>=</mo>}j}^{j+1}}{\displaystyle \underset{{ℝ}_{+}}{\int }}{\xi }^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_{s_{\kappa }}}{F}_{\gamma }{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-F_{\gamma }{y}_{s_{\kappa }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_{s_{\kappa }}}{F}_{\gamma }{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>0.}$                                                              (28)

Пусть

$F_{\gamma }{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\widehat{\lambda }}_{s_j}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_{s_j}}{F}_{\gamma }{y}_{s_j}+{\widehat{\lambda }}_{s_{j+1}}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_{s_{j+1}}}{F}_{\gamma }{y}_{s_{j+1}}}{{\widehat{\lambda }}_{s_j}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_{s_j}}+{\widehat{\lambda }}_{s_{j+1}}{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_{s_{j+1}}}}\mathrm{.}$                                                              (29)

Тогда равенство (28) выполняется для всех $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Пусть для множества $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p$ функции $F_{\gamma }{y}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p$, финитны. Тогда функция (29) принадлежит пространству $L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда функция ${\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенная формулой (29), также принадлежит пространству $L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и является решением задачи (15). Финитные функции плотны в $L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, функции с финитными образами Фурье$–$Бесселя являются плотными в $L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Пусть функции ${\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p$ удовлетворяют неравенствам

$\parallel P_{t_{s_j}}{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$

Выберем последовательность ${\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p$, $k\in \mathbb{N}$, для которой функции $F_{\gamma }{y}_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p$, финитны и

$\parallel y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le \frac{1}{k}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}k\in \mathbb{N}\mathrm{.}$

Зафиксируем число $k\in \mathbb{N}$. Существует решение ${\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{y}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (15). В силу неравенств

$\parallel P_{t_j}{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le$

$\le \parallel P_{t_j}{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\parallel y_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_j^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j+\frac{1}{k}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{,}$

функция ${\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ допустима в задаче (16)$–$(17) с ${\sigma }_j\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\delta }_j+\mathrm{1<mo>/</mo>}k$. Пусть

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\sqrt{{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\sigma }_j^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\delta }_j^2}\mathrm{.}$

В силу леммы 2 значение задачи (16)$–$(17) не превышает значения задачи (18)$–$(19).

Произведем замену функции $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для задачи (18)$–$(19). Эта задача примет вид

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel P_{\tau }{v}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-P_{\tau }{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\to \max \mathrm{,}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                   (30)

${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j\parallel P_{t_j}{v}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\le {\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^p}{\widehat{\lambda }}_j{\sigma }_j^2\mathrm{.}$                                                                                               (31)

Значение задачи (30)$–$(31) совпадает со значением задачи (6)$–$(7), умноженным на $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и оно равно $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Поскольку функция ${\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ допустимо в задаче (16)$–$(17), имеем

$\parallel P_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-P_{\tau }{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{y}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$                                                                                   (32)

Пусть ${\Psi }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\Phi }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функции, образы Фурье$–$Бесселя которых имеют следующий вид в соответствии с (26)$–$(27):

$F_{\gamma }{\Psi }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}^2{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}^2+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_j}^2{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}$

$F_{\gamma }{\Psi }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_j}^2{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau +t_{s_{j+1}}-2t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_{j+1}}^2+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\delta }_{s_j}^2{e}^{-\mathrm{2<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_{j+1}}-t_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{.}$

Пусть $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_{s_j}\mathrm{,}{t}_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Образы Фурье$–$Бесселя (26) и (27) функций ${\Psi }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\Psi }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принадлежат пространству четных бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций. Следовательно, функции ${\Psi }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\Psi }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принадлежат этому пространству. В рассматриваемом случае мы определяем метод восстановления с использованием обобщенной свертки в соответствии с (25):

$\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Psi }_{s_j}\ast y_{s_j}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Psi }_{s_{j+1}}\ast y_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Тогда

$F_{\gamma }\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\gamma }{\Psi }_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_{\gamma }{y}_{s_j}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+F_{\gamma }{\Psi }_{s_{j+1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_{\gamma }{y}_{s_{j+1}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }{F}_{\gamma }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                         (33)

Это значит, что

$\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                                                            (34)

Если $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{t}_{s_j}$, включая случай $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{t}_{s_{\varrho }}$, то

$F_{\gamma }\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\gamma }{y}_{s_j}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }{F}_{\gamma }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

так что в этом случае (34) тоже верно.

Пусть снова функции ${\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p$ удовлетворяют неравенствам

$\parallel P_{t_{s_j}}{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$

Тогда для любого $k\in \mathbb{N}$

$\parallel P_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le$

$\le \parallel P_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\parallel \widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le$

$\le \parallel P_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-P_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\parallel \widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le$

$\le a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\parallel \widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Переходя в этом неравенстве к пределу в $k\to \infty$, получаем

$\parallel P_{\tau }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le e^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

В этом неравенстве перейдем к верхней грани по всем ${\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p$, для которых

$\parallel P_{t_{s_j}}{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_{s_j}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le {\delta }_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p\mathrm{.}$

Тогда получим $e\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{,}\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le e^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Учитывая нижнюю оценку, доказанную ранее, получаем

$e^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le e\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{,}\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le e^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

откуда следует, что $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}\overline{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и что $\widehat{m}$ $—$ оптимальный метод.

Пусть $\tau \mathrm{<mo>></mo>}{t}_{s_{\varrho }}$. Тогда ${\widehat{\lambda }}_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo>=</mo>1}$, а остальные множители Лагранжа равны нулю. Задача (15) примет вид

$\parallel P_{t_{s_{\varrho }}}{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-y_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\to \min \mathrm{.}$

Пусть для заданного множества $\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{y}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_2^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^p$ функции $F_{\gamma }{y}_j$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}p$, финитны. Тогда решение ${\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ этой задачи существует и $F_{\gamma }{\tilde{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2{t}_{s_{\varrho }}}{F}_{\gamma }{y}_{s_{\varrho }}$. Неравенство (32) в этом случае доказывается по-прежнему. Теперь определяем метод $\widehat{m}$ посредством равенства

$\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_{\tau -t_{s_{\varrho }}}\mathrm{.}$                                                                                                                     (35)

Тогда

$F_{\gamma }\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -t_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{F}_{\gamma }{y}_{s_{\varrho }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo>|</mo>}\xi {\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\tau }{F}_{\gamma }{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Это означает, что

$\widehat{m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{P}_{\tau }{\widehat{u}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}{\overline{y}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Дальнейшие рассуждения повторяют рассуждения предыдущего случая.

Основные результаты, изложенные выше в настоящей статье, анонсированы в [16].