Green’s formulas for the Kipriyanov ΔB - operator in the weighted linear form

Abstract

For the Kipriyanov singular differential operator in the Euclidean n - half-space, the general Green formula and two its particular cases corresponding to special values of the parameter are obtained.

Full Text

1. Введение.

Обычно для ${\Delta }_B$ -оператора Лапласа$–$Бесселя в евклидовом пространстве точек $x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

${\Delta }_B\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{B}_{{\gamma }_i}\mathrm{,}{B}_{{\gamma }_i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}+\frac{{\gamma }_i}{x_i}\mathrm{<mi>\; </mi>}\frac{\partial }{\partial x_i}\mathrm{,}{\gamma }_i\ge \mathrm{0,}$

соответствующая весовая линейная форма сопровождается степенным весом ${\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i^{{\gamma }_i}$ (см. книгу [1] и имеющиеся в ней многочисленные ссылки). И. А. Киприянов в начале 1980-х годов на научном семинаре в Воронежском государственном университете поставил задачу об исследовании подобных операторов с отрицательными показателями степенного веса. Оказалось, что оператор Бесселя $B_{-\gamma }$ с отрицательным параметром $-\mathrm{1<mo><</mo>}-\gamma \mathrm{<mo><</mo>0}$ обладает рядом особенностей, отмеченных в [2–4]. В частности, при $\mathrm{1<mo><</mo>}-\gamma \mathrm{<mo><</mo>0}$ фундаментальное решение оператора $B_{-\gamma }$ необходимо искать в билинейной форме с весом, уже отличным от $x^{-\gamma }$. Более общие параметры операторов Бесселя приводят к необходимости исследовать операторы Киприянова в весовых линейных формах с весом ${\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i^{{\omega }_i}$, где $\omega$ $—$ мультииндекс с произвольными действительными координатами.

Через ${ℝ}_n$ будем обозначать евклидово пространство точек $x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а через ${ℝ}_n^{+}$ $—$ $n$ -полупространство, определенное неравенствами $x_i\mathrm{<mo>></mo>0}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}$. Пусть $-\gamma \mathrm{<mo>=</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\gamma }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ мультииндекс с отрицательными дробными параметрами $-\mathrm{1<mo><</mo>}-{\gamma }_i\mathrm{<mo><</mo>0}$. Следуя [4], будем называть ${\Delta }_B$ -оператором Киприянова сингулярный дифференциальный оператор

${\Delta }_{B_{-\gamma }}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{B}_{-{\gamma }_i}\mathrm{,}{B}_{-{\gamma }_i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}-\frac{{\gamma }_i}{x_i}\mathrm{<mi>\; </mi>}\frac{\partial }{\partial x_i}\mathrm{,}x\in {ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>:</mo>}{x}_i\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>,}$                                                            (1)

отрицательный параметр которого удовлетворяет неравенству $\mathrm{0<mo>></mo>}-\gamma \mathrm{<mo>></mo>}-1$. Оператор (1), как и любой оператор Бесселя, целесообразно применять к функциям, четным по каждой координате своего аргумента, так как в этом случае

$\underset{x_i\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{1}{x_i}\frac{\partial u}{\partial x_i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i^2}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x_i\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{.}$

Пусть ${\Omega }^{+}\subseteq {ℝ}_n^{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{x}_i\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$. Учитывая особенность операторов Бесселя, далее полагаем, что область ${\Omega }^{+}$ прилегает к сингулярным координатным гиперплоскостям $x_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}$, оператора ${\Delta }_B$. Тогда граница области ${\Omega }^{+}$ состоит из двух частей ${\Gamma }^{+}\in {ℝ}_n^{+}$ и ${\Gamma }^0\in \overline{{ℝ}_n^{+}}$. Область $\Omega \mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{+}\cup {\Omega }^{-}$ получена объединением ${\Omega }^{+}$ со своими зеркальными отражениями от координатных гиперплоскостей $x_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Граница $\Gamma$ области $\Omega$ предполагается гладкой в окрестности $\Gamma \cap {\Gamma }^0$ (условие гладкости границы И. А. Киприянова; см. [1, § 3.1]). Это условие также предполагает, что рассматриваемые функции в области ${\Omega }^{+}$ должны иметь гладкое четное продолжение через границу ${\Gamma }^0$ по отношению к каждой координате $x_i$. В связи с этим вводим следующее определение.

Определение 1. Функцию $f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определенную в $n$ -полупространстве ${ℝ}_n^{+}$, будем называть $n$ -четной (по Киприянову), если она допускает четное продолжение по каждой координате $x_i$ своего аргумента с сохранением класса функций своей принадлежности.

В частности, если $u\in C^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $u$ $—$ $i$ -четная функция, если все её производные по $x_i$ нечетного порядка $l\le k$ равны нулю при $x_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Такое определение четности введено И. А. Киприяновым (см. [1, с. 21]). В связи с этим функции, удовлетворяющие определению 1, принято называть четными по Kиприянову.

Из определения 1 вытекает, что каждую из областей ${\Omega }^{+}$ и ${\Omega }^{-}$, как правило, удобно считать частично замкнутыми, т.е. считать границу ${\Gamma }^0$ границей симметрии и, поэтому полагаем ${\Omega }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{+}\cup {\Gamma }^0$ и ${\Omega }^{-}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{-}\cup {\Gamma }^0$. Точки, принадлежащие ${\Omega }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{+}\cup {\Gamma }^0$ или ${\Omega }^{-}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{-}\cup {\Gamma }^0$, будем называть $s$ -внутренними. Аналогично, подобласть ${\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}\cup {\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0$ области ${\Omega }^{+}$ с возможно общей границей ${\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0\subset {\Gamma }^0$ будем называть $s$ -подобластью области ${\Omega }^{+}$. Это же касается и соответствующей подобласти области ${\Omega }^{-}$.

2. Оператор Δ_B в весовой линейной форме

Пусть $u$ и $v$ $—$ $n$ -четные функции, принадлежащие классу функций $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{{\Omega }^{+}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Через $\omega \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\omega }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим $n$ -мультииндекc, состоящий из произвольных действительных чисел. Введем весовую билинейную форму, в рамках которой сингулярный дифференциальный ${\Delta }_B$ -оператор Киприянова может не совпадать со своим сопряжением, т.е. не является самосопряженным по Лангранжу (эрмитовым). Рассмотрим весовую билинейную форму следующего вида:

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Omega }_n^{+}}{\int }}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^{\omega }dx\mathrm{,}{x}^{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i^{{\omega }_i}\mathrm{.}$                                                                                      (2)

Дополнительно введем класс функций, соответствующим образом убывающих на границе ${\Gamma }_0$. Именно, обозначим через

${\mathcal{M}}_{ev}^{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{M}}_{ev}^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{C}_{ev}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{{\Omega }^{+}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и положим

$\phi \in {\mathcal{M}}_{ev\mathrm{,}\omega }^{\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{M}}_{ev\mathrm{,}\omega }^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{C}_{ev\mathrm{,}\omega }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{{\Omega }^{+}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{если }{x}_i^{{\omega }_i}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{x}_i\to +\mathrm{0,}i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}\mathrm{.}$                 (3)

Введем обозначение

${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\left[B_{{\gamma }_i+2{\omega }_i}+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_i+{\omega }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }_i-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x_i^2}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\Delta }_{B_{\gamma +2\omega }}+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +{\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x^2}\mathrm{,}$

где ${\omega }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Теорема 1 (общая $K_{\gamma }$ -формула Грина). Пусть весовая линейная форма определена равенством (2) и пусть ${\gamma }_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ${\omega }_i$ $—$ произвольные действительные числа, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}$. Тогда для всех функций $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathcal{M}}_{ev}^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathcal{M}}_{ev\mathrm{,}\omega }^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливо равенство

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\omega }-{\left(u\mathrm{,}\left[{\Delta }_{B_{\gamma +2\omega }}+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x^2}\right]v\right)}_{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{\omega }d\Gamma$                                                             (4)

где $\overline{\nu }$ $—$ направление внешней нормали к части границы ${\Gamma }^{+}$.

Доказательство. Сингулярные операторы Бесселя рассмотрим в дивергентной форме:

${\Delta }_{B_{-\gamma }}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{B}_{-{\gamma }_i}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i^{{\gamma }_i}\frac{\partial }{\partial x_i}{x}_i^{-{\gamma }_i}\frac{\partial }{\partial x_i}\mathrm{.}$

Возьмем произвольную область ${\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}$ с кусочно гладкой границей, строго $s$ -внутреннюю в области ${\Omega }^{+}$. В этом случае обе функции $u$ и $v$ принадлежат $C_{ev}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Исходное выражение имеет вид

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}}{\int }}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{x}_i^{{\gamma }_i}\frac{\partial }{\partial x_i}{x}_i^{-{\gamma }_i}\frac{\partial }{\partial x_i}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^{\omega }dx\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}}{\int }}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{\partial }{\partial x_i}\left(x_i^{-{\gamma }_i}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}\right)v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_i^{{\omega }_i+{\gamma }_i}{\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\\ j\ne i\end{array}}^n}{x}_j^{{\omega }_j}dx\mathrm{.}$

Интегрируя по частям, получим

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\omega }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}\cup {\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0}{\int }}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_i^{{\omega }_i}{\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\\ j\ne i\end{array}}^n}{x}_j^{{\omega }_j}d\Gamma -$

$-{\displaystyle \underset{{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}}{\int }}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}\left(\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}{x}_i^{{\omega }_i}+v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)x_i^{{\omega }_i-1}\right){\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\\ j\ne i\end{array}}^n}{x}_j^{{\omega }_j}dx\mathrm{,}$

где $\nu$ $—$ направление внешней нормали к границе ${\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}\cup {\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0$. Применяя формулу интегрирования по частям второй раз, имеем

${\displaystyle \underset{{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}}{\int }}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{B}_{-{\gamma }_i}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}^{\omega }dx\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}\cup {\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{\omega }d\Gamma +$

$+{\displaystyle \underset{{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}}{\int }}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\left[B_{{\gamma }_i+2{\omega }_i}+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\gamma }_i+{\omega }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\omega }_i-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x_i^2}\right]v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)x^{\omega }dx\mathrm{.}$                                                                          (5)

Учтем, что в (5) участок границы ${\Gamma }^0$ состоит из соответствующих кусков координатных плоскостей $x_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Поэтому на части границы ${\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0$ направление нормали $\nu$ совпадает с соответствующим направлением оси $O{x}_i$. Интеграл по ${\Gamma }^0$ представляет собой набор интегралов по каждой такой части границы, заданной уравнением $x_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$, которую обозначим ${\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{\mathrm{0,}i}$. Имеем

${\displaystyle \underset{{\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0}{\int }}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{\omega }\mathrm{<mi>\; </mi>}d{\Gamma }^0\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\displaystyle \underset{{\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{\mathrm{0,}i}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{\omega }d{\Gamma }^0\mathrm{.}$

При условии принадлежности функций $v$ функциональному классу ${\mathcal{M}}_{ev\mathrm{,}\omega }^{\gamma }$ (см. (3)) все интегралы по ${\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{\mathrm{0,}i}$ исчезнут. Поэтому

${\displaystyle \underset{{\Gamma }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^0}{\int }}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{\omega }d{\Gamma }^0\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Устремляя в полученном равенстве ${\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}$ к ${\Omega }^{+}$ и учитывая непрерывность функций $\partial u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial \overline{\nu }$ и $\partial v\mathrm{<mo>/</mo>}\partial \overline{\nu }$ в $\overline{{\Omega }^{+}}$, получим

${\displaystyle \underset{{\Gamma }^0}{\int }}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{\omega }d{\Gamma }^0\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left({\omega }_i+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{\omega }d{\Gamma }^0\mathrm{<mo>=</mo>0}$                                                    (6)

Из равенств (5) и (6) равенство (4) вытекает с очевидностью. Доказательство закончено.

3. Формулы Грина для оператора Киприянова

Равенство (4) будем называть общей $K_{-\gamma }$ -формулой Грина для ${\Delta }_{B_{-\gamma }}$ -оператора Киприянова.

Наиболее употребительными при исследовании уравнений с ${\Delta }_{B_{-\gamma }}$ -оператором Киприянова (1) оказываются формулы, полученные из (4) при совпадении мультииндексов весовой билинейной формы (2) с параметрами операторов Бесселя, входящих в оператор Киприянова (1), т.е. $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}-\gamma$; если мультииндекс билинейной формы (2) $\omega$ состоит из единиц, т.е. $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (см. [2, 3]). В этих случаях из (4) получим две формулы, которые будем называть первой и второй основными $K_{-\gamma }$ -формулами Грина для оператора Киприянова.

Первая основная K_-γ -формула Грина.

Пусть мультииндексы $\omega$ и $\gamma$ совпадают: ${\omega }_i\mathrm{<mo>=</mo>}-{\gamma }_i$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n}$, и пусть $u\in C_{ev}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\in C_{ev}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\omega }-{\left(u\mathrm{,}{\Delta }_{B_{-\gamma }}\mathrm{<mi>\; </mi>}v\right)}_{-\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}\right)x^{-\gamma }d\Gamma \mathrm{.}$                                                     (7)

Доказательство. Равенство (7) вытекает из общей формулы (4), если в ней положить ${\omega }_i\mathrm{<mo>=</mo>}-{\gamma }_i$. Остается проверить его справедливость при условии, что $u\mathrm{,}v\in C_{ev}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для этого вернемся к равенству (6), правая часть которого при $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}-\gamma$ примет следующий вид:

${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_i^{-{\gamma }_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}{x}_i^{-{\gamma }_i}\right){\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\\ j\ne i\end{array}}^n}{x}^{-{\gamma }_j}d{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}\mathrm{,}$                                                                       (8)

где ${\Gamma }^{\mathrm{0,}i}$ $—$ соответствующий участок границы области ${\Omega }^{+}$, уравнение которого $x_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Напомним, что в силу естественных причин, связанных с симметрией, область ${\Omega }^{+}$ мы считаем частично замкнутой, т.е. ${\Omega }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{+}\cup {\Gamma }^0$. Это означает, что рассматриваемые функции непрерывно дифференцируемы в окрестности каждого участка ${\Gamma }^{\mathrm{0,}i}$ границы ${\Gamma }^0$. Из $x_i$ -четности этих функций вытекают неравенства

$\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{при}{x}_i\to \mathrm{0<mo>;</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{при}{x}_i\to 0.$                                                                 (9)

Отсюда, учитывая, что $\mathrm{0<mo><</mo>}{\gamma }_i\mathrm{<mo><</mo>1}$, получим

$\underset{x_i\to +0}{{\displaystyle \lim }}{x}_i^{-{\gamma }_i}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\underset{x_i\to +0}{{\displaystyle \lim }}{x}_i^{-{\gamma }_i}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Следовательно, каждое слагаемое в сумме (8)

$\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_i^{-{\gamma }_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}{x}_i^{-{\gamma }_i}\right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Тогда

${\displaystyle \underset{{\Gamma }^0}{\int }}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_i^{-{\gamma }_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}{x}_i^{-{\gamma }_i}\right){\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\\ j\ne i\end{array}}^n}{x}^{-{\gamma }_j}d{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{x}_i^{-{\gamma }_i}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_i}{x}_i^{-{\gamma }_i}\right){\displaystyle \prod _{\begin{array}{c}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\\ j\ne i\end{array}}^n}{x}^{-{\gamma }_j}\mathrm{<mi>\; </mi>}d{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

Равенство (7) доказано.

Из формулы (7) вытекают важные для приложений следствия (см. также [3], где рассматривался только случай ${\omega }_i\mathrm{<mo>=</mo>}-{\gamma }_i$ ).

1. Пусть в (7) $u\mathrm{<mo>=</mo>}v$; тогда

${\displaystyle \underset{{\Omega }^{+}}{\int }}\left({\Delta }_{B_{-\gamma }}u\right)u{x}^{\omega }dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Omega }^{+}}{\int }}u{\Delta }_{B_{-\gamma }}u{x}^{-\gamma }dx\mathrm{.}$

2. Если в (7) $v\mathrm{<mo>=</mo>1}$, то

${\displaystyle \underset{{\Omega }^{+}}{\int }}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u{x}^{\omega }dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}{x}^{-\gamma }d\Gamma \mathrm{.}$

3. Условием $K_{\gamma }$ -гармоничности функции $u\mathrm{<mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в области ${\Omega }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{+}\cup {\Gamma }^0$ является равенство

${\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}{x}^{-\gamma }\mathrm{<mi>\; </mi>}d\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Вторая основная $K_{-\gamma }$ -формула Грина Пусть $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$u\in {\mathcal{M}}_{ev}^{\gamma }\mathrm{,}v\in {\mathcal{M}}_{ev\mathrm{,}{\omega }_0}^{\gamma }\mathrm{.}$                                                                                                 (10)

Тогда

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\omega }{\left(u\mathrm{,}{\Delta }_{B_{\gamma +2}}v\right)}_{{\omega }_0}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left(1+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{{\omega }_0}d\Gamma \mathrm{,}$                    (11)

где ${\omega }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Равенство (11) вытекает также из общей формулы (4), если положить ${\omega }_i\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Остается проверить его справедливость при условии (10). Для этого вернемся к равенству (6), правая часть которого при $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_0$ примет следующий вид:

${\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{\mathrm{0,}i}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left(1+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{{\omega }_0}d\Gamma \mathrm{.}$                                                             (12)

Первые два слагаемых в правой части равенства (12) равны нулю по причине выполнения условий (9). Равенство нулю третьего слагаемого в (12) есть следствие требования (10). Следовательно,

${\displaystyle \underset{{\Gamma }^0}{\int }}\left({\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left(1+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{{\omega }_0}d\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Из формулы (11) вытекают следующие результаты.

1. Пусть $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u\mathrm{<mo>=</mo>}v$ в (11). Тогда

${\displaystyle \underset{{\Omega }^{+}}{\int }}\left({\Delta }_{B_{-\gamma }}u\right)u{x}^{\omega }dx-{\displaystyle \underset{{\Omega }^{+}}{\int }}u{\Delta }_{B_{\gamma +2}}u{x}^{{\omega }_0}dx\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{u}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left(1+{\gamma }_i\right)}{x_i}{x}^{{\omega }_0}d\Gamma \mathrm{.}$

2. Пусть $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_0\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}\dots \mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\mathrm{<mo>=</mo>1}$ в (11). Тогда

${\displaystyle \underset{{\Omega }^{+}}{\int }}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u{x}^{\omega }dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}\left(\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}-{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left(1+{\gamma }_i\right)}{x_i}\right)x^{{\omega }_0}d\Gamma \mathrm{.}$                                                                        (13)

3. Условием $K_{\gamma }$ - гармоничности функции $u\mathrm{<mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в области ${\Omega }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{+}\cup {\Gamma }^0$ является равенство

${\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \overline{\nu }}{x}^{-\gamma }d\Gamma \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Gamma }^{+}}{\int }}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\left(1+{\gamma }_i\right)}{x_i}{x}^{{\omega }_0}d\Gamma \mathrm{,}$           (14)

которое выполняется в любой $s$ -внутренней (симметрично внутренней, см. введение) подобласти ${\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}$ области ${\Omega }^{+}$.

Доказательство. Действительно, если функция $u$ является $K_{\gamma }$ -гармонической, то равенство (14) непосредственно следует из (13). Напротив, пусть в каждой внутренней $s$ -подобласти ${\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}$ области ${\Omega }^{+}$ выполняется (14). Тогда из (13) вытекает, что равенство

${\displaystyle \underset{{\Omega }_{\mathrm{<mo>*</mo>}}^{+}}{\int }}{\Delta }_{B_{-\gamma }}u{x}^{\omega }dx\mathrm{<mo>=</mo>0}$

выполняется в любой подобласти области ${\Omega }^{+}$, что возможно лишь в случае, когда ${\Delta }_{B_{-\gamma }}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ в любой точке $x$ области ${\Omega }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }^{+}\cup {\Gamma }^0$.