Моментные функции решения стохастической системы дифференциальных уравнений в частных производных

Аннотация

Ключевые слова

1. Введение

Рассмотрим задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка

$\frac{\partial y}{\partial t}{\epsilon }_1\left(t\right) A\frac{\partial y}{\partial z}+{\epsilon }_2\left(t\right)y+b\left(t\right)\mathrm{,}z$                                                                                                                            (1)

$y\left(t_0\mathrm{,}z\right)=y_0\left(z\right)$                                                                                                                                                          (2)

где $t\in T\left[t_0\mathrm{,}{t}_1\right]\subset ℝ$, $t_0$ задано, $y : T \times ℝ\to Y$ $—$ искомое отображение, $b : T \times ℝ\to Y$ $—$ случайный векторный процесс, $A$ $—$ постоянный оператор, действующий в пространстве $Y$, $Y$ $—$ конечномерное пространство со скалярным произведением null, ${\epsilon }_1$, ${\epsilon }_2$ $—$ случайные процессы, $y_0\left(z\right)$ $—$ случайный векторный процесс.

Так как уравнение (1) содержит случайные процессы, то решение задачи Коши (1), (2) также является случайным процессом. Для приложений важны статистические характеристики решения $—$ функция распределения, плотность распределения, характеристический функционал или моментные функции. Наиболее важным и одновременно простым является математическое ожидание. Метод сведения стохастической задачи к детерминированному дифференциальному уравнению с обычными и вариационными производными (см. [1-4, 7]) оказался эффективным для нахождения моментных функций решений линейных дифференциальных уравнений. В [2] получены явные формулы для математического ожидания решения мультипликативно возмущенного векторного дифференциального уравнения в частных производных с одним случайным коэффициентом и случайной неоднородностью.

В данной работе решается задача нахождения математического ожидания, смешанных моментных функций и второй моментной функции решения задачи (1), (2) с двумя случайными коэффициентами и случайной неоднородностью. Исследуемая задача сводится к детерминированной системе дифференциальных уравнений с частными и вариационными производными, для которой удается получить явную формулу решения. На основе полученной формулы выписать математическое ожидание, смешанные моментные функции и вторую моментную функцию решения стохастического уравнения с использованием характеристического функционала случайных коэффициентов и неоднородности. В качестве приложений выведены явные формулы смешанных моментных функций и второй моментной функции решения уравнения с независимыми гауссовскими случайными коэффициентами.

2. Математическое ожидание решения задачи (1), (2).

Пусть $L_1\left(T\right)$ $—$ пространство суммируемых функций на отрезке $T$ с нормой

$\parallel v\parallel \underset{T}{\int }\left|v\left(t\right)\right|dt\mathrm{,}$

$\psi : L_1\left(T\right)\to ℂ$ $—$ функционал, $h\in L_1\left(T\right)$ $—$ приращение переменной $v$.

 Определение 1. Если

$\psi \left(v+h\right)-\psi \left(v\right)\underset{T}{\int }\phi \left(t\mathrm{,}v\right)h\left(t\right)dt+o\left(h\right)$

где o(h)  бесконечно малая высшего порядка относительно h и интеграл (Лебега) является линейным ограниченным функционалом по переменной $h$, то отображение $\phi \mathrm{<mo>:</mo>}T\times L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to ℂ$ называется вариационной производной функционала ψ в точке v и обозначается $\delta \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Вариационное дифференцирование аналогично обычному дифференцированию.

Пусть $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначает случайный процесс ( $\omega$ $—$ случайное событие; см. [1]). В дальнейшем случайный процесс будем записывать просто как $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а обозначение $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ использовать для математического ожидания случайного процесса $\epsilon$.

Определение 2. (см. [1, с. 30]) Функционал

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\left[\exp \left(i{\displaystyle \underset{T}{\int }}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\right)\right]\mathrm{,}$

где $v\in L_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{-1}$, называется характеристическим функционалом случайного процесса $\epsilon$.

Отметим, что с помощью характеристического функционала можно находить моментные функции случайного процесса, например (см. [1]),

$\frac{\delta \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}iE\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\frac{{\delta }^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}-E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

2.1. Переход к детерминированной задаче.

Будем считать, что процессы ${\epsilon }_1\mathrm{,}{\epsilon }_2$ и $b$ заданы характеристическим функционалом, т.е. считаем известным

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\left[\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i{\displaystyle \underset{T}{\int }}{\epsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+i{\displaystyle \underset{T}{\int }}{\epsilon }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+i{\displaystyle \underset{T}{\int }}{\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}\mathrm{<mo><</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}d{s}_{2}d{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{.}$

Здесь $\mathrm{<mo><</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo>></mo>}$ обозначает скалярное произведение в $Y$. Введем обозначение

$w\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \left(i{\displaystyle \underset{T}{\int }}{\epsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+i{\displaystyle \underset{T}{\int }}{\epsilon }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+i{\displaystyle \underset{T}{\int }}{\displaystyle \underset{ℝ}{\int }}\mathrm{<mo><</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}d{s}_{2}d{s}_1\right)\mathrm{.}$

Умножим уравнение (1) на $w$ и возьмем математическое ожидание полученного равенства:

$E\left[\frac{\partial y}{\partial t}w\right]\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[{\epsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\frac{\partial y}{\partial z}w\right]+E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\epsilon }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}yw\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$                                                                                           (3)

Введем обозначение

$\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Уравнение (3) (формально) можно записать с помощью $\tilde{y}$. Имеем

$\frac{\partial \tilde{y}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}-iA\frac{{\delta }_p}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{\partial \tilde{y}}{\partial z}-i\frac{{\delta }_p}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\tilde{y}-i\frac{{\delta }_p\psi }{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$                                                                                              (4)

где ${\delta }_p\psi \mathrm{<mo>/</mo>}\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ частная вариационная производная по переменной $v_3$.

Будем считать, что случайный процесс $y_0$ не зависит от случайных процессов ${\epsilon }_1\mathrm{,}{\epsilon }_2$ и $b$. Умножим начальные условие (2) на $w$ и вычислим математическое ожидание полученного равенства:

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Перепишем последнее равенство в виде

$\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                                                               (5)

Определение 3. Математическим ожиданием $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ решения задачи Коши (1), (2) называется $\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,0,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ решение задачи (4), (5) в некоторой окрестности точки $v_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $v_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $v_3\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Таким образом, для нахождения математического ожидания $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ решения задачи (1), (2) достаточно найти решение $\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не случайной (детерминированной) задачи (4), (5) в малой окрестности точки $v_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $v_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $v_3\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

2.2. Решение уравнения с обычной и вариационной производными

Пусть $F_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначает преобразование Фурье функции $g$ по переменной $z$ (см. [6]):

$F_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{i\xi z}dz\mathrm{.}$

Применим преобразование Фурье по переменной $z$ к уравнениям (4), (5):

$\frac{\partial }{\partial t}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\xi A\frac{{\delta }_p}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\frac{{\delta }_p}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                    (6)

$F_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\xi \mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (7)

Пусть $\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция переменной $s\in ℝ$, определенная следующим образом:

$\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}sign\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s-t_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\min \mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo>\}</mo>,}\max \mathrm{<mo>\{</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ 0& \text{в противном случае}\mathrm{.}\end{array}\right.$

В [2] получена явная формула для решения уравнения,содержащего обычную и вариационные производные, с заданным начальным условием.

Теорема 1 (см. [2, теорема 7.3]). Пусть функционал $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ разлагается в ряд

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\displaystyle \underset{T}{\int }}\dots {\displaystyle \underset{T}{\int }}{\psi }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_k\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_1\dots d{s}_k\mathrm{,}{\psi }_0\mathrm{<mo>=</mo>1,}$

где ${\psi }_k$ $—$ симметрические по любой паре переменных функции, имеющие вариационные производные по переменной $v_2$. Тогда решение задачи Коши

$\frac{\partial }{\partial t}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\xi A\frac{\delta }{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\delta \psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$F_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\xi \mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

имеет вид

$F_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}E-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_z\left(\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}E-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)ds\mathrm{.}$

Полученную в теореме 1 формулу можно обобщить на случай задачи Коши вида (6), (7).

Теорема 2. Пусть функционал $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ разлагается в ряд

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\displaystyle \underset{T}{\int }}\dots {\displaystyle \underset{T}{\int }}{\psi }_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_k\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_1\dots d{s}_k\times$

$\times {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\displaystyle \underset{T}{\int }}\dots {\displaystyle \underset{T}{\int }}{\psi }_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_k\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{s}_1\dots d{s}_k\mathrm{,}{\psi }_{10}\mathrm{<mo>=</mo>1,}{\psi }_{20}\mathrm{<mo>=</mo>1,}$                                                                                (8)

где ${\psi }_{ik}$ $—$ симметрические по любой паре переменных функции, и имеющие вариационные производные по переменной $v_3$. Тогда

$F_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_z\left(\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)ds$                                                                                                              (9)

является решением задачи (6), (7).

Замечание 1. Характеристический функционал $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет удовлетворять условию (8), если предположить независимость случайных процессов ${\epsilon }_1$, ${\epsilon }_2$.

2.3. Нахождение математического ожидания решения задачи

Для нахождения среднего значения решения задачи (1), (2) нужно найти отображение $\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Это можно сделать вычислив обратное преобразование Фурье $F_{\xi }^{-1}$ выражения (9). Поскольку преобразование Фурье от произведения равно свертке преобразований Фурье сомножителей (см. [6, с. 154]), то для детерминированной задачи Коши (4), (5) можно получить явную формулу решения.

Теорема 3. Если характеристический функционал $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ разлагается в степенной ряд вида (8), то

$\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i\text{}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right)ds$                                                                                   (10)

является решением детерминированной задачи (4), (5). Здесь $F_{\xi }^{-1}$ $—$ обратное преобразование Фурье, $\ast$ $—$ свертка по переменной $z$, $I$ $—$ единичный оператор.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right)ds$                                                                                              (11)

является математическим ожиданием решения задачи (1), (2).

3. Смешанные моментные функции.

Формула (10) полезна не только для нахождения математического ожидания $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ решения задачи (1),(2), но и может быть применена для нахождения других моментных функций решения задачи (1), (2). Из определения $\tilde{y}$ следует, что

$\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}iE\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

$\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}iE\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

$\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}iE\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Таким образом, смешанные моментные функции может быть найдена из $\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с помощью вариационного дифференцирования.

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-i{F}_{\xi }^{-1}\left(\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\right)\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\right)\right)ds\mathrm{.}$                                                                                         (12)

Доказательство. Так как

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-i\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{,}$

то справедливость формулы (12) можно легко установить, если вычислить вариационную производную от $\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по переменной $v_1$.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-i{F}_{\xi }^{-1}\left(\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\right)\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\right)\right)ds\mathrm{.}$                                                                                          (13)

Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-i{F}_{\xi }^{-1}\left(\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\right)\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_1\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{v}_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\right)\right)ds\mathrm{.}$                                                                                           (14)

4. Вторая моментная функция.

Умножим уравнение (1) на $y^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w$ и возьмем математическое ожидание полученного равенства

$E\left[\frac{\partial y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\right]\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}E\left[{\epsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\frac{\partial y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\right]+E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\epsilon }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$                                                                                                             (15)

Введем обозначение

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Уравнение (15) (формально) можно записать с помощью $\zeta$ в виде

$\frac{\partial \zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-iA\frac{{\delta }_p}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{\partial \zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}-i\frac{{\delta }_p}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$                                                                            (16)

Умножим начальные условие (2) на $y^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w$ и вычислим математическое ожидание полученного равенства, находим

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$

предполагаем, что случайный процесс $y_0$ не зависит от случайных процессов ${\epsilon }_1\mathrm{,}{\epsilon }_2$ и $b$. Перепишем последнее равенство в виде

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                                                                         (17)

Определение 4. Второй моментной функцией $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ решения задачи Коши (1), (2) называется величина $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,0,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ симметричное по переменным $t$, $\tau$ решение уравненияЁ(16), удовлетворяющее условию

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$

в некоторой окрестности точки $v_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $v_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $v_3\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Запишем уравнение (16) при $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{t}_0$:

$\frac{\partial \zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-iA\frac{{\delta }_p}{\delta v_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{\partial \zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial z}-i\frac{{\delta }_p}{\delta v_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$                                                               (18)

Задача (18), (17) имеет вид задачи (4), (5). Найдем её решение по формуле (10):

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right)ds\mathrm{.}$

Так как $\zeta$ симметрична по двум первым переменным, то

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right)ds\mathrm{.}$                                                                                             (19)

Равенство (19) является начальным условием для уравнения (16). Задача (16), (19) имеет вид задачи (4), (5). Найдем её решение по формуле (10):

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{t}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right)ds-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\left(F_z\left(\frac{{\delta }_p\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\right)ds\mathrm{.}$                                                                                               (20)

Подставив (10) в (20), получим окончательное представление для решения задачи (16), (19):

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}ds-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{z}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}ds-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}ds-$

$-{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d\sigma ds\mathrm{.}$

Таким образом, решение задачи (16), (19) задается следующей формулой

$\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}ds-$

$-i{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}ds-$

$-{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p^2\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_{1}I-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}{v}_2-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\sigma \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}d\sigma ds\mathrm{.}$                                                                   (21)

Отметим, что функция $\zeta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{,}z\mathrm{,}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, определяемая формулой (21), симметрична по $t$ и $\tau$.

Теорема 8. Если характеристический функционал $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{v}_1\mathrm{,}{v}_2\mathrm{,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ разлагается в степенной ряд вида (8) имеет вариационную производную второго порядка по переменной $v_3$, то

$E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y}_0^{\text{Т}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-i\text{}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{\tau }{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}ds-$

$-i\text{}{\displaystyle \underset{t_0}{\overset{t}{\int }}}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_{\xi }^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{{\delta }_p\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A-\xi \chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}A\mathrm{,}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_0\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-i\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{v}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\delta v_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{v_3\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\ast E\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}ds-$