Построение регуляризованной асимптотики решения сингулярно возмущенной смешанной задачи на полуоси для неоднородного уравнения типа Шрёдингера с потенциалом V(x) = x

Полный текст

1.  Введение.

Основные принципы метода регуляризации С. А. Ломова в теории сингулярных возмущений были заложены в конце 1950-x - начале 1960-х годов. Окончательную формулировку предложенный подход при выполнении так называемых условий стабильности спектра предельного оператора получил в монографии [13], где основная проблема метода регуляризации (поиск и описание регуляризирующих функций, которые содержат всю сингулярную зависимость асимптотического решения от малого параметра) успешно решена. Для ознакомления с современным состоянием метода регуляризации отсылаем читателя к монографиям [2, 14], где также приведены подробные библиографии по другим существующим подходам в теории сингулярных возмущений. При нарушенных условиях стабильности спектра предельного оператора описание сингулярной зависимости решения от малого параметра значительно сложнее, чем в задачах со стабильным спектром. Более того, до сих пор нет законченной математической теории с позиций метода регуляризации для сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром, хотя с общематематических позиций их стали изучать порядка 50 лет назад. Особый интерес среди таких задач вызывают те, в которых спектральные особенности выражены в виде точечной нестабильности (см., например, [3, 9, 15]). В работах, посвященных сингулярно возмущенным задачам, в рамках метода регуляризации некоторая часть особенностей такого вида названа точками поворота и проведена их классификация:

    (i) простая точка поворота $—$ собственные значения предельного оператора изолированы друг от друга и одно собственное значение в отдельных точках обращается в нуль;

    (ii) слабая точка поворота $—$ хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных точках, но при этом предельный оператор сохраняет диагональную структуру вплоть до точек пересечения, а базис из собственных векторов сохраняет гладкость;

    (iii) сильная точка поворота $—$ хотя бы пара собственных значений пересекаются в отдельных точках, но при этом предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову в точках пересечения, а базис собственных векторов теряет гладкость.

Приведем ссылки на несколько последних исследований в рамках метода регуляризации сингулярно возмущенных задач с особенностями в спектре предельного оператора указанного вида: по простой точке поворота см. [5, 9, 10], по слабой точке поворота $—$ [7, 8, 11], сильной точке поворота посвящены статьи [4, 6].

Типичными физическими примерами сингулярно возмущенных задач являются уравнение Навье$–$Стокса с малой вязкостью и уравнение Шрёдингера, если постоянную Планка $\hslash$ считать малой величиной[1]. Формальный предельный переход $\hslash \to 0$ в соотношениях квантовой теории осуществляет переход от квантовой к классической механике (см., например,[12, гл. 6]), поэтому в тех случаях, когда целесообразно искать приближенные (по малому $\hslash$ ) решения уравнения Шрёдингера, говорят о квазиклассическом приближении (см.[12, гл. 7]). Описанный квазиклассический переход в нестационарном уравнении Шрёдингера в координатном представлении на полуоси с гамильтонианом $\widehat{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\widehat{p}}^2+\widehat{x}$ порождает сингулярно возмущенную задачу, асимптотическому интегрированию которой посвящена настоящая работа. Следует сразу отметить, что рассматриваемая нами задача содержит неоднородное уравнение, что, как станет ясно в основном тексте статьи, существенно усложняет процесс построения регуляризованного асимптотического ряда.

Во многом наши исследования по асимптотическому интегрированию смешанной задачи для нестационарного и неоднородного уравнения Шрёдингера с обозначенным выше гамильтонианом при $\hslash \to 0$ представляют собой развитие идей работы [6], где рассмотрена задача Коши для неоднородного уравнения Шрёдингера с особенностью в спектре предельного оператора в виде сильной точкой поворота. В дальнейшем всюду будем использовать обозначение $\epsilon$ вместо $\hslash$, что является более естественным в теории сингулярных возмущений.

2. Постановка задачи.

Рассмотрим смешанную задачу на полуоси для нестационарного уравнения Шрёдингера ( $\epsilon \equiv \hslash$ ) с неоднородностью $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

  $\left\{\begin{array}{ll}i\epsilon \frac{\partial u}{\partial t}+{\epsilon }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-xu\mathrm{<mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{0<mo><</mo>}x\mathrm{<mo><</mo>}+\infty \mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}t\le T\mathrm{,}\hfill & \hfill \\ u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \end{array}\right.$                                     (1)

 причём выполнены следующие условия:

    (i) $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathrm{0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

    (ii) $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathrm{0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$;

    (iii) имеют место равномерные по $t$ неравенства

  ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{x}^2\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dx\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{x}^2\mathrm{<mo>|</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dx\mathrm{<mo><</mo>}\infty$

(достаточные условия для существования и единственности решения);

    (iv) для всех натуральных $k$, $m$, $n$ имеют место равномерные по $t$ неравенства

${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{x}^m\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dx\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}}{x}^m\mathrm{<mo>|</mo>}{h}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{,}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dx\mathrm{<mo><</mo>}\infty$

(достаточные условия для построения асимптотического ряда);

    (v) $\epsilon$ $—$ малый параметр, т.е. задача изучается при $\epsilon \to 0$.

Существование и единственность классического решения задачи (1) при выполненных условиях (i)$–$(v) обосновывается стандартными методами математической физики (см., например, [16]), опираясь на фундаментальное решение, полученное в приложении 1.

Для наглядного представления о виде спектральной особенности в поставленной задаче следует перейти к матричной форме записи:

$\epsilon \frac{\partial }{\partial x}\left(\begin{array}{c}u\\ \upsilon \end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ x& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}u\\ \upsilon \end{array}\right)-i\epsilon \left(\begin{array}{cc}0& 0\\ \partial \mathrm{<mo>/</mo>}\partial t& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}u\\ \upsilon \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ h\end{array}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}$

здесь введена замена $\epsilon \cdot \partial u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial x\mathrm{<mo>=</mo>}\upsilon$. Тогда матрица предельного оператора имеет вид

$A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ x& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

Теперь легко заметить, что матрица $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ диагонализируема и имеет гладкий базис из собственных векторов при $x\ne 0$, а в точке пересечения собственных значений (т.е. при $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ ) соответствующий ей предельный оператор меняет диагональную структуру на жорданову и базис из собственных векторов теряет гладкость по $x$. Согласно указанной во введении классификации, такая спектральная особенность представляет собой сильную точку поворота.

В общем случае регуляризирующие функции необходимо строить, опираясь на каноническую форму предельного оператора, к которой можно привести с помощью гладких преобразований (см., например, [1]), и соответствующий базис из собственных векторов, но в предложенной задаче оператор уже имеет каноническую форму и в соответствующих построениях нет необходимости. Более того, необходимо произвести регуляризацию правой части $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (это связано с тем, что предельный оператор с матрицей $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в точке $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ необратим) и описать пограничный слой обусловленный точкой $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

3. Формализм метода регуляризации.

Во введении было отмечено, что метод регуляризации С. А. Ломова предлагает описывать сингулярную зависимость решения от малого параметра сразу (до построения асимптотического ряда путем решения итерационных задач) и абсолютно точно с помощью введения регуляризирующих функций и/или регуляризирующих операторов. Если это удалось сделать, то оставшуюся часть асимптотического решения можно искать в виде степенных рядов по малому параметру аналогично тому, как поступают при построении асимптотики в регулярно возмущенных задачах. Поэтому считаем целесообразным повествование в этом разделе начать именно с построения необходимых здесь дополнительных конструкций, содержащих в себе всю неравномерную сингулярную зависимость от $\epsilon$, а затем перейти к построению асимптотического решения.

3.1  Регуляризирующая функция и дополнительные регуляризирующие операторы.

Регуляризирующую функцию задачи (1) будем искать в стандартной форме $e^{-i\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\epsilon }$, для решений линейных однородных уравнений такие сингулярности были выделены ещё Ж. Лиувиллем в [18]. Итак, осуществляя подстановку $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\upsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot e^{-i\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\epsilon }$ в соответствующее однородное уравнение задачи (1) и собирая слагаемые при одинаковых степенях $\epsilon$, получим:

$\left(\frac{\partial \phi }{\partial t}-{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)}^2-x\right)\upsilon +i\epsilon \left(\frac{\partial \upsilon }{\partial t}-\frac{{\partial }^2\phi }{\partial x^2}\cdot \upsilon -2\cdot \frac{\partial \phi }{\partial x}\cdot \frac{\partial \upsilon }{\partial x}\right)+{\epsilon }^2\frac{{\partial }^2\upsilon }{\partial x^2}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$                           (2)

 Анализ последнего выражения позволяет утверждать, что для поиска $\upsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в виде регулярного ряда по $\epsilon$ нужно в качестве $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ взять решение следующей задачи:

$\frac{\partial \phi }{\partial t}-{\left(\frac{\partial \phi }{\partial x}\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$                                                                                                 (3)

 Выбор начального условия для $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обусловлен нежеланием того, чтобы в дальнейшем начальное условие для $\upsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ содержало сингулярную зависимость от $\epsilon$. Кроме того, при таком выборе начальное условие на $\upsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ наследует начальное условие задачи (1).

Задача (3) представляет собой задачу для нелинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, решать которую будем методом характеристик (см. [17, гл. 5, § 4, с. 268--272]). Введя обозначения $p\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \phi \mathrm{<mo>/</mo>}\partial t$ и $q\mathrm{<mo>=</mo>}\partial \phi \mathrm{<mo>/</mo>}\partial x$, получим следующую характеристическую систему для уравнения задачи (3):

$\begin{array}{c}\frac{dt}{1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dx}{-2q}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dp}{0}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{dq}{1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d\phi }{p-2q^2}\mathrm{<mo>=</mo>}dr\mathrm{,}\\ \text{Н}\text{.У}\text{.:}t\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\mathrm{<mo>=</mo>}s\mathrm{,}\phi \mathrm{<mo>=</mo>0,}q\mathrm{<mo>=</mo>0,}p\mathrm{<mo>=</mo>}s\mathrm{.}\end{array}$                                                                                 (4)

 Начальные условия в последней системе получены параметризацией ( $s$ $—$ параметр) начального условия задачи (3).

Интегрируя систему (4), получаем искомую поверхность в параметрическом виде:

$t\mathrm{<mo>=</mo>}r\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}-r^2+s\mathrm{,}\phi \mathrm{<mo>=</mo>}sr-\frac{2}{3}{r}^3\mathrm{.}$

 Тогда окончательно для функции $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в явном виде имеем:

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}t\cdot \left(x+\frac{t^2}{3}\right)\mathrm{.}$                                                                                                        (5)

Дополнительный регуляризирующий сингулярный оператор, связанный с точечной необратимостью предельного оператора $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, строится с помощью фундаментального решения задачи (1) на всей прямой, которое можно получить методом интегрального преобразования Фурье для однородного уравнения с дельта-функцией в начальном условии (см. приложение 1). Выпишем здесь только окончательный результат:

$\Phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon t}}\exp \left(-\frac{it}{\epsilon }\left(\xi +\frac{t^2}{3}\right)+i\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^2-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{4\epsilon t}\right)\mathrm{.}$                                                     (6)

 Построение указанного регуляризирующего оператора тесно связано с решением исходной задачи (1) при $-\infty \mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{<mo><</mo>}\infty$ с правой частью $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i\epsilon$ и однородным начальным условием. Обозначив это решение $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и используя фундаментальное решение (6), получим

$\sigma x\mathrm{,}t\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d\xi \cdot \Phi x-\xi \mathrm{,}t-\tau \frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d\tau }{\sqrt{t-\tau }}\cdot \exp \left(-i\frac{t-\tau x}{\epsilon }\right)\times \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d\xi \cdot \exp \left(i\frac{t-\tau }{\epsilon }\cdot \left(x-\xi -\frac{{t-\tau }^2}{3}\right)+i\frac{{x-\xi -{t-\tau }^2}^2}{4\epsilon t-\tau }\right)\mathrm{.}$

 Для упрощения дальнейших вычислений обозначим внутренний интеграл по $\xi$ через $I_0$ и положим $t-\tau \equiv \alpha$. После замены $s\mathrm{<mo>=</mo>}x-\xi$ отдельно для $I_0$ получим

$I_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}ds\cdot \exp \left(\frac{i\alpha }{\epsilon }\cdot \left(s-\frac{{\alpha }^2}{3}\right)+i\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s-{\alpha }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{4\epsilon \alpha }\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \left(\frac{-i{\alpha }^3}{12\epsilon }\right)\cdot {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}ds\cdot \exp \left(\frac{i\alpha s}{2\epsilon }+\frac{i{s}^2}{4\epsilon \alpha }\right)\mathrm{.}$

 Теперь выделим в показателе экспоненты подынтегрального выражения полный квадрат:

$\frac{i\alpha s}{2\epsilon }+\frac{i{s}^2}{4\epsilon \alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{i}{4\epsilon \alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}^2+2{\alpha }^{2}s+{\alpha }^4-{\alpha }^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{i}{4\epsilon \alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}s+\alpha {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-{\alpha }^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s+{\alpha }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{4\epsilon \alpha }-\frac{i{\alpha }^3}{4\epsilon }\mathrm{.}$

 Сделав замену $z\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}s+{\alpha }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\sqrt{\epsilon \alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, выпишем результат для $I_0$:

$I_0\mathrm{<mo>=</mo>}\exp \left(\frac{-i{\alpha }^3}{3\epsilon }\right)\cdot 2\sqrt{\epsilon \alpha }{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}dz\cdot e^{i{z}^2}\mathrm{.}$

 Получившийся интеграл вычислен в приложении 1; его значение равно $\sqrt{\pi \mathrm{<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Возвращаясь к исходным обозначения, для искомого $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем иметь:

$\sigma x\mathrm{,}t\frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{d\tau }{\sqrt{t-\tau }}\cdot \exp \left(-i\frac{t-\tau x}{\epsilon }\right)\cdot \exp \left(-i\frac{{t-\tau }^3}{3\epsilon }\right)\cdot 2\sqrt{\epsilon t-\tau }\times \sqrt{\frac{\pi }{2}}+i\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot \exp \left(-i\frac{t-\tau }{\epsilon }\left(x+\frac{{t-\tau }^2}{3}\right)\right)$

Полученный результат позволяет определить тот самый дополнительный регуляризирующий оператор $\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, основная задача которого $—$ вложить правую часть уравнения задачи (1) в образ предельного оператора, в следующем виде:

$\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\exp \left(-\frac{i\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\epsilon }\right)\mathrm{,}$

 где функция $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена в (5). При этом действие этого оператора на функцию $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ запишется как свертка:

$\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \exp \left(-i\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\epsilon }\left(x+\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}{3}\right)\right)\equiv f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}\exp \left(-\frac{it}{\epsilon }\cdot \left(x+\frac{t^2}{3}\right)\right)\mathrm{.}$

 Основным свойством, которое устанавливается непосредственной подстановкой, является следующее:

$L_{\epsilon }\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i\epsilon f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{где}{L}_{\epsilon }\equiv i\epsilon \frac{\partial }{\partial t}+{\epsilon }^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-x\mathrm{.}$                                                                                        (7)

 Очевидно также, что это свойство является прямым следствием того, из каких соображений была найдена функция $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, порождающая дополнительный регуляризирующий оператор $\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т.е. того факта, что $L_{\epsilon }\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i\epsilon$.

Осталось выделить сингулярную зависимость от $\epsilon$, описывающую пограничный слой при $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$. В основе построения соответствующего сингулярного оператора лежит решение исходной задачи для однородного уравнения с однородным начальным условием, где в качестве граничного условия выбрана функция «единичного скачка» (функция Хевисайда) $\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Указанное решение $\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ может быть получено с помощью преобразования Лапласа или интегрального преобразования Фурье (последняя возможность реализована в приложение 2) и имеет вид:

   $\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \left(\sqrt{t-\tau }+\frac{x}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}\right)\cdot \exp \left(-\frac{i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}{3\epsilon }+\frac{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4\epsilon }{\left(t-\tau -\frac{x}{t-\tau }\right)}^2\right)\mathrm{.}$                                          (8)

 Последнее соотношение позволяет ввести по аналогии с оператором $\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ регуляризирующий оператор $\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в следующем виде:

   $\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\sqrt{t-\tau }+\frac{x}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}\right)\cdot \exp \left(-\frac{i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}{3\epsilon }+\frac{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{4\epsilon }{\left(t-\tau -\frac{x}{t-\tau }\right)}^2\right)\mathrm{<mo>;</mo>}$

 тогда его действие на функцию $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ запишется как свертка:

$\widehat{\chi }ft\frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot f\tau \cdot \left(\sqrt{t-\tau }+\frac{x}{{t-\tau }^{}}\right)\times \exp \left(-\frac{i{t-\tau }^3}{3\epsilon }+\frac{it-\tau }{4\epsilon }{\left(t-\tau -\frac{x}{t-\tau }\right)}^2\right)\equiv$

$\equiv f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}\left(\frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon }}\left(\sqrt{t}+\frac{x}{t^{\mathrm{3<mo>/</mo>2}}}\right)\cdot \exp \left(-\frac{i{t}^3}{3\epsilon }+\frac{it}{4\epsilon }{\left(t-\frac{x}{t}\right)}^2\right)\right)\mathrm{.}$

 Последний результат приведём к более простому виду, сделав замену

  $z\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x}{2\sqrt{\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t-\frac{x^2}{4\epsilon z^2}\mathrm{,}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x^2}{2\epsilon z^3}dz\mathrm{.}$

 Получим

$\widehat{\chi }ft\frac{1-i}{2\sqrt{2\pi \epsilon }}\underset{x\sqrt{\epsilon t}}{\overset{\infty }{\int }}dz\cdot \frac{x^2}{2\epsilon z^3}\cdot f\left(t-\frac{x^2}{4\epsilon z^2}\right)\cdot \left(\frac{x}{2\sqrt{\epsilon }z}+\frac{8{\epsilon }^{}{z}^3}{x^2}\right)\times \cdot \exp \left(-\frac{i{x}^6}{192{\epsilon }^4{z}^6}+\frac{i{x}^2}{16{\epsilon }^2{z}^2}{\left(\frac{x^2}{4\epsilon z^2}-\frac{4\epsilon z^2}{x}\right)}^2\right)$                                      

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle \underset{x\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\sqrt{\epsilon t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\infty }{\int }}}dz\cdot f\left(t-\frac{x^2}{4\epsilon z^2}\right)\left(1+\frac{x^3}{16{\epsilon }^2{z}^4}\right)\cdot \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

 В последнем соотношении показатель экспоненты обозначен многоточием, преобразуем его отдельно с помощью несложных операций:

$-\frac{i{x}^6}{192{\epsilon }^4{z}^6}+\frac{i{x}^2}{16{\epsilon }^2{z}^2}\left(\frac{x^4}{16{\epsilon }^2{z}^4}-2x+\frac{16{\epsilon }^2{z}^4}{x^2}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{i{x}^6}{192{\epsilon }^4{z}^6}+\frac{i{x}^6}{256{\epsilon }^4{z}^6}-\frac{i{x}^3}{8{\epsilon }^2{z}^2}+i{z}^2\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{i{x}^6}{768{\epsilon }^4{z}^6}-\frac{i{x}^3}{8{\epsilon }^2{z}^2}+i{z}^2\mathrm{.}$

 Таким образом, окончательно получим:

$\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(1-i\right)\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle \underset{x\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\sqrt{\epsilon t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\infty }{\int }}}dz\cdot f\left(t-\frac{x^2}{4\epsilon z^2}\right)\cdot \left(1+\frac{x^3}{16{\epsilon }^2{z}^4}\right)\cdot \exp \left(-\frac{i{x}^6}{768{\epsilon }^4{z}^6}-\frac{i{x}^3}{8{\epsilon }^2{z}^2}+i{z}^2\right)\mathrm{.}$                          (9)

 В таком виде нетрудно явным вычислением установить основные свойства введенного дополнительного сингулярного оператора:

$L_{\epsilon }\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (10)

 Эти свойства становятся очевидными, если принять во внимание, из каких соображений был построен оператор $\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3.2. Построение регуляризованного асимптотического ряда.

Построенные в предыдущем разделе регуляризирующая функция $e^{-i\phi \mathrm{<mo>/</mo>}\epsilon }$ и дополнительные регуляризирующие операторы $\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ позволяют рассчитывать, что оставшуюся часть решения исходной задачи (1) можно искать в виде cтепенных рядов по $\epsilon$:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-i\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\epsilon }{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\upsilon }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot {\epsilon }^k+{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}-1}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\cdot {\epsilon }^k+{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{\omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot {\epsilon }^k\mathrm{<mo>;</mo>}$                                                                (11)

 здесь начало суммирования с $k\mathrm{<mo>=</mo>}-1$ во втором ряде обусловлено свойством (7) и необходимостью регуляризации правой части $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (1) на нулевом шаге по $\epsilon$.

Учитывая соотношения (2) и свойства построенных операторов (7), (10), подставим (11) в задачу (1). При этом получим:         

 $\begin{array}{c}\\ \end{array}$$\left\{\begin{array}{l}{e}^{-i\phi \epsilon }\left(i\sum _k^{\infty }{\dot{\upsilon }}_k{\epsilon }^{k+1}+\sum _k^{\infty }{{{\upsilon }^{\text{'}}}^{\text{'}}}_k{\epsilon }^{k+2}-2it\sum _k^{\infty }{{\upsilon }^{\text{'}}}_k{\epsilon }^{k+1}\right)+i\sum _k^{\infty }{z}_{k-1}\cdot {\epsilon }^k+i\sum _k^{\infty }{\dot{\omega }}_k\cdot {\epsilon }^{k+1}+\sum _k^{\infty }{{{\omega }^{\text{'}}}^{\text{'}}}_k\cdot {\epsilon }^{k+2}-x\sum _k^{\infty }{\omega }_k\cdot {\epsilon }^{k}hx\mathrm{,}t\\ \sum _k^{\infty }{\upsilon }_{k}x\cdot {\epsilon }^k+\sum _k^{\infty }{\omega }_{k}x\cdot {\epsilon }^{k}fx\\ e^{-i{t}^3\epsilon }\sum _k^{\infty }{\upsilon }_{k}t\cdot {\epsilon }^k+\sum _{k-1}^{\infty }\left(\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot z_k\tau \cdot e^{-i{t-\tau }^3\epsilon }\right)\cdot {\epsilon }^k+\sum _{k-1}^{\infty }{y}_{k}t\cdot {\epsilon }^k+\sum _k^{\infty }{\omega }_{k}t\cdot {\epsilon }^k\psi t\end{array}\right.$(12)

здесь ${\upsilon }_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\upsilon }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\omega }_k\mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $z_k\mathrm{<mo>=</mo>}{z}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $y_k\mathrm{<mo>=</mo>}{y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, точкой обозначена частная производная по времени, штрихом $—$ частная производная по координате.

Выделив в (12) группы слагаемых при регуляризирующей функции и без нее, приходим к серии итерационных задач:                

 $\left\{\begin{array}{l}i{z}_{k-1}t+i{\dot{\omega }}_{k-1}x\mathrm{,}t+{{{\omega }^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{k-2}x\mathrm{,}t-x\cdot {\omega }_{k}x\mathrm{,}t{\delta }_0^k\cdot hx\mathrm{,}t\\ i{\dot{\upsilon }}_{k}x\mathrm{,}t+{{{\upsilon }^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{k-1}x\mathrm{,}t-2it{{\upsilon }^{\text{'}}}_{k}x\mathrm{,}t\\ {\upsilon }_{k}x+{\omega }_{k}x{\delta }_0^k\cdot fx\\ e^{-i{t}^3\epsilon }{\upsilon }_{k-1}t+\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot z_{k-1}\tau \cdot e^{-i{t-\tau }^3\epsilon }++y_{k-1}t+{\omega }_{k-1}t{\delta }_1^k\cdot \psi tk\overline{\mathrm{0,}\infty }.\end{array}\right.$                                                              (13)

Отметим, что при отрицательных индексах у функций ${\upsilon }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ их необходимо считать равными нулю (этих слагаемых просто нет в ряде (11)).

Для начала рассмотрим итерационную задачу на нулевом шаге (т.е. при $k\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в (13)):

$\left\{\begin{array}{ll}i{z}_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-x\cdot {\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ i{\dot{\upsilon }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-2it{{\upsilon }^{\prime }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\hfill & \hfill \\ {\upsilon }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill \\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot z_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot e^{-i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>3}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+y_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}\hfill & \hfill \end{array}\right.$                                           (14)

 Для разрешимости первого уравнения из системы (14) достаточно положить

$z_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv -ih\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (15)

 Тогда для ${\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получим гладкое решение

${\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{-x}\mathrm{,}$                                                                                                                                              (16)

 что в свою очередь приводит к задаче Коши для определения функции ${\upsilon }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$\frac{\partial {\upsilon }_0}{\partial t}-2t\cdot \frac{\partial {\upsilon }_0}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}{\upsilon }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

 Последняя задача легко решается обычными методами интегрирования линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:

${\upsilon }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x+t^2}\mathrm{.}$                                                                                                                               (17)

 Выражение для $z_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в (15) и граничное условие в системе (14) позволяют выписать соотношение для $y_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$y_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot \exp \left(-\frac{i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}{3\epsilon }\right)\cdot h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                                                                          (18)

 Отметим, что функция $z_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на нулевом шаге не определяются, выражения для них будут получены на следующем итерационном шаге. Этот факт не позволяет нам пока выписать главный член асимптотики.

Переходим теперь к задаче с $k\mathrm{<mo>=</mo>1}$ в (13):

 $\left\{\begin{array}{l}i{z}_{0}t+i{\dot{\omega }}_{0}x\mathrm{,}t-x\cdot {\omega }_{1}x\mathrm{,}t\\ i{\dot{\upsilon }}_{1}x\mathrm{,}t+{{{\upsilon }^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{0}x\mathrm{,}t-2it{{\upsilon }^{\text{'}}}_{1}x\mathrm{,}t\\ {\upsilon }_{1}x+{\omega }_{1}x\\ e^{-i{t}^3\epsilon }\cdot {\upsilon }_{0}t+\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot z_0\tau \cdot \exp \left(-i\frac{{t-\tau }^3}{3\epsilon }\right)+y_{0}t+{\omega }_{0}t\psi t\end{array}\right.$                                                                                    (19)

Подставляя ${\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (16) в первое уравнение этой системы, убеждаемся, что для его разрешимости нужно положить

$z_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv -i{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{где}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\right)\mathrm{.}$                                                                                                        (20)

 Тогда аналогично предыдущему итерационному шагу для ${\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получим гладкое решение

${\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{-x}\mathrm{,}$

 а для ${\upsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (20) $—$ задачу Коши для квазилинейного неоднородного уравнения в частных производных первого порядка:

$\frac{\partial {\upsilon }_1}{\partial t}-2t\cdot \frac{\partial {\upsilon }_1}{\partial x}\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\upsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\mathrm{<mo>;</mo>}$

 здесь введено обозначение

$f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv i\cdot {{{\upsilon }^{\prime }}^{\prime }}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x+t^2}\right)\mathrm{.}$

 Выпишем здесь только окончательное решение последней задачи, опуская подробности:

${\upsilon }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}t\cdot f_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x+t^2}\mathrm{.}$

 Осталось подставить ${\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (16), ${\upsilon }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (17) и $z_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (20) в граничное условие системы (19), что приводит к возможности определить $y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Будем иметь

$y_{0}t\psi t-e^{-i{t}^3\epsilon }\cdot \left(f{t}^2+\frac{h{t}^2-h}{t^2}\right)+{\left(\frac{hx\mathrm{,}t-ht}{x}\right)}_x+i\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot \exp \left(-\frac{i{t-\tau }^3}{3\epsilon }\right)\cdot h_1\tau$                                                         (21)

 Ещё раз необходимо обратить внимание на то, что полностью определить все слагаемые перед ${\epsilon }^1$ в ряде (11) удастся только на следующем итерационном шаге: осталось найти $z_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Последнее можно сделать, рассмотрев условия разрешимости первого уравнения и граничное условие в системе (13) при $k\mathrm{<mo>=</mo>2}$. В результате будем иметь

$z_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv -i{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где

$h_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}i\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left(\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\right)\mathrm{,}$

$y_{1}t-e^{-i{t}^3\epsilon }\cdot \left(t\cdot f_1{t}^2+\frac{h_1{t}^2-h_1}{t^2}\right)+\left(\frac{h_{1}x\mathrm{,}t-h_{1}t}{x}\right){}_x+ i\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot \exp \left(-\frac{i{t-\tau }^3}{3\epsilon }\right)\cdot h_2\tau$

а функция $h_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена в (20).

Продолжая по аналогии описанный процесс для $k\mathrm{<mo>=</mo>2,3,}\dots$ в (13), можно найти все члены ряда (11). В конце данного раздела, опираясь на (15), (16), (17), (18), (20) и (21), выпишем главный член асимптотики:

$u_{\text{гл}\text{.}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{\sigma }\left(z_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+\widehat{\chi }\left(y_{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\widehat{\chi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+e^{-i\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\epsilon }\cdot {\upsilon }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\omega }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\frac{1}{\epsilon }-i\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot h\tau \cdot \exp \left(-i\frac{t-\tau }{\epsilon }\left(x+\frac{{t-\tau }^2}{3}\right)\right)+i\sqrt{\frac{2}{\pi }}\underset{x\sqrt{\epsilon t}}{\overset{\infty }{\int }}dz\underset{0}{\overset{t-x^2\epsilon z^2}{\int }}d\tau \left(1+\frac{x^3}{16{\epsilon }^2{z}^4}\right)\times$

 $\times \exp \left(-\frac{i{x}^6}{768{\epsilon }^4{z}^6}-\frac{i{x}^3}{8{\epsilon }^2{z}^2}+i{z}^2-\frac{i{t-x^2\epsilon z^2-\tau }^3}{3\epsilon }\right)\cdot h\tau +\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \cdot {\frac{\dot{h}x\mathrm{,}\tau -\dot{h}\tau }{x}}_x\cdot \exp \left(-i\frac{t-\tau }{\epsilon }\left(x+\frac{{t-\tau }^2}{3}\right)\right)+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{\frac{2}{\pi }}{\displaystyle \underset{x\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\sqrt{\epsilon t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\infty }{\int }}}dz\left(1+\frac{x^3}{16{\epsilon }^2{z}^4}\right)\cdot \exp \left(-\frac{i{x}^6}{768{\epsilon }^4{z}^6}-\frac{i{x}^3}{8{\epsilon }^2{z}^2}+i{z}^2\right)\times$

$\times \psi \left(t-\frac{x^2}{4\epsilon z^2}\right)-\exp \left(-\frac{i{t-x^2\epsilon z^2}^3}{3\epsilon }\right)\cdot f\left({\left(t-\frac{x^2}{4\epsilon z^2}\right)}^2\right)+\frac{ht-x^2\epsilon {z^2}^2-h}{{t-x^2\epsilon z^2}^2}+{\frac{h\left(x\mathrm{,}t-x^2\epsilon z^2\right)-h\left(\mathrm{0,}t-x^2\epsilon z^2\right)}{x}}_x-$

   $-\underset{0}{\overset{t-x^2\epsilon z^2}{\int }}d\tau \cdot \exp \left(-\frac{-i{\left(t-x^2\epsilon z^2-\tau \right)}^3}{3\epsilon }\right)\cdot \frac{\dot{h}x\mathrm{,}\tau -\dot{h}\tau }{x}{}_x+\exp \left(-\frac{it\left(x+t^2\right)}{\epsilon }\right)\cdot \left(fx+t^2+\frac{hx+t^2-h}{x+t^2}\right)-\frac{hx\mathrm{,}t-ht}{x}\mathrm{.}$

 Для практического использования можно учесть полученную в лемме 7 оценку (см. приложение 3). Тогда формула главного члена упрощается:

$u_{\text{гл}\text{.}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{i}{\epsilon }{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \exp \left(-\frac{i{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}{3\epsilon }\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}ierfc\left(\frac{x}{2\sqrt{\epsilon t}}\right)-\exp \left(-\frac{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x}{\epsilon }\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+$

$+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot \frac{\dot{h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\dot{h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}}\cdot \exp \left(-i\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\epsilon }\left(x+\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{3}\right)\right)+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-e^{-i{t}^3\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>3}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot \left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^2\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{t^2}\right)+\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t}{x}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}}-$

$-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot \exp \left(-\frac{-i{\left(t-\tau \right)}^3}{3\epsilon }\right)\cdot \frac{\dot{h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\dot{h}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cdot ierfc\left(\frac{x}{2\sqrt{\epsilon t}}\right)+$

$+\exp \left(-\frac{it\left(x+t^2\mathrm{<mo>/</mo>3}\right)}{\epsilon }\right)\cdot \left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t^2\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x+t^2}\right)-\frac{h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}+O\left(\frac{\sqrt{\epsilon }}{x}\right)\mathrm{.}$

 где введено обозначение

$ierfc\left(\frac{x}{2\sqrt{\epsilon t}}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\displaystyle \underset{x\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\sqrt{\epsilon t}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{\infty }{\int }}}dz\cdot e^{i{z}^2}\mathrm{.}$

4. Оценка остаточного члена.

Пусть члены ряда (11) определены в результате решения итерационных задач (13) для $0\le k\le n+1$. Запишем соотношение для остатка:

$ux\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon e^{-i\phi x\mathrm{,}t\epsilon }\sum _k^n{\upsilon }_{k}x\mathrm{,}t\cdot {\epsilon }^k+\sum _{k-1}^n\widehat{\sigma }{z}_{k}t+\widehat{\chi }{y}_{k}t\cdot {\epsilon }^k+\sum _k^n{\omega }_{k}x\mathrm{,}t\cdot {\epsilon }^k+{\epsilon }^{n+1}\cdot R_{n}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon$                                     (22)

 Подставим (22) в задачу (1). Учитывая решения итерационных задач и сокращая на ${\epsilon }^{n+1}$, для остаточного члена получим задачу:

$\left\{\begin{array}{l}i\epsilon \frac{\partial R_n}{\partial t}+{\epsilon }^2\frac{{\partial }^2{R}_n}{\partial x^2}-x\cdot R_n-Hx\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \\ R_{n}x\mathrm{,0,}\epsilon R_{n}t\mathrm{,}\epsilon \end{array}\right.$                                                                                                        (23)

 где

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-i\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\epsilon }\cdot {{{\upsilon }^{\prime }}^{\prime }}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \epsilon +x\cdot {\omega }_{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\epsilon \cdot {{{\omega }^{\prime }}^{\prime }}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\mathrm{<mo>></mo>0,}\mathrm{0<mo><</mo>}t\le T\mathrm{.}$

Доопределим эту функцию тождественным нулём при $x\le 0$. Тогда, используя фундаментальное решение (6), для $R_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в (23) получим:

$R_n\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1-i}{2i\epsilon \sqrt{2\pi \epsilon }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\frac{d\tau }{\sqrt{t-\tau }}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}d\xi \cdot \exp \left(-\frac{i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\epsilon }\left(\xi +\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{3}\right)+i\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\xi -{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{4\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

 Выделив во внутреннем интеграле полный квадрат в показателе экспоненты, сделаем замену переменной интегрирования $\xi$ на переменную

  $y\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\xi -x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2\sqrt{\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}-i\sqrt{\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^3}{\epsilon }}\mathrm{.}$

 Тогда последнее выражение для остаточного члена перепишется в виде:

$R_n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{i+1}{\epsilon \sqrt{2\pi }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot \exp \left(-i\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\epsilon }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right){\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}dy\cdot e^{i{y}^2}\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\tau \mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

 Теперь, учитывая условия (i) и (ii) в постановке задачи (1) и тот факт, что итерационные задачи решены вплоть до шага $k\mathrm{<mo>=</mo>}n+1$, легко построить оценку по модулю для остатка:$\mathrm{<mo>|</mo>}{R}_n\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{\epsilon \sqrt{\pi }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau \cdot {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}dy\cdot \mathrm{<mo>|</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{,}\tau \mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{T\cdot M}{\epsilon \cdot \sqrt{\pi }}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{C}{\epsilon }\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

 Осталось представить остаточный член в виде    $R_n\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_{n+1}+\epsilon \cdot R_{n+1}\mathrm{.}$

 Окончательно получим    $\mathrm{<mo>|</mo>}{R}_n\mathrm{<mo>|</mo>}\le \mathrm{<mo>|</mo>}{u}_{n+1}\mathrm{<mo>|</mo>}+\epsilon \cdot \frac{C}{\epsilon }\le ℂ\mathrm{.}$

 Тем самым доказана следующая теорема.

Теорема (об оценке остатка (асимтотическая сходимость)). Пусть дана смешанная задача на полуоси (1) и выполнены условия (i)$–$(ii). Тогда существует единственное решение этой задачи $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и справедлива оценка

$\parallel ux\mathrm{,}t\mathrm{,}\epsilon -e^{-i\phi x\mathrm{,}t\epsilon }\sum _k^n{\upsilon }_{k}x\mathrm{,}t\cdot {\epsilon }^k-\sum _{k-1}^n\widehat{\sigma }{z}_{k}t+\widehat{\chi }{y}_{k}t\cdot {\epsilon }^k-\sum _k^n{\omega }_{k}x\mathrm{,}t\cdot {\epsilon }^k{\parallel }_{C{ℝ}^{+}\times \mathrm{0,}T}\le ℂ\cdot {\epsilon }^{n+1}\mathrm{,}$                      

 где $ℂ\ge 0$ $—$ константа, не зависящая от $\epsilon$, а ${\upsilon }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $z_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $y_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\omega }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получены из решения итерационных задач при $0\le k\le n+1$.

5. Приложение 1.

Поставим задачу для поиска фундаментального решения задачи (1):

$i\epsilon \frac{\partial u}{\partial t}+{\epsilon }^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}-x\cdot u\mathrm{<mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-x_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (24)

 Для решения этой задачи применим метод интегрального преобразования Фурье с ядром $e^{-i\lambda x}$. Обозначим через $\tilde{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ образ Фурье искомого решения $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

  $\tilde{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot e^{-i\lambda \xi }d\xi \mathrm{.}$

 Будем предполагать, что выполняются условия существования интеграла Фурье и что функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ со своими частными производными достаточно быстро стремится к нулю при $x\to \pm \infty$. Также предположим, что интеграл для $\tilde{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно дифференцировать по переменным $t$ и $\lambda$ под знаком интеграла.

Умножим уравнение и начальное условие задачи (24) на $e^{-i\lambda x}$ и проинтегрируем по $x$ от $-\infty$ до $+\infty$. При этом для второго интеграла в левой части уравнения после двукратного интегрирования по частям, учитывая обращения в ноль подстановок на $\pm \infty$, получим

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot e^{-i\lambda x}dx\mathrm{<mo>=</mo>}-{\lambda }^2\cdot \tilde{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

 а для третьего интеграла, учитывая возможность дифференцировать по $\lambda$ под знаком интеграла, будем иметь

${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}}x\cdot u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot e^{-i\lambda x}dx\mathrm{<mo>=</mo>}i\frac{\partial \tilde{U}}{\partial \lambda }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

 Тогда в пространстве образов получим следующую задачу Коши:

$i\epsilon \frac{\partial \tilde{U}}{\partial t}-i\cdot \frac{\partial \tilde{U}}{\partial \lambda }\mathrm{<mo>=</mo>}{\epsilon }^2\cdot {\lambda }^2\cdot \tilde{U}\mathrm{,}\tilde{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-i\lambda x_0}\mathrm{.}$ (25)

Задача (25) $—$ задача для квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, интегрирование которой проводится обычными методами. Выпишем сперва соответствующую характеристическую систему

$\frac{dt}{i\epsilon }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d\lambda }{-i}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d\tilde{U}}{{\epsilon }^2{\lambda }^2\tilde{U}}\mathrm{,}$ (26)

 и начальное условие в параметрическом виде   $t\mathrm{<mo>=</mo>0,}\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}s\mathrm{,}\tilde{U}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-is{x}_0}\mathrm{,}\text{s}-\text{параметр}\mathrm{.}$ (27)