Принцип Лагранжа и принцип максимума Понтрягина в некорректных задачах оптимального управления

1. Введение

Статья продолжает линию работы [11] и посвящена вопросу регуляризации классических условий оптимальности (КУО)-принципа Лагранжа (ПЛ) и принципа максимума Понтрягина (ПМП)-в задачах оптимального граничного управления для линейного параболического уравнения, однако в отличие от [11], где рассматривалась задача с операторным (бесконечномерным, т.е. задаваемым оператором с бесконечномерным образом) ограничением равенством, здесь, во первых, задача содержит конечное число функциональных ограничений равенств, и, во вторых, это конечномерное ограничение равенство задается недифференцируемыми по Фреше «точечными» функционалами, представляющими собою значения решения третьей начально краевой задачи для указанного уравнения в заранее выбранных фиксированных, возможно граничных, точках цилиндрической области изменения независимых переменных.

Хорошо известно, что для задач оптимального управления и, более общо, задач условной оптимизации характерны различные проявления некорректности, к которым относятся несуществование их решений, решений двойственных к ним задач, неустойчивость решений как по аргументу, так и по функции (см., например, [4, гл. 9]) при возмущении исходных данных задач. Подобные свойства некорректности однозначно говорят в пользу того, что на задачи условной оптимизации и оптимального управления, в целом, следует смотреть как на совокупность составляющих типичный для некорректных задач [4, 18] раздел математической теории. Безусловно, свойства некорректности оптимизационных задач в полной мере наследуют и соответствующие КУО [12], составляющие основу всей теории задач на условный экстремум, теории оптимального управления [1, 4].

Одним из главных при доказательстве КУО является предположение точного задания исходных данных оптимизационной задачи. Без этого предположения невозможно представить, например, вычисление первых вариаций составляющих ее функционалов (функционала качества, задающих ограничения задачи функционалов), т.е. основную «процедуру» при получении ПЛ в дифференциальной форме, ПМП. В то же время, как известно, сама теория КУО обязана своим происхождением, прежде всего, потребностям решения чисто практических задач [1, 6]. Таким образом, два этих важных обстоятельства находятся во взаимном противоречии: с одной стороны, при доказательстве КУО необходимо знать точно исходные данные оптимизационных задач, с другой же, такое требование точности плохо согласуется с естественным желанием воспользоваться КУО, несмотря на свойства их некорректности, как инструментом для непосредственного решения различных оптимизационных задач. Представляется, что естественный выход из указанного противоречия состоит в целенаправленном отношении к КУО как к математическим объектам, составляющим специфический раздел теории некорректных задач и требующим соответствующего адекватного подхода к их регуляризации.

Регуляризацию КУО впервые было предложено проводить в работе [13]. Аргументация в пользу необходимости такой регуляризации для преодоления свойств некорректности КУО, соответствующие определения и понятия, а также обсуждение истории вопроса приведены в [11, 12] (см. также библиографию этих работ), достаточно подробное обсуждение различных иллюстративных примеров некорректности ПЛ и ПМП можно найти в [12]. Подчеркнем, одновременно, что, как и в [11, 12, 14], центральными понятиями здесь являются понятие обобщенной минимизирующей последовательности-минимизирущего приближенного решения (МПР) в смысле Дж. Варги [3] и жестко с ним связанное понятие МПР образующего (регуляризирующего) алгоритма [11, 14]. Последнее, так же, как и в [11, 14], «встраивается» в получаемые регуляризованные ПЛ и ПМП, превращая их в соответствующие регуляризирующие алгоритмы. Другими словами, несмотря на свою некорректность, ПЛ и ПМП могут служить инструментами для устойчивого решения задач оптимального управления, но после соответствующей регуляризации, которая, как важно заметить, не меняет структурного устройства этих КУО. Базовой для регуляризованных ПЛ и ПМП является задача минимизации регулярной функции Лагранжа. «Сложность» ее решения характеризует их эффективность, возможность практической реализации. МПР, генерируемые регуляризованными КУО, представляют собою последовательности минималей функции Лагранжа, взятых при значениях двойственной переменной, которые, в свою очередь, определяются в соответствии с алгоритмом двойственной регуляризации [16, 17].

Приведем далее важные на наш взгляд аргументы, связанные с постановкой задачи настоящей работы, подчеркнув, прежде всего, что эта постановка в целях более компактного изложения существенно упрощена.

[1.]

1. Так как ограничение равенство рассматриваемой задачи оптимального управления (OC) (см. ниже раздел 2) является конечномерным, то некорректность КУО проявляется здесь лишь в виде их возможной неустойчивости по возмущению исходных данных и нет смысла говорить об их возможной невыполнимости [12].

2. Рассматриваемую здесь задачу (OC) в частном случае, когда ее целевой функционал $f$ имеет простейший квадратичный вид $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \parallel \pi {\parallel }^2\equiv \parallel u{\parallel }^2+\parallel w{\parallel }^2$ ( $A_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $A_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $A_{\mathrm{0,3}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $B_1\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $B_2\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ), а матрица $A_1$ в векторном ограничении равенстве является единичной, можно трактовать как обратную задачу дискретного наблюдения, в том числе и граничного, в которой решение параболического уравнения наблюдается (измеряется) в конечном наборе фиксированных точек, возможно на боковой поверхности цилиндрической области изменения независимых переменных, и требуется найти по этим наблюдениям (измерениям) вызывающее их воздействие управление, в том числе граничное. Данное обстоятельство подчеркивает возможность применения получаемых в работе регуляризованных КУО для непосредственного решения актуальных с точки зрения приложений обратных задач (в данном случае, для параболических уравнений), в которых погрешности исходных данных неразрывно связаны с физической сутью их постановок.

3. Специфическая сложность задачи (OC) состоит в недифференцируемости по Фреше задающих ограничение равенство «точечных» функционалов, и, как следствие, в аналогичной недифференцируемости ее функционала Лагранжа. С помощью операции усреднения (сглаживания) по Стеклову эти функционалы аппроксимируются (см. раздел 0.3) дифференцируемыми по Фреше функционалами и, как следствие, формулируемые в разделе 0.4 регуляризованные КУО конструктивно порождают сходящиеся к решению исходной задачи МПР, состоящие из минималей «сглаженного» и, как следствие, дифференцируемого по Фреше, функционала Лагранжа. Помимо того, в разделе 0.5 показывается, как эти «сглаженные» регуляризованные КУО могут быть применены для приближенного решения задач с бесконечномерными фазовыми ограничениями равенствами, «сосредоточенными» в точках произвольного замкнутого (возможно, с пустой внутренностью) множества, принадлежащего цилиндрической области изменения независимых переменных.

4. Дополнительную сложность задаче (OC) добавляет наличие регулярных борелевских мер (мер Радона, в данном случае-атомических) в правых частях уравнения и краевого условия, а также в «концевом» условии сопряженной краевой задачи классического ПМП (см., раздел [15]). Формулируемый и обсуждаемый в разделе 4 регуляризованный ПМП на основе сглаживания по Стеклову, «преодолевая» неустойчивость ПМП, позволяет также «обойтись» при формулировании без «абстрактных мер», которые заменяются соответствующими аппроксимирующими последовательностями обычных функций. В то же время, предельный переход в регуляризованном ПМП, подобно [15], ведет к получению «привычного» в таких задачах ПМП для оптимального управления с указанными атомическими мерами в коэффициентах сопряженной краевой задачи.

2. Постановка задачи оптимального управления с недифференцируемыми функционалами

Пусть $U\subset {ℝ}^1$, $W\subset {ℝ}^1$ $—$ выпуклые компакты, $Q_T\equiv \Omega \times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $S\equiv \partial \Omega$, $S_T\equiv \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\in S\mathrm{,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$, $\Omega$ $—$ ограниченная область в ${ℝ}^n$, $n\ge 2$, $D\equiv D_1\times D_2$, $D_1\equiv \mathrm{<mo>\{</mo>}u\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Uп\mathrm{.<mi>\; </mi>}в\mathrm{.<mi>\; </mi>}наQ_T\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $D_2\equiv \mathrm{<mo>\{</mo>}w\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Wп\mathrm{.<mi>\; </mi>}в\mathrm{.<mi>\; </mi>}наS_T\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $D\subset L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\rm H}$. Для нормы в гильбертовом пространстве ${\rm H}$ с элементами $\pi \equiv \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем использовать обозначение $\parallel \cdot \parallel \equiv \parallel \cdot {\parallel }_{{\rm H}}$.

Рассмотрим выпуклую задачу условной минимизации сильно выпуклого функционала с конечным числом функциональных ограничений равенств

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to \min \mathrm{,}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\pi \in \subset {\rm H}\mathrm{.}$    (OC)

Здесь сильно выпуклый функционал $f:D\to {ℝ}^1$ и векторный функционал $g:D\to {ℝ}^l$ задаются равенствами

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {⟨A_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{⟨A_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+$

$+{⟨A_{\mathrm{0,3}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{⟨B_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{⟨B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟩}_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{S}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

$g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv A_1{z}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}+A_2\mathrm{,}$

$z_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\equiv {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_m\mathrm{,}{t}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\overline{Q}}_{\iota \mathrm{,}T}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}\iota \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ -решение класса $V_2^{\mathrm{1,0}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{Q}}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ [8, гл. III] третьей начально краевой задачи для параболического уравнения

$\begin{array}{l}{z}_t-\sum _i^n{z}_{x_i{x}_i}+ax\mathrm{,}tz+ux\mathrm{,}t\\ zx{v}_{0}xx\in \Omega \mathrm{,}\frac{\partial z}{\partial }+\sigma x\mathrm{,}tzwx\mathrm{,}tx\mathrm{,}t\in S_T\mathrm{.}\end{array}$ (1)

Здесь и ниже мы используем обозначения функциональных пространств и норм их элементов, принятые в монографии [8]; символ ${⟨\cdot \mathrm{,}\cdot ⟩}_H$ означает скалярное произведение в гильбертовом пространстве $H$, $⟨\cdot \mathrm{,}\cdot ⟩$ -скалярное произведение в соответствующем конечномерном евклидовом пространстве.

Ниже будут нужны следующие условия на исходные данные оптимизационной задачи (OC): [(i)]

1.  функции $A_{\mathrm{0,1}}:Q_T{\to }^1$, $A_{\mathrm{0,3}}:S_T{\to }^1$, $B_1:Q_T{\to }^1$, $B_2:S_T{\to }^1$ являются измеримыми по Лебегу, $A_{\mathrm{0,2}}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

2.  справедливы неравенства

$0\le A_{\mathrm{0,1}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le L\text{при п}\text{. в}\text{.}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T\mathrm{,}0\le A_{\mathrm{0,2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le L\text{при п}\text{. в}\text{.}x\in \Omega \mathrm{,}$

$0\le A_{\mathrm{0,3}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le L\text{при п}\text{. в}\text{.}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in S_T\mathrm{,}\kappa \mathrm{<mo><</mo>}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le L\mathrm{,}\text{при п}\text{. в}\text{.}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q_T\mathrm{,}$

$\kappa \mathrm{<mo><</mo>}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le L\text{при п}\text{. в}\text{.}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in S_T\mathrm{,}$

где $\kappa$, $L$ -некоторые положительные постоянные;

3.  функции $a:Q_T\to {ℝ}^1$, $\sigma :S_T\to {ℝ}^1$ измеримы в смысле Лебега, $v_0\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{\Omega }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $A_1$ -заданная $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\times m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ матрица, $A_2$ -заданный вектор из ${}^l$;

4.  справедливы оценки

$\mathrm{<mo>|</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le K_1\text{п}\text{. в}\text{. на}{Q}_T\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le K_1\text{п}\text{. в}\text{. на}{S}_T\mathrm{,}$

где $K_1\mathrm{<mo>></mo>0}$ -некоторая постоянная;

5.  граница $S$ является границей класса $C^{\mathrm{2,}\gamma }$, $\gamma \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, т.е. $S$ -такая $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ мерная поверхность класса $C^{\mathrm{2,}\gamma }$, что область $\Omega$ лежит локально по одну сторону от $S$. При этом функция принадлежит классу $C^{\mathrm{2,}\gamma }$, если она дважды гладкая и ее вторые производные принадлежат гельдеровскому классу $H^{\gamma }$.

Пусть множество всевозможных наборов исходных данных

f $\equiv \mathrm{<mo>\{</mo>}{A}_{\mathrm{0,}i}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,}{A}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}{B}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}a\mathrm{,}{v}_0\mathrm{,}\sigma \mathrm{<mo>\}</mo>,}$