Качественные свойства решений дифференциальных уравнений четвертого порядка на графах

1.  Введение

В статье устанавливаются теоремы о перемежаемости нулей решений дифференциальных уравнений четвертого порядка на геометрических графах и развиваются основные факты теории неосцилляции для таких уравнений. В классической теории уравнение $n$ =го порядка называется неосциллирующим на интервале $I\subset \mathrm{ℝ}$, если любое из его нетривиальных решений имеет не более $n-1$ нулей (с учетом кратности), см. [8, 16]. Вопрос о неосцилляции дифференциального уравнения занимает центральное место в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 7–9, 12, 13, 15]. Это свойство лежит в основе изучения осцилляционных свойств спектра дифференциальных операторов и положительности функции Грина некоторых классов краевых задач. Так, например, для уравнения второго порядка на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ неосцилляция эквивалентна, с одной стороны, существованию решения уравнения, положительного на полуоткрытом интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а с другой стороны, чтобы функция Грина для задачи Дирихле была положительной.

Свойство неосцилляции уравнения второго порядка на графе базируется на понятии $S$ =зоны, являющейся аналогом промежутка между соседними нулями непрерывной на отрезке функции (см. [9, 12]). Для непрерывной на графе функции под $S$ =зоной понимается любой подграф, на котором функция не имеет нулей и на границе которого она равна нулю (более точное определение будет дано ниже). Уравнение второго порядка на графе называется неосциллирующим, если любое его нетривиальное решение не имеет $S$ =зон на графе. Замена в определении неосцилляции уравнения второго порядка числа нулей на число $S$ =зон позволила получить для уравнения второго порядка на графе точный аналог теории неосцилляции уравнения на отрезке $—$ аналоги теорем сравнения Штурма и критерия неосцилляции Валле=Пуссена. При этом, как и в случае уравнения на отрезке, условия неосцилляции уравнения второго порядка на графе оказались эквивалентны, с одной стороны, положительности решений специальных задач Дирихле, а с другой стороны $—$ положительности функции Грина задачи Дирихле.

Уравнения четвертого порядка на графах изучены гораздо меньше. Практически все исследования в этом направлении относятся к системам стержней: Эйлера$–$ Бернулли на ребрах и различные условия соединения в узлах [3, 14, 18]. Несмотря на кажущуюся простоту формулировок, даже модели физического происхождения оказываются весьма трудными для анализа. Первые попытки развития теории неосцилляции для уравнений четвертого порядка на графах были предприняты в [3-6]. В этих работах определение неосцилляции давалось в терминах знакопостоянства специальной фундаментальной системы решений уравнения.

В данной статье мы предлагаем иной подход к определению неосцилляции дифференциальных уравнений четвертого порядка на графах. Для этого вводится понятие двойной $S$ =зоны. На этом пути устанавливаются аналоги классической теоремы о разделении нулей решений дифференциального уравнения четвертого порядка [19, Гл. 3], [17]. Также устанавливается эквивалентность определений неосцилляции в терминах двойной $S$ =зоны и в терминах знаковых свойств специальной фундаментальной системы решений уравнения. Такой подход также позволяет установить связь свойства неосцилляции уравнения четвертого порядка на графе и положительности функции Грина краевой задачи Дирихле.

2.  Основные определения и обозначения

Под геометрическим графом $\Gamma$ в настоящей работе понимается ограниченное связное множество, имеющее структуру сети и вложенное в ${ℝ}^2$. Ребро графа $—$ это интервал в ${ℝ}^2$, а вершина графа $—$ точка, являющаяся концом одного или нескольких ребер. При этом ребра графа занумерованы и обозначаются через ${\gamma }_i$, а вершины $—$ через $a$, $b$, $c$.

Обозначим через $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ множество всех вершин графа, а через $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ множество вершин графа, которые являются концевыми точками двух и более ребер. Такие вершины мы называем внутренними. Вершины графа, не принадлежащие $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, будем называть граничными и обозначать их множество через $\partial \Gamma$. Мы считаем, что граф $\Gamma$ $—$ это объединение множества всех его ребер ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\gamma }_i\mathrm{<mo>\}</mo>}}_{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N$ и множества всех внутренних вершин $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. При этом граничные вершины в граф не входят. Если вершина $a$ является концевой точкой ребра ${\gamma }_i$, то будем говорить, что ребро ${\gamma }_i$ примыкает к вершине $a$. Множество индексов всех ребер, примыкающих к вершине $a$, обозначим $I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Множество, получаемое удалением из графа всех его вершин, обозначим через $E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Подграфом графа $\Gamma$ назовем любое связное подмножество графа $\Gamma$.

Замечание 1 Всюду в данной работе мы считаем, что $\partial \Gamma \ne \varnothing$.

Под функцией на графе понимается отображение $u:\Gamma \to \mathrm{ℝ}$. Через $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем обозначать сужение функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ребро ${\gamma }_i$. Если $a$ $—$ граничная вершина графа $\Gamma$, то под $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ понимается

$\underset{{\gamma }_i∍x\to a}{\lim }{u}_{i}xi\in Ia$

Через $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ будем обозначать пространство функций, равномерно непрерывных на каждом ребре графа $\Gamma$. Для таких функций в каждой вершине $a\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ существует предел

$\underset{{\gamma }_i∍x\to a}{\lim }{u}_{i}x$

который мы также обозначаем через $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. При этом величины $u_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не обязаны совпадать при $k\ne i$ ( $k\mathrm{,}i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ). Выделим в пространстве $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ подпространство функций, для которых $u_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при любой $a\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и любом $k\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Множество всех таких функций обозначим через $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и назовем их непрерывными на графе.

Определим понятие производной функции, заданной на графе. Для этого введем в рассмотрение функцию $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, взаимно однозначно отображающую каждое ребро ${\gamma }_i\subset \Gamma$ на некоторый интервал $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{l}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset$ $ℝ$ при $l_i\mathrm{<mo>></mo>0}$. Функцию $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем называть метрической, а величину $l_i$ $—$ длиной ребра ${\gamma }_i$. Для сужения функции $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ребро ${\gamma }_i$ существует обратное отображение $x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ интервала $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{l}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ребро ${\gamma }_i$. Метрическая функция определяет на каждом ребре графа ориентацию. Более того, она позволяет ввести для точек, принадлежащих замыканию одного и того же ребра графа, отношение порядка, а также понятие окрестности точки графа. Именно, для $x_1\mathrm{,}{x}_2\in {\overline{\gamma }}_i$ будем писать $x_1\mathrm{<mo><</mo>}{x}_2$ (или $x_1\le x_2$ ), если $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (или $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ). Следует отметить, что при такой упорядоченности точки, принадлежащие разным ребрам, не сравнимы. Назовем окрестностью точки $x_0\in \Gamma \cup \partial \Gamma$ множество всех точек графа $\Gamma$, для которых $\mathrm{<mo>|</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo><</mo>}\epsilon$ при некотором $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$. Заметим, что при нашем определении окрестность граничной вершины по сути является полуокрестностью и не содержит саму граничную вершину.

Функцию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ назовем дифференцируемой на графе $\Gamma$, если для каждого ребра ${\gamma }_i\subset \Gamma$ ее сужение $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дифференцируемо относительно ${\mu }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. При этом полагаем

$u_{i^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}d{u}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}d{\mu }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{\Delta {\mu }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to 0}{{\displaystyle \lim }}\frac{\Delta u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Delta {\mu }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}x\in {\gamma }_i\mathrm{.}$

Аналогично определяются производные высших порядков. В дальнейшем при записи условий связи с производными в вершинах графа нам будет удобно использовать производные по направлению от вершины, которые мы будем обозначать $u_{i\nu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (одномерный аналог производных по внутренней нормали). Отметим, что для четной производной ориентация не важна, и поэтому, для краткости, вместо $u_{iv}^{"}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ мы пишем просто $u_i"\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Обозначим через $C^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ пространство функций $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, производные которых до порядка $n$ включительно существуют и принадлежат пространству $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, а через $C^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначаем $C^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3.  Постановка задачи

Нами будет рассматриваться однородное дифференциальное уравнение

$Lu\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in \Gamma \mathrm{,}$ (1)

заданное на геометрическом графе $\Gamma$. При этом под дифференциальным уравнением (1) на графе мы подразумеваем, следуя [12], набор обыкновенных дифференциальных уравнений на ребрах графа и набор условий согласования во внутренних вершинах.

В данной работе мы рассматриваем уравнение, порождаемое совокупностью дифференциальных уравнений на ребрах графа

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{{i^{\prime }}^{\prime }}{{)}^{\prime }}^{\prime }-r_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in {\gamma }_i\subset E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$, (2)

с коэффициентами, определяемыми функциями $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$,

$\underset{x\in E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \inf }}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0,}$

$r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ на $\Gamma$, дополняемой в каждой внутренней вершине $a\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равенствами

$u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{i\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}i\mathrm{,}k\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$,  (3)

в которых коэффициенты $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ неотрицательны и не равны одновременно нулю^[1], и условием с третьими производными

${\displaystyle \sum _{i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a{{)}^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}a\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$.  (4)

Решением дифференциального уравнения (1) будем называть всякую функцию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющую на каждом ребре графа соответствующему обыкновенному дифференциальному уравнению (2), а в каждой внутренней вершине $—$ условиям (3), (4).

Если в соотношениях (2), (4) коэффициент $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, то рассматриваемое уравнение описывает малые упругие деформации плоской стержневой системы, узлы которой образованы в результате упруго=шарнирного соединения двух и более стержней. Такое уравнение изучалось в работах [1, 10, 11, 14]. В указанных работах были рассмотрены вопросы разрешимости некоторых краевых задач для этого уравнения и установлен принцип максимума, на основе которого удалось доказать положительную обратимость краевой задачи и положительность ее функции Грина.

Во всех дальнейших рассмотрениях мы полагаем $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ на $\Gamma$. По этому поводу стоит отметить, что даже в классическом случае $—$ на отрезке $—$ свойства решений уравнения (2) существенно разнятся. Для нас изучение качественных свойств решений уравнения (1) представляет интерес в контексте изучения спектральных (и, в частности, осцилляционных) свойств соответствующего дифференциального оператора, моделирующего колебания стержневой системы. Поэтому первостепенный интерес представляет случай с положительным коэффициентом $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

4.  Теоремы о перемежаемости нулей

Лемма 1. (см. ) Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нетривиальное решение уравнения

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u^{\prime }}^{\prime }{{)}^{\prime }}^{\prime }-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset \mathrm{,}$  (5)

в котором $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Если $u$, $u^{\prime }$, ${u^{\prime }}^{\prime }$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p{u^{\prime }}^{\prime }{)}^{\prime }$ неотрицательны в точке $a$, то все эти функции положительны на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Следствие 1. (см. ) Если функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ та же, что и в лемме 1, а значения функций $u$, $-u^{\prime }$, ${u^{\prime }}^{\prime }$ и $-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p{u^{\prime }}^{\prime }{)}^{\prime }$ неотрицательны в точке $b$, то все эти функции положительны на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Следствие 2. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нетривиальное решение уравнения (5), удовлетворяющее условию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta u_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\vartheta u_i\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, где $\beta \mathrm{,}\vartheta \ge 0$, $\beta +\vartheta \mathrm{<mo>></mo>0}$. Тогда среди значений $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p{u^{\prime }}^{\prime }{)}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по крайней мере два отличны от нуля.

Следствие 3. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нетривиальное решение уравнения (5), удовлетворяющее граничным условиям

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$. (6)

Тогда в любой точке $x^{\ast }\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ среди значений $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p{u^{\prime }}^{\prime }{)}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по крайней мере два имеют различные знаки.

Следствие 4. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (5), удовлетворяющее условиям (6). Если $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, то $u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}p{u^{\prime }}^{\prime }{)}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 0$ и ${u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}p{u^{\prime }}^{\prime }{)}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 0$, причем одновременное выполнение равенств влечет тождество $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$.

Следствие 5. Пусть уравнение (5) имеет положительное на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ решение, удовлетворяющее условиям (6). Тогда любое решение уравнения (5), удовлетворяющее тем же краевым условиям, имеет не более одного (с учетом кратности) нуля на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Лемма 2. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), удовлетворяющее в каждой граничной вершине графа условию

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{i\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0,}a\in \partial \Gamma \mathrm{.}$ (7)

Если в некоторой точке $x^{\ast }\in {\gamma }_i\subset \Gamma$ выполнены равенства $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u^{\prime }}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\ast }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, то $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$.

Доказательство следует из условий (3) для вторых производных, леммы 1 и её следствий.

Лемма 3. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (7). Если функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равна нулю в вершине $b\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и знакопостоянна в некоторой окрестности этой вершины. Тогда $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на всех ребрах, примыкающих к $b$.

Доказательство. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$ в некоторой окрестности вершины $b\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда, учитывая (3), неравенства ${u^{\prime }}_{i\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$, ${{u^{\prime }}^{\prime }}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$ для всех $i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и следствие 4 получаем неравенство

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_i{u}_{{i^{\prime }}^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 0$, (8)

для любого индекса $i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поскольку $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), то во внутренней вершине $b$ выполнено условие согласования третьих квазипроизводных (4), которое вместе с (8) даёт равенства $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_i{u}_{{i^{\prime }}^{\prime }}{)}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда из того же следствия 4 получаем, что $u_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ для любого индекса $i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Лемма 4. Для любой граничной вершины $a\in \partial \Gamma$ существует такое решение $z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), что $z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$, $z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $z_{a^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $z_{{a^{\prime }}^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p{z}_{{a^{\prime }}^{\prime }}{)}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ строго положительны на ${\gamma }_a\cup a$.

Доказательство. Пусть $b$ $—$ внутренняя вершина графа смежная с $a\in \partial \Gamma$. Рассмотрим условие (3) для производных в вершине $b$, соответствующее граничному ребру ${\gamma }_a\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Без ограничения общности можно считать, что $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$. Пусть $z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (5) на ребре ${\gamma }_a$, удовлетворяющее начальным условиям

$z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{z}_{a\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{z}_{{a^{\prime }}^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p{z}_{{a^{\prime }}^{\prime }}{)}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$

Доопределяя функцию $z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ нулем на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$ и привлекая лемму 1, получим решение уравнения (1) на $\Gamma$, обладающее всеми необходимыми свойствами.

Из лемм 3, 4 вытекает следующее утверждение.

Следствие 6. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ неотрицательное решение уравнения (1), имеющее нуль на внутреннем ребре графа $\Gamma$. Тогда

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum }{c}_a{z}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где сумма берется по всем $a\in \partial \Gamma$, в которых $u_{\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>0}$, а константы $c_a\ge 0$.

Следующая лемма и её следствия являются аналогами свойств уравнения второго порядка на графе [9, теорема 2.2.1, следствия 2.2.2 и 2.2.3].

Лемма 5. Всякое знакопостоянное решение уравнения (1), удовлетворяющее в каждой вершине $a\in \partial \Gamma$ условию (7), либо равно тождественно нулю, либо не имеет нулей в $\Gamma$.

Доказательство. Рассмотрим произвольное решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), удовлетворяющее условию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$ на $\Gamma$. Обозначим через G множество нулей функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $\Gamma$. Если G $\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$, то $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ на $\Gamma$ и теорема верна.

Предположим, что G $\ne \varnothing$. Покажем, что множество G является одновременно и открытым и замкнутым в $\Gamma$, откуда будет следовать, что - $\mathrm{<mo>=</mo>}\Gamma$, т.е. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на $\Gamma$. Замкнутость G $$ следует из непрерывности функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на $\overline{\Gamma }$. Покажем, что G  $—$ открытое множество в $\Gamma$. Рассмотрим произвольную точку $\xi \in$ G. Если $\xi \cancel{\in }J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то из леммы 2 получаем, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на всем ребре, содержащем $\xi$. Если же $\xi \in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то из леммы 3 вытекает, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на всех ребрах, примыкающих к $\xi$. Стало быть, $\xi$ $—$ внутренняя точка множества G$$, а G$—$ открытое множество в $\Gamma$.

Определение 1. Точку экстремума функции мы называем нетривиальной, если в любой ее окрестности функция отлична от тождественной постоянной.

Следствие 7. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ знакопостоянное решение уравнения (1), равное нулю на $\partial \Gamma$. Тогда для любого решения $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ того же уравнения, равного нулю $\partial \Gamma$ и неколлинеарного $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, отношение $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не может иметь внутри $\Gamma$ нетривиальных локальных экстремумов.

Доказательство. Поскольку функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не коллинеарны, из леммы 5 следует $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$, $x\in \Gamma$. Следовательно, отношение $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определено в каждой точке $x\in \Gamma$. Пусть $x_0\in \Gamma$ является точкой экстремума отношения $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда функция $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть решение уравнения (1), равное нулю на $\partial \Gamma$ и знакопостоянное в некоторой окрестности точки $x_0$. Кроме того, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Если $x_0\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то из леммы 3 следует, что $x_0$ $—$ точка тривиального экстремума. Если же $x_0\in \Gamma \backslash J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $w^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и, как показывает лемма 2, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на всем ребре, которому принадлежит точка $x_0$.

Следствие 8. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ знакопостоянное решение уравнения (1), равное нулю на $\partial \Gamma$. Тогда для любого решения $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ того же уравнения, равного нулю на $\partial \Gamma$ и неколлинеарного $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, отношение $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не может иметь внутри $\Gamma$ точек глобального экстремума.

Доказательство. Если предположить, что $x_0\in \Gamma$ является точкой глобального экстремума отношения $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то функция $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, будучи нетривиальным решением уравнения (1), знакопостоянна на $\Gamma$ и равна нулю в точке $x_0\in \Gamma$ и на $\partial \Gamma$, что противоречит утверждению леммы 5.

Замечание 2. В формулировке следствий 7 и 8 условие равенства нулю решений уравнения (1) в граничных вершинах (не обязательно во всех) можно заменить на условие

$\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{i\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}a\in \partial \Gamma \mathrm{.}$ (9)

Теорема 1. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), равное нулю на $\partial \Gamma$ и имеющее внутри графа $S$ =зону ${\Gamma }_0$, ${\Gamma }_0\subset \subset \Gamma$. Тогда любое знакопостоянное на ${\Gamma }_0$ решение $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), равное нулю на $\partial \Gamma$, коллинеарно $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ${\Gamma }_0$.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ и $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$ на ${\Gamma }_0$, причем $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\equiv }0$ на ${\Gamma }_0$. Тогда $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ на ${\Gamma }_0$. Действительно, если предположить, что $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равна нулю в некоторой точке подграфа ${\Gamma }_0$, то из лемм 2, 3 будет следовать, что $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на ${\Gamma }_0$. Поскольку функция $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условиям (3) для производных, то из леммы 2 и её следствия 2 следует, что во всех точках из $\partial {\Gamma }_0$, в которых $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, хотя бы одно из значений $v^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ или ${v^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не равно нулю. Это свойство позволяет определить функцию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, непрерывную на ${\overline{\Gamma }}_0$. Введем обозначение

$\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\underset{x\in {\overline{\Gamma }}_0}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

и рассмотрим решение $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1) на ${\Gamma }_0$. Очевидно, что $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$ на ${\Gamma }_0$ и существует такая точка $x_0\in {\overline{\Gamma }}_0$, что $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{w}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Применяя к функции $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ леммы 2 и 3, легко убедиться, что $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на ${\Gamma }_0$.

Теорема 2. (о перемежаемости нулей) Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), равное нулю на $\partial \Gamma$ и имеющее внутри графа $S$ =зону ${\Gamma }_0$, ${\Gamma }_0\subset \subset \Gamma$. Тогда любое решение $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), равное нулю на $\partial \Gamma$ и неколлинеарное $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ${\Gamma }_0$, меняет знак в ${\Gamma }_0$.

Теорема 2 является аналогом теоремы о перемежаемости нулей для уравнения (5) на отрезке [17, теорема 3.1]: нули любых двух линейно независимых решений уравнения (5) на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, равных нулю на концах отрезка, перемежаются в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Замечание 3. В формулировке теоремы 1 условия на границе графа могут быть заменены на условия (9). Такая замена избавляет от необходимости требования компактного вложения $S$ =зоны ${\Gamma }_0\subset \subset \Gamma$. Точнее, граничные вершины $S$ =зоны ${\Gamma }_0$ могут содержаться в $\partial \Gamma$, если в этих вершинах условие равенства нулю двух решений заменить на условие (9). В частности, имеет место следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), удовлетворяющее на $\partial \Gamma$ условиям (9) и имеющее $S$ =зону ${\Gamma }_0$, ${\Gamma }_0\subset \Gamma$. Тогда любое знакопостоянное на ${\Gamma }_0$ решение $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), удовлетворяющее на $\partial \Gamma$ тем же условиям (9), коллинеарно $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ${\Gamma }_0$.

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 1.

Следствие 9 (перемежаемость нулей) Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (1), удовлетворяющее на $\partial \Gamma$ условиям (9) и имеющее $S$ =зону ${\Gamma }_0$, ${\Gamma }_0\subset \Gamma$. Тогда любое решение $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), удовлетворяющее на $\partial \Gamma$ тем же условиям (9), и неколлинеарное $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на ${\Gamma }_0$, меняет знак в ${\Gamma }_0$.

5.  Теория неосцилляции уравнения четвертого порядка на графе

Всюду в данной пункте мы будем считать, что $\mathrm{<mo>|</mo>}\partial \Gamma \mathrm{<mo>|</mo>}\ge 2$. Учитывая, что уравнение (1), порождаемое соотношениями (2)(4), является модельным и описывает деформации стержневой системы с условиями упруго=шарнирного соединения, то такое ограничение является вполне естественным.

Введем в рассмотрение для каждой граничной вершины $a\in \partial \Gamma$ графа $\Gamma$ по две краевые задачи

$Lu\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in \Gamma \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}b\in \partial \Gamma \backslash a\mathrm{,}$ (10)

$Lv\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in \Gamma \mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{v}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}b\in \partial \Gamma \backslash a\mathrm{.}$ (11)

Если задачи разрешимы, то будем обозначать их решения через $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно.

Лемма 6. Пусть для любой вершины $a\in \partial \Gamma$ существует положительное на $\Gamma$ решение $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ краевой задачи (10). Тогда краевая задача (12) не вырождена.

Доказательство. Предположим, что задача (11) имеет нетривиальное решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, $x\in \Gamma$, и рассмотрим функцию

$v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{a\in \partial \Gamma }}{u}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Функция $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является положительным решением однородного уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям

$v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}{v}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}a\in \partial \Gamma \mathrm{.}$

Пусть

$\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\underset{x\in \overline{\Gamma }}{{\displaystyle \max }}\mathrm{<mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>.}$

Тогда функция $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\lambda v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, будучи нетривиальным решением уравнения (1), знакопостоянна на $\Gamma$, удовлетворяет на границе графа условиям $w^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $a\in \partial \Gamma$, и имеет внутри графа $\Gamma$ точку нулевого экстремума, что противоречит утверждению леммы 5.

Лемма 7. Пусть для любой вершины $a\in \partial \Gamma$ существует положительное на $\Gamma$ решение $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ краевой задачи (10). Тогда для любой вершины $a\in \partial \Gamma$ краевая задача (11) однозначно разрешима, а соответствующее решение $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ положительно на всем графе $\Gamma$ и пропорционально $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$.

Доказательство. Однозначная разрешимость задачи (11) следует из леммы 6. Покажем, что для произвольной вершины $a\in \partial \Gamma$ соответствующее решение $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ положительно на $\Gamma$. Действительно, если $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ меняет знак на $\Gamma$, то существует такая $S$ =зона ${\Gamma }_0\subset \Gamma$ функции $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что $a\cancel{\in }\partial {\Gamma }_0$. В этом случае функция

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{b\in \partial \Gamma \backslash a}}{u}_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

положительна на ${\overline{\Gamma }}_0$ и выполнены равенства

$v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{v}_{a^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}b\in \partial \Gamma \backslash a\mathrm{,}$

что противоречит утверждению леммы 5. Следовательно, $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ на $\Gamma$ и остается показать, что решения $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пропорциональны на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$.

Обозначим через $b$ внутреннюю вершину графа, смежную с граничной вершиной $a$ и рассмотрим функцию $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{v}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Очевидно, что $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ во всех граничных вершинах подграфа $\Gamma \backslash {\gamma }_a$. Если $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\equiv }0$ на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$, то $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет $S$ =зону в $\Gamma \backslash {\gamma }_a$ (быть может, совпадающую с $\Gamma \backslash {\gamma }_a$ ). Но тогда функции $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{c\in \partial \Gamma }}{u}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

удовлетворяют на границе $\Gamma \backslash {\gamma }_a$ условиям

${\beta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\vartheta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{i\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}c\in \partial \Gamma \backslash a\mathrm{,}$

и согласно следствию 9 функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ меняет знак на $\Gamma$, что противоречит условию $u_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ на $\Gamma$ при всех $c\in \partial \Gamma$. Следовательно, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$, а поскольку значения $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не равны нулю, то $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пропорциональны на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$.

Замечание 4. Утверждения лемм 6, 7 останутся справедливыми, если в их формулировках поменять местами задачи (10), (11). Доказательство этого факта опирается на те же идеи.

Лемма 8. Пусть $a\mathrm{,}b\in \partial \Gamma$ и $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решения соответствующих краевых задач (10). Тогда для любой граничной вершины $c\in \partial \Gamma \backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo>\}</mo>}$ функции $u_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пропорциональны на граничном ребре ${\gamma }_c$.

Доказательство. Если обе рассматриваемые функции нетривиальны на ребре ${\gamma }_c$, то из граничных условий $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ следует, что их нетривиальная линейная комбинация $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет в точке $c$ тройной нуль и при этом удовлетворяет условиям (3) для производных во внутренней вершине, смежной с вершиной $c\in \partial \Gamma$. Тогда из следствия 4 получается $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ на ${\gamma }_c$.

Определение 2. $S$ =Зоной функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем называть такой подграф ${\Gamma }_0\subset \Gamma$, что [ (i)]

1. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ на ${\Gamma }_0$;

2. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ на $\partial {\Gamma }_0$;

3. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет нуль на любом подграфе, для которого ${\Gamma }_0$ является собственным подмножеством.

Определение 3. $S^2$ =Зоной функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будем называть такой подграф ${\Gamma }_0\subset \Gamma$, что [ (i)]

1. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ на ${\Gamma }_0$;

2. существует такой подграф ${\Gamma }_1$, что ${\Gamma }_0\subset {\Gamma }_1\subset \Gamma$ и $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ на $\partial {\Gamma }_0\cup \partial {\Gamma }_1$;

3. $u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ на $\partial {\Gamma }_0\cap \partial {\Gamma }_1$.

Определение 4. Дифференциальное уравнение (1) и соответствующий дифференциальный оператор $L$, порождаемый соотношениями (2)(4), назовем неосциллирующими на графе $\Gamma$, если любое нетривиальное решение этого уравнения не может иметь $S^2$ =зоны в $\Gamma$.

Заметим, что данное определение неосциллирующего дифференциального уравнения на графе является полным аналогом неосцилляции в одномерном случае. Отсутствие $S^2$ =зон у решения уравнения на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset$ - как раз означает, что решение на может иметь более трех нулей в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Отметим также, что в определении 4 не допускается, чтобы сам граф $\Gamma$ был $S^2$ =зоной, когда однородное уравнение (1) имеет решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ на $\Gamma$, удовлетворяющее граничным условиям $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $a\in \partial \Gamma$. Кроме того, из определения 4 следует, что для неосциллирующего на $\Gamma$ оператора краевая задача

$Lu\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in \Gamma \mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}a\in \partial \Gamma \mathrm{,}$  (12)

невырожденна для любой правой части $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Теорема 4. Следующие свойства эквивалентны: [ (a)]

1.  каждая из задач (10) имеет положительное на $\Gamma$ решение;

2.  существует такое решение уравнения (1) $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что $w^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $a\in \partial \Gamma$, $\underset{x\in \overline{\Gamma }}{{\displaystyle \inf }}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$;

3.  существует положительное на $\Gamma$ решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям $u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $a\in \partial \Gamma$, и не равное нулю хотя бы в одной вершине из $\partial \Gamma$;

4.  каждая из задач (11) имеет положительное на $\Gamma$ решение;

5.  уравнение (1) не осциллирует на $\Gamma$.

Доказательство. Импликации (4) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (4) очевидны. Соотношение (4) $\Rightarrow$ (4) тоже почти очевидно. Действительно, из (4), теоремы 3 и следствия 9 вытекает невырожденность задачи (12). Следовательно, каждая из задач (10) однозначно разрешима. Положительность соответствующего решения опять же следует из (4) и следствия 9.

Эквивалентность (4) $\iff$ (4) вытекает из леммы 7 и замечания 4. Импликация (4) $\Rightarrow$ (4) следует из определения неосциллирующего уравнения. Действительно, если для некоторой вершины $a\in \partial \Gamma$ соответствующая функция $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ меняет знак на $\Gamma$, то любая ее $S$ =зона, в которой $v_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>0}$, является $S^2$ =зоной.

Таким образом, для завершения доказательства теоремы остается установить импликацию (4) $\Rightarrow$ (4). Доказательство этого факта проведем в предположении, что импликация неверна. Сначала мы построим решение уравнения (1), обладающее следующим свойством на $\Gamma$.

Решение имеет $S$ =зону на некотором подграфе ${\Gamma }^{\ast }\subset \Gamma$, удовлетворяя при этом в каждой вершине $b\in \partial {\Gamma }^{\ast }$ хотя бы одному из условий $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ или $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ с коэффициентами $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$, $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$.

Затем построим решение уравнения (1), положительное на $\Gamma$ и удовлетворяющее в каждой вершине $b\in \partial {\Gamma }^{\ast }$ тому же условию, что и первое. Далее, привлекая теоремы 2 и 3 (см. также замечание 3), придем к противоречию.

Итак, предположим, что при выполнении условия (4) существует решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеющее в $\Gamma$ $S^2$ =зону, которую обозначим через ${\Gamma }_0$. Согласно лемме 6 задача (12) невырожденна. Поэтому ${\Gamma }_0\ne \Gamma$. Если функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обладает свойством 5(`)@ на $\Gamma$, то нужное нам решение уравнения (1) построено.

Рассмотрим ситуацию, когда $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не обладает необходимым нам свойством. Такая ситуация возникает в двух случаях: [ (1)]

1. ${\Gamma }_0\subset {\gamma }_a$ для некоторой вершины $a\in \partial \Gamma$ и $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$;

2. найдется такое граничное ребро ${\gamma }_a\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $a\in \partial \Gamma$, $a_1\in J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что $a_1\in {\Gamma }_0$ и $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$.

Рассмотрим первый случай. Введем в рассмотрение решение $z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), определенное в лемме 4. Из определения $S^2$ =зоны ${\Gamma }_0$ следует, что функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет на ребре ${\gamma }_a$ не менее трех нулей. Сужение функции $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{z}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равно нулю в точке $a$, удовлетворяет условию $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u^{\prime }}_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и имеет $S$ =зону внутри ${\Gamma }_0\subset {\gamma }_a$. Свойства на границе ребра ${\gamma }_a$ очевидны, а вот наличие $S$ =зоны внутри ${\gamma }_a$ требует пояснений. Если, например, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>0}$ на ${\gamma }_a$, то существует такое число $\mu \mathrm{<mo><</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{z}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что функция $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mu z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет двойной нуль, скажем, $x_0\in {\gamma }_a$, и еще хотя бы один нуль $x_1$ между $a$ и $x_0$. Тогда $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и $\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\vartheta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{y^{\prime }}_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, что противоречит следствию 5. Следовательно, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ нужное нам решение с двумя нулями в ${\Gamma }_0$, а ${\Gamma }^{\ast }\mathrm{<mo>=</mo>}{\gamma }_a$.

Перейдем к рассмотрению второго случая. Из определения $S^2$ =зоны ${\Gamma }_0$ следует, что функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет на полуинтервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по крайней мере два нуля $x_1$, $x_2$ (быть может, совпадающие). При этом $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}a\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $x_2\in \partial {\Gamma }_0$, а значит, $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Если $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет третий нуль на ${\gamma }_a$, то получается случай, рассмотренный выше. Поэтому будем считать, что других нулей на ${\gamma }_a$ функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не имеет. Как и выше, рассмотрим решение $z_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1), определенное в лемме 4 и построим новое решение $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{z}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{z}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1). Функция $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равна нулю в вершине $a$, имеет нуль $x^{\ast }\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset {\gamma }_a$ и совпадает с $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на $\Gamma \backslash {\gamma }_a$. Стало быть, $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет $S^2$ =зону в ${\Gamma }_0$ и $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Поэтому мы можем начать наши рассуждения с начала, но применительно к решению $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поскольку граф $\Gamma$ имеет конечное число ребер, то через конечное число итераций мы построим решение, для которого выполнено свойство 5(`)@.

Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ найденное нами решение и ${\Gamma }^{\ast }$ $—$ соответствующий подграф, содержащий $S^2$ =зону ${\Gamma }_0$. Представим границу подграфа ${\Gamma }^{\ast }$ в виде дизъюнктного объединения $\partial {\Gamma }^{\ast }\mathrm{<mo>=</mo>}\partial {\Gamma }_1^{\ast }\bigsqcup \partial {\Gamma }_2^{\ast }$, в котором $\partial {\Gamma }_1^{\ast }$ $—$ множество простых нулей функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, принадлежащих $\partial \Gamma \cap \partial {\Gamma }^{\ast }$. Рассмотрим функцию

$v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{a\in \partial \Gamma \cap \partial {\Gamma }_1^{\ast }}}{v}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{a\in \partial \Gamma \cap \partial {\Gamma }_2^{\ast }}}{u}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{a\in \partial \Gamma \backslash \partial {\Gamma }^{\ast }}}{u}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

В каждой вершине $b\in \partial {\Gamma }^{\ast }\cap J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обе функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяют одному и тому же условию

${\beta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_i{\text{'}}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\vartheta }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_{i\nu }\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}{\gamma }_i\subset {\Gamma }^{\ast }\mathrm{,}i\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

а в точках $\partial {\Gamma }^{\ast }\cap \partial \Gamma$ обе функции либо обращаются в нуль, либо имеют нулевую производную. Поэтому к сужениям этих функций на ${\Gamma }^{\ast }$ применимы теоремы 2 и 3 (см. также замечание 3). Согласно этим утверждениям $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ меняет знак в $S^2$ =зоне ${\Gamma }_0$ функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Но этого не может быть ввиду (4) $\Rightarrow$ (4). Противоречие. Теорема доказана.

Как показывают выкладки в доказательстве теоремы 4, имеет место следующее утверждение.

Следствие 10. Пусть уравнение (1) осциллирует на $\Gamma$ и ${\Gamma }_0$ $—$ это $S^2$ =зона некоторого его решения. Тогда существует решение уравнения (1), имеющее $S^2$ =зону ${\tilde{\Gamma }}_0\subset {\Gamma }_0$, для которого на $\Gamma$ выполнено свойство 5(`)@.

Следствие 11. Решения краевых задач (10) либо одновременно положительны на $\Gamma$, либо одновременно знакопеременны.

Следствие 12. Соответствие между решениями неосциллирующего дифференциального уравнения (1) и упорядоченными парами значений решений и их первой производной на границе является взаимно однозначным.

Доказательство. Для неосциллирующего оператора $L$ краевые задачи (10) и (11) невырожденные. Поэтому всякое решение уравнения $Lw\mathrm{<mo>=</mo>0}$ единственным образом представляется в виде

$w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{a\in \partial \Gamma }}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{a\in \partial \Gamma }}{w^{\prime }}_{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{v}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

6.  Положительность функции Грина краевой задачи Дирихле

В данном пункте мы рассматриваем свойства краевой задачи (12). Устанавливается связь между неосцилляцией дифференциального оператора $L$, порождаемого соотношениями (2)(4) с краевыми условиями (12), и положительностью его функции Грина.