On two-dimensional systems of Volterra integral equations of the first kind

1. Введение

В настоящей работе рассмотрены системы линейных двумерных интегральных уравнений типа Вольтерра

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}K\left(t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\right)u\left(\tau \mathrm{,}s\right)dsd\tau =\phi \left(t\mathrm{,}x\right)\left(t\mathrm{,}x\right)\in \Omega \left[0,T\right]\times \left[0,X\right]$, (1)

где $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ матрица—ядро размерности $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\times n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — искомая, $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ — заданная $n$ —мерные вектор—функции. Здесь проведено исследование систем (1) c условием

 (2)

К настоящему времени системы вида (1) практически не изучены. Исключением являются некоторые частные случаи, например, $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция, причем существуют такие минимальные целые неотрицательные числа $r$, $q$, что суперпозиция оператора $\frac{{\partial }^q}{\partial x^q}\frac{{\partial }^r}{\partial t^{qr}}$ c уравнением (1) дает интегральное двумерное уравнение Вольтерра второго рода. Другой случай это когда $\det K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\equiv }$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$.

К близким по приведенным здесь исследованиям относятся статьи, посвященные интегро—алгебраических уравнений (ИАУ). По данной тематике см., например, 1, 3, 10$–$16, 18$–$20] и приведенную там библиографию. В работах [13, 14] проведено исследование на предмет существования и единственности решения ИАУ и предложен метод их решения, основанный на простейшей неявной кубатурной формуле. В статье [4] рассмотрены одномерные системы линейных интегральных уравнений типа Вольтерра с тождественно вырожденной матрицей—ядром на диагонали. Для таких систем сформулированы достаточные условия существования единственного достаточно гладкого решения, предложены и обоснованы численные методы решения первого и второго порядков.

Относительно исследования системы (1) на предмет существования и единственности решения с условием (2) авторам неизвестны результаты. Этот факт и послужил мотивацией для проведения данного исследования.

2. Постановка задачи и ее свойства

Рассмотрим систему (1) c условием (2). Здесь и всюду в дальнейшем изложении предполагается, что элементы матрицы $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и правой части $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обладают той гладкостью, которая необходима для проведения всех выкладок.

Данные системы уравнений принципиально отличаются от уравнений Вольтерра второго и первого родов. Эти системы могут иметь множество решений, а могут и не иметь решения в классе достаточно гладких функций; кроме того, решение (при корректно заданной правой части (1)) может зависеть от высоких производных (смешанных) входных данных.

Приведем примеры. В ряде примеров двойной интеграл заменен на повторный. Отметим, что порядок интегрирования может быть изменен. Это возможно в силу гладкости входных данных и теоремы Фубини [7].

Пример 1.  Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& 0\\ 0& a_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ u_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)dsd\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{.}$  (3)

Будем предполагать, что функции $a_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $a_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обладают той гладкостью, которая необходима для проведения выкладок. Кроме этого будем считать, что правая часть $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задана корректно.

Дифференцируя дважды третье уравнение по $t$, затем дважды по $x$, получим

$u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$. (4)

Подставляя это значение в первое уравнение (3), будем иметь

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{a}_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$. (5)

Аналогично, дифференцируя дважды это уравнение сначала по $t$, затем по $x$, получим

$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

или, учитывая (4) и достаточную гладкость данных,

$u_2\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Проводя такие же выкладки для второго уравнения, имеем

$u_3\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial }{\partial x}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

У этого примера ранг $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равен [(i)]

(i) двум, если $a_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$;

(ii) единице в тех точках $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$, где $a_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ или $a_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$;

 (iii) нулю, если $a_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{a}_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$.

Однако в этом случае точки перемены ранга матрицы $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не являются сингулярными. Существование единственного непрерывного решения данного примера гарантирует корректно заданная правая часть и достаточная гладкость, по совокупности аргументов, функций $a_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Следующие два примера приведены для случая, когда $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и вектор—функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, зависящей только от одного аргумента, т.е. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда исходную систему, с учетом гладкости входных данных, можно записать в виде

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dsd\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$. (6)

Рассмотрим однородную задачу (6), у которой внутренний интеграл равен нулю, т.е.

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$.  (7)

Если данная система уравнений имеет нетривиальное решение, то и однородная система (6) имеет ненулевое решение.

Пример 2.  Легко непосредственно проверить, что система интегральных уравнений

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\left(\begin{array}{cc}s-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& 1+x-2s\\ x-s& x-s\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)ds\mathrm{<mo>=</mo>0,}s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$. (8)

имеет множество решений вида

$u_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ c\sqrt{2s-1}\mathrm{,}& s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>2,1<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\end{array}\right.u_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0,}& s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">]</mo>,}\\ -c\sqrt{2s-1}\mathrm{,}& s\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>2,1<mo\; stretchy="false">]</mo>.}\end{array}\right.$

Таким образом, и система

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dsd\tau \mathrm{<mo>=</mo>0,}$

у которой матрица $l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена из формулы (8), имеет множество решений.

Пример 3.  Однородная система интегральных уравнений вида (6) с матрицей

$l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}a& b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& d{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\end{array}\right)\mathrm{,}a\ne \mathrm{0,}b\ne \mathrm{0,}c\ne \mathrm{0,}d\ne \mathrm{0,}$ (9)

при условии $2ad-cb\mathrm{<mo>=</mo>0}$ имеет множество решений при любой матрице $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В самом деле, система интегральных уравнений (внутренний интеграл)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\left(\begin{array}{cc}a& b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& d{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)ds\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

эквивалентна системе

$a{u}_1\left(x\right)+b\underset{0}{\overset{x}{\int }}{u}_2\left(s\right)ds=0c{u}_1+2d\underset{0}{\overset{x}{\int }}{u}_{2}sds=0$. (10)

Дифференцируя первое уравнение (10) один раз, а второе $—$ дважды, находим

$\left(\begin{array}{c}a{u}_1\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\\ c{u}_1\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2d{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}\end{array}\right.$. (11)

Учитывая условие $2ad-cb\mathrm{<mo>=</mo>0}$, получим, что данная система, а следовательно, и система (10), и исходные интегральные уравнения имеют множество решений.

Пример 4.  Система интегральных уравнений вида

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\left(\begin{array}{cc}1& K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)dsd\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ {\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega \mathrm{,}$ (12)

имеет единственное решение при корректно заданной правой части и при $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 1$ для всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$. В самом деле, дифференцируя первое уравнение (12) по $t$, а затем по $x$, получим

$u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{K^{\prime }}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau +$

$+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{{K^{\prime }}^{\prime }}_{tx}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dsd\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial t}{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (13)

Дифференцируя второе уравнение (12) по $t$, а затем дважды по $x$, получим

$u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$. (14)

Объединяя уравнения (13) и (14) в систему, находим

$\left(\begin{array}{cl}1& Kt\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{1}t\mathrm{,}x\\ u_{2}t\mathrm{,}x\end{array}\right)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\left(\begin{array}{cc}0& {K^{\text{'}}}_{t}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}x\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\tau \mathrm{,}x\\ u_2\tau \mathrm{,}x\end{array}\right)d\tau +$

$+\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left(\begin{array}{cc}0& {K^{\text{'}}}_{x}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_{1}t\mathrm{,}s\\ u_{2}t\mathrm{,}s\end{array}\right)ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left(\begin{array}{cc}0& {{K^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{tx}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\tau \mathrm{,}s\\ u_2\tau \mathrm{,}s\end{array}\right)dsd\tau$

$=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial }{\partial t}{\phi }_{1}t\mathrm{,}x\\ \frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}{\phi }_{2}t\mathrm{,}x\end{array}\right)\mathrm{.}$ (15)

В силу условия $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 1$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$, матрица

$\left(\begin{array}{cc}1& Kt\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\\ 1& 1\end{array}\right)$

является невырожденной, т.е. (15) является системой интегральных уравнений второго рода, которое имеет единственное решение.

Пример 5.  Однородная система

$\underset{0}{\overset{t}{\int }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\left(\begin{array}{cc}1& t-\tau \\ x-s& \left(t-\right)\tau \left(x-s\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{u}_1\left(\tau \mathrm{,}s\right)\\ u_2\left(\tau \mathrm{,}s\right)\end{array}\right)dsd\tau \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$, (16)

имеет множество решений. В самом деле, действуя на уравнения (16) операторами

$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{,}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$

соответственно, получим систему

$\frac{\partial }{\partial t}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}\frac{\partial }{\partial t}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

которая имеет множество решений. Следовательно, и первоначальная задача имеет множество решений.

Приведем заключительный пример.

Пример 6.  Система (1) с матрицей размера × вида

$K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}diag\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t-\tau \mathrm{,}x-s\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, (17)

имеет единственное решение

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial }{\partial x}{\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{\partial }{\partial x}{\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial }{\partial t}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\phi }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{\phi }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{{\rm T}}$

при корректно заданной правой части.

Итак, данные примеры показывают принципиальное отличие уравнений (1) с условием (2) от стандартных систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода, у которых $\det K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$.

В дальнейшем нам потребуются некоторые факты из теории матричных пучков и матричных полиномов.

Определение 1 (см.[6]) Выражение вида $\lambda A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\times n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ —матрицы, $\lambda$ $—$ скалярный параметр, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, называется матричным пучком. Матричный пучок является регулярным, если $m\mathrm{<mo>=</mo>}n$ и $\det \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\equiv }0$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$.

Определение 2 (см. [9]) Регулярный матричный пучок $\lambda A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет критерию "ранг—степень" (имеет индекс $1$ ), если $rankA\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}k\mathrm{<mo>=</mo>}$ для всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$ и $\det \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{a}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\lambda }^k+a_{k-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\lambda }^{k-1}+\dots +a_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $a_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$.

Определение 3. Будем говорить, что двупараметрический матричный полином

$\lambda \xi A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\lambda A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\xi A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\lambda$ и $\xi$ $—$ скалярные параметры, имеет простую структуру в области $\Omega$, если выполнены следующие условия:

i.            (i) $rank{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_0\mathrm{<mo>=</mo>}$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$;

 (ii) $rank\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_0+r_1\mathrm{<mo>=</mo>}$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$;

(iii)  $rank\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{r}_0+r_1+r_2\mathrm{<mo>=</mo>}$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$;

(iv) $\det \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \xi A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\lambda A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\xi A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }^{r_0+r_1}{\xi }^{r_0+r_2}{\alpha }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }^{r_0+r_1-1}{\xi }^{r_0+r_2}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }^{r_0+r_1}{\xi }^{r_0+r_2-1}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\dots$, где ${\alpha }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\alpha }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots$ $—$ функции, причем ${\alpha }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$.

Если матрица $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (или $A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ) тождественно нулевая и исходные матрицы зависят только от одного аргумента, то такой случай был исследован в [5].

Если матричный полином $\lambda \xi A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\lambda A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\xi A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет простую структуру, то имеют место следующие утверждения: [ (a)]

(a)  при $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, или $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, или $A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$, будем иметь матричные пучки (соответственно $\omega A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi A_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}\lambda \xi$ ), удовлетворяющие критерию "ранг—степень";

(b)  при $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>0}$ или $\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}$, будем иметь матричные пучки $\xi A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ или $\lambda A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которые удовлетворяют критерию "ранг—степень".

Лемма 1. (см.9) Если матричный пучок $\lambda A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет критерию "ранг—степень", матрица $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет блочный вид

$\left(\begin{array}{cc}{A}_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& A_{12}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ A_{21}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& A_{22}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{,}$

где $rank\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{11}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{A}_{12}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}r\mathrm{<mo>=</mo>}$ в области $\Omega \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то существует такая невырожденная $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\times n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ —матрица $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, элементы которой имеют ту же гладкость, что и элементы матриц $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda \left(\begin{array}{c}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{.}$                                                                          (18)

Здесь $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $B_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r\times n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ —матрицы, $B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n-r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ —матрица и

$rank{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}r\mathrm{<mo>=</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega \mathrm{.}$

Лемма 2. Если матричный пучок(18) удовлетворяет критерию "ранг—степень" в области $\Omega$ и $rank{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}r\mathrm{<mo>=</mo>}$, то

$\det \left(\begin{array}{c}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ c{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\ne \mathrm{0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$

для любого скаляра $c\ne 0$.

Доказательство этой леммы аналогично доказательству в [13].

Приведем следующий факт о системах интегральных уравнений Вольтерра.

Утверждение 1. Система интегральных уравнений Вольтерра

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau +{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+$

$+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dsd\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$, (19)

где $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\times n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ —матрицы с непрерывными элементами, $\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ $n$ —мерная вектор—функция с непрерывными элементами, имеет единственное непрерывное решение.

Доказательство этого утверждения вытекает из принципа сжатых отображений (см. [7, 8]).

Вернемся к исходной системе (1) с условием (2). Приведем достаточные условия существования единственного непрерывного решения данной задачи.

Утверждение 2.  Предположим, что для однородной задачи (1) с условием (2) выполнены следующие условия:

(i) элементы матриц $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обладают достаточной гладкостью по совокупности элементов;

(ii) $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

(iii) матричный полином

$R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda \xi K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\xi {K^{\prime }}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t}+\lambda {K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}+{{K^{\prime }}^{\prime }}_{tx}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo>=</mo>}x}$

имеет простую структуру:

${K^{\prime }}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t}\equiv \mathrm{0<mo>;</mo>}{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}\equiv \mathrm{0<mo>;</mo>}{K^{\prime }}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t}\mathrm{<mo>=</mo>}{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}\equiv 0.$

Тогда исходная система имеет единственное непрерывное решение.

Доказательство этого факта основано на блочном представлении исходных матриц, которое обобщает результаты [13].

Для неоднородной задачи (1) с условием (2) справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3. Пусть для задачи (1) выполнены условия утверждения 2. Если правая часть задана корректно, т.е. задача имеет решение, то это решение единственно в области $\Omega$.

Доказательства этих утверждений основаны на построении дифференциального оператора

$D\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial t}\frac{\partial }{\partial x}+D_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{\partial }{\partial x}+D_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial }{\partial t}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+D_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{,}$ (20)

суперпозиция которого с исходной системой (1) дает систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода вида (19). При конструировании оператора (20) использованы результаты их теории проекторов и обобщенных обратных матриц [?, ?, ?].

Приведем анализ примеров. В примере 1 матричный полином

$R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda \xi K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\xi {K^{\prime }}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t}+\lambda {K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}+{{K^{\prime }}^{\prime }}_{tx}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo>=</mo>}x}$

не имеет простой структуры. В самом деле, ранг матрицы $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ может равняться либо нулю, либо единице, либо двум, в то время как определитель матрицы $R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не зависит от $\lambda$ и $\xi$, он всегда равен единице.

Пример 2 является одномерной системой интегральных уравнений. В этом случае мы имеем не матричный полином $R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а матричный пучок $\lambda K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}$. У данного пучка ранг матрицы $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равен $1$ при всех $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$,

$\det \lambda K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}\mathrm{<mo>=</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}-3.$

При $x\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>2}$ имеем $2x-\mathrm{1<mo>=</mo>0}$; таким образом, в точке $x\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>2}$ нарушено условие

$\det \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\lambda }^k+a_0\mathrm{,}$

где $a_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$. Точка $x\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>2}$ является для данного примера сингулярной.

В примере 3 матричный пучок $\lambda K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}$ не обладает свойством "ранг—степень". В самом деле, ранг матрицы $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равен $1$ при всех $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $a\ne 0$, $\det \lambda K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}\mathrm{<mo>=</mo>}bc$, поэтому, как и в предыдущем случае, гарантировать существование единственного решения нельзя.

В примере 4 матричный полином имеет вид

$R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\lambda \xi K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\xi {K^{\prime }}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t}+\lambda {K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}+$

$+{{K^{\text{'}}}^{\text{'}}}_{tx}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s{}_{\tau t\mathrm{,}sx}\lambda \xi \left(\begin{array}{cc}1& Kt\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\\ 0& 0\end{array}\right)+\lambda \left(\begin{array}{cc}0& {K^{\text{'}}}_{t}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}x{}_{\tau t}\\ 0& 0\end{array}\right)+$

$+\xi \left(\begin{array}{cc}0& {K^{\text{'}}}_{x}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}\xi {}_{\xi x}\\ 0& 0\end{array}\right)+\lambda \xi \left(\begin{array}{cc}0& {K^{\text{'}}}^{\text{'}}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}\xi {}_{\tau t\mathrm{,}\xi x}\\ 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

Если $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 1$ при всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Omega$, то данный матричный полином имеет простую структуру, а при $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ матрица $R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет тождественно вырожденной.

Точно так же можно показать, что в примере 5 матричный полином $R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}\xi \mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не имеет простой структуры, так как матрица

$\lambda \xi K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\xi {K^{\prime }}_t\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t}+\lambda {K^{\prime }}_x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}t\mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{s\mathrm{<mo>=</mo>}x}+{{K^{\prime }}^{\prime }}_{tx}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}_{\tau \mathrm{<mo>=</mo>}t\mathrm{,}s\mathrm{<mo>=</mo>}x}$

является тождественно вырожденной. Аналогично можно показать, что в примере 6 матричный полином будет иметь простую структуру.

3. Заключение.

В работе сформулированы достаточные условия существования решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода в терминах матричных пучков. В дальнейшем планируется получить обобщение этих результатов (формулировка достаточных условий) на многомерные системы интегральных уравнений, а также на системы со слабой особенностью

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-\alpha }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-\beta }K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dsd\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}0\le \alpha \mathrm{<mo><</mo>1,}0\le \beta \mathrm{<mo><</mo>1.}$

Также планируется разработка и обоснование численных методов решения задачи (1), основанных на кубатурных формулах средних прямоугольников.