К вопросу о локальном расширении группы параллельных переносов четырехмерного пространства

Аннотация

Задача о нахождении всех локально ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов четырёхмерного пространства сведена к вычислению алгебр Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов. Найдены некоторые локально ограниченно точно дважды транзитивные группы Ли преобразований с разложимой алгеброй Ли. 

Полный текст

1.  Введение. В работе В. В. Горбацевича [3] приводится определение расширения транзитивной группы Ли $G$, действующей в многообразии $M$: расширением транзитивной группы Ли $G$ называется группа Ли $G_1$, содержащая $G$ в виде подгруппы Ли и также транзитивная на $M$, причем ограничение этого транзитивного действия на $G$ дает исходное транзитивное действие группы Ли $G$. Примером расширения группы параллельных переносов пространства $R^3$ является группа аффинных преобразований этого пространства.

Согласно [6, 10] можно говорить, что локально точно транзитивная группа Ли преобразований пространства $R^4$ задает феноменологически симметричную геометрию двух множеств ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а локально ограниченно точно дважды транзитивная группа Ли преобразований пространства $R^4$ задает феноменологически симметричную геометрию двух множеств ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Отметим, что первым множеством является пространство $R^4$, а вторым множеством является транзитивно действующая группа Ли $G$

В данной работе ставится задача о нахождении всех локальных ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов пространства $R^4$. Результаты исследований изложены в [7, 9] на примере классификации локальных ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов плоскости $R^2$, а также в [5, 8] на примере классификации локальных ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов прострнаства $R^3$.

2.  Основные определения. Следуя [1, 6], определим локальное действие класса $C^2$ группы Ли $G$, $\dim G\mathrm{<mo>=</mo>}n$, в пространстве $R^4$.

Определение 1 Дифференцируемое отображение $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ класса $C^2$ называется эффективным локальным действием, если выполняются следующие свойства:

1. $\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}e\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a$ для всех $a\in W$, где $W$ $—$ область в $R^4$, $e\in G$ "$—$ единица;
2. $\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}{h}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}{h}_1{h}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всех $a\in W$, где $h_1\mathrm{,}{h}_2\in G$;
3. $\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a$ для всех $a\in W$, где $h\in G$, тогда и только тогда, когда $h\mathrm{<mo>=</mo>}e$;
4. ${\pi }_h\mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\to R^4$ "$—$ локальный диффеоморфизм для всякого $h\in G$.

Тройка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{R}^4\mathrm{,}G\mathrm{,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ называется локальной группой Ли преобразований многообразия $R^4$.

Обозначим через $L$ алгебру Ли данной группы преобразований. Базис этой алгебры Ли состоит из операторов

$Z_i\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_i^1{\partial }_x+Z_i^2{\partial }_y+Z_i^3{\partial }_z+Z_i^4{\partial }_w\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$ (2.1)

Определение 2 Эффективное локальное действие $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ называется локально ограниченно точно дважды транзитивным, если дополнительно выполняются следующие свойства:

1.   1. $n\mathrm{<mo>=</mo>8}$
2.   матрица

$V\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccccccc}{Z}_1^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Z_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_2^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_2^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_2^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_2^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_2^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Z_3^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_3^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_3^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_3^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_3^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_3^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_3^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_1^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Z_4^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_4^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_4^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_4^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_4^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_4^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_4^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_4^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Z_5^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_5^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_5^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_5^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_5^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_5^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_5^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_5^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Z_6^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_6^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_6^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_6^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_6^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_6^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_6^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_6^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Z_7^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_7^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_7^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_7^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_7^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_7^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_7^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_7^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ Z_8^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_8^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_8^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_8^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_8^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_8^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_8^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& Z_8^4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ & & & & & & & \end{array}\right)\mathrm{,}$ (2.2)

составленная из коэффициентов операторовЁ(0.2.1)б невырождена для любых точек некоторых окрестностей $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset W$.

Свойства (v) и (vi) равносильны тому, что действие $\pi \times \pi$ в $R^4\times R^4$ локально точно транзитивно.

Определение 3 Будем говорить, что локально ограниченно точно дважды транзитивное действие $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ является локальным расширением группы параллельных переносов, если базис его алгебры Ли $L$ состоит из операторов

$X_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_y\mathrm{,}{X}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_z\mathrm{,}{X}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_i{\partial }_x+B_i{\partial }_y+C_i{\partial }_z+D_i{\partial }_w\mathrm{,}$ (2.3)

причём $A_i\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $B_i\mathrm{<mo>=</mo>}{B}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $C_i\mathrm{<mo>=</mo>}{C}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $D_i\mathrm{<mo>=</mo>}{D}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$, $—$ дифференцируемые функции класса гладкости $C^1$.

В таком случае в алгебре Ли $L$ выделяется коммутативная трехмерная подалгебра $J$, образованная операторами $X_1$, $X_2$, $X_3$ и $X_4$. Произвольный оператор $Y$ является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами базисных операторов.

Теорема 1 Локальное действие $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ с операторами ее алгебры Ли (2.3) локально ограниченно точно дважды транзитивно тогда и только тогда, когда матрица $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ невырождена, где

$K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& B_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& C_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& D_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ A_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& C_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& D_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ A_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& B_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& C_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& D_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ A_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& B_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& C_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& D_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{,}$

причем $a\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_a\mathrm{,}{y}_a\mathrm{,}{z}_a\mathrm{,}{w}_a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset W\subset R^4$.

Доказательство. Матрица (2.2) для действия $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ с операторами ее алгебры Ли (2.3) принимает следующий вид:

$V\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}E& E\\ K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right)\mathrm{,}$

где $E$ $—$ единичная $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4}\times \mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ =матрица. Согласно формуле Шура (см. [2, с.~59]) $\mathrm{<mo>|</mo>}V\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}$. Если действие $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ локально ограниченно точно дважды транзитивно, то $\mathrm{<mo>|</mo>}V\mathrm{<mo>|</mo>}\ne 0$ и поэтому $\mathrm{<mo>|</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\ne 0$. Справедливо и обратное.

Следствие Локальное действие $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ с операторами алгебры Ли вида

$X_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_y\mathrm{,}{X}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_z\mathrm{,}{X}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

$Y_i\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+B_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+C_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{,}z\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$

не является локально ограниченно точно дважды транзитивным.

3. Системы линейных уравнений. Из свойства замкнутости относительно операции коммутирования, следует, что и коммутаторы $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{X}_j\mathrm{,}{Y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $j\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$, принадлежат этой же алгебре Ли (см. [12]). ВЁкоординатной записи, с учетом (2.3), это свойство приводит к системе дифференциальных уравнений на коэффициенты $A_i$, $B_i$, $C_i$, $D_i$:

$\begin{array}{l}{\overleftarrow{A}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_1\overleftarrow{A}+{\overleftarrow{G}}^1\mathrm{,}{\overleftarrow{A}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\overleftarrow{A}+{\overleftarrow{P}}^1\mathrm{,}{\overleftarrow{A}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_3\overleftarrow{A}+{\overleftarrow{Q}}^1\mathrm{,}{\overleftarrow{A}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_4\overleftarrow{A}+{\overleftarrow{R}}^1\mathrm{,}\hfill \\ {\overleftarrow{B}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_1\overleftarrow{B}+{\overleftarrow{G}}^2\mathrm{,}{\overleftarrow{B}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\overleftarrow{B}+{\overleftarrow{P}}^2\mathrm{,}{\overleftarrow{B}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_3\overleftarrow{B}+{\overleftarrow{Q}}^2\mathrm{,}{\overleftarrow{B}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_4\overleftarrow{B}+{\overleftarrow{R}}^2\mathrm{,}\hfill \\ {\overleftarrow{C}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_1\overleftarrow{C}+{\overleftarrow{G}}^3\mathrm{,}{\overleftarrow{C}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\overleftarrow{C}+{\overleftarrow{P}}^3\mathrm{,}{\overleftarrow{C}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_3\overleftarrow{C}+{\overleftarrow{Q}}^3\mathrm{,}{\overleftarrow{C}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_4\overleftarrow{C}+{\overleftarrow{R}}^3\mathrm{,}\hfill \\ {\overleftarrow{D}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_1\overleftarrow{D}+{\overleftarrow{G}}^4\mathrm{,}{\overleftarrow{D}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\overleftarrow{D}+{\overleftarrow{P}}^4\mathrm{,}{\overleftarrow{D}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_3\overleftarrow{D}+{\overleftarrow{Q}}^4\mathrm{,}{\overleftarrow{D}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_4\overleftarrow{D}+{\overleftarrow{R}}^4\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (3.1)

 где введены матричные обозначения:

$T_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{a}_1^1& a_1^2& a_1^3& a_1^4\\ a_2^1& a_2^2& a_2^3& a_2^4\\ a_3^1& a_3^2& a_3^3& a_3^4\\ a_4^1& a_4^2& a_4^3& a_4^4\end{array}\right)\mathrm{,}{T}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{b}_1^1& b_1^2& b_1^3& b_1^4\\ b_2^1& b_2^2& b_2^3& b_2^4\\ b_3^1& b_3^2& b_3^3& b_3^4\\ b_4^1& b_4^2& b_4^3& b_4^4\end{array}\right)\mathrm{,}{T}_3\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{c}_1^1& c_1^2& c_1^3& c_1^4\\ c_2^1& c_2^2& c_2^3& c_2^4\\ c_3^1& c_3^2& c_3^3& c_3^4\\ c_4^1& c_4^2& c_4^3& c_4^4\end{array}\right)\mathrm{,}$

$T_4\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{d}_1^1& d_1^2& d_1^3& d_1^4\\ d_2^1& d_2^2& d_2^3& d_2^4\\ d_3^1& d_3^2& d_3^3& d_3^4\\ d_4^1& d_4^2& d_4^3& d_4^4\end{array}\right)\mathrm{,}\overleftarrow{A}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ A_3\\ A_4\end{array}\right)\mathrm{,}\overleftarrow{B}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{B}_1\\ B_2\\ B_3\\ B_4\end{array}\right)\mathrm{,}\overleftarrow{C}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\\ C_3\\ C_4\end{array}\right)\mathrm{,}\overleftarrow{D}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{D}_1\\ D_2\\ D_3\\ D_4\end{array}\right)\mathrm{,}$

${\overleftarrow{G}}^j\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{g}_1^j\\ g_2^j\\ g_3^j\\ g_4^j\end{array}\right)\mathrm{,}{\overleftarrow{Q}}^j\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{q}_1^j\\ q_2^j\\ q_3^j\\ q_4^j\end{array}\right)\mathrm{,}\overleftarrow{P^j}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{p}_1^j\\ p_2^j\\ p_3^j\\ p_4^j\end{array}\right)\mathrm{,}\overleftarrow{R^j}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{r}_1^j\\ r_2^j\\ r_3^j\\ r_4^j\end{array}\right)\mathrm{,}$

причем $a_i^j$, $b_i^j$, $c_i^j$, $d_i^j$, $g_i^j$, $q_i^j$, $p_i^j$, $r_i^j\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$.

Из свойства независимости частных производных относительно порядка дифференцирования вытекают соотношения:

$\begin{array}{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_i{T}_j-T_j{T}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{A}\mathrm{<mo>=</mo>}\overleftarrow{const}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_i{T}_j-T_j{T}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{B}\mathrm{<mo>=</mo>}\overleftarrow{const}\mathrm{,}\hfill \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_i{T}_j-T_j{T}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{C}\mathrm{<mo>=</mo>}\overleftarrow{const}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_i{T}_j-T_j{T}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{D}\mathrm{<mo>=</mo>}\overleftarrow{const}\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (3.2)

где $i\mathrm{<mo><</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$. Линейные системы (0.3.1), очевидно, совместны.

Теорема 2 Подалгебра Ли $J$ алгебры Ли $L$ является идеалом тогда и только тогда, когда векторы ${\overleftarrow{A}}_x$, ${\overleftarrow{B}}_x$, ${\overleftarrow{C}}_x$, ${\overleftarrow{D}}_x$, ${\overleftarrow{A}}_y$, ${\overleftarrow{B}}_y$, ${\overleftarrow{C}}_y$, ${\overleftarrow{D}}_y$, ${\overleftarrow{A}}_z$, ${\overleftarrow{B}}_z$, ${\overleftarrow{C}}_z$, ${\overleftarrow{D}}_z\mathrm{,}$ ${\overleftarrow{A}}_w$, ${\overleftarrow{B}}_w$, ${\overleftarrow{C}}_w$, ${\overleftarrow{D}}_w$ постоянные.

Доказательство. Пусть сначала $J$ $—$ идеал в $L$. Заметим, что $J$ является идеалом тогда и только тогда, когда

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{X}_i\mathrm{,}{Y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\mu }_1{X}_1+{\mu }_2{X}_2+{\mu }_3{X}_3+{\mu }_4{X}_4\mathrm{,}$

причем ${\mu }_1\mathrm{,}{\mu }_2\mathrm{,}{\mu }_3\mathrm{,}{\mu }_4\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $i\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$. Тогда векторы ${\overleftarrow{A}}_x$, ${\overleftarrow{B}}_x$, ${\overleftarrow{C}}_x$ , ${\overleftarrow{D}}_x$, ${\overleftarrow{A}}_y$, ${\overleftarrow{B}}_y$, ${\overleftarrow{C}}_y$, ${\overleftarrow{D}}_y$, ${\overleftarrow{A}}_z$, ${\overleftarrow{B}}_z$, ${\overleftarrow{C}}_z$, ${\overleftarrow{D}}_z\mathrm{,}$ ${\overleftarrow{A}}_w$, ${\overleftarrow{B}}_w$, ${\overleftarrow{C}}_w$, ${\overleftarrow{D}}_w$ постоянные.

Обратно, пусть производные коэффициентов операторов $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ и $Y_4$ постоянны; тогда коммутаторы $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{X}_i\mathrm{,}{Y}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ будут линейно выражаться через операторы $X_1$, $X_2$, $X_3$ и $X_4$, поэтому $J$ $—$ идеал в $L$.

Следствие $T_1\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_4\mathrm{<mo>=</mo>0}$ тогда и только тогда, когда $J$ $—$ идеал в $L$.

Доказательство. Если $T_1\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_4\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то из системы (3.1) получаем, что производные векторов $\overleftarrow{A}$, $\overleftarrow{B}$, $\overleftarrow{C}$, $\overleftarrow{D}$ по переменным $x$, $y$, $z$, $w$ постоянны, и поэтому $J$ $—$ идеал в $L$ (теорема 2).

Пусть $J$ $—$ идеал в $L$. Предположим для определенности, что $T_1\ne 0$. Тогда согласно системе (3.2) хотя бы одна из производных ${\overleftarrow{A}}_x$, ${\overleftarrow{B}}_x$, ${\overleftarrow{C}}_x$, ${\overleftarrow{D}}_x$ не постоянна. Поэтому согласно теореме 2 получаем, что $J$ не является идеалом в $L$. Противоречие.

Теорема 3 Матрицы коэффициентов системы (3.1) взаимно коммутативны, т.е.

$T_i{T}_j-T_j{T}_i\mathrm{<mo>=</mo>0,}i\mathrm{<mo><</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4.}$

Доказательство. Пусть одна из пар матриц коэффициентов системы (3.1) некоммутативна, т.е. $T_1{T}_2-T_2{T}_1\ne 0$. В таком случае ранг матрицы $T_1{T}_2-T_2{T}_1$ равен либо $4$, либо $3$, либо $2$, либо $1$. Эквивалентными преобразованиями добьемся упрощения систем линейных уравнений

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_1{T}_2-T_2{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{A}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overleftarrow{R}}_1\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_1{T}_2-T_2{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{B}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overleftarrow{R}}_2\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_1{T}_2-T_2{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{C}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overleftarrow{R}}_3\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{T}_1{T}_2-T_2{T}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overleftarrow{D}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overleftarrow{R}}_4\mathrm{.}$

Тогда в эквивалентных системах матрица коэффициентов $T_1{T}_2-T_2{T}_1$ принимает один из следующих видов:

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 1& 0& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 1& 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \end{array}\right)\mathrm{.}$

Значит, $A_1\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $B_1\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $C_1\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $D_1\mathrm{<mo>=</mo>}const$, или $A_2\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $B_2\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $C_2\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $D\mathrm{2<mo>=</mo>}const$, или $A_3\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $B_3\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $C_3\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $D_3\mathrm{<mo>=</mo>}const$, или $A_4\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $B_4\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $C_4\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $D_4\mathrm{<mo>=</mo>}const$. Поэтому, соответственно, оператор $Y_1$, или $Y_2$, или $Y_3$, или $Y_4$ из системы (2.3) линейно выражается через операторы $X_1$, $X_2$, $X_3$ и $X_4$, что противоречит линейной независимости базисных операторов (2.3). Аналогичная проверка проводится и относительно систем из (3.2) с матрицами коэффициентов $T_i{T}_j-T_j{T}_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $i\mathrm{<mo><</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$.

Теорема 4 Для алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивного действия $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ в подходящем базисе матрица $T_1$ принимает следующий вид:

$\begin{array}{ll}\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & J_{\mathrm{1,}{\lambda }_1}\dotplus J_{\mathrm{1,}{\lambda }_2}\dotplus J_{\mathrm{1,}{\lambda }_3}\dotplus J_{\mathrm{1,}{\lambda }_4}\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ \mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & J_{\mathrm{2,}{\lambda }_5}\dotplus J_{\mathrm{1,}{\lambda }_6}\dotplus J_{\mathrm{1,}{\lambda }_7}\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ \mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & J_{\mathrm{2,}{\lambda }_5}\dotplus J_{\mathrm{2,}{\lambda }_8}\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ \mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & J_{\mathrm{3,}{\lambda }_9}\dotplus J_{\mathrm{1,}{\lambda }_{10}}\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ \mathrm{5<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & J_{\mathrm{4,}\lambda }\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (3.3)

где $J_{m\mathrm{,}\mu }$ $—$ жорданова клетка порядка $m$, соответствующая собственному значению $\mu$.

Доказательство. Базис алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивного действия $\pi \mathrm{<mo>:</mo>}{R}^4\times G\to R^4$ задается операторами (2.3). Перейдем к новому базису

${X^{\prime }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_i\mathrm{,}{Y^{\prime }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^4}{\chi }_i^j{Y}_j$

при помощи невырожденной матрицы коэффициентов $\chi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_i^j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда выражения (2.3) принимают следующий вид:

$X_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_y\mathrm{,}{X}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_z\mathrm{,}{X}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}{Y^{\prime }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{A^{\prime }}_i{\partial }_x+{B^{\prime }}_i{\partial }_y+{C^{\prime }}_i{\partial }_z+{D^{\prime }}_i{\partial }_w\mathrm{,}$

причем

$\overleftarrow{A^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}\chi \overleftarrow{A}\mathrm{,}\overleftarrow{B^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}\chi \overleftarrow{B}\mathrm{,}\overleftarrow{C^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}\chi \overleftarrow{C}\mathrm{,}\overleftarrow{D^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}\chi \overleftarrow{D}\mathrm{.}$  (0.3.4)

Вычисляя коммутаторы $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{X}_i\mathrm{,}{Y^{\prime }}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, учитывая их замкнутость и сравнивая коэффициенты при ${\partial }_x$, ${\partial }_y$, ${\partial }_z$ и ${\partial }_w$, получаем векторные уравнения

$\left\{\begin{array}{llllllll}\hfill & {\overleftarrow{A^{\prime }}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_1\overleftarrow{A^{\prime }}+{\overleftarrow{G^{\prime }}}^1\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{A^{\prime }}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_2\overleftarrow{A^{\prime }}+{\overleftarrow{P^{\prime }}}^1\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{A^{\prime }}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_3\overleftarrow{A^{\prime }}+{\overleftarrow{Q^{\prime }}}^1\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{A^{\prime }}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_4\overleftarrow{A^{\prime }}+{\overleftarrow{R^{\prime }}}^1\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\overleftarrow{B^{\prime }}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_1\overleftarrow{B^{\prime }}+{\overleftarrow{G^{\prime }}}^2\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{B^{\prime }}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_2\overleftarrow{B^{\prime }}+{\overleftarrow{P^{\prime }}}^2\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{B^{\prime }}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_3\overleftarrow{B^{\prime }}+{\overleftarrow{Q^{\prime }}}^2\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{B^{\prime }}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_4\overleftarrow{B^{\prime }}+{\overleftarrow{R^{\prime }}}^2\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\overleftarrow{C^{\prime }}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_1\overleftarrow{C^{\prime }}+{\overleftarrow{G^{\prime }}}^3\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{C^{\prime }}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_2\overleftarrow{C^{\prime }}+{\overleftarrow{P^{\prime }}}^3\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{C^{\prime }}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_3\overleftarrow{C^{\prime }}+{\overleftarrow{Q^{\prime }}}^3\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{C^{\prime }}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_4\overleftarrow{C^{\prime }}+{\overleftarrow{R^{\prime }}}^3\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\overleftarrow{D^{\prime }}}_x\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_1\overleftarrow{D^{\prime }}+{\overleftarrow{G^{\prime }}}^4\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{D^{\prime }}}_y\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_2\overleftarrow{D^{\prime }}+{\overleftarrow{P^{\prime }}}^4\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{D^{\prime }}}_z\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_3\overleftarrow{D^{\prime }}+{\overleftarrow{Q^{\prime }}}^4\mathrm{,}\hfill & \hfill & {\overleftarrow{D^{\prime }}}_w\mathrm{<mo>=</mo>}{T^{\prime }}_4\overleftarrow{D^{\prime }}+{\overleftarrow{R^{\prime }}}^4\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$

Подставляя в последнюю систему выражения (3.4) и сравнивая с (3.1), находим

$T_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }^{-1}{T^{\prime }}_1\chi \mathrm{,}{T}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }^{-1}{T^{\prime }}_2\chi \mathrm{,}{T}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }^{-1}{T^{\prime }}_3\chi \mathrm{,}{T}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\chi }^{-1}{T^{\prime }}_4\chi \mathrm{.}$

Поскольку матрицу $T_1$ можно привести к жордановому виду при помощи надлежащего выбора невырожденной матрицы $\chi$ (см. [4, с.~482]), приходим к утверждению теоремы.

Отметим, что в теореме 4 собственные значения матриц могут быть как вещественными, так и комплексно сопряженными, поэтому в явном виде эти матрицы, с учетом вещественных форм, принимают следующий вид:

null (3.5)

причём ${\beta }_1\ne 0$, ${\beta }_2\ne 0$, ${\beta }_3\ne 0$, ${\beta }_4\ne 0$. Заметим, что в этих матрицах все элементы $—$ вещественные числа.

Теорема 5 Пусть $T_1$ $—$ вещественная форма (3.5) жордановой матрицы из (3.3). Справедливы следующие утверждения. [ 1.]

1. Для матрицы $T$, коммутирующей с матрицей $T_1$ вида 1 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны соответственно четыре различных случая:

$\begin{array}{llll}\hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ a_5& a_6& a_7& a_8\\ a_9& a_{10}& a_{11}& a_{12}\\ a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_4\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill & \hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& 0\\ a_5& a_6& a_7& 0\\ a_9& a_{10}& a_{11}& 0\\ 0& 0& 0& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_3\ne {\lambda }_4\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ \hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& 0& 0\\ a_5& a_6& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& 0\\ 0& 0& 0& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}\begin{array}{ll}\hfill & {\lambda }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_2\ne {\lambda }_3\ne {\lambda }_4\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\lambda }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_2\ne {\lambda }_4\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \end{array}\hfill & \hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& 0\\ 0& a_6& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& 0\\ 0& 0& 0& a_{16}\end{array}\right)\begin{array}{ll}\hfill & \text{дляпопарнораз}-\hfill \\ \hfill & \text{личных}{\lambda }_1\mathrm{,}{\lambda }_2\mathrm{,}{\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_4\mathrm{.}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$ (3.6)

2. Для матрицы $T$, коммутирующей с матрицей $T_1$ вида 2 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны соответственно два различных случая:

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& 0& 0\\ a_5& a_6& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& -a_{12}\\ 0& 0& a_{12}& a_{11}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_2\mathrm{<mo>;</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& 0& 0& 0\\ 0& a_6& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& -a_{12}\\ 0& 0& a_{12}& a_{11}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_2\mathrm{.}$ (3.7)

3. Для матрицы $T$, коммутирующей с матрицей $T_1$ вида 3 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможен случай

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& -a_2& 0& 0\\ a_2& a_1& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& -a_{12}\\ 0& 0& a_{12}& a_{11}\end{array}\right)\mathrm{.}$ (3.8)

4. Для матрицы $T$, коммутирующей с матрицей $T_1$ вида 4 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны четыре различных случая:

$\begin{array}{llll}\hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ 0& a_1& 0& 0\\ 0& a_{10}& a_{11}& a_{12}\\ 0& a_{14}& a_{15}& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_6\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_7\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill & \hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& 0\\ 0& a_1& 0& 0\\ 0& a_{10}& a_{11}& 0\\ 0& 0& 0& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_6\ne {\lambda }_7\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill \\ \hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& 0& 0\\ 0& a_1& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& a_{12}\\ 0& 0& a_{15}& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_6\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_7\mathrm{<mo>;</mo>}\hfill & \hfill & \left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& 0& 0\\ 0& a_1& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& 0\\ 0& 0& 0& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}\begin{array}{ll}\hfill & {\lambda }_5\ne {\lambda }_6\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\lambda }_5\ne {\lambda }_7\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\lambda }_6\ne {\lambda }_7\mathrm{.}\hfill \end{array}\hfill \end{array}$ (3.9)

5. Для матрицы $T$, коммутирующей с матрицей $T_1$ вида 5 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможен случай

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& 0& 0\\ 0& a_1& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& -a_{12}\\ 0& 0& a_{12}& a_{11}\end{array}\right)\mathrm{.}$ (3.10)

6. Для матрицы $T$, коммутирующей с матрицей $T_1$ вида 6 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны два различных случая:

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ 0& a_1& 0& a_3\\ a_9& a_{10}& a_{11}& a_{12}\\ 0& a_9& 0& a_{11}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_8\mathrm{<mo>;</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& 0& 0\\ 0& a_1& 0& 0\\ 0& 0& a_{11}& a_{12}\\ 0& 0& 0& a_{11}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_8\mathrm{.}$ (3.11)

7. Для матрицы $T$, коммутирующей с матрицей $T_1$ вида 7 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны соответственно два различных случая:

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ 0& a_1& a_2& 0\\ 0& 0& a_1& 0\\ 0& 0& a_{15}& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_9\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{10}\mathrm{<mo>;</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& 0\\ 0& a_1& a_2& 0\\ 0& 0& a_1& 0\\ 0& 0& 0& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{,}{\lambda }_9\ne {\lambda }_{10}\mathrm{.}$ (3.12)

8. Матрица $T$, коммутирующая с матрицей $T_1$ вида 8 из (3.5), имеет вид

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ 0& a_1& a_2& a_3\\ 0& 0& a_1& a_2\\ 0& 0& 0& a_1\end{array}\right)\mathrm{.}$ (3.13)

Доказательство. данной теоремы сводится к вычислению матричных коммутаторов и приравниванию их к нулевой матрице: $T_{1}T-T{T}_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Проиллюстрируем это для последнего случая, когда матрица $T_1$ имеет вид 8) из (3.5) и

$T\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ a_5& a_6& a_7& a_8\\ a_9& a_{10}& a_{11}& a_{12}\\ a_{13}& a_{14}& a_{15}& a_{16}\end{array}\right)\mathrm{.}$

Получаем

$T_{1}T-T{T}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}-a_5& a_1-a_6& a_2-a_7& a_3-a_8\\ -a_9& a_5-a_{10}& a_6-a_{11}& a_7-a_{12}\\ -a_{13}& a_9-a_{14}& a_{10}-a_{15}& a_{11}-a_{16}\\ 0& a_{15}& a_{14}& a_{15}\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Видно, что

$a_5\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_9\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{10}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{13}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{14}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{15}\mathrm{<mo>=</mo>0,}{a}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_6\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{11}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{16}\mathrm{,}{a}_7\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{12}\mathrm{,}{a}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_b\mathrm{.}$

В результате матрица $T$ принимает вид (3.13). Аналогично получаем (3.6)$–$(3.12).

Теоремы 3$–$5 дают существенные ограничения на матрицы коэффициентов $T_2$, $T_3$ и $T_4$ из системы (3.1). Несложно установить, что матрицы $T_1$, $T_2$, $T_3$ и $T_4$ могут принимать следующие неупорядоченные четвёрки значений:

$1.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\mu }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\mu }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\mu }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\nu }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\nu }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\nu }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\rho }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\rho }_4\end{array}\right)\mathrm{<mo>;</mo>}$

$2.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& -{\lambda }_4\\ 0& 0& {\lambda }_4& {\lambda }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\mu }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\mu }_3& -{\mu }_4\\ 0& 0& {\mu }_4& {\mu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\nu }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\nu }_3& -{\nu }_4\\ 0& 0& {\nu }_4& {\nu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\rho }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_3& -{\rho }_4\\ 0& 0& {\rho }_4& {\rho }_3\end{array}\right)\mathrm{,}$

 ${\lambda }_4\ne \mathrm{0<mo>;</mo>}$

$3.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& -{\lambda }_2& 0& 0\\ {\lambda }_2& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& -{\lambda }_4\\ 0& 0& {\lambda }_4& {\lambda }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& -{\mu }_2& 0& 0\\ {\mu }_2& {\mu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\mu }_3& -{\mu }_4\\ 0& 0& {\mu }_4& {\mu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& -{\nu }_2& 0& 0\\ {\nu }_2& {\nu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\nu }_3& -{\nu }_4\\ 0& 0& {\nu }_4& {\nu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& -{\rho }_2& 0& 0\\ {\rho }_2& {\rho }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_3& -{\rho }_4\\ 0& 0& {\rho }_4& {\rho }_3\end{array}\right)\mathrm{,}$ ${\lambda }_2\ne \mathrm{0,}{\lambda }_4\ne \mathrm{0<mo>;</mo>}$

$4.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& {\mu }_2& 0& 0\\ 0& {\mu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\mu }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\mu }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& {\nu }_2& 0& 0\\ 0& {\nu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\nu }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\nu }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& {\rho }_2& 0& 0\\ 0& {\rho }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\rho }_4\end{array}\right)\mathrm{,}$

${\lambda }_2^2+{\mu }_2^2+{\nu }_2^2+{\rho }_2^2\ne \mathrm{0<mo>;</mo>}$

$5.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& -{\lambda }_4\\ 0& 0& {\lambda }_4& {\lambda }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& {\mu }_2& 0& 0\\ 0& {\mu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\mu }_3& -{\mu }_4\\ 0& 0& {\mu }_4& {\mu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& {\nu }_2& 0& 0\\ 0& {\nu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\nu }_3& -{\nu }_4\\ 0& 0& {\nu }_4& {\nu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& {\rho }_2& 0& 0\\ 0& {\rho }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_3& -{\rho }_4\\ 0& 0& {\rho }_4& {\rho }_3\end{array}\right)\mathrm{,}$

${\lambda }_4\ne \mathrm{0<mo>;</mo>}$

$6.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& {\lambda }_4\\ 0& 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& {\mu }_2& 0& 0\\ 0& {\mu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\mu }_3& {\mu }_4\\ 0& 0& 0& {\mu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& {\nu }_2& 0& 0\\ 0& {\nu }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\nu }_3& {\nu }_4\\ 0& 0& 0& {\nu }_3\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& {\rho }_2& 0& 0\\ 0& {\rho }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\rho }_3& {\rho }_4\\ 0& 0& 0& {\rho }_3\end{array}\right)\mathrm{,}$

${\lambda }_2^2+{\mu }_2^2+{\nu }_2^2+{\rho }_2^2\ne \mathrm{0,}{\lambda }_4^2+{\mu }_4^2+{\nu }_4^2+{\rho }_4^2\ne \mathrm{0<mo>;</mo>}$

$7.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& {\lambda }_3& 0\\ 0& {\lambda }_1& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_1& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& {\mu }_2& {\mu }_3& 0\\ 0& {\mu }_1& {\mu }_2& 0\\ 0& 0& {\mu }_1& 0\\ 0& 0& 0& {\mu }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& {\nu }_2& {\nu }_3& 0\\ 0& {\nu }_1& {\nu }_2& 0\\ 0& 0& {\nu }_1& 0\\ 0& 0& 0& {\nu }_4\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& {\rho }_2& {\rho }_3& 0\\ 0& {\rho }_1& {\rho }_2& 0\\ 0& 0& {\rho }_1& 0\\ 0& 0& 0& {\rho }_4\end{array}\right)\mathrm{,}$

${\lambda }_2^2+{\mu }_2^2+{\nu }_2^2+{\rho }_2^2\ne \mathrm{0<mo>;</mo>}$

$8.\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& {\lambda }_2& {\lambda }_3& {\lambda }_4\\ 0& {\lambda }_1& {\lambda }_2& {\lambda }_3\\ 0& 0& {\lambda }_1& {\lambda }_2\\ 0& 0& 0& {\lambda }_1\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\mu }_1& {\mu }_2& {\mu }_3& {\mu }_4\\ 0& {\mu }_1& {\mu }_2& {\mu }_3\\ 0& 0& {\mu }_1& {\mu }_2\\ 0& 0& 0& {\mu }_1\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\nu }_1& {\nu }_2& {\nu }_3& {\nu }_4\\ 0& {\nu }_1& {\nu }_2& {\nu }_3\\ 0& 0& {\nu }_1& {\nu }_2\\ 0& 0& 0& {\nu }_1\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{cccc}{\rho }_1& {\rho }_2& {\rho }_3& {\rho }_4\\ 0& {\rho }_1& {\rho }_2& {\rho }_3\\ 0& 0& {\rho }_1& {\rho }_2\\ 0& 0& 0& {\rho }_1\end{array}\right)\mathrm{,}$

${\lambda }_2^2+{\mu }_2^2+{\nu }_2^2+{\rho }_2^2\ne 0.$

4. Разложимая алгебра Ли

Решение системы дифференциальных уравнений (3.1) с нулевыми матрицами $T_1$, $T_2$, $T_3$ и $T_4$ в подходящем базисе принимает следующий вид:

$\overleftarrow{A}\mathrm{<mo>=</mo>}{U}^1\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)+C^1\mathrm{,}\overleftarrow{B}\mathrm{<mo>=</mo>}{U}^2\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)+C^2\mathrm{,}\overleftarrow{C}\mathrm{<mo>=</mo>}{U}^3\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)+C^3\mathrm{,}\overleftarrow{D}\mathrm{<mo>=</mo>}{U}^4\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)+C^4\mathrm{,}$

где

$U^i\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{g}_1^i& p_1^i& q_1^i& r_1^i\\ g_2^i& p_2^i& q_2^i& r_2^i\\ g_3^i& p_3^i& q_3^i& r_3^i\\ g_4^i& p_4^i& q_4^i& r_4^i\end{array}\right)\mathrm{,}{C}^i\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}{c}_1^i\\ c_2^i\\ c_3^i\\ c_4^i\end{array}\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4,}$

$—$ постоянные матрицы. По найденным решениям запишем базисные операторы (2.3) восьмимерных линейных пространств, добиваясь при этом исключения свободных членов выбором линейных комбинаций с постоянными коэффициентами операторов $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ и $Y_4$ с операторами $X_1$, $X_2$, $X_3$ и $X_4$:

$X_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_y\mathrm{,}{X}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_z\mathrm{,}{X}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}⟨U_i\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}$ (4.1)

где

\ $U_i\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{g}_i^1& p_i^1& q_i^1& r_i^1\\ g_i^2& p_i^2& q_i^2& r_i^2\\ g_i^3& p_i^3& q_i^3& r_i^3\\ g_i^4& p_i^4& q_i^4& r_i^4\end{array}\right)\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4,}$

и $⟨\cdot \mathrm{,}\cdot ⟩$ $—$ скалярное произведение векторов. Несложно вычислить коммутатор:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_i\mathrm{,}{Y}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}⟨\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{U}_j{U}_i-U_i{U}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{<mo>=</mo>}-⟨\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{U}_i\mathrm{,}{U}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}$ (4.2)

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{U}_i\mathrm{,}{U}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{U}_i{U}_j-U_j{U}_i$ $—$ коммутатор матриц $U_i$ и $U_j$, $i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$.

Тождество Якоби в нашем случае это свойство выполняется автоматически, поскольку $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$, $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$ $—$ векторные поля (см. [12, с. 88]).

Далее выясним, при каких условиях на коэффициенты операторы (0.3.1) становятся базисными операторами восьмимерных алгебр Ли. Очевидно, алгебра Ли $L\mathrm{<mo>=</mo>}J⋉I$ разложима, так как является полупрямой суммой коммутативного трехмерного идеала $J$, образованного операторами $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$, и четырёхмерной подалгебры Ли $I$, образованной операторами $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$. Следуя классификации абстрактных четырехмерных вещественных алгебр Ли (см. [11, с.138]), приведем полный список (с точностью до изоморфизма) подалгебр Ли $I$:

[Y1, Y2]	[Y1, Y3]	[Y2, Y3]	[Y1, Y4]	[Y2, Y4]	[Y3, Y4]	№
0	0	0	εY1	kY2	lY3	1.
0	0	0	kY1 + Y2	−Y1 + kY2	lY3	2.
0	0	0	kY1 + Y2	kY2	εY3	3.
0	0	0	kY1 + Y2	kY2 + Y3	εY3	4.
0	0	Y1	cY1	Y2	(c − 1)Y3	5.
0	0	Y1	2Y1	Y2	Y2 + Y3	6.
0	0	Y1	qY1	Y3	−Y2 + qY3	7.
0	Y1	0	0	Y	0	8.
0	Y1	Y2	Y2	−Y1	0	9.
Y3	−Y2	Y1	0	0	0	10.
Y3	−Y2	−Y1	0	0	0	11.

 (4.3)

где $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0,1}$; $k\mathrm{,}l\mathrm{,}c\mathrm{,}q\mathrm{<mo>=</mo>}const$ и $-\mathrm{2<mo><</mo>}q\mathrm{<mo><</mo>2}$.

Теорема 6 Для локальной ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований с разложимой алгеброй Ли $L\mathrm{<mo>=</mo>}J⋉I$, базис которой задается операторами (3.1), матрица коэффициентов $K$ операторов $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$ невырождена.

Доказательство. Согласно теореме 1 матрица, составленная по коэффициентам операторов, невырождена; значит

$\left|\begin{array}{cc}E& E\\ K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}& K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\end{array}\right|\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\ne 0.$

Тогда матрица

$K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

null

$\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}⟨{\overleftarrow{g}}_1^1\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_1^2\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_1^3\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_1^4\mathrm{,}\overleftarrow{v}⟩\\ ⟨{\overleftarrow{g}}_2^1\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_2^2\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_2^3\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_2^4\mathrm{,}\overleftarrow{v}⟩\\ ⟨{\overleftarrow{g}}_3^1\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_3^2\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_3^3\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_3^4\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩\\ ⟨{\overleftarrow{g}}_4^1\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_4^2\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_4^3\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩& ⟨{\overleftarrow{g}}_4^4\mathrm{,}\overleftarrow{vu}⟩\\ & & & \end{array}\right)$

невырождена; здесь

$\overleftarrow{u}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_u\mathrm{,}{y}_u\mathrm{,}{z}_u\mathrm{,}{w}_u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overleftarrow{v}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_v\mathrm{,}{y}_v\mathrm{,}{z}_v\mathrm{,}{w}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\overleftarrow{vu}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{vu}\mathrm{,}{y}_{vu}\mathrm{,}{z}_{vu}\mathrm{,}{w}_{vu}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\overleftarrow{g}}_i^j\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{g}_i^j\mathrm{,}{p}_i^j\mathrm{,}{q}_i^j\mathrm{,}{r}_i^j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$i\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4}$. Точки $u\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_u\mathrm{,}{y}_u\mathrm{,}{z}_u\mathrm{,}{w}_u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $v\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_v\mathrm{,}{y}_v\mathrm{,}{z}_v\mathrm{,}{w}_v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ выбираются произвольно, поэтому матрица $K$ невырождена.

5. Вычисление алгебр Ли. Здесь и ниже рассматривается случай, когда для матрицы $U_1$ из (4.1) характеристический многочлен и минимальный многочлен совпадают, а её собственные значения различны и вещественны. В данном разделе из линейных пространств с базисными операторами вида (4.1) необходимо выделить алгебры Ли. Для этого пользуемся возможностью перехода к новому базису, заменой координат, а также замкнутостью коммутаторов базисных операторов. Последнее означает, что сам коммутатор должен принадлежать этой же алгебре Ли (см. [12, §13]). Также учитывается теорема 6.

Теорема 7 Из системы (4.1), для которой матрица $U_1$ оператора $Y_1$ имеет различные вещественные собственные значения, причём её характеристический многочлен совпадает с минимальным, с точностью до линейной замены координат, выделяются операторы $X_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x$, $X_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_y$, $X_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_z$, $X_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_w$, $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$, образующие базисы восьмимерных линейных пространств; при этом операторы $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$ образуют подпространство, являющееся алгеброй Ли, из списка (4.3):

для алгебры Ли 1:

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{1}x{\partial }_x+{\lambda }_{2}y{\partial }_y+{\lambda }_{3}z{\partial }_z+{\lambda }_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{1}x{\partial }_x+b_{2}y{\partial }_y+b_{3}z{\partial }_z+b_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo>}{c}_{1}x{\partial }_x+c_{2}y{\partial }_y+c_{3}z{\partial }_z+c_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_{1}x{\partial }_x+d_{2}y{\partial }_y+d_{3}z{\partial }_z+d_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ {\lambda }_1\ne {\lambda }_2\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_3\ne {\lambda }_4\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.1)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+{\lambda }_{6}z{\partial }_z+{\lambda }_{7}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+b_{1}y{\partial }_y+b_{11}z{\partial }_z+b_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+c_{1}y{\partial }_y+c_{11}z{\partial }_z+c_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+d_{1}y{\partial }_y+d_{11}z{\partial }_z+d_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ {\lambda }_5\ne {\lambda }_6\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_7\mathrm{,}{\lambda }_6\ne {\lambda }_7\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.2) $$

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{8}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{8}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+b_{1}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{11}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+c_{1}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{11}z+c_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+c_{11}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+d_{1}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{11}z+d_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+d_{11}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.3)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+{\lambda }_{9}z{\partial }_z+{\lambda }_{10}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+b_{1}z{\partial }_z+b_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}y+c_{2}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+c_{1}z{\partial }_z+c_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y+d_{2}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+d_{1}z{\partial }_z+d_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_9\ne {\lambda }_{10}\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.4)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{9}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z+b_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}z+b_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}y+c_{2}z+c_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}z+c_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+c_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y+d_{2}z+d_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}z+d_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+d_{1}w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.5)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x+w{\partial }_y\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y-y+d_{2}z+d_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\\ +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}z-2z+d_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}w-3w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.6)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y-y+d_{2}z+d_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\\ +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}z-2z+d_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}w-3w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.7)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x+w{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y-y+d_{2}z+d_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\\ +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}z-2z+d_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}w-3w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.8)

для алгебры Ли 3:

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+{\lambda }_{9}z{\partial }_z+{\lambda }_{10}w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_2-d_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}z{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+c_{1}y{\partial }_y+c_{1}z{\partial }_z+c_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y+d_{7}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+d_{1}z{\partial }_z+d_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_9\ne {\lambda }_{10}\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.9)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{9}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{4}w{\partial }_x\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}y+c_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+c_{1}z{\partial }_z+c_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{7}y+d_{3}z+d_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y+d_{7}z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_3-b_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}z+d_{7}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+d_{1}w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.10)

для алгебры Ли 4:

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{9}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+b_{3}w{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>2}{b}_3^{2}w{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_2-b_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_3-b_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\\ +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_2-2b_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+d_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\end{array}$ (5.11)

причем все коэффициенты перед переменными $—$ постоянные.

Остальные алгебры не реализуются.

Операторы $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ и $Y_4$, приведенные в формулировке теоремы 7, линейнонезависимы и ненулевые. При доказательстве этой теоремы допускается линейная замена координат, линейная комбинация операторов и применение условия замкнутости коммутаторов базисных операторов.

Доказательство. В операторах (0.4.1) произведем линейную замену координат

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }{w}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{<mo>=</mo>}A{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}xyzw\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{,}$

где $A$ $—$ произвольная невырожденная матрица четвёртого порядка с постоянными элементами, ${}^T$ $—$ знак транспонирования. Тогда для операторов дифференцирования относительно старых и новых координат получим связь

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_x{\partial }_y{\partial }_z{\partial }_w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{<mo>=</mo>}{A}^T{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{x^{\prime }}{\partial }_{y^{\prime }}{\partial }_{z^{\prime }}{\partial }_{w^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T\mathrm{.}$

В новых координатах операторы $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$, $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ и $Y_4$ принимают следующий вид:

$\left(\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ X_3\\ X_4\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{A}^T\left(\begin{array}{c}{X^{\prime }}_1\\ {X^{\prime }}_2\\ {X^{\prime }}_3\\ {X^{\prime }}_4\end{array}\right)\mathrm{,}{Y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}⟨A{U}_i{A}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_{x^{\prime }}\\ {\partial }_{y^{\prime }}\\ {\partial }_{z^{\prime }}\\ {\partial }_{w^{\prime }}\end{array}\right)⟩\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4.}$

Линейной комбинацией переходим от операторов $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$ к операторам ${X^{\prime }}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_{x^{\prime }}$, ${X^{\prime }}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_{y^{\prime }}$, ${X^{\prime }}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_{z^{\prime }}$, ${X^{\prime }}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_{w^{\prime }}$. Возвращаясь к прежним обозначениям координат и базисных операторов, получим:

$X_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x\mathrm{,}{X}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_y\mathrm{,}{X}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_z\mathrm{,}{X}_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_i\mathrm{<mo>=</mo>}⟨{U^{\prime }}_i\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}$

где введены обозначения

${U^{\prime }}_i\mathrm{<mo>=</mo>}A{U}_i{A}^{-1}\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,3,4.}$

Известно, что матрица $U_{1^{\prime }}$ приводится к канонической вещественной форме (см. [12]). Возможны следующие варианты:

$\text{I}\mathrm{.}\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\\ & & & \end{array}\right)\mathrm{,}\text{II}\mathrm{.}\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{,}{\lambda }_5& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_5& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_6& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_7\\ & & & \end{array}\right)\mathrm{,}\text{III}\mathrm{.}\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{,}{\lambda }_5& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_5& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_8& 1\\ 0& 0& 0& {\lambda }_8\\ & & & \end{array}\right)\mathrm{,}$

$\text{IV}\mathrm{.}\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_9& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_9& 1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_9& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_{10}\\ & & & \end{array}\right)\mathrm{,}\text{V}\mathrm{.}\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_4& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_4& 1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_4& 1\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\\ & & & \end{array}\right)\mathrm{,}$

причем все элементы в данных матрицах вещественны,

${\lambda }_1\ne {\lambda }_2\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_3\ne {\lambda }_4\mathrm{,}$

${\lambda }_5\ne {\lambda }_6\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_7\mathrm{,}{\lambda }_6\ne {\lambda }_7\mathrm{,}{\lambda }_7\ne {\lambda }_8\mathrm{,}{\lambda }_9\ne {\lambda }_{10}\mathrm{.}$

В таком случае ненулевой оператор $Y_1$ приводится к одному из четырех видов:

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{1}x{\partial }_x+{\lambda }_{2}y{\partial }_y+{\lambda }_{3}z{\partial }_z+{\lambda }_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ {\lambda }_1\ne {\lambda }_2\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_3\ne {\lambda }_4\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.12)

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+{\lambda }_{6}z{\partial }_z+{\lambda }_{7}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_6\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_7\mathrm{,}{\lambda }_6\ne {\lambda }_7\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.13)

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{8}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{8}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_7\ne {\lambda }_8\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.14)

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+{\lambda }_{9}z{\partial }_z+{\lambda }_{10}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_9\ne {\lambda }_{10}\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.15)

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{9}w{\partial }_w\mathrm{.}$ (5.16)

Докажем вспомогательные утверждения.

Лемма 1 Пусть ненулевые операторы $Y_1$, принимающий один из видов (5.12)$–$(5.16), и

$Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{5}x+b_{6}y+b_{7}z+b_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{9}x+b_{10}y+b_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{13}x+b_{14}y+b_{15}z+b_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

удовлетворяют коммутационному соотношению $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$. Тогда, с точностью до линейной замены координат, возможны следующие варианты для этих операторов:

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{1}x{\partial }_x+{\lambda }_{2}y{\partial }_y+{\lambda }_{3}z{\partial }_z+{\lambda }_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{1}x{\partial }_x+b_{2}y{\partial }_y+b_{3}z{\partial }_z+b_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ {\lambda }_1\ne {\lambda }_2\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_3\ne {\lambda }_4\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.17)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+{\lambda }_{6}z{\partial }_z+{\lambda }_{7}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+b_{1}y{\partial }_y+b_{11}z{\partial }_z+b_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ {\lambda }_5\ne {\lambda }_6\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_7\mathrm{,}{\lambda }_6\ne {\lambda }_7\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.18)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{8}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{8}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+b_{1}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{11}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.19) $$

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+{\lambda }_{9}z{\partial }_z+{\lambda }_{10}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+b_{1}z{\partial }_z+b_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_9\ne {\lambda }_{10}\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.20)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{9}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z+b_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}z+b_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{1}w{\partial }_w\mathrm{.}\end{array}$ (5.21)

Доказательство. Вычислим коммутатор $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при помощи формулы (4.2) и приравняем его к нулю. Подробно рассмотрим случай, когда оператор $Y_1$ принимает вид (5.12). Используем матричные обозначения:

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& b_3& b_4\\ b_5& b_6& b_7& b_8\\ b_9& b_{10}& b_{11}& b_{12}\\ b_{13}& b_{14}& b_{15}& b_{16}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-⟨\left(\begin{array}{cccc}0& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_2& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_3& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_4\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_5& 0& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_7& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_8\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_9& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{10}& 0& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{12}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{13}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_4-{\lambda }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{14}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_4-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{15}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Поскольку элементы $\lambda$ попарно различны, имеем систему (5.17). Доказательство для (5.18) $–$ (5.21) аналогично.

Лемма 2 Пусть ненулевые операторы $Y_1$, принимающий один из видов (5.12)$–$(5.16), и

$Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{5}x+b_{6}y+b_{7}z+b_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{9}x+b_{10}y+b_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{13}x+b_{14}y+b_{15}z+b_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

удовлетворяют коммутационному соотношению $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{Y}_1$. Тогда, с точностью до линейной замены координат, возможен единственный варианты для этих операторов:

$\begin{array}{ll}\hfill & Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y-y+b_{2}z+b_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\hfill \\ \hfill & +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}z-2z+b_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}w-3w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{.}\hfill \end{array}$ (5.22)

Доказательство. Вычислим коммутатор $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и приравняем его к нулю. При вычислении этого коммутатора используем формулу (0.4.2),

$Y_2\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& b_3& b_4\\ b_5& b_6& b_7& b_8\\ b_9& b_{10}& b_{11}& b_{12}\\ b_{13}& b_{14}& b_{15}& b_{16}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{.}$

Подробно рассмотрим случай, когда оператор $Y_1$ принимает вид (5.12). Используем матричные обозначения:

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-⟨\left(\begin{array}{cccc}0& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_2& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_3& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_4\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_5& 0& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_7& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_8\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_9& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{10}& 0& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{12}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_2-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{13}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_4-{\lambda }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{14}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_4-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{15}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{.}$

Тогда $Y_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что недопустимо.

Пусть оператор $Y_1$ принимает вид (5.13); тогда

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_1& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}⟨V\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{.}$

где

$V\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}-b_5& b_1-b_6& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_3-b_7& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_4-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_4-b_8\\ 0& b_5& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_7& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_4-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_8\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_9& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{10}+b_9& 0& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_4-{\lambda }_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{12}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{13}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_1-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{14}+b_{13}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_3-{\lambda }_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{15}& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

Тогда ${\lambda }_6\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_7\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что недопустимо.

Если оператор $Y_1$ имеет вид (5.14), то

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_5& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_5& 0& 0\\ 0& 0& {\lambda }_8& 1\\ 0& 0& 0& {\lambda }_8\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-⟨V\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{,}$

где

$V\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{b}_5& -b_1+b_6& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_5-{\lambda }_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_3+b_7& -b_3+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_5-{\lambda }_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_4+b_8\\ 0& -b_5& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_5-{\lambda }_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_7& -b_7+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_5-{\lambda }_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_8\\ b_{13}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_8-{\lambda }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_9& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_8-{\lambda }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{10}+b_{14}-b_9& b_{15}& -b_{11}+b_{16}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_8-{\lambda }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{13}& -b_{13}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_8-{\lambda }_5\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{14}& 0& -b_{15}\end{array}\right)\mathrm{.}$

Тогда ${\lambda }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_8\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что также недопустимо.

Если оператор $Y_1$ имеет вид (5.15), то

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_9& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_9& 1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_9& 0\\ 0& 0& 0& {\lambda }_{10}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-⟨V\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{,}$

где

$V\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{b}_5& -b_1+b_6& -b_2+b_7& -\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{10}-{\lambda }_9\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_4+b_8\\ b_9& b_{10}-b_5& b_{11}-b_6& b_{12}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{10}-{\lambda }_9\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_8\\ 0& -b_9& -b_{10}& -\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{10}-{\lambda }_9\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{12}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{10}-{\lambda }_9\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{13}& -b_{13}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{10}-{\lambda }_9\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{14}& -b_{14}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{10}-{\lambda }_9\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{b}_{15}& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

Тогда ${\lambda }_9\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{10}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что недопустимо.

Если оператор $Y_1$ имеет вид (5.16), то

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}⟨\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_9& 1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_9& 1& 0\\ 0& 0& {\lambda }_9& 1\\ 0& 0& 0& {\lambda }_9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-⟨\left(\begin{array}{cccc}{b}_5& -b_1+b_6& -b_2+b_7& -b_3+b_8\\ b_9& b_{10}-b_5& b_{11}-b_6& b_{12}-b_7\\ b_{13}& b_{14}-b_9& -b_{10}+b_{15}& -b_{11}+b_{16}\\ 0& -b_{13}& -b_{14}& -b_{15}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{,}\left(\begin{array}{c}{\partial }_x\\ {\partial }_y\\ {\partial }_z\\ {\partial }_w\end{array}\right)⟩\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{.}$

Тогда допустимое решение получаем при ${\lambda }_9\mathrm{<mo>=</mo>0}$. В итоге имеем операторы (5.22).

Лемма 3 Пусть ненулевые операторы: $Y_1$, принимающий один из видов (5.12)$–$(5.16),

$Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{5}x+b_{6}y+b_{7}z+b_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{9}x+b_{10}y+b_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{13}x+b_{14}y+b_{15}z+b_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

$Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{5}x+c_{6}y+c_{7}z+c_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{9}x+c_{10}y+c_{11}z+c_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{13}x+c_{14}y+c_{15}z+c_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

удовлетворяют коммутационным соотношениям

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0.}$

Тогда, с точностью до линейной замены координат в этих операторов, возможны следующие варианты:

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{1}x{\partial }_x+{\lambda }_{2}y{\partial }_y+{\lambda }_{3}z{\partial }_z+{\lambda }_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{1}x{\partial }_x+b_{2}y{\partial }_y+b_{3}z{\partial }_z+b_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo>}{c}_{1}x{\partial }_x+c_{2}y{\partial }_y+c_{3}z{\partial }_z+c_{4}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ {\lambda }_1\ne {\lambda }_2\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_1\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_3\mathrm{,}{\lambda }_2\ne {\lambda }_4\mathrm{,}{\lambda }_3\ne {\lambda }_4\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.23)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+{\lambda }_{6}z{\partial }_z+{\lambda }_{7}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+b_{1}y{\partial }_y+b_{11}z{\partial }_z+b_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+c_{1}y{\partial }_y+c_{11}z{\partial }_z+c_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ {\lambda }_5\ne {\lambda }_6\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_7\mathrm{,}{\lambda }_6\ne {\lambda }_7\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.24)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{5}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+{\lambda }_{5}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{8}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{8}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+b_{1}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{11}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+c_{1}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{11}z+c_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+c_{11}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_5\ne {\lambda }_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.25)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+{\lambda }_{9}z{\partial }_z+{\lambda }_{10}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+b_{1}z{\partial }_z+b_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}y+c_{2}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+c_{1}z{\partial }_z+c_{16}w{\partial }_w\mathrm{,}{\lambda }_9\ne {\lambda }_{10}\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.26)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}x+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}y+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{9}z+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+{\lambda }_{9}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z+b_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}z+b_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}y+c_{2}z+c_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}z+c_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+c_{1}w{\partial }_w\mathrm{.}\end{array}$ (5.27)

Доказательство. леммы 3 состоит в вычислении коммутаторов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, приравнивания их к нулю и сравнения коэффициенты; при этом используются результаты леммы 1. Оператор $Y_1$ берётся из системы (5.12)$–$(5.16), а операторы $Y_2$ и $Y_3$ $—$ произвольного вида. В результате получаем соотношения (5.23)$–$(5.27).

Лемма 4 Рассмотрим ненулевые операторы $Y_1$, принимающий один из видов (5.12)$–$(5.16),

$Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{5}x+b_{6}y+b_{7}z+b_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{9}x+b_{10}y+b_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{13}x+b_{14}y+b_{15}z+b_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

$Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{5}x+c_{6}y+c_{7}z+c_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{9}x+c_{10}y+c_{11}z+c_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{13}x+c_{14}y+c_{15}z+c_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{.}$

Тогда для них коммутационные соотношения

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{Y}_1$

не выполняются.

Доказательство. следует из леммы 1 и того факта, что операторы вида $Y_2$ в каждой системе коммутативны.

Лемма 5 Пусть ненулевые операторы $Y_1$, принимающий один из видов (5.12)$–$(5.16),

$Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{5}x+b_{6}y+b_{7}z+b_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{9}x+b_{10}y+b_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{13}x+b_{14}y+b_{15}z+b_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

$Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{5}x+c_{6}y+c_{7}z+c_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{9}x+c_{10}y+c_{11}z+c_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{13}x+c_{14}y+c_{15}z+c_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

удовлетворяют коммутационным соотношениям

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0.}$

Тогда, с точностью до линейной замены координат возможен единственный вариант для этих операторов:

$\begin{array}{ll}{Y}_1\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}\hfill \\ Y_2\hfill & \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y-y+b_{2}z+b_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\hfill \\ \hfill & +\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}z-2z+b_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}w-3w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}\hfill \\ Y_3\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{.}\hfill \end{array}$

Доказательство аналогично доказательству лемм 1$–$3.

Лемма 6 Рассмотрим ненулевые операторы $Y_1$, принимающий один из пяти видов (5.12)$–$(5.16),

$Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{5}x+b_{6}y+b_{7}z+b_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{9}x+b_{10}y+b_{11}z+b_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{13}x+b_{14}y+b_{15}z+b_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{,}$

$Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{5}x+c_{6}y+c_{7}z+c_{8}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+$

$+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{9}x+c_{10}y+c_{11}z+c_{12}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{13}x+c_{14}y+c_{15}z+c_{16}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{.}$

Тогда для них коммутационные соотношения

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{Y}_2$

не выполняются.

Доказательство. Оператор $Y_1$ берётся из системы (5.12)$–$(5.16), а операторы $Y_2$ $—$ согласно лемме 1, поскольку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$. Далее, вычисляя коммутатор $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{Y}_1$ (лемма 2), приходим в единственному варианту для этих трёх операторов:

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z+b_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}z+b_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}y-y+c_{2}z+c_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}z-2z+c_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}w-3w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{.}\end{array}$

Наконец, вычисляя коммутатор $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{Y}_2$, получаем $Y_2\mathrm{<mo>=</mo>}{c}_2{Y}_1$, что недопустимо для базисных операторов.

Теперь возвращаемся к доказательству теоремы 7.

Сначала рассмотрим алгебру 1 из (4.3). Операторы $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ берутся из леммы 1. Если $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>0}$, то по лемме 1 вычисляется оператор $Y_4$. В таком случае

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_3\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0,}$

значит алгебра 1 коммутативна; тогда получаем системы (5.1)$–$(5.5). Если же $\epsilon \mathrm{<mo>=</mo>1}$, то согласно леммам 1 и 2 будем иметь

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}\\ Y_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}x+b_{2}y+b_{3}z+b_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}y+b_{2}z+b_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_{1}z+b_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+b_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}x+c_{2}y+c_{3}z+c_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}y+c_{2}z+c_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{1}z+c_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+c_{1}w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}x+d_{2}y+d_{3}z+d_{4}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}y-y+d_{2}z+d_{3}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}z-2z+d_{2}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{d}_{1}w-3w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_w\mathrm{.}\end{array}$

Вычисляя остальные коммутаторы

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}k{Y}_2\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_3\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}l{Y}_3\mathrm{,}$

получаем (5.6)$–$(5.8).

Исследуем теперь алгебру 2 из (4.3). Операторы $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ берутся из леммы 1, а $Y_4$ $—$ произвольного линейного вида. Если $Y_1$ совпадает с (0.5.12), то из соотношения

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}k{Y}_1+Y_2$

получаем $k{Y}_1+Y_2\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что недопустимо. Пусть теперь $Y_1$ совпадает с (5.13); тогда из

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_1\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}k{Y}_1+Y_2\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Y}_2\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}-Y_1+k{Y}_2$ (5.28)

 следует ${\lambda }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_6\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_7\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что недопустимо. Если же $Y_1$ совпадает с (5.14), то из (5.28) следует ${\lambda }_5\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_8\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что недопустимо. Если $Y_1$ совпадает с (5.15), то из (5.28) следует ${\lambda }_9\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{10}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, что также недопустимо. Если $Y_1$ совпадает с (5.16), то получаем противоречие $b_2^2+\mathrm{1<mo>=</mo>0}$.

Аналогично, из алгебры 3 получаем два положительных результата (5.9) и (5.10), а из 4 $—$ (5.11).

Из леммы 4 вытекает, что алгебры 5$–$7 дают отрицательный результат, а из лемм 5 и 6 $—$ отрицательный результат для алгебр 8 и 9

Алгебры 10 и 11 также не реализуются. В этом легко убедиться, взяв $Y_4$ из системы (5.12)$–$(5.16); тогда по лемме 1 находим операторы $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, которые между собой коммутативны.

Таким образом, теорема 7 доказана.

Далее из восьмимерных линейных пространств, найденных в теореме 7, выделим алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований пространства $R^4$. Для этого применим теорему 6 и используем возможность перехода к новому базису (линейной комбинации базисных операторов).

Теорема 8 Из восьмимерных линейных пространств (5.1)$–$(5.11) выделяются восьмимерные алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований пространстваЁ $R^4$, полученных расширением группы параллельных переносов. Базис этих алгебр Ли, с точностью до линейных комбинаций операторов и линейных замен координат, состоит из операторов дифференцирования $X_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_x$, $X_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_y$, $X_3\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_z$, $X_4\mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_w$, а также из операторов $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$, $Y_4$:

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.29) $$

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}ax+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}bx{\partial }_x+y{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}cx{\partial }_x+z{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}dx{\partial }_x+w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.30) $$

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.31)

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.32)

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x+w{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.33) $$

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x+w{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}aw{\partial }_x+y{\partial }_y+2z{\partial }_z+3w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.34) $$

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}az{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y+aw\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+2z{\partial }_z+3w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.35) $$

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x+w{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_4\mathrm{<mo>=</mo>}ax{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}y{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}z{\partial }_z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.36)

$Y_1\mathrm{<mo>=</mo>}ay{\partial }_x+z{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x\mathrm{,}{Y}_3\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x+by\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z\mathrm{<mo>;</mo>}$ (5.37)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+z{\partial }_y+aw{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+y{\partial }_y+z{\partial }_z+bw{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}cy{\partial }_x+dw{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.38) $$

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo>}y{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z+aw\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+w{\partial }_z\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x+w{\partial }_y\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}x{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y+aw\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.39)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}ax+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ay+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}az+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+aw{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x+cz\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y+cw\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+z{\partial }_z+w{\partial }_w\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}dz{\partial }_x+bw{\partial }_y\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (5.40)

$\begin{array}{c}{Y}_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}ax+y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ay+z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}az+w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+aw{\partial }_w\mathrm{,}q{Y}_2\mathrm{<mo>=</mo>}z{\partial }_x+w{\partial }_y\mathrm{,}\\ Y_3\mathrm{<mo>=</mo>}w{\partial }_x\mathrm{,}{Y}_4\mathrm{<mo>=</mo>}bx{\partial }_x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}by-cz-dw\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_y+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}bz-2cw\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\partial }_z+bw{\partial }_w\mathrm{,}\end{array}$ (5.41)

причем коэффициенты $a$, $b$, $c$, $d$ постоянны.

Доказательство. этой теоремы проводится в два этапа. На первом этапе применяем теорему 6. Для этого исследуем на невырожденность матрицу $K$, составленную из коэффициентов операторов $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ и $Y_4$. Например, для линейного пространства (5.1) эта матрица имеет вид

$K\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_{1}x& {\lambda }_{2}y& {\lambda }_{3}z& {\lambda }_{4}w\\ b_{1}x& b_{2}y& b_{3}z& b_{4}w\\ c_{1}x& c_{2}y& c_{3}z& c_{4}w\\ d_{1}x& d_{2}y& d_{3}z& d_{4}w\\ & & & \end{array}\right)\mathrm{.}$

Требование невырожденности равносильно линейной независимости операторов $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ и $Y_4$. На втором этапе линейно комбинируем операторы $Y_1$, $Y_2$, $Y_3$ и $Y_4$, что приводит к упрощению базиса соответствующих алгебр Ли. Так, например, система (5.1) линейной комбинацией приводится к (5.29). Таким образом производится выделение алгебр Ли (5.29)$–$(5.41).

6. Вычисления локально ограниченно точно дважды транзитивных действий. Экспоненциальное отображение оператора $Y$ определяем формулой

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\\ w^{\prime }\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}Exp\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}tY\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)+tY\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)+\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}tY\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{\mathrm{2<mo>!</mo>}}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right)+\dots \mathrm{.}$ (6.1)

Теорема 9 Локальные группы Ли преобразований трехмерного пространства $R^4$, задающие локально ограниченно точно дважды транзитивные действия в $R^4$, в подходящих обозначениях параметров и координат принимают следующий вид:

$x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{1}x+a_5\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}y+a_6\mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}z+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}z+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}$ (6.2)

$x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_2^b{a}_3^c{a}_4^{d}x+a_2\left(\frac{a_1^a-1}{a}\right)+a_5\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}y+a_6\mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}z+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}$ (6.3)

$x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{1}x+a_{2}y+a_5\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{1}y+a_6\mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}z+a_{4}w+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}$ (6.4)

$x^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}x+a_{3}z+a_{1}y+a_5\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}y+a_{1}z+a_6\mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}z+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}$ (6.5)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}x+a_{3}z+a_{4}w+a_{1}y+a_5\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}y+a_{1}z+a_{3}w+a_6\mathrm{,}\\ z^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}z+a_{1}w+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.6)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}x+\left(a_3+\frac{1}{2}{a}_1^2\right)a_{2}z+\left(a_1{a}_3+\frac{1}{6}{a}_1^3+\frac{a}{3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+a_4^3\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)a_{2}w+a_1{a}_{2}y+a_5\mathrm{,}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2{a}_{4}y+a_1{a}_2{a}_4^{2}z+\left(a_3+\frac{1}{2}{a}_1^2\right)a_2{a}_{4}w+a_6\mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2{a}_4^{2}z+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2{a}_4^{3}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.7)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{2}x+\left(\frac{a}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_4^2-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{a}_1^2{a}_4^2\right)a_{2}z+a_{3}w+a_1{a}_2{a}_{4}y+a_5\mathrm{,}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2{a}_{4}y+a_1{a}_2{a}_4^{2}z+\left(A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{a}_1^2{a}_4^3\right)a_{2}w+a_6\mathrm{,}\\ z^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2{a}_4^{2}z+a_1{a}_2{a}_4^{3}w+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2{a}_4^{3}w+a_8\mathrm{,}\\ A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\ln a+4{{\displaystyle \ln }}^2\frac{a}{2}+13{{\displaystyle \ln }}^3\frac{a}{6}+40{{\displaystyle \ln }}^4\frac{a}{24}+\dots \mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.8)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_4^{4}x+a_1{a}_4^{4}y+a_2{a}_4^{4}z+a_3{a}_4^{4}w+a_{1}y+a_5\mathrm{,}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_4^{3}y+a_1{a}_4^{3}z+a_2{a}_4^{3}w+a_6\mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_4^{2}z+a_1{a}_4^{2}w+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.9)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}x+a_{3}z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a{a}_1+b{a}_4\ln a_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y+a_5\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}y+a_{1}z+a_6\mathrm{,}\\ z^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}z+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.10)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}x+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\ln a_1+c\ln a_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_{3}y+a_{2}z+a_5\mathrm{,}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}y+a_{1}z+a_6\mathrm{,}{z}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{3}z+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_3^b{a}_4^{d}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.11)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}x+a_{3}z+a_{2}w+a_5\mathrm{,}{y}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}y+a_{1}z+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_3+a{a}_1+a{a}_4\ln a_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w+a_6\mathrm{,}\\ z^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}z+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{4}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.12)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_{3}x+a_1^a{a}_3\ln a_{1}y+a_1^a{a}_3\left(c\ln a_3+d{a}_4+{{\displaystyle \ln }}^2\frac{a_1}{2}\right)z+a_1^a{a}_3{a}_{2}w+a_5\mathrm{,}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_{3}y+a_1^a\ln a_1{a}_{3}z+a_1^a{a}_3\left(b{a}_4+c\ln a_3+{{\displaystyle \ln }}^2\frac{a_1}{2}\right)w+a_6\mathrm{,}\\ z^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_{3}z+a_1^a\ln a_1{a}_{3}w+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_a{a}_{3}w+a_8\mathrm{<mo>;</mo>}\end{array}$ (6.13)

$\begin{array}{c}{x}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_4^{b}x+a_1^a\ln a_1{a}_4^b\ln a_{1}y+a_1^a{a}_4^b{a}_{2}z+a_1^a{a}_4^b{a}_{3}w+a_5\mathrm{,}\\ y^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_4^{b}y+a_1^a{a}_4^b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\ln a_1-c\ln a_1\ln a_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}z+a_1^a{a}_4^b{a}_{2}w+a_6\mathrm{,}\\ z^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1^a{a}_4^{b}z+a_1^a{a}_4^b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\ln a_1-2c\ln a_4\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w+a_7\mathrm{,}{w}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_a{a}_4^{b}w+a_8\mathrm{.}\end{array}$ (6.14)

Доказательство. сводится к применению экспоненциального отображения (6.1) к базисным операторам алгебр Ли (5.29)$–$(5.41) и дальнейшему вычислению композиций получаемых действий.

7. Заключение. В работе решена задача локального расширения группы параллельных переносов пространства $R^4$ до локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований этого же пространства при двух условиях: $T_1\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_3\mathrm{<mo>=</mo>}{T}_4\mathrm{<mo>=</mo>0}$; матрица $U_1$ имеет совпадающие характеристический и минимальный многочлены и вещественные собственные числа. Эта задача может быть распространена на случай произвольной матрицы $U_1$, а также на случай ненулевых матриц $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$. Согласно одной из теорем Г. Г. Михайличенко (см. [10]) полученные локально ограниченно точно дважды транзитивные группы Ли преобразований задают двуметрическую феноменологически симметричную геометрию двух множеств (физическую структуру) ранга $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.