Об основном уравнении для обратного оператора Штурма—Лиувилля с разрывным коэффициентом

Аннотация

В работе рассматривается краевая задача для оператора Штурма—Лиувилля с разрывным коэффициентом. Получено основное уравнение обратной задачи для краевой задачи и доказана единственность его решения.

Полный текст

1. Введение. Рассмотрим краевую задачу

$-{y^{\prime }}^{\prime }+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }^2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{,}0\le x\le \pi \mathrm{,}$ (1)

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{y}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (2)

где $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_{\mathrm{2,}\rho }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ вещественнозначная функция, $\lambda$ $—$ комплексный параметр и

$\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1,}& \mathrm{0<mo><</mo>}x\le a\mathrm{,}\\ {\alpha }^2\mathrm{,}& a\mathrm{<mo><</mo>}x\le \pi \mathrm{,}\end{array}\right.$ (3)

$—$ кусочно постоянная функция. Предположим, что $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>}\pi \alpha$.

Математические модели физических проблем, связанных с неоднородными средами, колебаниями, диффузией и т. д. представляют собой дифференциальные уравнения с разрывными коэффициентами (см. [1, 7–9, 12, 15, 20, 25]). Анализ таких проблем основан на спектральных свойствах задачи Штурма$–$ Лиувилля с разрывными коэффициентами (см. [3, 16, 17, 19, 24]). Случай $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 1$ был рассмотрен в [2, 4, 6, 18, 22]. Спектральные свойства оператора Штурма$–$ Лиувилля с разрывными коэффициентами при различных граничных условиях были рассмотрены в [10, 11, 13, 14, 21, 23]. В [21] были рассмотрены спектральные свойства краевой задачи (1), (2), построен резольвентный оператор, получено разложение по собственным функциям и проведено обсуждение решения Вейля и функции Вейля.

В данной работе получено основное уравнение для краевой задачи (1), (2) и доказана единственность её решения. Кроме того, получена теорема единственности для решения обратной задачи со спектральными данными и функцией Вейля (см. [21]). Аналогичные задачи для уравнения (1) с различными граничными условиями анализировались в [11].

В [10] доказано, что решение $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1) с начальными данными $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и ${\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ можно представить следующим образом:

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin \lambda t}{\lambda }dt\mathrm{,}$ (4)

где $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ лежит в классе $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для каждого фиксированного $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Эта функция выражается через коэффициент $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (1) формулой

$\frac{d}{dx}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{4\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\right)q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (5)

где

${\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\right)\frac{\sin \lambda {\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\lambda }+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\right)\frac{\sin \lambda {\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\lambda }$ (6)

$—$ решение уравнения (1) при $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$,

${\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\pm x\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}\mp \sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (7)

Характеристическая функция $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (1), (2) имеет вид

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo><</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не зависит от $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Подставляя $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $x\mathrm{<mo>=</mo>}\pi$ в уравнение, получим

$\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Квадраты нулей ${\lambda }_n$ характеристической функции совпадают с собственными значениями краевой задачи (1), (2). Краевая задача (1), (2) имеет счетное множество простых собственных значений $\mathrm{<mo>\{</mo>}{\lambda }_n^2\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Для каждого ${\lambda }_n$ существует такая последовательность ${\beta }_n$, что

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\beta }_n\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\beta }_n\ne \mathrm{0,}$ (8)

где $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ собственные функции краевой задачи (1), (2), соответствующие собственному значению ${\lambda }_n^2$. Нормировочные коэффициенты равны

${\alpha }_n\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{.}$

Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Собственные значения краевой задачи (1), (2) простые и

$\dot{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-2{\lambda }_n{\alpha }_n{\beta }_n\mathrm{,}$ (9)

где $\dot{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{d}{d\lambda }\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Теорема 1 (см. 21). Нули ${\lambda }_n$ характеристической функции $\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеют следующее асимптотическое разложение:

${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_n^0+\frac{d_n}{{\lambda }_n^0}+\frac{k_n}{n}\mathrm{,}$

где ${\lambda }_n^0$ $—$ нули функции

${\Delta }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \lambda {\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \lambda {\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и

$d_n\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{h^{+}\sin {\lambda }_n^0{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h^{-}\sin {\lambda }_n^0{\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{-\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0{\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$

$—$ ограниченная последовательность, $\mathrm{<mo>\{</mo>}{k}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}\in l_2$.

Теорема 2 (см. 21).

1. Система собственных функций ${\mathrm{<mo>\{</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}}_{n\ge 1}$ краевой задачи (1), (2) полна в $L_{\mathrm{2,}\rho }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2. Если $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ абсолютно непрерывная функция на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, то

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{a}_n\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{a}_n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\alpha }_n}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}$ (10)

причем ряд сходится равномерно на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

3. При $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_{\mathrm{2,}\rho }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ряд в (10) сходится в $L_{\mathrm{2,}\rho }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и, кроме того, выполняется равенство Парсеваля:

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\alpha }_n{\left|a_n\right|}^2\mathrm{.}$

2. Основное уравнение.

Теорема 3. Для каждого фиксированного $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ядро $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из представления (4) удовлетворяет следующему линейному функционально-интегральному уравнению:

$\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>0,}\mathrm{0<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{,}$ (11)

где

$F_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_{n}x}{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^{0}x}{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)\mathrm{,}$ (12)

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\right)F_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\right)F_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (13)

${\lambda }_n^{0^2}$$—$ собственные значения, ${\alpha }_n^0$ $—$ нормировочные константы краевой задачи (1), (2) с $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$.

Доказательство. Согласно (4) имеем

${\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin \lambda t}{\lambda }dt\mathrm{.}$ (14)

Из (4) и (14) получаем:

${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}+\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\sin {\lambda }_n\xi }{{\lambda }_n}d\xi \right)\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)+{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)d\xi +{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}d\xi \mathrm{,}$

${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}d\xi \mathrm{.}$

Используя последние два соотношения, находим

${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)+{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}d\xi +$

$+{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)d\xi +{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}d\xi \mathrm{,}$

или

${\Phi }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{I}_{N1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+I_{N2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+I_{N3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+I_{N4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (15)

где

${\Phi }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)\mathrm{,}$

$I_{N1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)\mathrm{,}$

$I_{N2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}d\xi \mathrm{,}$

$I_{N3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)d\xi \mathrm{,}$

$I_{N4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}d\xi \mathrm{.}$

Из (12) и (13) легко находим

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)\mathrm{.}$

Пусть $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in AC\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Согласно формуле разложения (10) получаем, что

${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}dt\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}dt\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$  (16)

равномерно на $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Согласно (16) имеем

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\underset{0\le x\le \pi }{{\displaystyle \max }}\left|{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\underset{0\le x\le \pi }{{\displaystyle \max }}\left|{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)dt\right|\le$

$\le \underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left\{\underset{0\le x\le \pi }{{\displaystyle \max }}\left|{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}dt-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\right.+$

$\left.+\underset{0\le x\le \pi }{{\displaystyle \max }}\left|{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}dt-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\right\}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (17)

 Ясно, что

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}\right)dt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt$ (18)

равномерно на $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Из (6) получаем, что

$\frac{\sin \lambda \xi }{\lambda }\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & {\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & \xi \mathrm{<mo><</mo>}a\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \frac{2\alpha }{1+\alpha }{\phi }_0\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\mathrm{,}\lambda \right)+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & \xi \mathrm{<mo>></mo>}a\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$ (19)

Принимая во внимание (19) и (16), находим

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}d\xi dt+$

$+\frac{2\alpha }{1+\alpha }\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\mathrm{,}{\lambda }_n^0\right)}{{\alpha }_n^0}d\xi dt+$

$+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}dtd\xi +$

$+\frac{2\alpha }{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\mathrm{,}{\lambda }_n^0\right)}{{\alpha }_n^0}dtd\xi +$

$+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}dtd\xi \mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi +\frac{2\alpha }{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\right)d\xi +\frac{1-\alpha }{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Выполнив подстановку

$\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\to {\xi }^{\prime }\mathrm{,}2a-\xi \to {{\xi }^{\prime }}^{\prime }$

получим

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi +\frac{2{\alpha }^2}{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_a^x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\alpha {\xi }^{\prime }-\alpha a+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{\xi }^{\prime }+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_{-\alpha x+\alpha a+a}^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,2}a-{{\xi }^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{{\xi }^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{{\xi }^{\prime }}^{\prime }\mathrm{.}$

Поскольку $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,2}a-{{\xi }^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ при $2a-\xi \mathrm{<mo>></mo>}\alpha x-\alpha a+a$, имеем

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\frac{2{\alpha }^2}{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_a^x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\alpha t-\alpha a+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$

Следовательно,

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt$ (20)

равномерно на $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Из (12) заключаем, что следующее предельное соотношение выполняется равномерно на $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$:

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N3}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)d\xi dt$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi dt\mathrm{.}$ (21)

При помощи теоремы о вычетах и формул (8) (9) находим:

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^N}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-2\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{\left|{\lambda }_n\right|\le N}}\frac{\psi \left(x\mathrm{,}{\lambda }_n\right)}{\dot{\Delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-2\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{\left|{\lambda }_n\right|\le N}}Re{s}_{\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_n}\left[\frac{\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \lambda \xi d\xi \right]dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-2\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{1}{2\pi i}{\displaystyle {\oint }_{{\Gamma }_N}}\frac{\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \lambda \xi d\xi d\lambda dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\oint }_{{\Gamma }_N}}\frac{\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\exp \mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>\}</mo>}\exp \left\{-\mathrm{<mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\times$

$\times {\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \lambda \xi d\xi d\lambda dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{\pi i}{\displaystyle {\oint }_{{\Gamma }_N}}\frac{\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\exp \left\{\mathrm{<mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\exp \left\{-\mathrm{<mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\times$

$\times {\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \lambda \xi d\xi d\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}$ (22)

 где контур ${\Gamma }_N\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\lambda \mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{\lambda }_N^0\mathrm{<mo>|</mo>}+\beta \mathrm{<mo>/</mo>2<mo>\}</mo>}$ ориентирован против часовой стрелки, а $N$ $—$ достаточно большое число. Принимая во внимание формулы

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}O\left(e^{\mathrm{<mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty \mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\ge C_{\delta }{e}^{\mathrm{<mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\lambda \in G_{\delta }\mathrm{,}$

где $G_{\delta }\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\lambda \mathrm{<mo>:</mo><mo>|</mo>}\lambda -{\lambda }_n^0\mathrm{<mo>|</mo>}\ge \delta \mathrm{<mo>\}</mo>}$, $\delta$ $—$ достаточно малое положительное число (см. [21]), а также [22, Lemma 1.3.1], т.е. соотношение

$\underset{\mathrm{<mo>|</mo>}\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\underset{0\le t\le \pi }{{\displaystyle \max }}\exp \left\{-\mathrm{<mo>|</mo>}Im\lambda \mathrm{<mo>|</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\left|{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \lambda \xi d\xi d\lambda \right|\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

получаем из (22) предельное равенство

$\underset{N\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{I}_{N4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (23)

Умножая обе части (15) на $\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, интегрируя от $0$ до $\pi$, переходя к пределу при $N\to \infty$ и применяя (17), (18), (20), (21) и (23), получим

${\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Поскольку $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно выбрать произвольно, получаем

$\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}++{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>0.}$

3. Теоремы для решения обратной задачи.

Лемма 1. Для каждого фиксированного $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ уравнение (11) имеет единственное решение $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2\left(\mathrm{0,}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)$.

Доказательство. При $x\mathrm{<mo>></mo>}a$ можем переписать уравнение (11) следующим образом:

$L_{x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+K_{x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_{x}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & t\le a\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \frac{2}{1+\alpha }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t-\alpha a+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & a\mathrm{<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{,}\hfill \end{array}\right.$ (24)

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_{x}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{\alpha x-\alpha a+a}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}\mathrm{0<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{.}$ (25)

Докажем, что оператор $L_x$ обратим, т.е. имеет ограниченный обратный оператор в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Рассмотрим уравнение

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_{x}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

т.е.

$\left\{\begin{array}{llll}\hfill & f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\alpha }{1+\alpha }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & t\le a\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \frac{2}{1+\alpha }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha t-\alpha a+a\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & a\mathrm{<mo><</mo>}t\mathrm{<mo><</mo>}x\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$

Таким образом, получаем

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_x^{-1}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1-\alpha }{2}\varphi \left(\frac{-t+\alpha a+a}{\alpha }\right)\mathrm{,}\hfill & \hfill & t\mathrm{<mo><</mo>}a\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \frac{1+\alpha }{2}\varphi \left(\frac{t+\alpha a-a}{\alpha }\right)\mathrm{,}\hfill & \hfill & t\mathrm{<mo>></mo>}a\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$

Покажем, что

$\parallel f{\parallel }_{L_2}\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel L_x^{-1}\varphi {\parallel }_{L_2}\le C\parallel \varphi {\parallel }_{L_2}\mathrm{.}$

Действительно,

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}dt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}{\left|\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1-\alpha }{2}\varphi \left(\frac{-t+\alpha a+a}{\alpha }\right)\right|}^{2}dt+{\displaystyle {\int }_a^{\pi }}{\left|\frac{1+\alpha }{2}\varphi \left(\frac{t+\alpha a-a}{\alpha }\right)\right|}^{2}dt\le$

$\le 2{\displaystyle {\int }_0^a}{\left|\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^{2}dt+2{\left(\frac{1-\alpha }{2}\right)}^2{\displaystyle {\int }_0^a}{\left|\varphi \left(\frac{-t+\alpha a+a}{\alpha }\right)\right|}^{2}dt+{\left(\frac{1+\alpha }{2}\right)}^2{\displaystyle {\int }_a^{\pi }}{\left|\varphi \left(\frac{t+\alpha a-a}{\alpha }\right)\right|}^{2}dt\le$

$\le 2{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\mathrm{<mo>|</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}dt+\frac{\alpha {\left(1-\alpha \right)}^2}{2}{\displaystyle {\int }_a^{\frac{\alpha a+a}{\alpha }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}dt+\alpha {\left(\frac{1+\alpha }{2}\right)}^2{\displaystyle {\int }_a^{\frac{\pi +\alpha a-a}{\alpha }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}dt\mathrm{.}$

Положим $\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для $t\mathrm{<mo>></mo>}\pi$. Тогда

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\left|f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^{2}dt\le C{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\left|\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^{2}dt\mathrm{<mo>=</mo>}C\parallel \varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Таким образом, оператор $L_x$ обратим в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Согласно [?, Theorem~3] достаточно доказать, что уравнение

$\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}$ (26)

имеет лишь тривиальное решение $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Пусть $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нетривиальное решение уравнения (26). Тогда

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{2}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\cdot {\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{F}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Из (12) следует, что

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{2}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^{{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\left(\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n\xi }{{\alpha }_n{\lambda }_n}-\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_n^0\xi }{{\alpha }_n^0{\lambda }_n^0}\right)d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Из (7) и (19) получаем

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{2}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\mathrm{,}{\lambda }_n\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\mathrm{,}{\lambda }_n\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(2a-\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(2a-\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\mathrm{,}{\lambda }_n^0\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(\frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }\mathrm{,}{\lambda }_n^0\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(2a-\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^{\alpha x-\alpha a+a}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\left(2a-\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

После подстановки

$\xi \to \frac{\xi }{\alpha }+a-\frac{a}{\alpha }$

в третьем, четвертом, девятом и десятом интегралах и подстановки

$\xi \to 2\alpha -\xi$

в пятом, шестом, одиннадцатом и двенадцатом двойных интегралах получим

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{2}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2{\alpha }^2}{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2{\alpha }^2}{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\alpha x+\alpha a+a}^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\alpha x+\alpha a+a}^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2{\alpha }^2}{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_a^x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{2{\alpha }^2}{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\alpha x+\alpha a+a}^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_{-\alpha x+\alpha a+a}^a}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1-\alpha }{1+\alpha }\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Отсюда имеем

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{2}dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\left(\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt+$

$+{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{2\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\left(t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\right)}{{\alpha }_n^0}d\xi dt-$

$-{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle {\int }_0^x}\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{\lambda }_n^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\left(t\mathrm{,}{\lambda }_n^0\right)}{{\alpha }_n^0}d\xi dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Таким образом,

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{2}dt+$

$+{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1}{{\alpha }_n}{\left({\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right)}^2-$

$-{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1}{{\alpha }_n^0}{\left({\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \left(2a-t\right)}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dt\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Используя равенство Парсеваля

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1}{{\alpha }_n^0}{\left({\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dt\right)}^2$

для функции

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

получим

${\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\frac{1}{{\alpha }_n}{\left({\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>0}$

или

${\displaystyle {\int }_0^x}\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right){\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0,}n\ge 1.$

Поскольку система ${\mathrm{<mo>\{</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}}_{n\ge 1}$ полна в $L_{\mathrm{2,}\rho }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеем

$\frac{2}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mu }^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1-\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}{1+\sqrt{\rho \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}a-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

т.е. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_{x}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, где оператор $L_x$ определен в (24). Обратимость оператора $L_x$ в $L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ влечет $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Теорема 4. Пусть $L$ и $\tilde{L}$ $—$ две краевых задачи и

${\lambda }_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\lambda }}_n\mathrm{,}{\alpha }_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{\alpha }}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Тогда

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{a}\text{.e}\text{. in(0}\text{,}\pi \text{)}\mathrm{.}$

Доказательство. Согласно (12) и (13), $F_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{F}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Из основного уравнения (11) получаем $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Из (5) следует, что $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ почти всюду на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.