Quasi-nonmonodromic systems of first-order differential equations with a parameter

Abstract

Введено понятие квазибезмонодромной особой точки системы дифференциальных уравнений первого порядка с параметром и аналитическими на комплексной плоскости коэффициентами, как такой особой точки, некоторая степень матрицы монодромии М которой при всех допустимых значениях параметра пропорциональна единичной матрице. При этом коэффициент пропорциональности может как зависеть, так и не зависеть от параметра. Для системы двух уравнений сформулированы условия на матрицу М, её след и определитель, необходимые и достаточные для того, чтобы особая точка системы была квазибезмонодромной. Приведены примеры систем двух уравнений с такими особыми точками, включая точки ветвления одного из коэффициентов системы. 

Full Text

1. Введение. Матрица монодромии. Безмонодромные и квазибезмонодромные системы уравнений первого порядка. Рассмотрим систему $L$ линейных дифференциальных уравнений с параметром $\lambda$ 

$\frac{dy}{dz}\mathrm{<mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{,}z\in K\mathrm{,}$ (1)

в кольцеобразной области $K\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }_2\backslash {\Omega }_1$. Здесь ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ $—$ односвязные области в $ℂ$, ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2$, и их границы не имеют общих точек, причем область ${\Omega }_1$ может состоять и из единственной точки. Будем считать, что матрица коэффициентов $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ голоморфна всюду в области $K$ при $\lambda \in ℂ$, однако это условие можно ослабить, ограничив область допустимых значений параметра $\lambda$.

Пусть существует такое минимальное целое число $N\ge 1$, что при любом $\lambda \in ℂ$ аналитическое продолжение матричной функции $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ вдоль спрямлямой кривой $\gamma \subset K$, $N$ раз обходящей область ${\Omega }_1$ в положительном направлении и имеющей начало конец в точке $z_0$, совпадает с исходной матричной функцией в окрестности точки $z_0$ (процедура аналитического продолжения вдоль кривой описана, например, в [12, гл. 8, § 5]). В частности, $N\mathrm{<mo>=</mo>1}$, если все элементы матрицы $A$ являются однозначными функциями $z\in K$ при всех $\lambda \in ℂ$. Обозначим через $Y_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ фундаментальную матрицу пространства голоморфных решений системы (1) в окрестности точки $z_0\in K$ при некотором значении параметра $\lambda$, а через $Y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ аналитическое продолжение $Y_0$ вдоль кривой $\gamma$. По построению кривой $\gamma$ матрицы $Y_0$ и $Y_1$ являются в окрестности точки $z_0$ фундаментальными матрицами для одной и той же системы уравнений (1). Поэтому для системы (1) существует такая постоянная невырожденная матрица монодромии $M$ области ${\Omega }_1$, что

$Y_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2)

Пусть теперь $Y_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ аналитическое продолжение $Y_0$ вдоль некоторой замкнутой спрямлямой кривой ${\gamma }_n\subset K$ с началом и концом в точке $z_0$, которая $nN$ раз обходит область ${\Omega }_1$. При этом $n\mathrm{<mo>></mo>0}$, если обход происходит в положительном направлении, и $n\mathrm{<mo><</mo>0}$, если в отрицательном. Нетрудно убедиться, что

$Y_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{M}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Заметим, что матрица монодромии области ${\Omega }_1$ в силу аналитичности матрицы коэффициентов $A$ в области $K$ не зависит от формы кривой $\gamma \subset K$, но зависит от выбора фундаментальной матрицы $Y_0$. Действительно, рассмотрим аналитическое продолжение вдоль кривой $\gamma$ фундаментальной матрицы ${\tilde{Y}}_0\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{Y}_{0}T$, где $T$ $—$ произвольная постоянная невырожденная матрица. Тогда получим, что

${\tilde{Y}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{Y}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{T}^{-1}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{Y}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}{\tilde{Y}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}{\tilde{Y}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{T}^{-1}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{,}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}T$. К аналогичному результату приводит также сдвиг начальной и конечной точки $z_0$ замкнутой кривой $\gamma$, а для многозначной матричной функции $A$ $—$ также и изменение выбора её начальной ветви. Таким образом, все матрицы монодромии области ${\Omega }_1$ подобны друг другу, и, следовательно, имеют одинаковые след $m$ и определитель $d$. Более того, из формулы Лиувилля (см. [10, ч. 1, § 9]) и соотношения (2) непосредственно следует, что определитель $d$ любой матрицы монодромии системы (1), состоящей из $L$ уравнений, однозначно определяется интегралом вдоль описанной выше кривой $\gamma$ от следа матрицы коэффициентов $A$ и может быть записан в виде

$d\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{d}_0^L\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{где}{d}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\exp \left\{{\displaystyle \underset{\gamma }{\int }}\frac{1}{L}Tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dz\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}$ (3)

он заведомо отличен от нуля при любом значении $\lambda$, при котором след матрицы $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ голоморфен всюду в областиЁ $K$.

Из формулы (3) и подобия друг другу всех матриц монодромии области ${\Omega }_1$ получаем следующее утверждение.

Предложение 1.1 Если для системы (1) хотя бы одна матрица монодромии области ${\Omega }_1$ (её $n$ -я степень) при некотором значении параметра $\lambda$ пропорциональна единичной матрице $I$, то при этом значении параметра $\lambda$ все матрицы монодромии этой области (их $n$ -е степени) равны между собой и могут быть записаны в виде $\alpha d_{0}I$ (или $\alpha d_0^{n}I$ ), где величина $d_0$ определена в (3), а коэффициент $\alpha$ может принимать одно из следующих $L$ значений:

$\alpha \in \left\{\exp \left(\frac{2\pi ik}{L}\right)\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}L}\right\}$ (4)

(здесь $i$ $—$ мнимая единица).

Доказательство. Тот факт, что в условиях предложения все матрицы монодромии области ${\Omega }_1$ совпадают между собой, следует из их подобия. Определитель матрицы $M^n\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha d_0^{n}I$ равен ${\alpha }^L{d}^n$ в силу (3) с одной стороны и $d^n$ с другой. Поэтому ${\alpha }^L\mathrm{<mo>=</mo>1}$, откуда вытекает (4).

Если для системы (1), у которой все элементы матрицы $A$ являются однозначными функциями $z\in K$ при $\lambda \in ℂ$, хотя бы одна матрица монодромии области ${\Omega }_1$ равна единичной матрице при любых значениях параметра $\lambda$, то такую систему и соответствующую матрицу $A$ называют безмонодромными в области $K$. Задача о нахождении безмонодромных матриц $A$ является частным случаем существенно более общей задачи об изомонодромных деформациях систем (1), которой посвящено большое число работ (см. например, работу [1] и ссылки в ней). При этом возникает следующий вопрос. Допустим, что $A$ не является однозначной матричной функцией или (и) область $K$ не является безмонодромной. Возможна ли в этом случае ситуация, когда при любых значениях $\lambda$ матрица монодромии области ${\Omega }_1$ или её некоторая ненулевая степень $n$ пропорциональна единичной матрице $I$, т.е. представима в виде $\alpha d_0^{n}I$, где возможные значения коэффициента $\alpha$ приведены в (4). Этот вопрос возникает, в частности, при исследовании асимптотик решений систем линейных дифференциальных уравнений вдоль кривых на комплексной плоскости, которые к настоящему времени изучены только при достаточно жестких ограничениях на форму кривой и (или) на матрицу коэффициентов $A$ (см. например, работы [2, 19] и ссылки в них).

Определение 1.1 Пусть ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ $—$ односвязные области в $ℂ$, ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2$, и их границы не имеют общих точек. Матрицу коэффициентов $A$ и соответствующую систему уравнений (1) будем называть квазибезмонодромными в кольцеобразной области $K\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }_2\backslash {\Omega }_1$ аналитичности матрицы $A$, если существует такое натуральное число $n\ge 1$, что $M^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \alpha d_0^{n}I$, где $M$ $—$ некоторая матрица монодромии области ${\Omega }_1$, величина $d_0$ определена в (3), а возможные значения коэффициента $\mathrm{<mi>\; </mi>}\alpha$ приведены в (4). Пусть $n_{\min }$ $—$ минимальное значение степени $n$, при котором это тождество выполнено. Тогда будем называть $I_M\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}\alpha n_{\min }$ показателем безмонодромности матрицы коэффициентов $A$ и системы уравнений (1) для области ${\Omega }_1$.

Если система уравнений (1) является квазибезмонодромной в области $K$ и область ${\Omega }_1$ состоит из единственной точки, то эту точку будем называть квазибезмонодромной особой точкой системы (1) и её матрицы коэффицентов $A$.

Подчеркнем, что в силу предложения 1.1 показатель безмонодромности область не зависит от выбора матрицы монодромии области ${\Omega }_1$. Заметим также, что $M^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \alpha d_0^{n}I$, если и только если $M^{-n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\alpha }^{-1}{d}_0^{-n}I$, причем, как следует из (4), множества возможных значений $\alpha$ и ${\alpha }^{-1}$ совпадают. Поэтому ограничение $n\ge 1$ в определении 1.1 не является существенным, а использовано исключительно для удобства. Существенно только ограничение $n\ne 0$, поскольку $M^0\equiv I$ для любой матрицы $M$. Определение 1.1 также легко обобщается на случай, когда в области $K$ существуют безмонодромные особые точки матрицы коэффициентов. При этом достаточно оговорить, что замкнутая кривая $\gamma \subset K$, вдоль которой происходит аналитическое продолжение матрицы $A$ и которой соответствует некоторая матрица $M$ монодромии области ${\Omega }_1$, не проходит через эти особые точки. Кроме того, в соответствии с определением 1.1 для безмонодромной матрицы коэффициентов имеем $I_M\mathrm{<mo>=</mo>1}$.

Предложение 1.2 Пусть матрицы монодромии области ${\Omega }_1$ для системы уравнений имеют определитель $d$ и след $m$. Замена в (1) неизвестных функций $y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на функции

$y_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{где}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}\exp \left\{-{\displaystyle \underset{z_0}{\overset{z}{\int }}}\frac{1}{L}Tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}v\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}dv\right\}\mathrm{,}{z}_0\mathrm{,}z\mathrm{,}v\in K\mathrm{,}$ (5)

сохраняет вид системы (1), но меняет матрицу коэффицентов $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на матрицу $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-Tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}L$ со следом, равным нулю всюду в $K$ (интегрирование в (5) ведется вдоль спрямляемой кривой, аналогичной кривой $\gamma$, описанной в начале статьи). При этом все матрицы монодромии области ${\Omega }_1$ для преобразованной системы (1) имеют единичный определитель и след, равный $m\mathrm{<mo>/</mo>}{d}_0$, где величина $d_0$ определена в (3); для области ${\Omega }_1$ новая и исходная системы уравнений являются или не являются квазибезмонодромными одновременно и их показатели безмонодромности совпадают.

Доказательство. Приведенное в утверждении преобразование матрицы коэффициентов системы (1) проверяется непосредственной подстановкой замены (5) в (1). Далее заметим, что для преобразованной системы (1) в силу (3), (5) фундаментальные матрицы решений $Y_{0s}$, $Y_{1s}$, соответствующие входящим в соотношение (2) фундаментальным матрицам решений $Y_0$, $Y_1$ исходной системы, следующим образом связаны с последними:

$Y_{0s}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Y}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{Y}_{1s}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{Y}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_0\mathrm{,}\lambda \mathrm{,}{z}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{d}_0\mathrm{.}$

Поэтому, как следует из (2), соответствующая фундаментальной матрице $Y_{0s}$ матрица монодромии области ${\Omega }_1$ новой системы есть $M_s\mathrm{<mo>=</mo>}M\mathrm{<mo>/</mo>}{d}_0$, что в силу (3) и определения 1.1 доказывает остальные утверждения предложения.

Настоящая работа посвящена исследованию вопроса о существовании систем двух уравнений первого порядка c квазибезмонодромными особыми точками, имеющими различные значения показателя безмонодромности. В разделе 2 сформулированы три необходимых и достаточных условия квазибезмонодромности системы уравнений (1) при $L\mathrm{<mo>=</mo>2}$ в терминах матрицы монодромии $M$ и отношения её следа к величине $d_0$, определенной в (3). Для каждого из этих трех условий найдено значение $I_M$ и доказано, что не существует квазибезмонодромных матриц $A$ второго порядка с положительным четным показателем безмонодромности. В разделе 3 приведены примеры матриц $A$ второго порядка с квазибезмонодромными особыми точками, включая точки ветвления, со всеми остальными значениями $I_M$. При этом рассмотрены примеры только таких матриц $A$ с нулевым следом (см. предложение 1.2), для которых системаЁ(1) эквивалентна уравнению Штурма$–$Лиувилля вида

${y^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\lambda }^{2}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}z\in K\mathrm{,}$ (6)

при постоянном или переменном весе $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Особый интерес к указанному частному случаю систем (1), связан с тем, что изучение их квазибезмонодромных особых точек необходимо для дальнейшего исследования краевых и обратных спектральных задач для уравнений Штурма$–$Лиувилля на кривых в комплексной плоскости, которые к настоящему времени рассмотрены только при достаточно жестких ограничениях на форму кривой и (или) на коэффициенты уравнения (см. например, работы [3$–$5, 9, 17, 18] и ссылки в них).

2. Необходимые и достаточные условия квазибезмонодромности системы двух уравнений первого порядка в кольцеобразной области аналитичности её коэффициентов.

Лемма 2.1 Пусть $m\mathrm{<mo>=</mo>}TrM$ $—$ след матрицы второго порядка $M$ с единичным определителем, $I$ $—$ единичная матрица второго порядка. Тогда для любого целого $n$ 

$M^n\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{n}M+b_{n}I\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$ (7)

где $a_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $b_0\mathrm{<mo>=</mo>1}$, а остальные коэффициенты $a_n$ и $b_n$ удовлетворяют рекуррентным соотношениям

$a_n\mathrm{<mo>=</mo>}m{a}_{n-1}+b_{n-1}\mathrm{,}{b}_n\mathrm{<mo>=</mo>}-a_{n-1}\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$ (8)

Доказательство. Справедливость представления (7) и выражения для коэффициентов $a_n$ и $b_n$ при $n\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1<mo>\}</mo>}$ следуют непосредственно из определения нулевой и первой степени матрицы, причем $b_0\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_1\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $a_0\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, т.е. формулы (8) справедливы при $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Учитывая, что $\det M\mathrm{<mo>=</mo>1}$, нетрудно также получить, что

$M^2\mathrm{<mo>=</mo>}mM-I\mathrm{,}{M}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}-M+mI\mathrm{,}$ (9)

т.е. представление (7) справедливо также при $n\in \mathrm{<mo>\{</mo>}-\mathrm{1,2<mo>\}</mo>}$, причем $a_2\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}m$, $a_{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_2\mathrm{<mo>=</mo>}-1$, и значит, формулы (8) выполнены при $n\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,2<mo>\}</mo>}$. Далее воспользуемся индукцией по $N\in \mathbb{N}$. Предположим, что представление (7) справедливо при $n\in \mathrm{<mo>\{</mo>}-N+\mathrm{1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $N\ge 2$, а формулы (8) $—$ при $n\in \mathrm{<mo>\{</mo>}-N+\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (выше это было доказано для $N\mathrm{<mo>=</mo>2}$ ). Тогда, пользуясь соотношениями (7) при $n\mathrm{<mo>=</mo>}-N+1$ и $n\mathrm{<mo>=</mo>}N$, а также формулами (9), получим:

$M^{N+1}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_N{M}^2+b_{N}M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}m{a}_N+b_N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}M-a_{N}I\mathrm{,}$

$M^{-N}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_{-N+1}I+b_{-N+1}{M}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}-b_{-N+1}M+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m{b}_{-N+1}+a_{-N+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}I\mathrm{,}$

т.е. представление (7) справедливо также и при $n\mathrm{<mo>=</mo>}N+1$, $n\mathrm{<mo>=</mo>}-N$, причем

$2a_{N+1}\mathrm{<mo>=</mo>}m{a}_N+b_N\mathrm{,}{b}_{N+1}\mathrm{<mo>=</mo>}-a_N\mathrm{,}$

$a_{-N}\mathrm{<mo>=</mo>}-b_{-N+1}\mathrm{,}{b}_{-N}\mathrm{<mo>=</mo>}m{b}_{-N+1}+a_{-N+1}\mathrm{<mo>=</mo>}-m{a}_{-N}+a_{-N+1}\mathrm{,}$

что доказывает формулы (8) при $n\mathrm{<mo>=</mo>}-N+1$ и $n\mathrm{<mo>=</mo>}N+1$.

Лемма 2.2 Пусть $\mu \mathrm{<mo>=</mo>0,5<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+\sqrt{m^2-4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда в условиях леммы 2.1

$2a_n\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\pm {\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+1}n\text{приm=}\pm \text{2}\mathrm{,}$ (10)

$a_n\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mu }^n-{\mu }^{-n}}{\mu -{\mu }^{-1}}\text{приm}\ne \pm \text{2}\text{,}\mu \ne \pm \text{1}\mathrm{.}$ (11)

Доказательство. Поскольку в силу леммы 2.1 коэффициенты $a_n$ и $b_n$ зависят только от номера $n$ и следа $M$, то достаточно провести доказательство леммы для диагональной матрицы $M$ c элементами $\mu$ и $\mathrm{1<mo>/</mo>}\mu \mathrm{<mo>=</mo>0,5<mo\; stretchy="false">(</mo>}m-\sqrt{m^2-4}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (напомним, что $\det M\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $M\mathrm{<mo>=</mo>}TrM$ ). В этом случае $M^n$ $—$ диагональная матрица с элементами ${\mu }^n$ и ${\mu }^{-n}$. Поэтому из соотношений (7) сразу имеем

${\mu }^n\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_n\mu +b_n\mathrm{,}{\mu }^{-n}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{a_n}{\mu }+b_n\mathrm{.}$ (12)

Если $M\mathrm{<mo>=</mo>}\pm 2$, т.е. $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}\pm 1$, то уравнения в (12) равносильны. Добавляя к ним вторую формулу из (8), получим новое рекуррентное соотношение

$\mu a_n\mathrm{<mo>=</mo>}{\mu }^n+a_{n-1}\mathrm{.}$ (13)

Обозначим $c_n\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\mu }^{n+1}{a}_n$. Тогда умножая (13) на ${\mu }^n$ и учитывая, что ${\mu }^2\mathrm{<mo>=</mo>1}$, получим $c_n\mathrm{<mo>=</mo>1}+c_{n-1}$. Поскольку $c_0\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то, пользуясь формулой для $n$ -го члена арифметической прогрессии, получаем (10). Пусть теперь $M\ne \pm 2$ (т.е. $\mu \ne \pm \mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В этом случае формула (11) следует непосредственно из соотношений (12).

В силу леммы 2.2 при $M\mathrm{<mo>=</mo>}\pm 2$ коэффициент $a_n\ne 0$ при любом целом $n\ne 0$. Пользуясь также леммой 2.1, получим следующие два утверждения.

Следствие 2.1 Если $M\mathrm{<mo>=</mo>2}$ и $M\ne I$, то $M^n\ne \pm I$ при любом целом $n\ne 0$.

Следствие 2.2 Если $M\mathrm{<mo>=</mo>}-2$ и $M\ne -I$, то $M^n\ne \pm I$ при любом целом $n\ne 0$.

Лемма 2.3 При $m\ne \pm 2$ и $n\ne 0$ коэффициент $a_n$ в формуле (7) равен нулю тогда и только тогда, когда $M\mathrm{<mo>=</mo>2}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\ge 2$, а $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$. При этом $b_n\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k$.

Доказательство. При $m\ne \pm 2$ (т.е. $\mu \ne \pm \mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из формулы (11) следует, что $a_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$ тогда и только тогда, когда $\mu \mathrm{<mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\pi k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т.е. ${\mu }^n\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k$, где $i$ $—$ мнимая единица, а целое число $k\ne pn$, $p\in \mathbb{Z}$. С другой стороны, при таких значениях $\mu$ имеем:

$M\equiv \mu +{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>2}\cos \frac{\pi k}{n}\mathrm{,}{b}_n\mathrm{<mo>=</mo>}-a_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k$

в силу соотношений (8) и (11). Ограничения $\mathrm{<mo>|</mo>}n\mathrm{<mo>|</mo>}\ne 1$, $k\ne pn$ возникают из условия $m\ne \pm 2$. Приведенные в лемме ограничения на значения $k$, отличные от условия $k\ne pn$, $p\in \mathbb{Z}$, несущественны, т.к. в силу свойств косинуса они не меняют множество всех подходящих значений $M$. Они добавлены для удобства использования леммы в дальнейших доказательствах.

Лемма 2.4 Пусть $M\mathrm{<mo>=</mo>2}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где числа $n\ge 2$ и $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ взаимно просты. Тогда $a_j\ne 0$, $j\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{1,}n-1}$, $a_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Доказательство. Очевидно, что в условиях леммы $M\ne \pm 2$, и $a_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в силу леммы 2.3. Если $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$, то лемма полностью доказана, поскольку $a_1\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Предположим, что $n\ge 3$, и $a_j\mathrm{<mo>=</mo>0}$ при некотором $j\in \mathrm{<mo>\{</mo>2,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$. Тогда из леммы 2.3 получаем, что $M\mathrm{<mo>=</mo>2}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi s\mathrm{<mo>/</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $s\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}j-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$. В силу условия леммы это означает, что $\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi s\mathrm{<mo>/</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Воспользовавшись формулой разности косинусов, находим, что $k\mathrm{<mo>/</mo>}n+s\mathrm{<mo>/</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>2}p$ или $k\mathrm{<mo>/</mo>}n-s\mathrm{<mo>/</mo>}j\mathrm{<mo>=</mo>2}p$, где $p\in \mathbb{Z}$. По условию $\mathrm{0<mo><</mo>}k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{,}s\mathrm{<mo>/</mo>}j\mathrm{<mo><</mo>1}$, поэтому возможен только второй случай при $p\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Допустим, что $k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{<mo>=</mo>}s\mathrm{<mo>/</mo>}j$, т.е. $kj\mathrm{<mo>=</mo>}ns$. Но $n$ и $k$ взаимно просты, поэтому последнее равенство возможно только, если $j\mathrm{<mo>=</mo>}rn$, где целое число $r\ge 1$, а по условию $j\mathrm{<mo><</mo>}n$. Это противоречие доказывает лемму.

Теорема 2.1 Пусть ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_2$ $—$ односвязные области в $ℂ$, ${\Omega }_1\subset {\Omega }_2$, и их границы не имеют общих точек. Тогда при $L\mathrm{<mo>=</mo>2}$ система уравнений (1) и матрица коэффициентов $A$ являются квазибезмонодромными в кольцеобразной области $K\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }_2\backslash {\Omega }_1$ аналитичности матрицы $A$ тогда и только тогда, когда для системы уравнений (1) некоторая матрица монодромии $M$ области ${\Omega }_1$ или её след $M$ удовлетворяют одному из следующих трех альтернативных условий: [ (i)]

1. $M\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_{0}I$;

2. $M\mathrm{<mo>=</mo>}-d_{0}I$;

3. $M\mathrm{<mo>=</mo>2}{d}_0\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где числа $n\ge 2$ и $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ взаимно просты, а множитель $d_0$ определен в (3).

В первых двух случаях показатель безмонодромности равен $I_M\mathrm{<mo>=</mo>}\pm 1$ соответственно, а в последнем случае $I_M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{k}n$.

Доказательство. Рассмотрим прежде всего случай системы (1) с единичным определителем матрицы монодромии, т.е. случай $d\mathrm{<mo>=</mo>}{d}_0\mathrm{<mo>=</mo>1}$. В этом случае при $n\ge 1$ в силу формулы (7) $M^n\in \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm I\mathrm{<mo>\}</mo>}$ тогда и только тогда, когда либо $M\in \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm I\mathrm{<mo>\}</mo>}$, либо $M\notin \mathrm{<mo>\{</mo>}\pm I\mathrm{<mo>\}</mo>}$, но $a_n\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Поэтому необходимость и достаточность выполнения одного из трех условий теоремы непосредственно вытекает из следствий 2.1, 2.2 и леммы 2.3. При этом условие взаимной простоты чисел $k$ и $n$, очевидно, не является существенным, так как не меняет множество всех подходящих значений $M$. Значение $I_M$ в первых двух случаях сразу следует из определения 1.1, а в третьем случае $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\ne \pm \mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ из определения 1.1, формулы (7) и леммы 2.4.

Пусть теперь $d_0\ne 1$. Тогда, делая замену (5), получим новую системы вида (1), матрицы монодромии $M_1$ которой в силу предложения 1.2 будут иметь след $M_1\mathrm{<mo>=</mo>}m\mathrm{<mo>/</mo>}{d}_0$ и единичный определитель. Применяя к новой системе теорему 2.1, только что доказанную для случая единичного определителя, получим, что утверждение теоремы справедливо и в общем случае.

Следствие 2.3 При $L\mathrm{<mo>=</mo>2}$ не существует матриц коэффициентов $A$ с положительным четным показателем безмонодромности $I_M$.

Доказательство. В силу теоремы 2.1 показатель безмонодромности равен либо $\pm 1$, либо ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{k}n$, где $k$ и $n$ взаимно просты и, следовательно, не могут быть одновременно четными.

3. Примеры систем двух уравнений первого порядка с квазибезмонодромными особыми точками. Пользуясь предложением 1.2, ограничимся примерами систем (1), у которых матрицы $A$ имеют след, тождественно равный нулю в области $K$; значит, матрицы монодромии области ${\Omega }_1$ в силу соотношения (3) имеют единичный определитель. К таким системам, в частности, относятся системы уравнений (1) с матрицей коэффициентов вида

$A\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^{2}r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}& 0\end{array}\right)\mathrm{,}$ (14)

 которые равносильны уравнению Штурма$–$Лиувилля (6). При этом элементы первой строки фундаментальных матриц $Y_0$, $Y_1$ образуют фундаментальную систему голоморфных решений (ФСР) уравнения (6), а элементы второй строки $—$ первые производные по $z$ элементов первой строки. Это позволяет естественным образом перенести определение 1.1 с системы (1) и её особых точек на уравнение (6) и его особые точки. Поэтому в дальнейшем будем говорить в том числе и о показателях безмонодромности особых точек коэффициентов уравнения (6). Кроме того, следуя терминологии, принятой в теории уравнений Штурма$–$Лиувилля, будем называть $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ потенциалом, а $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ весом.

Для матриц $A$ вида (14) с единичным весом случай $M\mathrm{<mo>=</mo>}I$ в теории уравнений Штурма$–$Лиувилля хорошо изучен для однозначных потенциалов (см. [7, 8, 13, 15, 16]), но для многозначных потенциалов он ранее не исследовался; случай (ii) в теореме 2.1 для таких матриц $A$, скорее всего, не реализуем ни для каких однозначных потенциалов. По крайней мере, пользуясь известными асимптотическими представлениями решений уравнения (6) (см. [14, 19]) можно доказать, что это справедливо, если в области $K$ существует хотя бы одна спрямляемая кривая, ограничивающая выпуклую область. Последнее, в частности, всегда имеет место в некоторой достаточно малой выколотой окрестности изолированной особой точки. Вместе с тем, как показано в данном пункте, случай $M\mathrm{<mo>=</mo>}-I$ реализуем при единичном весе для особых точек потенциала многозначного характера. Кроме того, ниже приведены примеры матриц $A$ вида (14), имеющих любое заданное значение показателя безмонодромности, не запрещенное следствием 2.3.

Пусть в (14)

$r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{z^2}\mathrm{,}\text{где}p\ge \frac{1}{2}\mathrm{.}$ (15)

Ограничение на значения $p$ учитывает тот факт, что замена $p$ на $1-p$ не меняет вид потенциала в (15). Как известно (см. например, [10, ч. 3, гл. 2, пример 2.162(7)]), если $\lambda \ne 0$, то одну из ФСР уравнения (6) с коэффициентами (15) образуют функции $y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{z}{J}_{p-\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\lambda z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{z}{N}_{p-\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\lambda z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $J_k$ и $N_k$ $—$ функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Также хорошо известно (см. [11, формула (21.8-6)]), что

$J_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exp \mathrm{<mo>\{</mo>2}\pi i\mathrm{<mo>\}</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo>\{</mo>2}\pi ki\mathrm{<mo>\}</mo>}{J}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{N}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exp \mathrm{<mo>\{</mo>2}\pi i\mathrm{<mo>\}</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo>\{</mo>}-2\pi ki\mathrm{<mo>\}</mo>}{N}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+4i{{\displaystyle \cos }}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{J}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Следовательно, при $\lambda \ne 0$ и указанном выборе ФСР матрица монодромии особой точки $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ уравнения (6) с коэффициентами (15), и значит, системы (1) с матрицей коэффициентов (14), (15) будет равна

$M\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{cc}\exp \mathrm{<mo>\{</mo>2}\pi pi\mathrm{<mo>\}</mo>}& -4i{{\displaystyle \sin }}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ 0& \exp \mathrm{<mo>\{</mo>}-2\pi pi\mathrm{<mo>\}</mo>}\end{array}\right)\mathrm{.}$

Поэтому для этой особой точки $M\equiv TrM\mathrm{<mo>=</mo>2}cos\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Заметим также, что при $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>0}$ в качестве ФСР уравнения (6) с коэффициентами (15) можно взять, например, функции $z^p$, $z^{1-p}$ при $p\ne \mathrm{1<mo>/</mo>2}$ и $z^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}$, $z^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\ln z$ при $p\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>2}$. При этом вид матрицы монодромии будет немного другим, но формула для следа сохраняется. Из нее и теоремы 2.1 следует, что возможны два интересных для нас случая квазибезмонодромных матриц коэффициентов $A$ вида (14), (15): [ (1)]

1. случай $p\in \mathbb{N}$ соответствует частному случаю хорошо исследованного класса безмонодромных потенциалов ( $M\mathrm{<mo>=</mo>}I$ ) уравнения Штурма$–$Лиувилля стандартного вида (см. [7, 8]);

2. случай $p\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}r+k\mathrm{<mo>/</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}$, где $r\in \mathbb{N}$, а числа $n\ge 2$ и $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ взаимно просты, соответствует ранее не рассматривавшемуся случаю уравнения Штурма$–$Лиувилля стандартного вида с квазибезмонодромным потенциалом, при этом его показатель безмонодромности $I_M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{k}n$, если $r$ четное, и $I_M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n-k}n$, если $r$ нечетное.

При остальных значениях $p$ матрица $A$ вида (14), (15) не будет квазибезмонодромной. Иными словами, матрицы коэффициентов вида (14), (15) являются квазибезмонодромными при любом рациональном $p$, отличном от полуцелого числа. При этом они охватывают все возможные значения показателя безмонодромности, не запрещенные следствием 2.3, кроме $I_M\mathrm{<mo>=</mo>}-1$.

Поскольку, как уже говорилось, при единичном весе однозначные изолированные особые точки потенциала заведомо не могут иметь $I_M\mathrm{<mo>=</mo>}-1$, то рассмотрим потенциалы, имеющие в нуле точку ветвления порядка $N-\mathrm{1<mo>></mo>0}$, и сделаем в уравнении (6) с $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ следующие замены переменной и неизвестной функции:

$w\mathrm{<mo>=</mo>}{z}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}N}\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$ (16)

Тогда прямой подстановкой нетрудно убедиться, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет уравнению Штурма$–$Лиувилля с комплексным весом, имеющим в точке $w\mathrm{<mo>=</mo>0}$ нуль кратности $\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}N-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

${u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\left\{\frac{1-N^2}{4w^2}+N^2{w}^{2N-2}\left(q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\lambda }^2\right)\right\}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ (17)

При этом существенно, что при $N$ -кратном обходе по замкнутой траектории особой точки $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ на комплексной плоскости $z$, особая точка $w\mathrm{<mo>=</mo>0}$ на комплексной плоскости $w$ будет обходиться один раз также по замкнутой траектории, и значит, потенциал в уравнении (17) будет однозначной функцией $w$. При этом для любых ФСР уравнений (6) и (17), связанных между собой соотношением (16), соответствующие матрицы монодромии $M_z$ и $M_w$ этих особых точек будут также связаны:

$M_w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{N-1}{M}_z\mathrm{.}$ (18)

Действительно, пусть функции $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$, образуют ФСР уравнения (17). Тогда соответствующее ФСР уравнения (6) в силу (16) будет иметь вид

$y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{,}w\mathrm{<mo>=</mo>}{z}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}N}\mathrm{.}$

Поэтому, если

$u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\exp \mathrm{<mo>\{</mo>2}\pi i\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{M}_{w\mathrm{,}jk}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$

(здесь и далее по повторяющимся индексам подразумевается суммирование), то

$y^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\exp \mathrm{<mo>\{</mo>2}\pi Ni\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{N-1}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\exp \mathrm{<mo>\{</mo>2}\pi i\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{N-1}{M}_{w\mathrm{,}jk}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{N-1}{M}_{w\mathrm{,}jk}{y}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Из соотношения (18) вытекает следующее утверждение.

Предложение 3.1 Пусть точка $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ является точкой ветвления потенциала $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порядка $N-1$ ( $N\ge 2$ ), а точка $w\mathrm{<mo>=</mo>0}$ $—$ безмонодромная особая точка уравнения (17). Тогда точка $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ является квазибезмонодромной особой точкой уравнения (6) с $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, причем $I_M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{N-1}$.

Неограниченное количество уравнений вида (17) с безмонодромной особой точкой $w\mathrm{<mo>=</mo>0}$ можно построить, пользуясь следующей леммой, являющейся частным случаем (при $\lambda \mathrm{<mo>=</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ леммы 1 из [6],

Лемма 3.1 Пусть функция $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет вид

$h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{w^2}+h_{-1}{w}^{-1}+{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{h}_k{w}^k\mathrm{,}$

где $\nu \in \mathbb{N}$, $h_{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{2\nu -3}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, и ряд сходится в круге $U_R\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}R\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Тогда все голоморфные решения уравнения

${u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$

однозначны в кольце $K_R\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>0<mo><</mo><mo>|</mo>}w\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>}R\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

Заметим, что различие в знаке перед первым слагаемым формулы для потенциала в [6, лемма 1] и в лемме 3.1 настоящей работы связано с соответствующими различиями в знаках перед потенциалами в уравнениях Штурма$–$Лиувилля.

Пусть потенциал $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в уравнении (6) имеет вид

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{N^2{z}^2}\left(-\frac{1-N^2}{4}-\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\nu -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}-1}^{\infty }}{h}_k{z}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}N}\right)\mathrm{.}$

Здесь $N\ge 2$, $\nu \in \mathbb{N}$, $h_{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{h}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo>}{h}_{2\nu -3}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, ряд сходится в круге $U_R$, и существует хотя бы одно $h_k\ne 0$ с номером $k\mathrm{<mo>=</mo>}l-2$, где $l\in \mathbb{N}$, $l$ и $N$ взаимно просты (т.е. точка $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ является точкой ветвления потенциала $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порядка $N-1$ ). Тогда в силу предложения 3.1 и леммы 3.1 показатель безмонодромности уравнения (6) с $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ в кольце $K_R$ будет равен ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{N-1}$. Таким образом, при любом четном (нечетном) $N\ge 2$ получаем семейство многозначных потенциалов, особая точка которых имеет показатель бемонодромности $I_M\mathrm{<mo>=</mo>}-1$ ( $I_M\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ).

Предложение 3.1 может быть обращено и использовано для поиска уравнений Штурма$–$Лиувилля с переменным весом, безмонодромных в некоторой области. Пусть уравнение (6) является квазибезмонодромым в некоторой кольцеобразной области $K_z\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }_2\backslash {\Omega }_1$ комплексной плоскости $z$, причем модуль показателя безмоноромности $n\ge 1$, а голоморфный всюду в $K$ потенциал $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет конечный порядок ветвления $N-1\ge 0$ ( $nN\mathrm{<mo>></mo>1}$ ). Без ограничения общности можно считать, что точка $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ лежит в области ${\Omega }_1$. Тогда, делая в уравнении (6) замены переменной и неизвестной функции, аналогичные заменам (16):

$w\mathrm{<mo>=</mo>}{z}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}nN\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-nN\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{,}$ (19)

получим, что функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет следующему уравнению Штурма$–$Лиувилля, аналогичному уравнению (17):

${u^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\left\{\frac{1-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}nN\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{4w^2}+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}nN\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2{w}^{2nN-2}\left(q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}^{nN}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\lambda }^2\right)\right\}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}w\in K_w\mathrm{.}$ (20)

Замена (19) отобразит любую замкнутую кривую, лежащую в области $K_z$ и обходящую $nN$ раз область ${\Omega }_1$, в замкнутую кривую, лежащую в некоторой кольцевой области $K_w\mathrm{<mo>=</mo>}{\Omega }_{2w}\backslash {\Omega }_{1w}$ комплексной плоскости $w$ и обходящую область ${\Omega }_{1w}$ один раз. Поэтому потенциал уравнения (20) будет однозначной функцией $w$ в области $K_w$. При этом для любых ФСР уравнений (6) и (20), связанных между собой соотношением (19), соответствующие матрицы монодромии $M_z$ и $M_w$ областей ${\Omega }_1$ и ${\Omega }_{1w}$ будут связаны соотношениями, аналогичными формуле (18):

$M_w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{nN-1}{M}_z\mathrm{.}$

Поэтому справедливо, в частности, следующее утверждение.

Предложение 3.2 Пусть точка $z\mathrm{<mo>=</mo>0}$ является точкой ветвления потенциала $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ порядка $N-1$, $N\ge 1$, и имеет порядок безмонодромности $I_{Mz}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{L}n$, где $n\ge 1$. Тогда порядок безмонодромности точки $w\mathrm{<mo>=</mo>0}$ уравнения (20) равен $I_M\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{L+nN-1}$.