Обобщенная смешанная задача для волнового уравнения простейшего вида и ее приложения

Аннотация

Приведены результаты по обобщенной смешанной задаче (однородной и неоднородной) для волнового уравнения, основанные на операции интегрирования расходящегося ряда формального решения по методу разделения переменных. Найдено решение обобщенной смешанной задачи для неоднородного уравнения в предположении, что функция, характеризующая неоднородность, локально суммируема. В качестве приложения рассмотрена смешанная задача с ненулевым потенциалом.

Полный текст

Введение

Обобщенная смешанная задача для волнового уравнения является одним из наиболее сильных обобщений смешанной задачи. Она впервые появилась в [6]. Внешний вид ее такой же, как и у исходной смешанной задачи и характеризуется тем, что в формальном решении ее по методу Фурье потенциал и начальные данные считаются произвольными суммируемыми функциями, а возмущение в случае неоднородной задачи - произвольной локально суммируемой функцией. Ряд формального решения может быть и расходящимся. Расходящийся ряд рассматривается в понимании Л. Эйлера (см. [7, с. 100-101]), основоположника теории суммирования расходящихся рядов. Найти решение обобщенной смешанной задачи - значит найти сумму ряда формального решения.

В настоящей статье основное внимание уделяется следующей обобщенной смешанной задаче простейшего вида:

                                  $\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                        (1)

                                                     $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$                                                           (2)

                                              $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}_{t^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$                                                    (3)

в случае $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Ее удается решить, привлекая аксиомы о расходящихся рядах из [3, с. 19], используя следующее правило интегрирования расходящегося ряда:

                                                            ${\displaystyle \int }{\displaystyle \sum }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum }{\displaystyle \int }\mathrm{,}$                                                                 (4)

где ${\displaystyle \int }$ $—$ определенный интеграл, и опираясь на известные результаты, относящиеся к почленному интегрированию тригонометрического ряда Фурье по синусам.

Затем показано, как полученный результат помогает дать решение и обобщенной смешанной задачи для неоднородного уравнения. Наконец, в качестве приложения к вышеприведенным результатам рассмотрена смешанная задача для волнового уравнения с ненулевым потенциалом. Показано, что эта задача приводится к интегральному уравнению, решение которого получается по методу последовательных подстановок.

Кратко содержание статьи представлено в [5].

1 Простейшая однородная обобщенная смешанная задача

Рассмотрим обобщенную смешанную задачу (1)$–$(3) в случае $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Формальное решение ее по методу Фурье имеет вид

                                  $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin n\pi x\cos n\pi t\mathrm{,}$                                       (5)

где

                                                   $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{.}$

Имеем

                    $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\Sigma }_{+}+{\Sigma }_{-}\mathrm{,}\text{где}{\Sigma }_{\pm }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin n\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\pm t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                          (6)

Отсюда следует, что для вычисления суммы ряда (6) требуется найти сумму тригонометрического ряда Фурье функции $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т.е. ряда

                                               $2{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin n\pi x\mathrm{.}$                                                    (7)

Пусть сумма ряда (7) при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ есть какая-либо функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (в запасе имеются только функции из $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ). Тогда в соответствии с правилом (4) имеем

                                  ${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>2}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\sin n\pi \eta d\eta \mathrm{.}$                                        (8)

По теореме 3 из [2, с. 320] ряд в (8) сходится при любом $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, а его сумма равна

                                  $2{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\sin n\pi \eta d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{.}$

Таким образом, получили, что

                                                    ${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{.}$

Отсюда $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ почти всюду, т.е. найдена сумма $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ расходящегося ряда (7). Далее, $\sin n\pi x$ нечетна и 2-периодична. Тогда получаем, что сумма ряда (7) при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равна $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нечетное, 2-периодическое продолжение $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с отрезка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ на всю ось. В силу (6) получаем, что сумма $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ряда (5) есть

                                            $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$                                                  (9)

Таким образом, получено следующее утверждение.

Теорема 1 Решением обобщенной смешанной задачи (1)$–$(3) является функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ класса $Q$, определенная по формуле (9).

Функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ класса $Q$ означает, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при любом $T\mathrm{<mo>></mo>0}$, где $Q_T$ $—$ множество $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

2 Приложение. Простейшая неоднородная смешанная задача

Рассмотрим следующую простейшую неоднородную смешанную задачу:

                           $\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                               (10)

                                                     $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$                                                         (11)

                                                   $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_{t^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$                                                       (12)

где $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть функция класса $Q$. Формальное решение ее по методу Фурье есть

                      $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{1}{n\pi }\sin n\pi x\sin n\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{.}$                          (13)

Так как

                                   $\frac{2}{n\pi }\sin n\pi x\sin n\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\sin n\pi \eta d\eta \mathrm{,}$

то (13) переходит в

                              $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\sin n\pi \eta d\eta \mathrm{.}$                                  (14)

Из (14) в силу правила (4) получим

             $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sin n\pi \xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin n\pi \eta d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{,}$                (15)

поскольку ряд в (15), как это следует из п. 1, имеет сумму $\frac{1}{2}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нечетное, 2-периодическое продолжение по $\eta$ на всю ось функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с отрезка $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Таким образом, справедливо следующее утверждение.

Теорема 2 Решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обобщенной смешанной задачи (10)$–$(12) есть функция класса $Q$, определяемая по формуле

                                             $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{.}$                                                 (16)

Отметим, что без привлечения операции интегрирования расходящегося ряда формула (16) приводится в [1].

Тот факт, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть функция класса $Q$, дается следующей леммой.

Лемма 1 Имеет место оценка

                                      $\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$

Proof. Из (16) имеем

                                            $\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{-T}{\overset{T+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{.}$

Пусть $m$ - наименьшее натуральное число, для которого $T\le m$. Тогда в силу нечетности $\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по $\eta$ имеем

             ${\displaystyle \underset{-T}{\overset{T+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le {\displaystyle \underset{-m}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-m}{\overset{0}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta +{\displaystyle \underset{0}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}$

             $\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{-m}{\overset{0}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta +{\displaystyle \underset{0}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{m}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta +{\displaystyle \underset{0}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le$

                                     $\le 2{\displaystyle \underset{0}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>2}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^m}{\displaystyle \underset{k}{\overset{k+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{.}$

Пусть $k$ четно, т.е. $k\mathrm{<mo>=</mo>2}v$. Рассмотрим следующий интеграл:

             ${\displaystyle \underset{k}{\overset{k+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{2v}{\overset{2v+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}v+\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Если $k$ нечетно, т.е. $k\mathrm{<mo>=</mo>2}v+1$, то

             ${\displaystyle \underset{k}{\overset{k+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{2v+1}{\overset{2v+2}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}v+1+\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}$

                        $\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-1-\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Таким образом, при всех $k$ (четных и нечетных) получаем один и тот же результат:

                                            ${\displaystyle \underset{k}{\overset{k+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\xi \mathrm{.}$

Отсюда

                   $\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}d\tau \mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}m+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$

Значит,

                ${\displaystyle \underset{Q_T}{\int }}\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dxdt\le T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$

3 Приложение. Смешанная задача с ненулевым потенциалом

Сначала рассмотрим следующую обобщенную задачу:

                           $\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                               (17)

                                                     $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$                                                         (18)

                                              $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}_{t^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$                                                 (19)

Здесь $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция класса $Q$ и $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Формальное решение ее по методу Фурье есть

                                                $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где функция $u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определена формулой (5), а $u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ ряд (13). Поэтому, исходя из пп. 0.1, 0.2, получаем следующее утверждение.

Теорема 3  Обобщенная смешанная задача (17)$–$(19) имеет решение класса $Q$, определяемое по формуле

                           $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\tilde{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{.}$                               (20)

Теперь приступаем к смешанной задаче с ненулевым потенциалом:

                        $\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                            (21)

                                                     $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$                                                         (22)

                                             $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}_{t^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$                                                 (23)

где $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ функция класса $Q$.

В этой задаче будем рассматривать $-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ как возмущение в задаче (17)$–$(19). Тогда по теореме 3 перейдем от задачи (21)$–$(23) к интегральному уравнению:

                        $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\widetilde{q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta }\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{,}$                           (24)

где $\widetilde{q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta }\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нечетное, 2-периодическое продолжение $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на всю ось.

Приступаем к решению уравнения (24). Тот факт, что $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть нечетное, 2-периодическое продолжение $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ на всю ось, трактуется следующим образом: сначала нечетно находится $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,0<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, т.е. $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $x\le 0$; затем полученная $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ продолжается 2-периодически на всю ось. Отсюда получаются следующие утверждения.

Лемма 2  Функция $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется однозначно по $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Лемма 3  Операция $\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ линейна, т.е.

                                        $\widetilde{\alpha {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta {\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha {\tilde{\phi }}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta {\tilde{\phi }}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Proof. Обе операции в формулировке леммы нечетны и 2-периодичны. Но на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ они обе равны $\alpha {\phi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta {\phi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поэтому из леммы 2 следует лемма 3.

Введем оператор

                                           $Bf\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\widetilde{q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta }\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\eta \mathrm{,}$                                              (25)

где $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Лемма 4 Оператор $B$ является линейным и ограниченным в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, причем

                                   $\parallel Bf{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel q{\parallel }_1\cdot \parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{,}$

где $\parallel \cdot {\parallel }_1$ $—$ норма в $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Proof. Линейность $B$ следует из леммы 3. Докажем ограниченность. Как и в лемме 1, имеем

             $\mathrm{<mo>|</mo>}Bf\mathrm{<mo>|</mo>}\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{-T}{\overset{T+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\widetilde{q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta }\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le$

                     $\le \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}T\parallel q{\parallel }_1\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel q{\parallel }_1\parallel f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$

Образуем ряд

                                                    $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{a}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $a_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}B{a}_{n-1}$ ( $n\ge 1$ ) и $a_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Лемма 5 (см. 6 [с. 220-221]). Если $m$ - наименьшее натуральное число, для которого $T\le m$, то

                                 $\parallel a_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le M_1{\left(\frac{M_2}{2}\right)}^{n-1}\frac{T^{n-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{,}n\ge \mathrm{1,}$                                     (26)

где $M_1\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel a_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}$, $M_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}m+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel q{\parallel }_1$. Кроме того, $M_1\le C_T\parallel \phi {\parallel }_1$ и постоянная $C_T$ не зависит от $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Приведем необходимое для дальнейшего доказательство этой леммы.

Proof. Положим $f_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Очевидно, $f_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $a_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при $n\ge 1$. При $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$ оценка (26) справедлива. Предположим, что она выполняется и при некотором $n$, и докажем ее справедливость при $n+1$. Имеем

             $\mathrm{<mo>|</mo>}{a}_{n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{f}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le$

                      $\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{-m}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{f}}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le \frac{2m+1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>|</mo>}{a}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le$

                    $\le \frac{2m+1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{M}_1{\left(\frac{M_2}{2}\right)}^{n-1}\frac{{\tau }^{n-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}{M}_1{\left(\frac{M_2}{2}\right)}^n\frac{t^n}{n\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{.}$

Тем самым оценка (26) установлена. Оценим $M_1$. Имеем

             $\mathrm{<mo>|</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{x-t+\tau }{\overset{x+t-\tau }{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{f}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le \frac{1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{-m}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}{\tilde{f}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \mathrm{<mo>=</mo>}$

                    $\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{2m+1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}d\tau {\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}{f}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta \le \frac{2m+1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta {\displaystyle \underset{-T}{\overset{T+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\tau \le$

                         $\le \frac{2m+1}{2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\eta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\eta {\displaystyle \underset{-m}{\overset{m+1}{\int }}}\mathrm{<mo>|</mo>}\tilde{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}m+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{2}\parallel q{\parallel }_1\parallel \phi {\parallel }_1\mathrm{.}$

Отсюда вытекает требуемая оценка для $M_1$.

Таким образом, ряд $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ сходится абсолютно и равномерно в $Q_T$.

Теорема 4 Уравнение (24) имеет единственное решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{a}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, получаемое по методу последовательных подстановок.

Proof. Положим $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-a_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда из (24) получаем для $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ интегральное уравнение

                                                    $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{a}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+Bv\mathrm{.}$                                                       (27)

Так как $a_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, то уравнение (27) рассматриваем в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. По методу последовательных подстановок из (27) получаем ряд $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поскольку $B$ $—$ линейный и ограниченный оператор в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $B{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\mathrm{<mo>=</mo>2}}^{\infty }}{a}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$есть решение (27). Докажем, что уравнение (27) имеет единственное решение. Допустим, что кроме $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$есть еще другое решение $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ этого уравнения. Тогда $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - решение уравнения $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Bz\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а, значит, и $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{B}^{n}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при любом натуральном $n$. Заметим, что оценка (26) в лемме 5 остается верной, если в качестве $a_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ взять любую функцию из $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Возьмем в качестве такой функции функцию $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда из оценки (26) получаем следующую оценку:

             $\parallel z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel B^{n-1}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\le \parallel z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{\left(\frac{M_2}{2}\right)}^{n-1}\parallel q{\parallel }_1\frac{T^{n-1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{.}$

Отсюда в силу произвольности $n$ получаем $z\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, и единственным решением уравнения (27) является ряд $A_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а уравнение (24) $—$ ряд $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Для сравнения приведем следующие результаты из [6] и [4].

Теорема 5 (см. [4, теорема 6]).  Если функции $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ абсолютно непрерывны и $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, то сумма ряда $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$представляет собой классическое решение задачи (21)$–$(23) при условии, что ${\partial }^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial t^2$ класса $Q$ (уравнение удовлетворяется почти всюду).

Теорема 6 (см. [6, теорема 5]).  Если $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, ${\phi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условиям теоремы 5, $\parallel {\phi }_h-\phi {\parallel }_1\to 0$ при $h\to 0$, то соответствующее ${\phi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ классическое решение $u_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задачи (21)$–$(23) сходится при $h\to 0$ по норме $L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{Q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ к $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Утверждение теоремы следует из линейности $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и леммы 5.

Таким образом, классическое решение задачи (21)$–$(23) и решение ее, приводимое в статье, выражаются одной и той же формулой: $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в случае $\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ играет роль обобщенного решения, понимаемого как предел классических.

Отметим еще, что ряд $A\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в [6] получается иным приемом с более активным использованием обобщенной смешанной задачи.