Об ограниченных разностных операторах с инволюцией

1 Введение

Пусть $\mathcal{X}$ "$—$ некоторое комплексное банахово пространство и $End\mathcal{X}$ "$—$ банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в $\mathcal{X}$, со стандартной нормой

                                     $\parallel X\parallel \mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\parallel x\parallel \le 1}{{\displaystyle \sup }}\parallel Xx\parallel \mathrm{,}X\in End\mathcal{X}\mathrm{,}x\in \mathcal{X}\mathrm{,}$

и $I\in End\mathcal{X}$ "$—$ тождественный оператор в $\mathcal{X}$.

Определение 1  Оператор $J\in End\mathcal{X}$ называется инволюцией, если

                                                               $J^2\mathrm{<mo>=</mo>}I\mathrm{.}$                                                                    (1)

Заметим, что равенству (1) удовлетворяют, например, операторы $I$ и $-I$. Такую инволюцию назовем тривиальной инволюцией. Далее в работе рассматриваются инволюции, не являющиеся тривиальными.

Всюду рассматривается банахово пространство $l_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{,}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $p\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, двусторонних комплексных последовательностей $x\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$; будем обозначать кратко его через $l_p$, $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Напомним, что

                         $\parallel x{\parallel }_p\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^p{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\frac{1}{p}}\mathrm{,}p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\parallel x{\parallel }_{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{n\in \mathbb{Z}}{{\displaystyle \sup }}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>.}$

При $p\mathrm{<mo>=</mo>2}$ пространство $l_2$ является гильбертовым со скалярным произведением

                                                    $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Стандартный безусловный базис в $l_p$, $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, обозначим через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}_n\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $e_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\delta }_{nk}$, где ${\delta }_{nk}$ "$—$ символ Кронекера. Отметим, что инволюция существует в любом банаховом пространстве с двусторонним базисом и определяется формулой

                                   $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Jx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}x{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb{Z}}}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}_n\in \mathcal{X}\mathrm{,}$                                        (2)

 причем $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Jx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Через $l^{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}{l}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{Z}\mathrm{,}ℂ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначим пространство всех двусторонних комплексных последовательностей $x\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ (необязательно ограниченных), $l_p\subset l^{\infty }$ для всех $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Пространство $l^{\infty }$ является алгеброй с поточечным умножением $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\in \mathbb{Z}$, $\alpha$, $\beta \in l^{\infty }$.

Инволюцию можно определить и в линейном пространстве формулойЁ(1). Она также существует в любом линейном пространстве с двусторонним базисом и определяется формулой (2).

Инволюцию, задаваемую формулой (2) в банаховом пространстве $\mathcal{X}$, также называют простейшей или стандартной (см. [?, ?]). Эта инволюция связана со стандартной (или простейшей) инволюцией, например, на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, задаваемой формулой $\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}-x$, ${\omega }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}x$, $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, использующейся в дифференциальных уравнениях.

Для любой последовательности $\alpha \in l^{\infty }$ определим оператор $A_{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha I$, $Ax\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha x$. Область определения $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оператора $A_{\alpha }$ определяется следующим образом:

                                                $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in l_p\mathrm{,}\alpha x\in l_p\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Оператор $A_{\alpha }$ будем называть диагональным оператором. Рассмотрим оператор

                                     $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\alpha }+A_{\beta }J\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha I+\beta J\mathrm{,}\alpha \mathrm{,}\beta \in l^{\infty }\mathrm{,}$

где оператор $J$ определен формулой (2). Множество таких операторов обозначим через $\mathcal{M}$. Аналогично $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется область определения для оператора $A_{\beta }J$ и $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\beta }J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Очевидно, что при $\alpha \mathrm{,}\beta \in l_{\infty }$ оператор $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ ограничен и

                                                  $\parallel A_{\alpha \mathrm{,}\beta }\parallel \le \parallel \alpha {\parallel }_{\infty }+\parallel \beta {\parallel }_{\infty }\mathrm{.}$

Оператор $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_p\to l_p$ действует по формуле

                                 $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha \mathrm{,}\beta }x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$

и в стандартном базисе пространства $l_p$ имеет разреженную матрицу $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }\sim \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\mathrm{,}j\in \mathbb{Z}$, где $a_{ii}\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $a_{i\mathrm{,}-i}\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $i\in \mathbb{Z}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$, $a_{00}\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а остальные элементы равны нулю.

Необходимость изучения оператора $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ возникает, например, при исследовании системы дифференциально"=разностных уравнений

                                                   $u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_{\alpha \mathrm{,}\beta }u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $u\mathrm{<mo>:</mo>}ℝ\to l_p$, $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_0$, $u_0\in l_p$, $f\mathrm{<mo>:</mo>}ℝ\to l_p$.

Важность изучения оператора $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ также связана с возможностью применения метода подобных операторов для исследования спектральных свойств различных классов дифференциальных и разностных операторов. Идеологию метода подобных операторов можно найти, например, в [?, ?]. При этом исследуемый оператор представляют в виде $A-B$, где в роли $A$ выступает оператор с известными спектральными свойствами, а возмущение $B$ мало в некотором смысле по сравнению с $A$. Обычно в качестве $A$ выступает диагональный оператор. Но это не всегда удобно, особенно если у исследуемого оператора по побочной диагонали также стоит растущая последовательность. Тогда в качестве невозмущенного оператора удобно брать именно оператор вида $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$, остальное относить к его возмущению и адаптировать метод подобных операторов именно к такому случаю.

Приведем еще один пример. Оператор вида $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }-B$ возникает при дискретизации оператора Штурма"$–$ Лиувилля с потенциалом с инволюцией.

Отметим, что дифференциальные операторы с инволюцией в настоящее время активно исследуются в работах разных авторов (см., например, [10, 14, 18]).

Статья организована следующим образом. В разделе 0.2 рассматриваются свойства оператора инволюции сначала в абстрактном банаховом пространстве, а затем в пространстве $l_p$, $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, доказана лемма 2, из которой следуют другие примеры инволюции, отличные от стандартной. В разделе 0.3 рассматривается определение и примеры инволюции порядка $n$, $n\ge 2$, $n\in \mathbb{N}$. В разделе 0.4 изучаются свойства оператора $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ такие как обратимость, условия коммутируемости двух операторов, спектр. В последнем разделе рассматривается оператор $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ при $\alpha$, $\beta \in l_{\infty }$ и приводятся результаты относительно его принадлежности специальным операторным классам.

2 Оператор $J$ в абстрактном банаховом пространстве $\mathcal{X}$

Вначале опишем свойства оператора инволюции в абстрактном банаховом пространстве $\mathcal{X}$. Непосредственно из определения 1 вытекает обратимость оператора $J$ и равенство $J^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}J$.

Из (1) немедленно следует, что спектр $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оператора $J$ таков, что $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subseteq \mathrm{<mo>\{</mo>}-\mathrm{1,1<mo>\}</mo>}$. Так как рассматриваются нетривиальные инволюции, то $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ совпадает со множеством $\mathrm{<mo>\{</mo>}-\mathrm{1,1<mo>\}</mo>}$.

Определение 2  Пусть $\mathcal{X}$ - банахово пространство. Вектор $x\in \mathcal{X}$ назовем четным, если $Jx\mathrm{<mo>=</mo>}x$, и нечетным, если $Jx\mathrm{<mo>=</mo>}-x$. Четный вектор иногда будем обозначать $x_{+}$, нечетный - $x_{-}$.

Обозначим через ${\mathcal{X}}_{+}$ и ${\mathcal{X}}_{-}$ соответственно подпространства четных и нечетных векторов из $\mathcal{X}$. Из определения 2 вытекает, что ${\mathcal{X}}_{+}$ и ${\mathcal{X}}_{-}$ "$—$ замкнутые подпространства и пространство $\mathcal{X}$ представимо в виде их прямой суммы

                                                         $\mathcal{X}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{X}}_{+}\oplus {\mathcal{X}}_{-}\mathrm{.}$                                                               (3)

Введем два оператора $P_{+}$, $P_{-}\in End\mathcal{X}$ формулами

                                                 $P_{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{I+J}{2}\mathrm{,}{P}_{-}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{I-J}{2}\mathrm{.}$

Свойства операторов $P_{+}$ и $P_{-}$ удобно сформулировать в виде следующей леммы.

Лемма 1  Операторы $P_{+}$ и $P_{-}$ обладают следующими свойствами: [ (1)]

1.          $P_{+}$ и $P_{-}$ "$—$ проекторы;

2.          $P_{+}+P_{-}\mathrm{<mo>=</mo>}I$, $P_{+}{P}_{-}\mathrm{<mo>=</mo>0}$;

3.          $J{P}_{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{+}$, $J{P}_{-}\mathrm{<mo>=</mo>}-P_{-}$;

4.          $J\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_{+}-P_{-}$ (спектральное разложение оператора $J$ );

5.          $Im{P}_{+}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{X}}_{+}$, $Im{P}_{-}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{X}}_{-}$.

Таким образом, есть два проектора, осуществляющих разложение пространства $\mathcal{X}$ в виде прямой суммы (3). При этом собственному значению $-1$ отвечает ${\mathcal{X}}_{-}$, а собственному значению $1$ "$—$ ${\mathcal{X}}_{+}$, причем

                                       $x\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{x+Jx}{2}+\frac{x-Jx}{2}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{+}+x_{-}\mathrm{,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Перейдем к оператору $I+J$. Он обладает следующими свойствами: [ (1)]

1.      $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>2,0<mo>\}</mo>}$;

2.      $Im\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\mathcal{X}}_{+}$;

3.      $Ker\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\mathcal{X}}_{-}$.

Очевидно, что операторы $I$ и $J$ перестановочны, $e^I\mathrm{<mo>=</mo>}eI$. Поэтому $e^{I+J}\mathrm{<mo>=</mo>}e\cdot e^J$, где

      $e^J\mathrm{<mo>=</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\frac{1}{\mathrm{2<mo>!</mo>}}+\frac{1}{\mathrm{4<mo>!</mo>}}+\frac{1}{\mathrm{6<mo>!</mo>}}+\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\frac{1}{\mathrm{3<mo>!</mo>}}+\frac{1}{\mathrm{5<mo>!</mo>}}+\frac{1}{\mathrm{7<mo>!</mo>}}+\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}e+e^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}e-e^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

       $e^{Jt}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathrm{ch}tI+\mathrm{sh}tJ\mathrm{,}{e}^{I+J}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^2-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}{e}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}t}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^t\mathrm{ch}tI+e^t\mathrm{sh}tJ\mathrm{.}$

Далее везде в статье под оператором инволюции мы будем понимать именно стандартный оператор инволюции, действующий в пространстве $l_p$, $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, по формуле (2) и обозначать его через $J$. Кроме указанных выше свойств он в пространстве $l_2$ обладает еще и следующими: [ (1)]

1.       $J^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}J$, $J^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{J}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$;

2.       ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I+J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}I+J$.

Стандартный оператор инволюции $J$ является не единственным оператором инволюции (в смысле определения 1), действующим в $l_p$, $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Непосредственная проверка выполнения равенства (1) показывает, что справедлива следующая лемма.

Оператор $-J$, где $J$ определен формулой (2) в пространстве $l_p$, $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, также является инволюцией. Очевидно, что у него подпространство ${\mathcal{X}}_{+}$ содержит нечетные последовательности, а ${\mathcal{X}}_{-}$ "$—$ четные.

3 Абстрактная инволюция

В этом разделе приведем примеры абстрактной инволюции.

Определение 3  Оператор $\tilde{J}\in End\mathcal{X}$ называется обобщенной инволюцией, если для некоторого $n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, выполняется соотношение ${\tilde{J}}^n\mathrm{<mo>=</mo>}I$. Наименьшее такое $n$ называется порядком обобщенной инволюции.

Для обобщенной инволюции $\tilde{J}$ $n$ "=го порядка имеет место равенство ${\tilde{J}}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{J}}^{n-1}$.

Определение 4 (см. 13[с. 87]) Оператор $A\in End\mathcal{X}$ называется оператором простейшего типа, если его спектр состоит из конечного числа собственных значений и пространство $\mathcal{X}$ есть прямая сумма соответствующих собственных подпространств.

Лемма 3 ((см. 13)  Оператор $A$ является оператором простейшего типа тогда и только тогда, когда существует такой многочлен $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с простыми корнями, что $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Из определения 3 и леммы 3 немедленно следует, что обобщенная инволюция является оператором простейшего типа, так как многочлен $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }^n-1$ есть для нее аннулирующий многочлен. Следовательно, также $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subseteq \mathrm{<mo>\{</mo>}\sqrt[n]{1}\mathrm{<mo>\}</mo>}$, все собственные значения обобщенной инволюции простые и лежат на единичной окружности. Соответствующие проекторы можно найти по интерполяционной формуле Лагранжа

                    $P_j\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{1}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{j-1}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{j+1}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{n}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_{j-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_{j+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}1\le j\le n\mathrm{,}$

где ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$, , ${\lambda }_n$ "$—$ собственные значения обобщенной инволюции.

Оператор обобщенной инволюции имеет спектральное разложение вида

                         $\tilde{J}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{\lambda }_j\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{1}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{j-1}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{j+1}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}-{\lambda }_{n}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_{j-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_{j+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_j-{\lambda }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Такое разложение также называется интерполяционной формулой Сильвестра.

Приведем примеры обобщенных инволюций. Тривиальной обобщенной инволюцией третьего порядка является оператор $e^{i2\pi \mathrm{<mo>/</mo>3}}I$, четвертого порядка "$—$ оператор $iI$.

К нетривиальной инволюции четвертого порядка относится оператор $\tilde{J}$, действующий по формуле

                                                $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}ix\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

У него два собственных значения ${\lambda }_1\mathrm{<mo>=</mo>}i$, ${\lambda }_2\mathrm{<mo>=</mo>}-i$; соответствующие проекторы $P_{{\lambda }_1}$ и $P_{{\lambda }_2}$ задаются формулами $P_{{\lambda }_1}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I-iJ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}$, $P_{{\lambda }_2}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I+iJ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}$.

Приведем еще один пример. Пусть

                                        $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{J}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& n\ge \mathrm{0,}\\ {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+1}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& n\mathrm{<mo><</mo>0.}\end{array}\right.$

Оператор $\tilde{J}$ является обобщенной инволюцией четвертого порядка. Заметим также, что если $\tilde{J}$ "$—$ обобщенная инволюция нечетного порядка, то оператор $I+\tilde{J}$ обратим.

4 Исследование оператора $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$

Пусть $\mathcal{X}\mathrm{<mo>=</mo>}{l}_p$, $p\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Обозначим символом $e\mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ единичную последовательность, т.е. $e\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, $n\in \mathbb{Z}$, а символом $\mathrm{0<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℂ$ "$—$ нулевую последовательность. Отметим, что $e\in l_{\infty }$.

Операторы $I\mathrm{,}J\in End{l}_p$ принадлежат $\mathcal{M}$, так как $I\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{e\mathrm{,0}}\mathrm{<mo>=</mo>}eI+0J$, $J\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\mathrm{0,}e}\mathrm{<mo>=</mo>0}I+eJ$. Напомним, что символом $J$ теперь обозначена простейшая или стандартная инволюция, т.е. $J$ действует по формуле (2). Далее используется очевидное свойство оператора $J$: $J\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}J\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Jx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; вместо $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $n\in \mathbb{Z}$, иногда будем писать $J\alpha$.

Отметим, что операторы, заданные своими бесконечными матрицами, широко исследованы в различных работах. Но, обычно, это матрицы несколько другого типа. Особенно хорошо изучаются трехдиагональные матрицы, что связано с их приложениями в разных прикладных задачах. Также бесконечные трехдиагональные матрицы возникают при дискретизации дифференциальных уравнений второго порядка с (обычным) потенциалом (без инволюции). Соответствующие результаты, касающиеся нахождения спектральных свойств бесконечных трехдиагональных матриц, можно посмотреть, например, в [?, ?, ?, ?]. Результаты из этих работ к $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ неприменимы (они относятся к замкнутым линейным операторам специального вида, причем существенным образом используется тот факт, что последовательность $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ растущая). В [?] рассматривались трехдиагональные матрицы с ненулевой побочной диагональю, причем кроме условия, что диагональная последовательность $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ растущая, еще ставились условия на последовательность $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, например, $\beta \in l_2$.

Напомним также, что матрица оператора $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ является разреженной матрицей. Пусть $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$, $A_{{\alpha }^{\prime }\mathrm{,}{\beta }^{\prime }}\in \mathcal{M}$. Рассмотрим оператор

   $A_{\tilde{\alpha }\mathrm{,}\tilde{\beta }}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\alpha \mathrm{,}\beta }{A}_{{\alpha }^{\prime }\mathrm{,}{\beta }^{\prime }}\mathrm{<mo>:</mo>}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\tilde{\alpha }\mathrm{,}\tilde{\beta }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset l_p\to l_p\mathrm{,}D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\tilde{\alpha }\mathrm{,}\tilde{\beta }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{{\alpha }^{\prime }\mathrm{,}{\beta }^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{A}_{{\alpha }^{\prime }\mathrm{,}{\beta }^{\prime }}x\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>.}$

Непосредственное вычисление показывает, что $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }{A}_{{\alpha }^{\prime }\mathrm{,}{\beta }^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\tilde{\alpha }\mathrm{,}\tilde{\beta }}$, где

         $\tilde{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\beta }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tilde{\beta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\beta }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\alpha }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$               (4)

Замечание 1 Равенства (4) удобнее записывать в виде                    

                     $\tilde{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha {\alpha }^{\prime }+\beta J{\beta }^{\prime }\mathrm{,}\tilde{\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha {\beta }^{\prime }+\beta J{\alpha }^{\prime }\mathrm{.}$

Лемма 4 Операторы $A_{\alpha }$, $A_{\beta }$ и $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ обладают следующими свойствами: [ (1)]

1.      если $\beta \in l_{+}^{\infty }$ (четная последовательность), то операторы $A_{\beta }$ и $J$ коммутируют, т.е. $A_{\beta }J\mathrm{<mo>=</mo>}J{A}_{\beta }$;

2.      если $\alpha$, $\beta \in l_{+}^{\infty }$, то операторы $A_{\alpha }$ и $A_{\beta }J$ коммутируют;

3.      в пространстве $l_2$ имеем $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\overline{\alpha }}+J{A}_{\overline{\beta }}$;

4.      $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{\alpha \mathrm{,}\beta }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}$ в пространстве $l_2$, если $\alpha$, $\beta \in l_{+}^{\infty }$, $\alpha$, $\beta \mathrm{<mo>:</mo>}\mathbb{Z}\to ℝ$.

Для оператора $A_{\alpha \mathrm{,}\beta }$ спектр хорошо ищется в явном виде, а также легко можно выписать условие обратимости и найти обратный оператор.