Линейные и нелинейные интегральные функционалы в пространстве непрерывных вектор-функций

Статья посвящена исследованию нелинейного интегрального функционала вида $F\left(u\right)={\int }_{\Omega }f(s,u(s\left)\right)ds$, где $\Omega$ — замкнутое ограниченное множество в $R^n$, порождающая функция $f:\Omega \times X\to R$ (где $X$ — вещественное сепарабельное банахово пространство) удовлетворяет условиям Каратеодори.

Изучаются действие и ограниченность функционала $F$ на пространстве $C\left(X\right)$ непрерывных вектор-функций $u:\Omega \to X$ и на пространстве $L_1\left(X\right)$ существенно ограниченных вектор-функций (с естественными нормами).

Основными результатами статьи являются 1) эквивалентность действия и ограниченности функционала $F$ на пространствах $C\left(X\right)$ и $L_1\left(X\right)$; 2) равенство для этих пространств числовой характеристики функционала в виде супремума нормы значений функционала на замкнутом шаре; 3) выражение этой числовой характеристики в терминах функции $f$, порождающей функционал.

Для распространения свойств функционала с $C\left(X\right)$ на $L_1\left(X\right)$ существенно используются результаты И.В. Шрагина об операторе Немыцкого и порождающей функции, а также его идеи и методы, основанные на последовательном доказательстве специальных вспомогательных утверждений, которые используют, в частности, теоремы непрерывного и измеримого выбора.

Полученные для функционала $F$ результаты конкретизируются для случая линейного интегрального функционала на пространствах банаховозначных функций (когда $f(s,x)=a\left(s\right)\left[x\right]$ для некоторой функции $a:\Omega \to X^{*}$), в частности, установлено, что норма этого функционала на пространствах $C\left(X\right)$ и $L_1\left(X\right)$ равна ${\int }_{\Omega }\Vert a\left(s\right){\Vert }_{(}〖X{〗}^{*})ds$.