О рекуррентных движениях периодических процессов

Полный текст

Введение

Пусть $\Sigma$ $—$ метрическое пространство с метрикой $d$ и $ℝ=(-\infty \mathrm{,}+\infty )$ $—$ действительная ось. Рассмотрим отображение $f:ℝ\times \Sigma \to \Sigma$ и положим

                                                                        $f\left(t\mathrm{,}p\right)g^{t}p\mathrm{.}$

При этом будем считать, что:

(a) отображение $f$ непрерывно по совокупности переменных $t\mathrm{,}p$ на множестве $ℝ\times \Sigma \mathrm{<mo>;</mo>}$

(b) для всех $p\in \Sigma$ 

                                                                            $g^{0}p=p;$

(c) для всех $t\mathrm{,}s\in ℝ$ 

                                                                          $g^{t+s}=g^t{g}^s\mathrm{.}$

Тогда будем говорить, что группа преобразований $g^t$ $—$  динамическая система, а для любого $p\in \Sigma$ функция $t\to f\left(t\mathrm{,}p\right)$ $—$  движение (см. [1, с. 347]).

Важнейшим из всех движений является рекуррентное, так как в полном пространстве $\Sigma$ замыкание $\overline{K(}p)$ траектории

                                                              $K\left(p\right)=\left\{f\right(t,p):t\in ℝ\}$

рекуррентного движения $f(t,p)$ представляет собой компактное минимальное множество (см. [1, с. 404]), а каждое движение, расположенное в компактном минимальном множестве $M\mathrm{,}$ рекуррентно (см. [1, с. 402]); кроме того, любое компактное инвариантное множество $M_1$ содержит компактное минимальное множество $M$ (см. [1, с. 401]).

Еще до недавнего времени считалось, что в связном пространстве $\Sigma$ существуют компактные инвариантные множества

                                                           $M_1\supset M_2\supset \dots \supset M_k\supset \dots \mathrm{,}$

каждое из которых не является объединением компактных минимальных множеств(см. [1, гл. V]). Однако, в работе [2] было доказано, что если $M_1\ne \Sigma \mathrm{,}$ то в связном компактном пространстве $\Sigma$ 

                                                        $M_1=M_2=\dots =M_k=\dots =\varnothing .$

Это, очевидно, означает, что в компактном пространстве $\Sigma$ не существует ни устойчивых по Пуассону нерекуррентных движений, ни притягивающих множеств типа гомоклинического (или гетероклиноческого) аттрактора.

В продолжение результатов из [2] в работах [3, 4] было установлено полное взаимоотношение движений в $\Sigma$ и на топологическом компактном многообразии. Здесь необходимо отметить, что в [1, с. 365, с. 375] приведены три концептуальных примера построения множеств типа $M_k$ на торе и на действительной плоскости ${ℝ}^2\mathrm{.}$ К сожалению, данные примеры оказались некорректными, что было показано в работе [5].

Целью настоящей работы является дальнейшее развитие результатов работ [2$–$4], заключающееся в изучении свойств рекуррентных движений периодических процессов в хаусдорфовом секвенциально компактном топологическом пространстве $\Gamma \mathrm{.}$ В частности, будет установлено полное взаимоотношение движений автономных процессов в $\Gamma \mathrm{.}$

1.   Процессы и движения

Пусть $\Gamma$ $—$ хаусдорфово секвенциально компактное топологическое пространство. Рассмотрим отображение $f:ℝ\times ℝ\times \Gamma \to \Gamma$ и положим

                                                                 $f(\tau ,t,p)=G(\tau ,t)p.$

При этом будем считать, что:

(a $\text{'}$) отображение $f$ непрерывно по совокупности переменных $\tau \mathrm{,}t\mathrm{,}p$ на $ℝ\times ℝ\times \Sigma \mathrm{<mo>;</mo>}$

(b $\text{'}$) для всех $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in ℝ\times \Gamma$ 

                                                                        $G\left(\tau \mathrm{,0}\right)p=p;$

(c $\text{'}$) для всех $(\tau ,t,s)\in ℝ\times ℝ\times ℝ$ 

                                                        $G(\tau ,t+s)=G(\tau +s,t)G(\tau ,s).$

Тогда будем говорить, что отображение $f$ $—$  процесс, а для любых $(\tau ,p)\in ℝ\times \Gamma$ функция $t\to f(\tau ,t,p)$ $—$  движение (см. [6, с. 98]).

Если оператор $G(\tau ,t)$ не зависит от $\tau \mathrm{,}$ то процесс $f$ называется  автономным. В этом случае для всех $(t,p)\in ℝ\times \Gamma$ 

                                                                    $G\left(\mathrm{0,}t\right)p=f(t,p)$

и, следовательно, $G\left(\mathrm{0,}t\right)$ представляет собой полную однопараметрическую группу преобразований $g^t$ на $\Gamma$ (см. [6, с. 99]).

Из всего множества процессов в дальнейшем будет рассматриваться только  периодический процесс, т. е. процесс, удовлетворяющий условию

                                                                  $G(\tau +\mathrm{1,}t)\equiv G(\tau ,t).$

Заметим, что автономный процесс по определению является периодическим.

Как обычно, в автономном случае множество $A\subset \Gamma$ будем называть  инвариантным, если для всех $t\in ℝ$ 

                                                                         $G\left(\mathrm{0,}t\right)A=A.$

В автономном случае мы можем также принять важнейшие определения общей теории динамических систем, изначально введенные Дж. Биркгофом на замкнутом дифференцируемом многообразии (см. [7, гл. VII]). Именно:

(d) если $p\in \Gamma \mathrm{,}$ то $\omega$ -предельным множеством $\Omega \left(p\right)$ движения $f(t,p)$ называется множество

                                                                 $\Omega \left(p\right)=\underset{t\ge 0}{\cap }\overline{\underset{s\ge t}{\cup }f(s,p)};$

(e) если $p\in \Gamma \mathrm{,}$ то $\alpha$ -предельным множеством $А\left(p\right)$ движения $f(t,p)$ называется множество

                                                                 $A\left(p\right)=\underset{t\le 0}{\cap }\overline{\underset{s\le t}{\cup }f(s,p)};$

(f) множество $M\subset \Gamma$ называется  минимальным, если оно непусто, замкнуто, инвариантно и не содержит ни одного собственного подмножества, обладающего тремя указанными выше свойствами;

(g) любое движение $f(t,p),$ расположенное в компактном минимальном множестве $M\mathrm{,}$ называется рекуррентным.

Вообще говоря, в неавтономном случае траектория

                                                          $K(\tau ,p)=\left\{f\right(\tau ,t,p):t\in ℝ\}$

движения $f(\tau ,t,p)$ зависит не только от $p\mathrm{,}$ но и от $\tau \mathrm{.}$ Поэтому траектории движений здесь начинают пересекаться. Значит, определения (f) и (g) на неавтономные процессы прямо не переносятся. Это является основной проблемой при распространении свойств автономных процессов на неавтономные (в том числе и периодические).

2.   Рекуррентные движения

Прежде всего, заметим, что пространство $\Gamma$ является полуметризуемым пространством с отделимой структурой как хаусдорфово компактное пространство (см. [8, с. 458]). Поэтому везде в дальнейшем мы будем считать $\Gamma$ именно полуметрическим пространством с отделимой структурой.

Напомним, что топологическое пространство $\Gamma$ называется  полуметрическим, если топология в нем индуцирована направленным семейством полуметрик ${\left(d_i\right)}_{i\in I},$ где множество индексов $I$ может иметь произвольную мощность (см., например, [8, с. 456]).

Напомним также, что функция $d_{\gamma }:\Gamma \times \Gamma \to [\mathrm{0,}+\infty )$ называется  полуметрикой, если она удовлетворяет следующим условиям:

(A) для всех $(p,q)\in \Gamma \times \Gamma$ 

                                                                  $d_{\gamma }(p,q)=d_{\gamma }(q,p);$

(B) для всех $p\in \Gamma$ 

                                                                         $d_{\gamma }(p,p)=\mathrm{0,}$

а случай

                                                                         $d_{\gamma }(p,q)=0$

не исключается при $q\ne p\mathrm{<mo>;</mo>}$

(C) для всех $p\in \Gamma \mathrm{,}q\in \Gamma$ и $r\in \Gamma$ выполнено неравенство треугольника

                                                         $d_{\gamma }(p,q)\le d_{\gamma }(p,r)+d_{\gamma }(r,q).$

И, наконец, напомним, что семейство полуметрик ${\left(d_i\right)}_{i\in I}$ называется  направленным, если для любой конечной части $J\subset I$ найдется такое $k\in I\mathrm{,}$ что $d_k\ge d_j$ для всех $j\in J\mathrm{.}$ Если же для каждой пары $p\ne q$ найдется такая полуметрика $d_{\gamma }\mathrm{,}$ что

                                                                         $d_{\gamma }(p,q)>\mathrm{0,}$

то будем говорить, что пространство $\Gamma$ снабжено  отделимой структурой (см. [8, с. 456]).

Полуметрики на $\Gamma$ мы определим следующим образом.

Зафиксируем некоторое непустое открытое множество ${\Gamma }_0\subset \Gamma$ и зададим непрерывное отображение $\gamma :\Gamma \to [\mathrm{0,}+\infty ),$ такое, что $\gamma \left(p\right)>\mathrm{0,}$ если $p\in {\Gamma }_0\mathrm{,}$ и $\gamma \left(p\right)=0$ в противном случае. Тогда, очевидно, равенство

                                                              $d_{\gamma }(p,q)=\left|\gamma \right(p)-\gamma (q\left)\right|$

дает полуметрику $d_{\gamma }$ на $\Gamma$ (см. [8, с. 457]).Изменяя функцию $\gamma \mathrm{,}$ мы можем получать различные полуметрики $d_{\gamma }\mathrm{.}$ Значит, всегда можно построить семейство полуметрик ${\left(d_i\right)}_{i\in I_0},$ которое будет направленным. При этом всегда можно добиться того, что для двух любых точек $p\ne q$ нашлась полуметрика $d_{\gamma }\mathrm{,}$ для которой $d_{\gamma }(p,q)>0.$ Проделав эту процедуру на всех непустых открытых множествах ${\Gamma }_0\subset \Gamma \mathrm{,}$ мы превратим $\Gamma$ в полуметрическое пространство с отделимой структурой, где топология вводится семейством полуметрик ${\left(d_i\right)}_{i\in I}.$

Пример 2.1. Важным примером секвенциально компактного полуметрического пространства $\Gamma$ с отделимой структурой может служить компактное топологическое многообразие $V$ (см., например, [4, 9]).

Чтобы привести простейший пример периодического процесса на $V\mathrm{,}$ предположим, что $V$ $—$ дифференцируемое многообразие размерности $n$ в аффинном пространстве $E$ размерности $\nu$ над полем $ℝ\mathrm{,}$ принадлежащее классу $C^2\mathrm{.}$ Обозначим через $\overleftarrow{E}$ $—$ векторное пространство, присоединенное к $E\mathrm{.}$ Пусть для всех $x\in V$ и $t\in ℝ$ в векторном пространстве $\overleftarrow{T}(x;V)\subset \overleftarrow{E},$ касательном к $V$ в точке $x\mathrm{,}$ лежит вектор $\overleftarrow{X}(x,t),$ и пусть отображение $\overleftarrow{X}:V\times ℝ\to \overleftarrow{T}(x;V)$ непрерывно и локально удовлетворяет условию Липшица по $x\mathrm{.}$ И, наконец, будем считать, что

                                                                 $\overleftarrow{X}(x,t+1)\equiv \overleftarrow{X}(x,t).$

Рассмотрим дифференциальное уравнение

                                                                        $\frac{\overleftarrow{dx}}{dt}=\overleftarrow{X}(x,t).$                                                        (2.1)

Если многообразие $V$ компактно, то, действуя стандартным образом, несложно показать, что любое непродолжаемое решение $x=f(\tau ,t,p)$ уравнения (2.1) с начальными значениями $(\tau ,p)\in ℝ\times V$ определено для всех $t\in ℝ$ (см., например, [8, с. 34]). Отсюда непосредственно следует, что отображение $f:ℝ\times ℝ\times V\to V$ $—$ периодический процесс.

Определение 2.1. Пусть $f$ $—$ периодический процесс, и пусть $f(\tau ,t,p)$ $—$ некоторое движение. Предположим, что для каждого $\epsilon >0$ существует такое $N_{\epsilon }\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ что для всех $t\in ℝ$ 

                                              $d_i\left(f\right(\tau ,t,p),f(\tau ,t+N_{\epsilon },p\left)\right)<\epsilon ,i\in I.$                              (2.2)

 Тогда будем говорить, что $f(\tau ,t,p)$ $—$ рекуррентное движение.

В силу равенства (2) несложно заметить, что если $f(\tau ,t,p)$ $—$ рекуррентное движение, то найдется такая последовательность натуральных чисел ${\left(N_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}\uparrow +\infty ,$ что

                                      $\underset{k\to +\infty }{lim}\underset{t\in ℝ}{sup}{d}_i\left(f\right(\tau ,t,p),f(\tau ,t+N_k,p\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I,$

и обратно. Существование рекуррентных (в смысле определения 2.1) движений устанавливает следующая

Теорема 2.1. Пусть $f$ $—$ периодический процесс, и пусть $f(\tau ,t,p)$ $—$ некоторое движение. Тогда из любой последовательности натуральных чисел ${\left(N_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}\uparrow +\infty$ можно выбрать такую ее подпоследовательность ${\left(N_{k_l}\right)}_{l\in \mathbb{N}}\uparrow +\infty ,$ что существуют рекуррентные движения $f(\tau ,t,q)$ и $f(\tau ,t,r),$ удовлетворяющие следующим условиям:

(i) равномерно на каждом отрезке $[a,b]\subset ℝ$ 

                                          $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,t+N_{k_l},p),f(\tau ,t,q\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I,$

и

                                          $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,t-N_{k_l},p),f(\tau ,t,r\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I;$

(ii) равномерно на всей оси $ℝ$ 

                                   $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,t+N_{k_{l+1}}-N_{k_l},q),f(\tau ,t,q\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I,$

и

                                    $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,t-N_{k_{l+1}}+N_{k_l},r),f(\tau ,t,r\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I.$

 

 

Доказательство. Очевидно, что для доказательства теоремы 2.1 достаточно установить существование рекуррентного движения $f(\tau ,t,q),$ удовлетворяющего условиям (i) и (ii). Проделаем это.

Для всех $N=\mathrm{1,2,}\dots$ положим

                                                                     $p_N=f(\tau ,N,p).$                                                     (2.3)

Тогда в силу периодичности процесса $f$ несложно заметить, что

                                       $p_{N+m}=f(\tau ,m,p_N),N=\mathrm{1,2,}\dots ,m=\mathrm{0,1,}\dots$                      (2.4)

Пусть ${\left(N_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}\uparrow +\infty$ $—$ произвольная последовательность натуральных чисел. В соответствии с ${\left(N_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ из ${\left(p_N\right)}_{N\in \mathbb{N}}$ выберем последовательность ${\left(p_{N_k}\right)}_{k\in \mathbb{N}}.$ В силу секвенциальной компактности пространства $\Gamma$ из ${\left(p_{N_k}\right)}_{k\in \mathbb{N}}$ можно извлечь такую ее подпоследовательность ${\left(p_{N_{k_l}}\right)}_{l\in \mathbb{N}},$ что для некоторой точки $q\in \Gamma$ 

                                                            $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i(p_{N_{k_l}},q)=\mathrm{0,}i\in I,$

и $f(\tau ,t,q)$ $—$ движение, расположенное в $\Gamma \mathrm{.}$

Поскольку отображение $(\tau ,t,x)\to f(\tau ,t,x)$ непрерывно и пространство $\Gamma$ компактно, множество $P$ функций

                                                        $t\to f(\tau ,t,p_N),N=\mathrm{1,2,}\dots ,$

определенных при $t\in ℝ\mathrm{,}$ равностепенно непрерывно на произвольном отрезке $[a,b]\subset ℝ$ (см. [9]). Поэтому согласно теореме Арцела $–$ Асколи равномерно на каждом отрезке $[a,b]\subset ℝ$ 

                                             $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,t,p_{N_{k_l}}),f(\tau ,t,q\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I,$                             (2.5)

 (см. [8, с. 489]). Аналогичным образом, множество $Q$ функций

                                                      $t\to f(\tau ,t\pm m,q),m=\mathrm{0,1,}\dots ,$

определенных на отрезке $\left[\mathrm{0,1}\right],$ равностепенно непрерывно на $\left[\mathrm{0,1}\right].$ Следовательно, его замыкание $\overline{Q}$ компактно в топологии равномерной сходимости.

Для всех $l=\mathrm{1,2,}\dots$ обозначим через $P_{N_{k_l}}$ $—$ множество функций

                                                     $t\to f(t+m,p_{N_{k_l}}),m=\mathrm{0,1,}\dots ,$

определенных на отрезке $\left[\mathrm{0,1}\right],$ а через $Q_0\subset Q$ $—$ множество функций

                                                        $t\to f(t+m,q),m=\mathrm{0,1,}\dots ,$

также определенных на $\left[\mathrm{0,1}\right].$ Тогда в силу равенств (2.3) и (2.5)

                                                                         ${\overline{Q}}_0\subset {\displaystyle \underset{l\ge 1}{\cap }}{\overline{P}}_{N_{k_l}}\mathrm{,}$                                                         (2.6)

где ${\overline{P}}_{N_{k_l}}$ и ${\overline{Q}}_0$ $—$ замыкания множеств $P_{N_{k_l}}$ и $Q_0$ соответственно.

Пусть

                                                       ${\Delta }_{N_{k_l}}=N_{k_{l+1}}-N_{k_l},l=\mathrm{1,2,}\dots$

Принимая во внимание равенство (2.4), заметим, что

                                                             $p_{N_{k_{l+1}}}=f(\tau ,{\Delta }_{N_{k_l}},p_{N_{k_l}}).$

Следовательно, согласно равенству (2.5)

                                                 $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i(\tau ,f({\Delta }_{N_{k_l}},p_{N_{k_l}}),q)=\mathrm{0,}i\in I.$                                (2.7)

Более того, так как пространство $\Gamma$ секвенциально компактно, то без какой-либо потери общности можем считать, что найдется такая точка $q^{*}\in \Gamma ,$ что существует предел

                                                   $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,{\Delta }_{N_{k_l}},q),q^{*})=\mathrm{0,}i\in I.$                                  (2.8)

Заметим теперь, что в пространстве $\Gamma$ введена отделимая полуметрическая структура. Поэтому, если $q\ne q^{*},$ то существует такая полуметрика $d_{\gamma }\mathrm{,}$ что

                                                                        $d_{\gamma }(q,q^{*})>0.$

Тогда в силу равенств (7) и (8) найдется такое положительное число $\epsilon >\mathrm{0,}$ что при всех $l=\mathrm{1,2,}\dots$ 

                                                $d_{\gamma }\left(f\right(\tau ,{\Delta }_{N_{k_l}},p_{N_{k_l}}),f(\tau ,{\Delta }_{N_{k_l}},q\left)\right)\ge \epsilon .$                                (2.9)

В этом случае движение $f(\tau ,t,q)$ не является периодическим движением с натуральным периодом. Значит,

                                                                       $\underset{l\ge 1}{sup}{\Delta }_{N_{k_l}}=+\infty$                                                     (2.10)

 и

                                                             $\underset{l\ge 1}{sup}({\Delta }_{N_{k_{l+1}}}-{\Delta }_{N_{k_l}})=+\infty .$                                           (2.11)

 

Для простоты обозначений положим

                                                            $t_{k_l}={\Delta }_{N_{k_l}}+\mathrm{1,}l=\mathrm{1,2,}\dots$

Тогда согласно неравенству (2.9) для всех $l=\mathrm{1,2,}\dots$ 

                                                   $\underset{0\le t\le t_{k_l}}{max}{d}_{\gamma }\left(f\right(\tau ,t,p_{N_{k_l}}),f(\tau ,t,q\left)\right)\ge \epsilon .$

Поэтому в силу равенства (2.5) без какой-либо потери общности можем считать, что существует такая последовательность положительных чисел ${\left({\epsilon }_l\right)}_{l\in \mathbb{N}}\downarrow \mathrm{0,}$ что

                                                   $\underset{0\le t\le t_{k_l}}{max}{d}_{\gamma }\left(f\right(\tau ,t,p_{N_{k_l}}),f(\tau ,t,q\left)\right)\ge \epsilon$                                 (2.12)

 и

                                                 $\underset{0\le t\le t_{k_l}}{max}{d}_{\gamma }\left(f\right(\tau ,t,p_{N_{k_{l+1}}}),f(\tau ,t,q\left)\right)<{\epsilon }_l.$                              (2.13)

Согласно (2.10) объединение

                                                                             $\underset{l\ge 1}{\cup }\left[\mathrm{0,}{t}_{k_l}\right]$

расширяющихся отрезков

                                                    $\left[\mathrm{0,}{t}_{k_1}\right]\subset \left[\mathrm{0,}{t}_{k_2}\right]\subset \dots \subset \left[\mathrm{0,}{t}_{k_l}\right]\subset \dots$

исчерпывает всю полуось $[\mathrm{0,}+\infty ),$ а на каждом отрезке $\left[\mathrm{0,}{t}_{k_l}\right]$ выполнены неравенства (2.12) и (2.13). Последнее, однако, в силу равенства (2.11) и включения (2.6) невозможно.

Полученное противоречие означает, что вне зависимости от периодичности движения $f(\tau ,t,q)$ 

                                                    $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,{\Delta }_{N_{k_l}},q),q)=\mathrm{0,}i\in I.$

Следовательно, равномерно на каждом отрезке $[a,b]\subset ℝ$ 

                                         $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(\tau ,t+{\Delta }_{N_{k_l}},q),f(\tau ,t,q\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I.$                       (2.14)

Кроме того, поскольку множество $\overline{Q}$ компактно, то согласно равенству (2.14)

                                                                       $\overline{Q}=\underset{l\ge 1}{\cap }{g}^{{\Delta }_{N_{k_l}}}\overline{Q}$                                                     (2.15)

 (см. [9]).

Предположим, что сходимость в (2.14) не равномерна на всей оси $ℝ\mathrm{.}$ Тогда существуют такие $\epsilon >0$ и $j\in I\mathrm{,}$ что для всех $l=\mathrm{1,2,}\dots$ 

                                                 $\underset{t\in ℝ}{sup}{d}_j\left(f\right(\tau ,t+{\Delta }_{N_{k_l}},q),f(\tau ,t,q\left)\right)\ge \epsilon .$

Поэтому найдутся такие последовательности ${\left({\epsilon }_l\right)}_{l\in \mathbb{N}}\uparrow \epsilon$ положительных и ${\left(m_l\right)}_{l\in \mathbb{N}}\uparrow +\infty$ натуральных чисел, что

                                         ${\delta }_l=\underset{-m_l\le t\le m_l}{max}{d}_j\left(f\right(\tau ,t+{\Delta }_{N_{k_l}},q),f(\tau ,t,q\left)\right)\ge {\epsilon }_l.$

Следовательно,

                                                                       $\underset{l\to +\infty }{lim}\sup {\delta }_l\ge \epsilon .$

Последнее, однако, противоречит равенству (2.15). Значит, сходимость в равенстве (2.14) равномерна на всей оси $ℝ\mathrm{.}$ Отсюда в силу определения 2.1 непосредственно следует, что $f(\tau ,t,q)$ $—$ рекуррентное движение.

Очевидно, что теорема 2.1 фактически устанавливает взаимоотношение движений в секвенциально компактном пространстве $\Gamma \mathrm{.}$ При этом необходимо отметить, что предположение о секвенциальности пространства $\Gamma$ выглядит вполне естественным и прямо связано с определением 2.1.

3.   Автономный случай

Для полноты картины обратимся к рассмотрению автономного процесса и заметим, что согласно теоремам 2.1 и 3.1 работы [9] справедлива следующая

Теорема 3.1. Пусть $f$ $—$ автономный процесс, и пусть $f(t,p)$ $—$ некоторое движение. Тогда из любой последовательности натуральных чисел ${\left(N_k\right)}_{k\in \mathbb{N}}\uparrow +\infty$ можно выбрать такую ее подпоследовательность ${\left(N_{k_l}\right)}_{l\in \mathbb{N}}\uparrow +\infty ,$ что существуют рекуррентные (в смысле определения (g)) движения $f(t,q)$ и $f(t,r),$ удовлетворяющие следующим условиям:

(i $\mathrm{<mo>\text{'}</mo>}$ ) равномерно на каждом отрезке $[a,b]\subset ℝ$ 

                                              $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(t+N_{k_l},p),f(t,q\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I,$

и

                                              $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(t-N_{k_l},p),f(t,r\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I;$

(ii $\text{'}$) равномерно на всей оси $ℝ$ 

                                       $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(t+N_{k_{l+1}}-N_{k_l},q),f(t,q\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I,$

и

                                        $\underset{l\to +\infty }{lim}{d}_i\left(f\right(t-N_{k_{l+1}}+N_{k_l},r),f(t,r\left)\right)=\mathrm{0,}i\in I.$

Таким образом, в силу теорем 2.1 и 3.1 настоящей работы видим, что в секвенциально компактном пространстве $\Gamma$ для автономного процесса $f$ определения 2.1 и (g) эквивалентны. При этом необходимо отметить, что в условиях теоремы 3.1 $\omega$ - и $\alpha$ -предельные множества движения $f(t,p)$ являются секвенциально компактными минимальными множествами (см. [9]). Следовательно, теорема 3.1 устанавливает полное взаимоотношение движений автономных процессов в $\Gamma \mathrm{.}$

Об авторах

Сергей Михайлович Дзюба

ФГБОУ ВО «Тверской государственный технический университет»

Автор, ответственный за переписку.
Email: sdzyuba@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2981-8549

доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных систем

Россия, 170026, Тверь, наб. Афанасия Никитина, 22

Список литературы

Дополнительные файлы