О распространении теоремы Чаплыгина на дифференциальные уравнения нейтрального типа

Полный текст

Введение Для исследования функционально-дифференциальных уравнений в случае, если со- ответствующие отображения не действуют в пространствах суммируемых функций, стандартные методы анализа часто бывают неэффективными, либо для их применения требуются дополнительные построения, в частности, определение специальных подпро- странств пространства абсолютно непрерывных функций, в которых соответствующие операторы становятся регулярными. Такие уравнения называют сингулярными. Сингу- лярности могут быть вызваны, например, несуммируемыми коэффициентами. Сингу- лярными часто являются уравнения нейтрального типа, то есть уравнения, содержащие композицию x_ (g()) производной искомой функции x и заданной функции g: Эта ком- позиция не обязательно будет суммируемой для произвольной суммируемой функции x_ без достаточно обременительных требований на функцию g (см. [1, с. 707], [2, §1.3]). Для линейных функционально-дифференциальных уравнений с несуммируемыми ко- эффициентами такое пространство было предложено в [3]. Нелинейные неявные (не разрешенные относительно производной) сингулярные дифференциальные уравнения с несуммируемыми особенностями рассматривались в [4, 5], исследование основывалось на утверждениях о липшицевых возмущениях накрывающих отображений метрических пространств (см., например, [6]). Отметим, что начало применению таких утверждений в теории дифференциальных уравнений положила работа [7]. В данной работе рассматривается уравнение нейтрального типа, в котором компо- зиция x_ (g()) может быть несуммируемой, а уравнение может иметь и другие сингу- лярности. Предлагается подход, отличный от использованного в цитируемых работах, основанный на результатах [8, 9] о точках совпадения накрывающего и изотонного отоб- ражений, действующих в частично упорядоченных пространствах. Идея исследования дифференциальных и интегральных уравнений на основании результатов об упорядо- ченно накрывающих отображениях была предложена Е.С. Жуковским в [10, 11]. Статья состоит из двух разделов. В первом разделе приведены необходимые для исследования сведения об упорядоченно накрывающих отображениях и теоремы о точке совпадения, полученные в [8]. Во втором разделе доказывается теорема о существовании и оценке решения задачи Коши для сингулярного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, аналогичная известной теореме Чаплыгина. 1. Точки совпадения отображений в упорядоченных пространствах Пусть заданы частично упорядоченные пространства X = (X; X ); Y = (Y; Y ) и определены отображения ; ' : X ! Y: Сформулируем полученные в [8] условия существования точки совпадения отображений ; ' решения уравнения (x) = '(x): Обозначим OX(u) := fx 2 X : x X ug; [v; u]X := fx 2 X : v x ug; где u; v заданные элементы пространства X такие, что v u: О п р е д е л е н и е 1. Отображение ' : X ! Y называется изотонным на мно- жестве U X; если для любых x; u 2 U таких, что x X u; выполнено '(x) Y '(u): О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ЧАПЛЫГИНА 275 О п р е д е л е н и е 2. [8] Отображение : X ! Y называется (упорядоченно) на- крывающим множество W Y; если 8u 2 X 8y 2 W y Y (u) ) 9x 2 X (x) = y и x X u: Определим совокупность S( ; ';U;W) цепей S X; удовлетворяющих условиям: S U; (S) W; 8 x 2 S '(x) Y (x); 8 x; u 2 S x X u ) (x) Y '(u): Теорема 1. [8] Пусть существует такой элемент x0 2 X; что '(x0) Y (x0) и выполнены условия: (1.a) отображение ' является изотонным на множестве U := OX(x0); (1.b) отображение упорядоченно накрывает множество W := '(OX(x0)); (1.c) произвольная цепь S 2 S( ; '; U;W) имеет нижнюю границу u 2 X; для кото- рой справедливо неравенство '(u) Y (u): Тогда в множестве U существует точка совпадения отображений и '; и в множестве fx 2 U : (x) = '(x)g существует минимальный элемент. Теорема 2. [8] Пусть существуют такие элементы x0; z0 2 X; что z0 X x0; (z0) Y '(z0); '(x0) Y (x0) и выполнены условия: (2.a) отображение ' является изотонным на отрезке U := [z0; x0]; (2.b) сужение отображения на множество U упорядоченно накрывает отрезок W := ['(z0); '(x0)]; (2.c) любая цепь S 2 S( ; ';U;W) имеет нижнюю границу u 2 U; для которой справедливо неравенство '(u) Y (u): Тогда на отрезке U существует точка совпадения отображений и '; и в мно- жестве точек совпадения fx 2 U : (x) = '(x)g существует минимальный элемент. 2. Функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа Обозначим через меру Лебега на [0; 1]; символами M и L обозначим простран- ства измеримых и, соответственно, суммируемых по Лебегу функций y : [0; 1] ! R: Считаем, что на пространствах M; L определен естественный порядок: y z; если y(t) z(t); при п.в. t 2 [0; 1]: Пусть определены измеримые функции g; h : [0; 1] ! [0; 1] и функция f : [0; 1] R ! R; удовлетворяющая условиям Каратеодори, то есть измеримая по первому аргументу и непрерывная по второму аргументу. Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение x_ ((g(t)) = f t; x(h(t)) ; t 2 [0; 1]: (1) Решением уравнения (1) называем абсолютно непрерывную функцию функцию, удо- влетворяющую этому уравнению при п.в. t 2 [0; 1]: Задачей Коши для уравнения (1) называют задачу нахождения решения, которое удовлетворяет начальному условию x(0) = ; 2 R: (2) 276 Т. В. Жуковская, О. В. Филиппова, А. И. Шиндяпин Отметим, что для функции f не предполагаются выполненными условия, обеспе- чивающие действие соответствующего оператора суперпозиции (называемого ѕоперато- ром Немыцкогої) из пространства существенно ограниченных функций в пространство суммируемых функций. В силу условий Каратеодори можно лишь гарантировать, что для любой непрерывной функции x функция t 7! f t; x(h(t)) измерима. Пусть функция g удовлетворяет следующему условию (называемому в литературе ѕусловием независания графикаї) 8e [0; 1] (e) = 0 ) (g 1(e)) = 0 (3) Условие (3) необходимо и достаточно для выполнения включения y(g()) 2 M при всех y 2 M (см. [2, §1.3]). Теорема 3. Пусть абсолютно непрерывные функции v;w : [0; 1] ! R удовлетво- ряют соотношению v(0) = w(0) = и при п.в. t 2 [0; 1] неравенствам w_ (t) v_(t); v_(g(t)) f t; v(h(t)) ; w_ (g(t)) f t;w(h(t)) : Пусть при п.в. t 2 [0; 1] сужение функции f(t; ) на отрезок D(t):= [w(h(t)); v(h(t))] является неубывающей функцией, функция g инъективна п.в на [0; 1] и наряду с усло- вием (3) для нее справедливо еще условие 8e [0; 1] (e) = 0 ) (g(e)) = 0: (4) Тогда существует решение x задачи Коши (1), (2), удовлетворяющее п.в. на [0; 1] неравенству w_ (t) x_ (t) v_(t): Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем задачу (1), (2) относительно y = x_ в виде урав- нения y(g(t)) = f t; + Z 1 0 [0;h(t)](s) y(s) ds ; t 2 [0; 1]; (5) где символом e() : [0; 1] ! [0; 1] обозначена характеристическая функция множества e [0; 1]: Уравнение (5) это уравнение вида y = 'y; в котором отображения ; ' : L ! M определены формулами ( y)(t):= y(g(t)); ('y)(t):= f t; + Z 1 0 [0;h(t)](s) y(s) ds ; y 2 L Покажем, что эти отображения удовлетворяют условиям теоремы 2. Вследствие предположений на функции v;w справедливы неравенства w_ v_ ; w_ 'w_ ; v_ 'v_ : Обозначим через U := [w_ ; v_ ] L множество измеримых сечений измеримого многознач- ного отображения t 2 [0; 1] 7! U(t) := [w_ (t); v_(t)]: Так как функция f(t; ) : D(t) ! R не убывает, отображение ' является изотонным на U; то есть справедливо условие (2.a). О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ЧАПЛЫГИНА 277 Покажем, что сужение отображения на множество U упорядоченно накрыва- ет отрезок W := ['w_ ; 'v_ ] M: Вначале докажем, что область определения g([0; 1]) функции g 1 есть измеримое множество, а сама функция является измеримой. Обо- значим I0 := [0; 1]: Согласно теореме Лузина (см. [12, теорема VI.6.4]) существует за- мкнутое множество I1 I0 такое, что (I0 n I1) < 2 1 и сужение функции g на I1 непрерывно. Из компактности множества I1 следует, что множество g(I1) компакт- но и поэтому измеримо. Далее, вновь в силу теоремы Лузина существует замкнутое множество I2 I0 n I1 такое, что (I0 n (I1 [ I2)) < 2 2 и сужение функции g на I2 непрерывно, следовательно множество g(I2) измеримо. Повторяя эту процедуру, при каждом n = 1; 2; : : : определим замкнутое множество In I0 n Sn 1 j=1 Ij такое, что (I0 n Sn j=1 Ij < 2 n и сужение функции g на In непрерывно, а множество g(In) из- меримо. Определим множество bI := I0 n S1 j=1 Ij ; для которого, очевидно, выполнено (bI) = 0: Из предположения (4) следует, что множество g([0; 1]) измеримо и его мера равна (g(I0)) = (g(bI)) + X1 j=0 (g(Ij)) = (g(I0)): Для доказательства измеримости функции g 1 : g(I0) ! I0 выберем произвольное число A 2 I0 и заметим, что множество Лебега ft : g 1(t) Ag = g([A; 1]) измеримо. Доказательство этого факта повторяет доказательство измеримости множества g(I0): Обозначим через W := ['w_ ; 'v_ ] M: Для доказательства условия (2.b) определим произвольные функции u 2 U; y 2 W такие, что y u; то есть w_ (g(t)) = ( w_ )(t) ('w_ )(t) y(t) u(g(t)) ('v_)(t) ( v_)(t) = v_(g(t)); t 2 [0; 1]: Определим функцию z(t)= y(g 1(t); при t 2 g([0; 1]); u(t); при t =2 g([0; 1]): Поскольку функция g 1 измерима и справедливо условие (4), функция z измерима. Имеем v_ z u и ( z)(t) = z(g(t)) = y(t): Итак, сужение отображения на множе- ство U упорядоченно накрывает отрезок W: Проверим условие (2.c). Пусть задана произвольная цепь S U такая, что для каждого элемента u 2 S справедливо u(g(t)) = ( u)(t) ('u)(t): Эта цепь, очевидно, имеет точную нижнюю границу, положим := inf S: При в.в. t 2 [0; 1] выполнено (t) = inffu(t) : u 2 Sg и существует невозрастающая последовательность элементов uj 2 S; для которой limj!1 uj(t) = (t): Очевидно, справедливо соотношение (g(t)) uj(g(t)) = ( uj)(t) ('uj)(t); j = 1; 2; : : : : Согласно теореме Леви (см. [12, теорема VIII.4.2]) при в.в. t 2 [0; 1] имеет место сходи- мость Z 1 0 [0;h(t)](s) uj(s) ds ! Z 1 0 [0;h(t)](s) (s) ds : 278 Т. В. Жуковская, О. В. Филиппова, А. И. Шиндяпин Следовательно, так как функция f удовлетворяет условиям Каратеодори, получаем ('uj)(t) = f t; + Z 1 0 [0;h(t)](s) uj(s) ds ! f t; + Z 1 0 [0;h(t)](s) (s) ds = (')(t): А поскольку при предельном переходе для числовых последовательностей неравенство сохраняется, получаем ( )(t) (')(t): Итак, все условия теоремы 2 выполнены. Таким образом, существует решение уравнения (5), принадлежащее множеству U: Тогда задача Коши также разрешима и производная ее решения это функция 2 U: Проиллюстрируем применение теоремы 3. П р и м е р 1. Рассмотрим уравнение x_ (t2) = x2(t) t2 + p t ; t 2 [0; 1]; (6) с начальным условием x(0) = 0: (7) Заметим, что в рассматриваемом уравнении правая часть для некоторых абсолютно непрерывных x может быть несуммируемой функций, композиция x_ (t2) тоже возмож- но является несуммируемой функцией. Используя теорему 3, покажем, что при достаточно малых > 0 задача (6), (7) разрешима. Положим w(t) 0; v(t) = k p t; где коэффициент k > 0 будет определен ниже так, чтобы выполнялись условия теоремы 3. Для данных функций w; v имеем 0 = w_ (t2) w2(t) t2 + p t = p t ; v_(t2) = k 2t ; v2(t) t2 + p t = k2 t + p t : Легко видеть, что при < 1=8 будет выполнено неравенство v_(t2) v2(t) t2 + p t , k 2t k2 t + p t ; если значение k выбрать любым из интервала 4 1(1 p 1 8); 4 1(1 + p 1 8) : Остается заметить, что функция f(t; x) = x2 t2 + p t является возрастающей по x при x 2 [0; k p t]:

Об авторах

Татьяна Владимировна Жуковская

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет»

Email: t_zhukovskaia@mail.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106

Ольга Викторовна Филиппова

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина»

Email: philippova.olga@rambler.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33

Андрей Игоревич Шиндяпин

Университет имени Эдуардо Мондлане

Email: andrei.olga@tvcabo.co.mz
доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и информатики 3453, Мозамбик, г. Мапуто, ул. Джулиуса Нейрере

Список литературы

Дополнительные файлы