Projective congruent symmetric matrices enumeration

Full Text

Введение Выявление (единственного) нормального вида конгруэнтных симметричных матриц существенно зависит от схемы квадратичных форм основного кольца. Над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеалом J; 1 + J R2 и схемой квадра- тичных форм порядка 2 нормальный вид относительно конгруэнтности квадратичных форм (соответственно, симметричных матриц) выявлен в [1], там же найдено число классов проективно конгруэнтных квадратичных форм при условии нильпотентности максимального идеала (см. также [2]), число классов проективно эквивалентных квад- рик найдено в [3]. Для локального кольца R = 2R с главным максимальным идеалом J; 1+J R2 и схемой квадратичных форм порядка 4, изоморфной L1;1 L1;0 или L1;0 L1;0; нор- мальный вид, а также, при условии нильпотентности J; число класов проективно кон- груэнтных и проективно эквивалентных квадрик выявлено в [3]. В настоящей работе решается задача перечисления классов конгруэнтных и проек- тивно конгруэнтных симметричных матриц над локальным кольцом R = 2R с условием jR : R2j = 4 и схемой квадратичных форм, изоморфной L1 L1;1: 1. Основные понятия Пусть R = 2R ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, R мульти- пликативная группа кольца, R2 подгруппа квадратов. Проективное пространство RPn 1 над R определено в [2]. Квадратичные формы и соответствующие им симметричные матрицы A и B назы- ваем проективно конгруэнтными, если существуют k 2 R и U 2 GL(n;R) такие, что kA = UBUT : В случае k = 1 квадратичные формы (соответственно, симметричные матрицы) называем конгруэнтными. Квадрикой проективного пространства RPn 1 на- зываем проективное многообразие его точек Rv; определенное уравнением vAvT = 0 с ненулевой симметричной (n n) -матрицей A над R: Квадрики, переводимые друг в друга проективностью, называются проективно эквивалентными [3]. Решение задачи перечисления конгруэнтных и проективно конгруэнтных классов квадратичных форм основано на выявлении (единственного) нормального вида соот- ветствующих им симметричных матриц и связано с теорией схем квадратичных форм. 206 О. А. Старикова Для a = rR2 и b = sR2 положим D(a; b) = ftR2jt 2 (rR2 + sR2) T Rg: Группа G = R=R2 вместе с отображением a 7! D(1; a) и элементом 1 называют схемой квадратичных форм R: При условии jR : R2j = 2 существует три схемы квадратич- ных форм, обозначаемые L1; L1;1 и L1;0: Для схем квадратичных форм определены операции группового произведения и группового расширения [4]. Схемы квадратич- ных форм порядка 4 могут быть представлены как групповые произведения L1 L1;1; L1;1 L1;0; L1;0 L1;0 и как групповые расширения L1[t]; L1;1[t]; L1;0[t]: 2. Основные результаты Пусть R = 2R локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = h"i; 1 + J R2; jR : R2j = 4: Пусть R=R2 = f1; 1; p; pg и D(1; 1) = D(1; p) = f1; pg; D(1; 1) = D(1; p) = f1; 1; p; pg: Тогда схема квадратичных форм локального кольца R изоморфна L1 L1;1: Теорема 2.1. Всякая ненулевая симметричная матрица над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеалом J = h"i; 1+J R2; jR : R2j = 4; схема квадратичных форм которого изоморфна L1 L1;1; конгруэнтна в точности одной матрице вида diag(A1"i1 ; : : : ;Aq"iq ;O); 0 6 i1 < < iq; "iq 6= 0; где для j = 1; : : : ; q имеем Aj = diag(|1; :{:z: ; 1} n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ; ); причем для любой матрицы Aj выполняется условие: либо 2 f1; pg и n 1 = 0; либо 2 f 1; pg: Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае, когда R = 2R есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = h"i; 1+J R2; всякая ненулевая симметричная матрица над R конгруэнтна диагональной матрице diag(k1"t1 ; : : : ; kr"tr ; 0; : : : ; 0) с однозначно определенными показателями 0 t1 tr; "tr 6= 0 и ki 2 R=R2 [1]. Таким образом, всякая невырожденная симметричная (n n) -матрица конгруэнтна по модулю J матрице вида diag 0 @1; : : : ; 1 | {z } n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ; |p; :{:z: ; p} np ; | p; :{:z: ; p} n p 1 A; n1+n 1+np+ n p = n: Покажем, что эта матрица конгруэнтна матрице вида A = diag 0 @1; : : : ; 1 | {z } n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ; 1 A; (2.1) для которой либо 2 f1; pg и n 1 = 0; либо 2 f 1; pg: Согласно [1] матрицы diag (a; ab) и diag (ka; kab) конгруэнтны тогда и только тогда, когда k 2 D(1; b) : Из условия D(1; 1) = f1; pg ; полагая k = p; a = 1; b = 1; получаем конгруэнтность матриц diag (1; 1) и diag (p; p) ; а также матриц diag ( 1; 1) ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ПРОЕКТИВНО КОНГРУЭНТНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ 207 и diag ( p; p) : При k = p; a = 1; b = 1 из условия D(1; 1) = f1; 1; p; pg получаем конгруэнтность diag (1; p) и diag ( 1; p) : Используя конгруэнтности diag (1; 1) и diag (p; p) ; diag ( 1; 1) и diag ( p; p) ; diag (1; p) и diag ( 1; p) получаем матрицу, на главной диагонали которой не бо- лее одного элемента, принадлежащего множеству fp; pg : В случае, если получена матрица вида diag 0 @|1; :{:z: ; 1} n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ; p 1 A и n 1 > 0; конгруэнтность diag ( 1; p) и diag (1; p) завершает приведение матрицы к виду (2.1). Покажем попарную не конгруэнтность (n n) -матриц вида (2.1). При n = 1 утвер- ждение очевидно. В случае n = 2 получаем шесть матриц, три из которых diag (1; 1) ; diag (1; 1) и diag ( 1; 1) имеют определитель 1; и три diag (1; p) ; diag (1; p) и diag ( 1; p) имеют определитель p: Матрицы diag (1; 1) ; diag (1; 1) и diag ( 1; 1) попарно не конгруэнтны в силу условия D(1; 1) = f1; pg ; попарная не конгруэнтность матриц diag (1; p) ; diag (1; p) и diag ( 1; p) вытекает из условия D(1; p) = f1; pg : Предположим, что для всех n < r любые две различные (n n) -матрицы ви- да (2.1) не конгруэнтны. Рассмотрим матрицы ранга r: Заметим, что определите- ли конгруэнтных матриц совпадают по модулю R2: Поэтому матрица вида (2.1) с элементом 2 f1; 1g не конгруэнтна матрице при условии 2 fp; pg: Пусть A1 = diag 0 B @ 1 ; : : : ; 1 | {z } n11 ; | 1; :{:z: ; 1} n1 1 1 CA ; A2 = diag 0 B@ |1; :{:z: ; 1} n21 ; | 1; :{:z: ; 1} n2 1 1 CA и n11 6= n21 : Дока- жем, что A1 и A2 не конгруэнтны. Обозначим n1 = min fn11 ; n21 g ; n 1 = min n1 1; n2 1 : Если n1 + n 1 > 0; то для матрицы A = diag 0 @1; : : : ; 1 | {z } n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 1 A получаем Ai = A Di; i = 1; 2; причем Di = diag 0 B@ |1; :{:z: ; 1} ni 1 n1 ; | 1; :{:z: ; 1} ni 1 n 1 1 CA ; ранг Di меньше r и D1 6= D2: Из конгруэнтности матриц A1 и A2 вытекает конгруэнтность матриц D1 и D2; что противоречит нашему предположению. Если n1 + n 1 = 0; то получаем матрицы E и E; не конгруэнтность которых следует из условия D(1; 1) = f1; pg : Аналогично, для матриц с определителем p достаточно показать не конгруэнт- ность матриц diag(1; :::; 1; p) и diag( 1; :::; 1; p): Предположение конгруэнтности этих матриц противоречит условию D(1; 1) = D(1; p) = f1; pg : Пусть q (m) -- совокупность упорядоченных наборов (m1; : : : ;mq) целых чисел mj > 0 с суммой m1 + + mq = m: Теорема 2.2. Число K классов конгруэнтных ненулевых симметричных (nn) - матриц над локальным кольцом R=2R с главным максимальным идеалом J =h"i сту- пени нильпотентности s; схема квадратичных форм которого изоморфна L1L1;1; 208 О. А. Старикова равно Pn m=1 minPfm;sg q=1 s q P (m1;:::;mq)2 q(m) Qq j=1 2 (mj + 1): Д о к а з а т е л ь с т в о. Их условия нильпотентности максимального идеала J получаем 1 + J R2: Рассмотрим матрицу вида diag(A1"i1 ; : : : ;Aq"iq ;O); 0 6 i1 < < iq; "iq 6= 0; где Aj = diag(|1; :{:z: ; 1} n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ; ) для j = 1; : : : ; q; причем для лю- бой матрицы Aj выполняется условие: либо 2 f1; pg и n 1 = 0; либо 2 f 1; pg: Обозначим число ненулевых элементов главной диагонали матрицы A через m; ран- ги невырожденных матриц A1; : : : ;Aq обозначим m1; : : : ;mq соответственно. Получаем m1+ +mq = m и mj > 0 для всех j = 1; : : : ; q: Пусть k(mj) число попарно не кон- груэнтных матриц ранга mj вида (2.1). Тогда число K классов ненулевых симметрич- ных (n n) -матриц над кольцом R равно Pn m=1 minPfm;sg q=1 s q P (m1;:::;mq)2 q(m) Qq j=1 k (mj): Осталось показать, что k (mj) = 2 (mj + 1) : В случае n 1 = 0 получаем две матри- цы diag(|1; :{:z: ; 1} mj ) и diag(|1; :{:z: ; 1} mj ; p): Если = 1; то получаем mj попарно не конгру- энтных матриц вида diag(|1; :{:z: ; 1} n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ); где (n1; n 1) принимают значения из множества f(mj 1; 1) ; (mj 2; 2) ; : : : ; (0;mj)g : Аналогично, при = p получаем mj попарно не конгруэнтных матриц вида diag(|1; :{:z: ; 1} n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ; p); где (n1; n 1) 2 f(mj 1; 0) ; (mj 2; 1) ; : : : ; (0;mj 1)g : Резюмируя, получаем k (mj) = 2 + 2mj : Пусть K1 = Xs q=1 2q s q [n/2] q ; ~K2 = [Xn/2] m=1 minXfm;sg q=1 s q X (m1;:::;mq)2 q(m) Yq j=1 2 (2mj + 1) и K число конгруэнтных классов, найденное в теореме 2.2. Теорема 2.3. Число N классов проективно конгруэнтных ненулевых симметрич- ных (n n) -матриц над локальным кольцом R = 2R с главным максимальным идеа- лом J = h"i ступени нильпотентности s; схема квадратичных форм которого изо- морфна L1 L1;1; равно 1 4 K + K1 + 2 ~K2 : Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим классы конгруэнтных симметричных матриц с точностью до проективной конгруэнтности. Заметим, что матрица diag(A1"i1 ; : : : ;Aq"iq ;O); 0 6 i1 < < iq; "iq 6= 0; где Aj = diag(|1; :{:z: ; 1} n1 ; | 1; :{:z: ; 1} n 1 ; ); j = 1; : : : ; q; причем для любой матрицы Aj либо 2 f1; pg и n 1 = 0; либо 2 f 1; pg; конгруэнтна матрице kA (k 2 R) тогда и только тогда, когда для всех j = 1; : : : ; q конгруэнтны Aj и kAj . ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ПРОЕКТИВНО КОНГРУЭНТНЫХ СИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ 209 Необходимым и достаточным условием конгруэнтности матриц Aj и pAj является четность ранга r(Aj): Матрица Aj конгруэнтна матрице Aj тогда и только тогда, когда 2 f 1; pg и 2n1 = r(Aj): Заметим, что при выполнении этих условий матрица Aj конгруэнтна также матрицам pAj и pAj : Класс конргуэнтных матриц с представителем diag(A1"i1 ; : : : ;Aq"iq ;O) является так- же классом проективно конгруэнтных матриц, только если для всех j = 1; : : : ; q клетки Aj удовлетворяют условиям 2 f 1; pg и 2n1 = r(Aj): Каждый такой класс харак- теризуется кортежем показателей (i1; : : : ; iq) ; набором четных значений r(Aj) и для каждого j одним из двух возможных значений : Следовательно, число K1 классов конгруэнтных матриц, инвариантных относительно проективной конгруэнтности для всех множителей из R=R2; равно K1 = Ps q=1 2q s q [n/2] q : В случае, когда все клетки Aj матрицы A соответственно конгруэнтны pAj ; но не конгруэнтны Aj и pAj ; класс проективно конгруэнтных матриц с представите- лем A представляет собой два класса конгруэнтных симметричных матриц. Обозначим число таких конгруэнтных классов K2: Найдем вначале число ~K2 классов конгруэнт- ных матриц с представителем diag(A1"i1 ; : : : ;Aq"iq ;O); все клетки Aj которого име- ют четные ранги. Рассуждениями, аналогичными доказательству теоремы 2.2, получа- ем ~K2 = [nP/2] m=1 minPfm;sg q=1 s q P (m1;:::;mq)2 q(m) Qq j=1 2 (2mj + 1): Откуда искомое число классов K2 = ~K2 K1: Пусть N число всех классов проективно конгруэнтных матриц, K4 число конгруэнтных классов с матрицей A; не конгруэнтной ни одной из матриц A; pA и pA: Тогда N = K1 + K2 + K4; причем K1 + 2K2 + 4K4 = K: Получаем N = 1 4 (4K1 + 4K2 + 4K4) = 1 4 (K + 3K1 + 2K2) = 1 4 K + K1 + 2 ~K2 :

About the authors

Olga A. Starikova

North-Eastern State University

Email: star-olga@yandex.ru
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higer Mathematics Department 13 Portovaja St., Magadan 685000, Russian Federation

References

Supplementary files