Existence of inverse function in a neighbourhood of a critical value

Full Text

1. Введение и постановка задачи Пусть задано отображение f : Rn ! Rk; точки x0 2 Rn; y0 := f(x0): Рассмотрим уравнение f(x) = y; (1) в котором x 2 Rn неизвестная, а y 2 Rk параметр. Нас будут интересовать условия существовании решения x(y) уравнения (1), определенного при каждом y из некоторой окрестности точки y0: Классическими утверждениями, гарантирующими существова- ние искомого решения x(y) уравнения (1), являются теоремы об обратной функции. Напомним некоторые известные формулировки этих теорем. Начнем с используемых обозначений и определений. Всюду далее норму в Rn и в Rk будем обозначать через j j; через ORk(v; r) будем обозначать открытый шар в Rk с центром в точке v 2 Rk радиуса r > 0; т. е. ORk(v; r) = fy 2 Rk : jy vj rg; v 2 Rk; r > 0: Для произвольного линейного оператора A : Rn ! Rk обозначим через kerA его ядро, а через imA его образ. Отображение f : Rn ! Rk называется строго дифференцируемым в точке x0; если существует линейный оператор A : Rn ! Rk такой, что 8 " > 0 9 > 0 : jf(x1) f(x2) A(x1 x2)j "jx1 x2j 8 x1; x2 2 ORn(x0; ): СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 143 Очевидно, что если f строго дифференцируемо в x0; то оно дифференцируемо в этой точке и f0(x0) = A: Теорема 1. Пусть отображение f строго дифференцируемо в точке x0 . Если выполняется условие регулярности imf0(x0) = Rk; (2) то существуют числа r > 0; c > 0 и непрерывное отображение g : ORk(y0; r) ! Rn такие, что (i) f(g(y)) = y 8 y 2 ORk(y0; r); (ii) g(x0) = y0; (iii) jg(y) x0j cjy y0j 8 y 2 ORk(y0; r): Эта теорема об обратной функции является следствием теоремы о неявной функ- ции из [1]. Отметим, что в утверждениях, аналогичных теореме 1, как правило, вме- сто предположения строгой дифференцируемости в нуле используется более сильное предположение непрерывной дифференцируемости в окрестности нуля (см., например, [2, теорема 1A.1] и [3, теорема 2.13]), которое дополнительно гарантирует гладкость отображения g: Предположения гладкости отображения f в теореме 1 можно ослабить следующим образом. Теорема 2. Пусть отображение f дифференцируемо в точке x0 и непрерывно в некоторой еј окрестности. Если выполняется условие регулярности (2), то суще- ствуют числа r > 0; c > 0 и отображение g : ORk(y0; r) ! Rn такие, что выполня- ются соотношения (i) (iii): Этот результат был получен в [4, Theorem E]. Аналогичный результат, гарантиру- ющий существование неявной функции, удовлетворяющей некоторым дополнительным условиям, был получен в [5, приложение II]. Теорема 2 гарантирует существование об- ратной функции g при ослабленных предположениях гладкости отображения f; но не гарантирует ее непрерывности. В [5, приложение II] приведен пример отображения f; для которого выполняются предположения теоремы 2 и не существует непрерывного отображения g; удовлетворяющего (i) (iii): Рассмотрим теперь вопрос о существовании и непрерывности обратной функции в случае, когда условие регулярности (2) может нарушаться. Предположим, что отображение f дважды дифференцируемо в точке x0 . Пусть существует вектор h 2 Rn такой, что h 2 kerf0(x0); f00(x0)[h; h] 2 imf0(x0): Отображение f называется 2 -регулярным в нуле по направлению h; если imf0(x0) + f00(x0)[h; kerf0(x0)] = Rk: (3) 144 С. Е. Жуковский, Ч.Т. Нгок Отметим, что если для отображения f выполняется условие регулярности (2), то f является 2 -регулярным в точке x0 по направлению h = 0: В то же время, суще- ствуют отображения, являющиеся 2 -регулярными по некоторым направлениям и не удовлетворяющие условию регулярности (2). Соответствующий элементарный пример дает отображение f : R2 ! R; f(x1; x2) = x21 x22 : Оно является 2 -регулярным по на- правлению h = (1; 1) в нуле и не удовлетворяет условию регулярности (2), поскольку imf0(0) = f0g: Теорема 3. Пусть отображение f дважды непрерывно дифференцируемо в неко- торой окрестности точки x0 , и отображение f00() липшицево в некоторой окрест- ности точки x0 . Пусть P : Rk ! Rk проектор на подпространство, дополняющее imf0(x0) до Rk: Если отображение f является 2 -регулярным в точке x0 по некоторому направ- лению h 2 Rn; то существуют числа r > 0; c > 0 и непрерывное отображение g : ORk(y0; r) ! Rn такие, что выполняются соотношения (i); (ii) и (iv) jg(y) x0j c(jy y0j + p jP(y y0)j) 8 y 2 ORk(y0; r): Вопрос о существовании обратной функции к отображениям, 2 -регулярным по неко- торым направлениям, впервые изучался в работе [6]. В ней была получена теорема о существовании обратной функции для отображений банаховых пространств. При этом [6, теорема 1] не содержит утверждения о непрерывности обратной функции. Приве- денная здесь теорема 3, гарантирующая непрерывность обратной функции, является следствием из [7, теорема 4]. Подробный обзор результатов о существовании обратных и неявных функций в случае, когда нарушаются классические предположения регуляр- ности, приведен в [8]. В связи с теоремами 1 и 2 возникает следующий естественный вопрос. Как осла- бить предположения гладкости в теореме 3 так, чтобы утверждение о существовании и свойствах обратного отображения g осталось верным за исключением, быть может, утверждения о непрерывности отображения g? Ответ на этот вопрос дает утверждение, приведенное в следующем параграфе. 2. Основной результат Пусть задано отображение f : Rn ! Rk: Теорема 4. Пусть отображение f дважды дифференцируемо в точке x0 и непре- рывно в некоторой еј окрестности. Пусть P : Rk ! Rk проектор на подпростран- ство, дополняющее imf0(x0) до Rk: Если отображение f является 2 -регулярным в точке x0 по некоторому направ- лению h 2 Rn; то существуют числа r > 0; c > 0 и отображение g : ORk(y0; r) ! Rn такие, что выполняются соотношения (i); (ii) и (iv): СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 145 Доказательству теоремы предпошлем следующее вспомогательное утверждение. Пусть заданы линейный оператор A : Rn ! Rk и симметричное билинейное отоб- ражение Q : Rn Rn ! Rk: Рассмотрим уравнение Ax + Q[x; x] = y (4) с неизвестным x и параметром y: Непосредственно из [7, теорема 4] вытекает следу- ющее утверждение о разрешимости уравнения (4). Пусть P : Rk ! Rk проектор на подпространство, дополняющее imA до Rk: Лемма 1. Если существует вектор h 2 Rn такой, что Ah = 0; Q[h; h] 2 imA; imA + Q[h; kerA] = Rk; то существуют числа d > 0; c > 0 и непрерывное отображение p : ORk(0; d) ! Rn такие, что Ap(y) + Q[p(y); p(y)] = y; jp(y)j c(jyj + p jPyj ) 8 y 2 ORk(0; d): (5) Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 4. Не ограничивая общности будем предпола- гать, что x0 = 0 и y0 = 0: Положим A := f0(0); Q := f00(0)=2; !(x) = f(x) Ax Q[x; x] 8 x 2 Rn: Поскольку отображение f дважды дифференцируемо в нуле и непрерывно в окрест- ности нуля, то существует > 0 такое, что отображение ! : Rn ! Rk непрерывно на ORn(0; ) и !(x) jxj2 ! 0 при x ! 0: (6) Поскольку отображение f является 2 -регулярным в нуле по направлению h; то для операторов A и Q выполнены предположения леммы 1. Следовательно, суще- ствуют числа d > 0; c > 0 и непрерывное отображение p : ORk(0; d) ! Rn такие, что выполняются соотношения (5). В силу (6) существует b" > 0 такое, что 8 " 2 (0; b") cj!(x)j + c p jP!(x)j " 2 8 x 2 BRn(0; "): (7) Возьмем произвольное r > 0 такое, что 2r + p kPkjrj < d; 2c(r + p kPkjrj ) < minf; b"g: Возьмем произвольный y 2 ORk(0; r): Положим "(y) := 2c(jyj + p jPyj ): 146 С. Е. Жуковский, Ч.Т. Нгок Рассмотрим вспомогательное уравнение x = p(y !(x)) (8) с неизвестным x 2 BRn(0; "(y)): Покажем, что к этому уравнению применима теорема Брауэра о неподвижной точке. Сначала покажем, что при любом x 2 BRn(0; "(y)) точка y !(x) лежит в области определения ORk(0; d) отображения p: Действительно, при любом x 2 BRn(0; "(y)) имеем jy !(x)j jyj + j!(x)j r + cj!(x)j + c p jP!(x)j c r + "(y) 2c 2r + p kPkjrj < d: Здесь первое неравенство следует из неравенства треугольника для j j; второе нера- венство из включения y 2 ORk(0; r) и неравенства p jP!(x)j 0; третье из (7) и неравенства "(y) < b"; четвертое из определения числа "(y) и неравенства jyj < r; а пятое из определения числа r: Покажем теперь, что отображение x 7! p(y !(x)); x 2 BRn(0; "(y)); непрерывно. В силу непрерывности отображения p на ORk(0; d) и отображения ! на ORn(0; ) достаточно показать, что BRn(0; "(y)) ORn(0; ): Действительно, для любого x 2 BRn(0; "(y)) имеем jxj "(y) 2c(jyj + p jPyj) < 2c(r + p kPkr ) < : Здесь второе неравенство следует из определения числа "(y); третье из неравенства jyj < r; а четвертое из определения числа r: Далее покажем, что p(y !(x)) 2 BRn(0; "(y)) для любого x 2 BRn(0; "(y)): Дей- ствительно, для любого x 2 BRn(0; "(y)) имеем jp(y !(x))j cjy !(x)j + c p jP(y !(x))j cjyj + c p jPyj + cj!(x)j + c p kPkj!(x)j cjyj + c p jPyj + "(y) 2 = "(y): Здесь первое неравенство следует из (5), второе из неравенства треугольника, третье из (7) и неравенства "(y) < b"; а равенства из определения числа "(y): Итак, доказано, что отображение x 7! p(y !(x)); x 2 BRn(0; "(y)); определено корректно, является непрерывным и принимает значения в BRn(0; "(y)): Следователь- но, по теореме Брауэра о неподвижной точке существует решение g(y) 2 BRn(0; "(y)) уравнения (8), т. е. g(y) = p(y !(g(y))): Покажем, что построенное отображение g : ORk(0; r) ! Rn является искомым. Для каждого y 2 ORk(0; r) имеем СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 147 f(g(y)) = Ag(y) + Q[g(y); g(y)] + !(g(y)) = = Ap(y !(g(y)))+Q[p(y !(g(y))); p(y !(g(y)))]+!(g(y)) = y !(g(y))+!(g(y)) = y: Здесь первое равенство следует из определения отображений A;Q и !; второе из ра- венства g(y) = p(y !(g(y))); а третье из тождества в (5). Кроме того, jg(y)j "(y) 2c(jyj + p jPyj ): 3. Обсуждение основного результата Прокомментируем теорему 4 и связанные с ней понятия. З а м е ч а н и е 1. Если отображение f : Rn ! Rn является 2 -регулярным в точке x0 по направлению h; то h = 0; и, значит, выполняется условие регулярности (2). Действительно, если h 6= 0; то dim(imf0(x0)) + dim(f00(x0)[h; kerf0(x0)]) = k = n в силу (3), но dim(imf0(x0) f00(x0)[h; kerf0(x0)]) 1; что приводит к противоречию. Значит, h = 0: Поэтому из (3) вытекает (2). При k < n для отображения f : Rn ! Rk может существовать точка x0 такая, что imf0(x0) 6= Rk; и существует направление h; по которому f является 2 -регулярным в точке x0: Соответствующий пример дает квадратичная форма f(x1; x2; :::; xn) x1x2; являющаяся 2 -регулярным в нуле отображением по направлению h = (1; 0; :::; 0): З а м е ч а н и е 2. Лемма 1 гарантирует, что линейно-квадратичное отображение x 7! Ax + Q[x; x]; x 2 Rn; имеет обратную функцию p(); определенную в некото- рой окрестности нуля в Rk: Таким образом, теорема 4 гарантирует, что если линейно- квадратичное отображение 2 -регулярно в нуле по некоторому направлению h; то свой- ство существования обратной функции устойчиво при любом непрерывном возмущении !; удовлетворяющем условию (6). З а м е ч а н и е 3. Если для отображения f : Rn ! Rk выполнены предполо- жения теоремы 2 и f является дважды дифференцируемым в точке x0; то для f выполнены предположения теоремы 4. В частности, f является 2 -регулярным в точке x0 по направлению h = 0: При этом оценка (iv) совпадает с оценкой (iii); поскольку из предположения (2) следует, что P = 0: В заключение приведем одно следствие теоремы 4. Пусть Q : Rn ! Rn ! Rk би- линейное симметричное отображение. Получим условия, при которых из разрешимости уравнения Q[x; x] = y 148 С. Е. Жуковский, Ч.Т. Нгок при любом y 2 Rk следует разрешимость возмущенного уравнения Q[x; x] + !(x) = y (9) для любого непрерывного возмущения ! : Rn ! Rk; удовлетворяющего условию (6), для любого y из некоторой окрестности нуля, зависящей от !: Следствие 1. Если существует вектор h 2 Rn такой, что Q[h; h] = 0; Q[h;Rn] = Rk; то для любого непрерывного отображения ! : Rn ! Rk; удовлетворяющего соотно- шению (6), существует r > 0 такое, что уравнение (9) имеет решение при любом y 2 ORk(0; r): Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим f(x) := Q[x; x] + !(x); x 2 Rn: Очевидно, что для отображения f выполнены предположения теоремы 4. Следовательно, существуют числа r > 0; c > 0 и непрерывное отображение g : ORk(y0; r) ! Rn такие, что выпол- няются соотношения (i); (ii) и (iv) с x0 = 0; y0 = 0 . Значит, уравнение (9) разрешимо при любом y 2 ORk(0; r):

About the authors

Sergey E. Zhukovskiy

RUDN University; V. A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of RAS

Email: s-ezhuk@yandex.ru
Doctor of Physics and Mathematics, Senior Researcher at the Center for Nonlinear Analysis and Optimization; Leading Researcher 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow 117198, Russian Federation; 65 Profsoyuznaya St., Moscow 117997, Russian Federation

Tran T. Ngok

RUDN University

Email: ngoc2tt@gmail.com
Student, Faculty of Physics, Mathematics and Natural Science 6 Miklukho-Maklaya St., Moscow 117198, Russian Federation

References

Supplementary files