Множество регулярности многозначного отображения в пространстве с векторнозначной метрикой

Полный текст

Введение В связи с исследованиями систем операторных уравнений, краевых задач и задач управления в работе [1] был поставлен вопрос о применении понятий накрывания и мет- рической регулярности к отображениям, действующим в произведениях метрических пространств. Рассматривалась следующая задача. Пусть (Xi; Xi); (Yi; Yi) ( i = 1; n ) метрические пространства, и задано отображение F = (F1; : : : ; Fn); компоненты которого Fi : Qn j=1 Xj ! Yi являются i -накрывающими по i -ому аргументу (как действующие из Xi в Yi ) и ij -липшицевыми по каждому из остальных аргументов (как действующие из Xj в Yi; где j 6= i ). Требуется исследовать систему уравнений Fi(x1; : : : ; xn) = yi; i = 1; n; с известной правой частью yi 2 Yi: В [1]-[3] в терми- нах матриц коэффициентов i; ij были получены условия существования решения, его оценки, условия непрерывности решения от параметров. В [4], [5] рассматривались такие же системы, но в которых количество уравнений m может не совпадать с числом неизвестных n: В этих работах на произведениях метрических пространств X = Qn j=1 Xj ; Y = Qm i=1 Yi была задана векторнозначная метрика (далее будем со- кращенно называть ее v-метрикой, а соответствующее пространство v-метрическим) X = (X1 ; : : : ; Xn); Y = (Y1 ; : : : ; Ym) и определено понятие векторного накрывания. В отличие от коэффициента ѕобычного накрыванияї, являющегося положительным числом, коэффициент векторного накрывания это m n -матрица с неотрицатель- ными компонентами. В [6], [7] аналогичный прием был использован для изучения зада- чи о точке совпадения векторных многозначных отображений, а понятие регулярности относительно v-метрик X; Y было распространено на многозначные отображения. В работах [8], [9] рассмотрены накрывающие свойства отображений в простран- ствах с v-метрикой, значения которой не векторы из Rn +; а элементы конуса неко- торого нормированного пространства. В [8] предложено естественное распространение метрической регулярности, при котором коэффициентом регулярности становится ли- нейный положительный оператор в соответствующих нормированных пространствах. МНОЖЕСТВО РЕГУЛЯРНОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 41 В [9] предложен способ, позволяющий определять по v-метрике некоторую ѕнаилуч- шуюї для задачи о точке совпадения метрику, что позволяет применять и к отображе- ниям v-метрических пространств результаты о точках совпадения отображений ѕобыч- ныхї метрических пространств. В [10] введено понятие множества (v-метрической) ре- гулярности, это понятие позволяет уточнить и ослабить условия существования точек совпадения и условия разрешимости уравнений некоторых видов в пространствах с v-метриками. В [11] получены условия существования точек совпадения многозначных отображений v-метрических пространств. В настоящей статье предлагается определение множества регулярности для много- значных отображений v-метрических пространств. Это понятие используется для по- лучения условий разрешимости общих операторных и конкретных функциональных включений. 1. Многозначные отображения v-метрических пространств Пусть задано непустое множество X и линейное нормированное пространство E; в котором выделен некоторый замкнутый выпуклый конус E+: Конус задает порядок в E; т. е. для любых элементов r1; r2 2 E выполнено неравенство r1 r2 тогда и только тогда, когда r2 r1 2 E+: Отображение PX : X2 ! E+ будем называть v-метрикой (см., например, [12]), если оно удовлетворяет аксиомам ѕобычнойї метрики, т. е. при любых x; u; v 2 X выполнены соотношения PX (x; u) = 0 , x = u; PX (x; u) = PX (u; x); PX (x; u) PX (x; v) + PX (v; u): Множество X с определенной на нем v-метрикой будем называть v-метрическим про- странством и обозначать (X;PX ): . На v-метрические пространства естественно переносятся многие определения и ре- зультаты анализа отображений метрических пространств (см. [11, с. 1975]). Приведем некоторые из таких понятий, используемых в данной статье. Множество BX (u; r) := fx 2 X : PX (x; u) rg называют замкнутым шаром с центром в точке u 2 X радиуса r 2 E+: Последовательность fxng X называют фундаментальной, если 8" > 0 9N 8n > N 8m > N kPX (xn; xm)kE < ": Говорим, что при n ! 1 последовательность fxng X сходится к элементу x 2 X; если выполнено PX (xn; x) ! 0; т. е. kPX (xn; x)kE ! 0: Пространство X называется полным, если любая фундаментальная последовать в нем сходится. Множество U X называется замкнутым, если для любой сходящейся последовательности его элементов fxng U; xn ! x выполнено x 2 U: Например, замкнутым в X множеством является замкнутый шар BX (u; r): 42 Т. В. Жуковская, Е. А. Плужникова Пусть E;M некоторые линейные нормированные пространства, в которых зада- ны замкнутые выпуклые конусы E+ E; M+ M; X;Y пространства с v-метри- ками PX : X2 ! E+ ; PY : Y2 ! M+ : Под многозначным отображением F : X Y будем понимать отображение, ставящее в соответствие каждому x 2 X непустое за- мкнутое множество F(x) Y: Многозначное отображение F будем называть замкну- тым в точке (x; y) 2 X Y; если для любых последовательностей fxig X; fyig Y таких, что yi 2 F(xi); xi ! x; yi ! y; выполнено включение y 2 F(x): Отметим, что конусами E+;M+ порождается частичная, а не полная упорядочен- ность в E и M; поэтому для v-метрических пространств X; Y не удается определить аналоги расстояний от точки до множества и расстояний между множествами (в соот- ветствующих определениях используются точные верхние и нижние границы множеств расстояний между точками, а для множеств v-расстояний точные границы могут не су- ществовать). Это затрудняет перенесение на многозначные отображения v-метрических пространств некоторых важных свойств многозначных отображений ѕобычныхї метри- ческих пространств. Данное обстоятельство мы учитываем при определении следующих понятий. В пространстве L(M;E) линейных ограниченных операторов F : M ! E опре- делим множество L(M;E)+ := fF : M ! E : F(M+) E+g положительных опера- торов. Это множество является замкнутым выпуклым конусом в L(M;E): Обозначим IM : M ! M тождественный оператор. Заметим, IM 2 L(M;M)+: О п р е д е л е н и е 1.1. Пусть задано отображение K 2 L(M;E)+: Множеством K -регулярности отображения F : X Y будем называть множество MK(F) = n (x; y0) 2 X Y : 8y 2 F(x) 9x0 2 X y0 2 F(x0); PX (x0; x) KPY y0; y o : О п р е д е л е н и е 1.2. Пусть задано отображение Q 2 L(E;M)+: Множеством Q-липшицевости отображения F : X Y будем называть множество LQ(F) = n (x; y0) 2 X Y : 8x0 2 X y0 2 F(x0) ) 9y 2 F(x) PY(y0; y) QPX x0; x o : 2. Условия разрешимости включения Вопрос о существовании решений включений, как будет здесь показано, связан с задачей о влиянии липшицевых возмущений на множество регулярности многозначного отображения. Пусть заданы отображения K 2 L(M;E)+ ; Q 2 L(E;M)+ ; многозначное отоб- ражение : X2 Y и элемент y0 2 Y: Будем полагать, что при любом x 2 X известно множество MK (; x) K -регулярности отображения (; x) и множество LQ (x; ) Q-липшицевости отображения (x; ): Определим отображение F : X Y; F(x) = (x; x) и рассмотрим включение y0 2 F(x): (2.1) МНОЖЕСТВО РЕГУЛЯРНОСТИ МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 43 Теорема 2.1. Пусть v-метрическое пространство X является полным, простран- ство M банаховым, и заданы элементы x0 2 X; y0 2 (x0; x0): Пусть для спек- трального радиуса оператора QK 2 L(M;M)+ имеет место оценка sr(QK) < 1: Определим r = K(IM QK) 1PY(y0; y0) и предположим, что для любого x 2 BX (x0; r) многозначное отображение F замкну- то в точке (x; y0) и выполнены включения (x; y0) 2 MK (; x) ; (2.2) (x; y0) 2 LQ (x; ) : (2.3) Тогда существует решение x0 2 BX (x0; r) включения (2.1). Д о к а з а т е л ь с т в о. Из предположения sr(QK) < 1 следует существование линейного ограниченного оператора (IM QK) 1 : M ! M и его представление в виде (см., например, [13, c. 116]) (IM QK) 1 = IM + QK + (QK)2 + : : : : Так как QK 2 L(M;M)+ ; то при любом n = 0; 1; 2; : : : выполнено (IM QK) 1 IM + QK + : : : + (QK)n: (2.4) Построим итерационную последовательность fxng X следующим образом. В силу предположения (2.2) существует x1 2 X такой, что y0 2 (x1; x0); PX (x1; x0) KPY(y0; y0): Очевидно, x1 2 BX (x0; r): Определим (x1; x1): Вследствие предположения (2.3) су- ществует y1 2 (x1; x1); для которого выполнено неравенство PY(y1; y0) QPX (x1; x0): Далее, снова в силу предположения (2.2) существует x2 2 X такой, что y0 2 (x2; x1); PX(x2; x1) KPY (y1; y0): Отсюда, учитывая предыдущие выкладки, получаем PX(x2; x1) KY (y1; y0) KQPX (x1; x0) KQKPY (y0; y0): Так как PX(x2; x0) KPY(y0; y0) + KPY (y1; y0) (K + KQK)PY (y0; y0) r; 44 Т. В. Жуковская, Е. А. Плужникова выполнено x2 2 BX (x0; r): Вследствие предположения (2.3) существует y2 2 (x2; x2); для которого выполнено неравенство PY(y2; y0) QPX (x2; x1): Повторяя подобные рассуждения, на каждом n -м шаге ( n = 1; 2; : : : ) будем опре- делять элементы xn 2 X; yn 2 Y; удовлетворяющие соотношениям: y0 2 (xn; xn 1); PX (xn; xn 1) K(QK)n 1PY(y0; y0); PX (xn; x0) K IM + QK + : : : + (QK)n 1 PY(y0; y0); yn 2 (xn; xn); PY(yn; y0) QPX (xn; xn 1): (2.5) Заметим, что согласно неравенству (2.4) выполнено PX (xn; x0) r; т. е. xn 2 BX (x0; r): Последовательность fxng является фундаментальной в X: Действительно, при лю- бом j = 1; 2; : : : выполнено PX (xn+j ; xn) K(QK)n IM + : : : + (QK)j 1 PY(y0; y0) K(QK)n(IM QK) 1Y (y0; y0): Из оценки sr(QK) < 1 следует сходимость k(QK)nkL(M;M) ! 0 при n ! 1: Таким образом, PX (xn+j ; xn) ! 0 при n ! 1: Вследствие полноты X последовательность fxng сходится. Пусть xn ! x0: Тогда x0 2 BX (x0; r): Для последовательности элементов yn 2 (xn; xn) в силу неравенства (2.5) получаем yn ! y0: А так как отображение F замкнуто в точке (x0; y0); элемент x0 удовлетворяет включению (2.1).

Об авторах

Татьяна Владимировна Жуковская

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный технический университет»

Email: t_zhukovskaia@mail.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики. 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Советская, 106

Елена Александровна Плужникова

ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина»

Email: pluznikova_elena@mail.ru
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33

Список литературы

Дополнительные файлы