On the study of the Neumann problem for elliptic system of two sixth order equations on the plane

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

As it is known, on the basis of the methods of the theory of singular integral equations, fine results were obtained in the theory of partial differential equations. In this paper, we study the question of solvability of the Neumann problem for an elliptic system of two six order equations with two independent variables in a bounded domain. During the study of this problem, the method developed by Boyarsky is used. The essence of this method is to construct a matrix function on base of the main part of the given system and split polynomials into homotopy classes. Using this approach, the ellipticity of the system under consideration is proved. It is also shown that, in accordance with homotopy classes, an elliptic system of two sixth order equations with two independent variables can be equivalently reduced to a singular integral equation over a bounded domain. Using the method of passing to an equivalent singular integral equation over a bounded domain, effective Noetherian conditions are found, and a formula for calculating the index of the problem is obtained.

About the authors

Jasur M. Оdinabekov

Branch of Lomonosov Moscow State University in Dushanbe

Author for correspondence.
Email: jasur-79@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-9851-9895

Candidate of Physics and Mathematics, Head of Mathematics and Natural Sciences Department

Tajikistan, 35/1 Bokhtar St., Dushanbe 734002, Tajikistan

References

  1. G. Dzhangibekov, “On a class of two-dimensional singular integral operators and its applications to boundary value problems for elliptic systems of equations on the plane”, Dokl. Math., 47:3 (1993), 498–503.
  2. M.I. Vishik, “On strongly elliptic system of differential equations”, Mat. Sb. (N.S.), 29(71):3 (1951), 615–676 (In Russian).
  3. A.V. Bitsadze, “On the uniqueness of the solution of the Dirichlet problem for elliptic partial differential equations”, Uspekhi Mat. Nauk, 3:6(28) (1948), 211–212 (In Russian).
  4. A.V. Bitsadze, “On elliptical systems of second order partial differential equations”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 112:6 (1957), 983–986 (In Russian).
  5. A.V. Bitsadze, “Boundary value problems for systems of linear differentiation alternate equations of elliptical type”, Communications of Academy of Sciences of Georgia, 5:8 (1944), 761–770 (In Russian).
  6. A.V. Bitsadze, Mixed Type Equations, Nauka Publ., Moscow, 1959 (In Russian).
  7. I.N. Vekua, Generalized Analytic Functions, FIZMATGIZ, Moscow, 1959 (In Russian).
  8. I.N. Vekua, New Methods for Solving Elliptic Equations, GOSTEXIZDAT, Moscow, 1959 (In Russian).
  9. B.V. Boyarskiy, “On the Dirichlet problem for the system of elliptic equations of a type in space”, Polands Bull. Mathem., Astr. and Phusicz Series, 8:1 (1960), 1050–1052 (In Russian).
  10. B.V. Boyarskiy, “Some boundary value problems for a system of equations of elliptic type”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 124:1 (1959), 1–4 (In Russian).
  11. A.I. Vol’pert, “On the index of the Dirichlet problem”, Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1960, №5, 40–42 (In Russian).
  12. V.I. Shevchenko, “On the coincidence of the indices of the Dirichlet and Neumann problems for elliptic systems”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 221:5 (1975), 1050–1052 (In Russian).
  13. V.I. Shevchenko, “A boundary-value problem for a vector which is holomorphic in a half-space”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 154:2 (1964), 276–278 (In Russian).
  14. V.I. Shevchenko, “On elliptic systems of three equations in four independent variables”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 210:6 (1973), 1300–1302 (In Russian).
  15. V.I. Shevchenko, “An integral representation of a vector which is holomorphic in a sphere”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 153:6 (1963), 1276–1279(In Russian).
  16. Ya.B. Lopatinskiy, “On one method of reducing boundary value problems for a system of differential equations of elliptic type to regular integral equations”, Ukr. Mathem. Journal, 5:123 (1953), 1127–1131 (In Russian).
  17. A.D. Dzuraev, Method of Singular Integral Equations, Nauka Publ., Moscow, 1987 (In Russian).
  18. G. Dzhangibekov, “Some two-dimensional singular integral operators”, Mat. Zametki, 46:5 (1989), 91–93 (In Russian).
  19. G. Dzhangibekov, “The Noethericity and the index of some two-dimensional singular integral operators”, Soviet Math. (Iz. VUZ), 35:1 (1991), 21–31.
  20. G. Dzhangibekov, “On the Noethericity and index of some two-dimensional singular integral equations with discontinuous coefficients”, Russian Math. (Iz. VUZ), 36:9 (1992), 22–33.
  21. G. Dzhangibekov, “Some twodimensional singular integral operators in a bounded domain”, Dokl. Math., 65:2 (2002), 149–151.
  22. G. Dzhangibekov, J.M. Odinabekov, “On the Noether theory of two-dimensional singular operators and applications to boundary value problems for system of fourth-order elliptic equations”, Bulletin of Samara University. Natural Science Series, 26:1 (2020), 7–13 (In Russian).
  23. G. Dzhangibekov, J.M. Odinabekov, G. Kh. Khudzhanazarova, “The Noetherian conditions and the index of some class of singular integral operators over a bounded simply connected domain”, Moscow University Mathematics Bulletin, 74:2 (2019), 49–54.
  24. G. Dzhangibekov, G. Khujanazarova, “On the Noetherian property and index for some two-dimensional singular integral operators over bounded domains”, Dokl. Math., 69:3 (2004), 394–399.
  25. G. Dzhangibekov, G. Khujanazarova, “On the Dirichlet problem for a fourth-order elliptic system of two equations in the plane”, Dokl. Math., 70:2 (2004), 696-700.
  26. P.T. Dibov, “The solvability of the first boundary value problem for a sixth order differential equation of elliptic type”, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 202:6 (1972), 1251–1253 (In Russian).

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».