О некоторых классах систем дифференциальных уравнений

Полный текст

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений

$\dot{x}=f\left(x\right),$ (0.1)

где $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {ℝ}^n,$ вектор-функция $f\left(x\right)$ и ее производные $\partial f_i/\partial x_j$ ($i,j=\mathrm{1,}\dots ,n$) непрерывны. Обозначим через $\phi (t,x)=\left({\phi }_1(t,x),\dots ,{\phi }_n(t,x)\right)$ решение данной системы, удовлетворяющее начальному условию $\phi \left(\mathrm{0,}x\right)=x.$

Выделим три класса систем дифференциальных уравнений (0.1) и опишем свойства, которыми обладают решения (интегральные кривые) систем каждого класса.

Будем считать, что система относится к первому классу на множестве $D\subseteq {ℝ}^n\mathrm{,}$ если правые части этой системы не зависят от переменных $x_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{,}$ то есть система (0.1) имеет вид $\dot{x}=C,$ где $C\in {ℝ}^n\mathrm{,}$ $x\in D\mathrm{.}$ Решением данной системы является вектор-функция $\phi (t,x(0\left)\right)=Ct+x\left(0\right).$ Пусть $\phi (t,x(0\left)\right)\in D$ и $\phi (t,y(0\left)\right)\in D$ при $t\in \left[\mathrm{0,}T\right],$ где $0<T⩽+\infty .$ Тогда $\phi (t,x(0\left)\right)-\phi (t,y(0\left)\right)=x\left(0\right)-y\left(0\right),$ то есть разность $\phi (t,x(0\left)\right)-\phi (t,y(0\left)\right)$ постоянная для всех $t\in \left[\mathrm{0,}T\right].$

Ко второму классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых на некотором множестве $D\subseteq {ℝ}^n$ выполнено условие «каждая из функций $f_i$ является возрастающей на множестве $D\subseteq {ℝ}^n$ по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n$». Свойства систем второго класса описаны в работе [1], в которой показано, что решения систем второго класса (0.1) обладают свойством монотонности относительно начальных условий. Очевидно, что свойство монотонности также выполнено для систем первого класса.

К третьему классу отнесем системы, не входящие в первый класс, для которых выполнено условие «каждая из функций $f_i$ является убывающей на множестве $D\subseteq {ℝ}^n$ по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n$». Показано, что системы третьего класса могут не быть монотонными относительно начальных условий, но для них справедливо следующее свойство: «если $x\left(0\right)<y\left(0\right),$ то не существует точки $t^{*}\in (\mathrm{0,}+\infty ),$ такой, что $\phi (t^{*},x(0\left)\right)>\phi (t^{*},y(0\left)\right)$». Здесь и далее неравенство $x<y,$ записанное для векторов $x\in {ℝ}^n\mathrm{,}$ $y\in {ℝ}^n\mathrm{,}$ будем понимать как неравенства $x_i<y_i,$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n.$ Аналогично, $x⩽y$означает, что $x_i⩽y_i$ для всех $i=\mathrm{1,}\dots ,n.$

Получены условия отсутствия периодических решений для автономных систем второго порядка, которые можно определить по свойствам правых частей уравнений. Доказано, что системы двух дифференциальных уравнений всех трех указанных классов не могут иметь периодических решений.

1. Свойства систем второго класса (свойство монотонности решений относительно начальных условий)

Приведем основные результаты о свойствах решений систем второго класса.

Рассмотрим сначала линейную систему дифференциальных уравнений $\dot{x}=Ax,$ где A — постоянная матрица размеров $n\times n\mathrm{.}$ Известно, что решение данной системы можно записать в виде $\phi (t,x)=e^{At}x,$ где $e^{At}$ — матричная экспонента. Матрица A называется  экспоненциально неотрицательной, если $e^{At}⩾0$ для всех $t⩾0.$ Матрица A называется  матрицей Метцлера, если ее элементы удовлетворяют неравенствам $a_{ij}⩾0$ при $i\ne j\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n,$ см. [2].

Лемма 1.1. (см. [2]). Матрица A является экспоненциально неотрицательной тогда и только тогда, когда она является матрицей Метцлера.

Первоначально данное утверждение, по-видимому, было доказано в работе Т. Важевского [3] в 1950 году. Из леммы 1.1 очевидно следует, что если A – матрица Метцлера и $x⩽y\mathrm{,}$ то $\phi (t,x)=e^{At}x⩽e^{At}y=\phi (t,y)$ для любого $t⩾0.$ Таким образом, линейная система с матрицей Метцлера обладает свойством монотонности решений.

Условия, при которых справедливо свойство монотонности решений нелинейной системы (0.1), исследовались в работе [1]. В ней, в частности, показано, что свойство монотонности выполнено для любого дифференциального уравнения вида (0.1).

Напомним, что множество $D\subseteq {ℝ}^n$ называется  положительно инвариантным относительно системы (0.1), если для любой начальной точки $x\left(0\right)\in D$ траектория решения $\phi (t,x(0\left)\right)$ содержится в D.

Теорема 1.1. (см. [1]). Пусть выполнены следующие условия:

• множество $D\subseteq {ℝ}^n$ положительно инвариантно относительно системы (1);
• каждая из функций $f_i$ является возрастающей на множестве D по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i\mathrm{,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n;$ 
• $x\left(0\right)\in D,$ $y\left(0\right)\in D$ и $x\left(0\right)⩽y\left(0\right).$

Тогда $\phi (t,x(0\left)\right)⩽\phi (t,y(0\left)\right)$ для всех $t⩾0.$  

Замечание 1.1. Если система (0.1) линейная и выполнены условия теоремы 1.1, то матрица  данной системы является матрицей Метцлера.

Следствие 1.1. Предположим, что множество $D\subseteq {ℝ}^n$ положительно инвариантно относительно системы (0.1) и $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}>0$ либо $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=0$ для всех $x\in D\mathrm{,}$ $i\ne j\mathrm{,}$ $i,j=\mathrm{1,}\dots ,n.$ Тогда, если $x\left(0\right)\in D,$ $y\left(0\right)\in D$ и $x\left(0\right)⩽y\left(0\right),$ то $\phi (t,x(0\left)\right)⩽\phi (t,y(0\left)\right)$ для всех $t⩾0.$ 

Отметим, что свойство монотонности, сформулированное в теореме 1.1, важно для решения многих прикладных задач, среди которых задачи оценки характеристик добычи возобновляемого ресурса, см. [4–6].

2. Свойства систем третьего класса

Системы третьего класса могут не обладать свойством монотонности относительно начальных условий, которое выполнено для систем первого и второго классов (см. ниже пример 2.1). Покажем, что для этих систем справедливо другое свойство, представленное в следующем утверждении.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия:

• множество $D\subseteq {ℝ}^n$ положительно инвариантно относительно системы (1);
• каждая из функций $f_i$ является убывающей на множестве D по всем переменным, от которых она явным образом зависит, за исключением переменной $x_i\mathrm{,} i=\mathrm{1,}\dots ,n;$
• $x\left(0\right)\in D,$ $y\left(0\right)\in D$ и $x\left(0\right)<y\left(0\right).$

Тогда не существует точки $t^{*}\in (\mathrm{0,}+\infty ),$ такой, что $\phi (t^{*},x(0\left)\right)>\phi (t^{*},y(0\left)\right).$

Доказательство. Введем в рассмотрение функции

$R_i\left(t\right)=R_i(t,x(0),y(0\left)\right)\doteq {\phi }_i(t,x(0\left)\right)-{\phi }_i(t,y(0\left)\right),i=\mathrm{1,}\dots ,n,$ (2.1)

которые непрерывны по t как разность непрерывных функций. Заметим, что $R_i\left(0\right)=x_i\left(0\right)-y_i\left(0\right).$

Если $x\left(0\right)<y\left(0\right),$ то $R_i\left(\mathrm{0,}x\right(0),y(0\left)\right)<\mathrm{0,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n.$ Предположим, что утверждение теоремы не верно, тогда существует $t^{*}\in (\mathrm{0,}+\infty ),$ такое, что ${\phi }_i(t^{*},x(0\left)\right)>{\phi }_i(t^{*},y(0\left)\right),$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n,$ то есть $R_i(t^{*},x(0),y(0\left)\right)>0$ для всех $i=\mathrm{1,}\dots ,n.$

Следовательно, найдутся $t_i^{*}\in \left(\mathrm{0,}{t}^{*}\right)$ такие, что $R_i(t_i^{*},x(0),y(0\left)\right)=\mathrm{0,}$ $i=\mathrm{1,}\dots ,n.$  Пусть

${\tau }_i=\sup \left\{t\in \left(\mathrm{0,}{t}^{*}\right):R_i(t,x(0),y(0\left)\right)=0\right\},\tau =\max \{{\tau }_1,\dots ,{\tau }_n\}.$

Из выбора точки $\tau$ следует, что $R_i(t,x(0),y(0\left)\right)>0$ при всех $t\in (\tau ,t^{*}).$ Поскольку ${\tau }_i\in \left(\mathrm{0,}{t}^{*}\right),$ то $\tau \in \left(\mathrm{0,}{t}^{*}\right).$

Пусть $\delta \in \left(\mathrm{0,}\Delta \right],$ где $\Delta =t^{*}-\tau .$ Переходя от системы дифференциальных уравнений (0.1) к интегральным уравнениям, получаем

${\phi }_i(\tau +\delta ,x(0\left)\right)={\phi }_i(\tau ,x(0\left)\right)+{\int }_{\tau }^{\tau +\delta }{f}_i\left(\phi \right(s,x\left(0\right)\left)\right)ds,i=\mathrm{1,}\dots ,n.$ (2.2)

Определим непустое множество $I\left(\tau \right)$ как множество индексов $i\in \{\mathrm{1,}\dots ,n\}$ таких, что $R_i(\tau ,x(0),y(0\left)\right)=0.$ Заметим, что $I\left(\tau \right)\ne \{\mathrm{1,}\dots ,n\},$ поскольку траектории с началом в точках $x\left(0\right)<y\left(0\right)$ не могут прийти за время $\tau$ в одну и ту же точку. Рассмотрим функции

$F_i(t,x(0),y(0\left)\right)\doteq f_i\left(\phi (t,x(0\left)\right)\right)-f_i\left(\phi (t,y(0\left)\right)\right),i=\mathrm{1,}\dots ,n.$

Из равенства (2.2) получаем, что для всех $i\in I\left(\tau \right)$ и всех $\delta \in \left(\mathrm{0,}\Delta \right]$ выполнено

${\int }_{\tau }^{\tau +\delta }{F}_i(s,x(0),y(0\left)\right)ds={\phi }_i(\tau +\delta ,x(0\left)\right)-{\phi }_i(\tau ,x(0\left)\right)-{\phi }_i(\tau +\delta ,y(0\left)\right)+{\phi }_i(\tau ,y(0\left)\right)$

$=R_i(\tau +\delta ,x(0),y(0\left)\right)>0.$ (2.3)

Отметим, что из непрерывности подинтегральной функции для всех $i\in I\left(\tau \right)$ следует неравенство $F_i(\tau ,x(0),y(0\left)\right)⩾\mathrm{0,}$ то есть

$f_i\left(\phi (\tau ,x(0\left)\right)\right)⩾f_i\left(\phi (\tau ,y(0\left)\right)\right),i\in I\left(\tau \right).$ (2.4)

Теперь возможны следующие два случая, в первом из которых хотя бы одна из функций $f_i\mathrm{,}$ $i\in I\left(\tau \right)$ зависит от некоторой переменной $x_j\mathrm{,}$ $j\cancel{\in }I\left(\tau \right).$ Пусть это будет функция $f_k\mathrm{,}$ $k\in I\left(\tau \right),$ тогда ${\phi }_i(\tau ,x(0\left)\right)={\phi }_i(\tau ,y(0\left)\right)$ для всех $i\in I\left(\tau \right),$ ${\phi }_i(\tau ,x(0\left)\right)>{\phi }_i(\tau ,y(0\left)\right)$ при $i\cancel{\in }I\left(\tau \right)$ и из второго условия теоремы следует $f_k\left(\phi \right(\tau ,x\left(0\right)\left)\right)<f_k\left(\phi \right(\tau ,y\left(0\right)\left)\right).$Получили противоречие с (2.4).

Во втором случае все функции $f_i\mathrm{,}$ $i\in I\left(\tau \right)$ не зависят от переменных $x_i\mathrm{,}$ $i\in J\left(\tau \right).$ Тогда

${\phi }_i(\tau ,x(0\left)\right)={\phi }_i(\tau ,y(0\left)\right)для всехi\in I\left(\tau \right),$ (2.5)

и можно выделить из исходной системы (0.1) отдельную подсистему, в которую входят только уравнения с $x_i\mathrm{,}$ $i\in I\left(\tau \right).$ Поэтому из (2.5) следует равенство

${\phi }_i(t,x(0\left)\right)={\phi }_i(t,y(0\left)\right)для всехt\in ℝ,i\in I\left(\tau \right),$

из которого получаем $f_i\left(\phi \right(s,x\left(0\right)\left)\right)-f_i\left(\phi \right(s,y\left(0\right))\equiv \mathrm{0,}$ $i\in I\left(\tau \right),$ что противоречит (2.3).

Следствие 2.1. Предположим, что множество $D\subseteq {ℝ}^n$ положительно инвариантно относительно системы (0.1) и $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}<0$ либо $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}=0$ для всех $x\in D\mathrm{,}$ $i\ne j\mathrm{,}$ $i,j=\mathrm{1,}\dots ,n.$ Тогда, если $x\left(0\right)\in D,$ $y\left(0\right)\in D$ и $x\left(0\right)<y\left(0\right),$ то не существует точки $t^{*}\in (\mathrm{0,}+\infty ),$ такой, что $\phi (t^{*},x(0\left)\right)>\phi (t^{*},y(0\left)\right).$ 

Пример 2.1. Рассмотрим свойства линейной системы третьего класса

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=2x_1-x_2,\\ {\dot{x}}_2=-3x_1+4x_2.\end{array}\right.$ (2.6)

Решением системы является функция $\phi (t,x(0\left)\right)=\left({\phi }_1\right(t,x\left(0\right)),{\phi }_2(t,x\left(0\right)\left)\right),$ где

${\phi }_1(t,x(0\left)\right)=\frac{3x_1\left(0\right)+x_2\left(0\right)}{4}{e}^t+\frac{x_1\left(0\right)-x_2\left(0\right)}{4}{e}^{5t},$

${\phi }_2(t,x(0\left)\right)=\frac{3x_1\left(0\right)+x_2\left(0\right)}{4}{e}^t-\frac{3x_1\left(0\right)-3x_2\left(0\right)}{4}{e}^{5t}.$

Выпишем функции $R_i\left(t\right)=R_i(t,x(0),y(0\left)\right),$ $i=\mathrm{1,2,}$ заданные равенством (2.1):

$\begin{array}{c}{R}_1\left(t\right)=\frac{3R_1\left(0\right)+R_2\left(0\right)}{4}{e}^t+\frac{R_1\left(0\right)-R_2\left(0\right)}{4}{e}^{5t}=\frac{R_1\left(0\right)}{4}(3e^t+e^{5t})+\frac{R_2\left(0\right)}{4}(e^t-e^{5t}),\\ R_2\left(t\right)=\frac{3R_1\left(0\right)+R_2\left(0\right)}{4}{e}^t-\frac{3R_1\left(0\right)-3R_2\left(0\right)}{4}{e}^{5t}=\frac{3R_1\left(0\right)}{4}(e^t-e^{5t})+\text{}\frac{R_2\left(0\right)}{4}(e^t+3e^{5t}).\end{array}$ (2.7)

Покажем, что для данной системы не выполнено свойство монотонности решений относительно начальных условий, которым обладают системы первого и второго классов. Пусть, например, $x\left(0\right)=\left(\mathrm{1,1}\right),$ $y\left(0\right)=\left(\mathrm{5,9}\right),$ тогда $R_1\left(0\right)=-\mathrm{4,}$ $R_2\left(0\right)=-8.$ Из (2.7) найдем $R_1\left(t\right)=e^{5t}-5e^t,$ $R_2\left(t\right)=-5e^t-3e^{5t}.$ Следовательно,

${\phi }_1(t,x(0\left)\right)>{\phi }_1(t,y(0\left)\right)при t>\mathrm{0,25}\ln 5;{\phi }_2(t,x(0\left)\right)<{\phi }_2(t,y(0\left)\right)при всехt>0.$

Отметим, что для решений системы (2.6) выполнено свойство, доказанное в теореме 2.1. Действительно, пусть $x\left(0\right)<y\left(0\right),$ тогда $R_1\left(0\right)<\mathrm{0,}$ $R_2\left(0\right)<0.$ Если $R_1\left(0\right)⩽R_2\left(0\right),$ то из (2.7) следует, что $R_1\left(t\right)⩽R_2\left(0\right)e^t<0$ при $t>\mathrm{0,}$ то есть $x_1\left(t\right)<y_1\left(t\right)$ для всех $t>0.$ Если $R_1\left(0\right)>R_2\left(0\right),$ то $R_2\left(t\right)<R_1\left(0\right)e^t<0$ при $t>\mathrm{0,}$ то есть $x_2\left(t\right)<y_2\left(t\right)$ для всех $t>0.$Таким образом, если $x\left(0\right)<y\left(0\right),$ то не существует точки $t^{*}\in (\mathrm{0,}+\infty ),$ для которой $\phi (t^{*},x(0\left)\right)>\phi (t^{*},y(0\left)\right).$

Системы второго и третьего классов в популяционной динамике двух видов

Пусть численности видов равны $x_1⩾0$ и $x_2⩾\mathrm{0,}$ тогда в соответствии с гипотезами Вольтерра модели взаимодействия двух видов могут быть описаны системой уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=a_1{x}_1+b_{12}{x}_1{x}_2-c_1{x}_1^2,\\ {\dot{x}}_2=a_2{x}_2+b_{21}{x}_1{x}_2-c_2{x}_2^2.\end{array}\right.$ (2.8)

Здесь параметры $a_i>0$ являются постоянными собственной скорости роста видов, $c_i>0$ — постоянные самоограничения численности (внутривидовой конкуренции), $b_{ij}$ — постоянные взаимодействия видов, $i,j=\mathrm{1,2.}$ Знаки коэффициентов $b_{ij}$ определяют тип взаимодействия, которые классифицированы Е. Одумом по результатам изменения численности каждого вида в присутствии другого вида. Свойства решений системы (2.8) при различных типах взаимодействий подробно изложены в [7, с. 143--157].

Среди систем вида (2.8) нет систем первого класса, поскольку $a_i\text{}>\text{}\mathrm{0,}$ $c_i\text{}>\text{}\mathrm{0,}$ $i=\mathrm{1,2.}$ К системам второго класса относятся системы вида (2.8), для которых выполнены следующие неравенства: $b_{12}>\mathrm{0,}$ $b_{21}>0$ (модель симбиоза по классификации Е. Одума), $b_{12}>\mathrm{0,}$ $b_{21}=0$ (комменсализм), $b_{12}=\mathrm{0,}$ $b_{21}=0$ (нейтрализм). Системами третьего класса являются системы, для которых $b_{12}<\mathrm{0,}$ $b_{21}<0$ (модель конкуренции) или $b_{12}=\mathrm{0,}$ $b_{21}<0$ (аменсализм). Система «хищник-жертва», для которой $b_{12}>\mathrm{0,}$ $b_{21}<\mathrm{0,}$ не относится к трем рассмотренным классам и имеет периодические решения.

3. Условия отсутствия периодических решений для автономных систем второго порядка

Вопросам существования периодических и почти-периодических решений для различных дифференциальных уравнений и систем посвящено множество исследований, среди которых работы [8–10].

В данном разделе получены условия отсутствия периодических решений, которые можно определить по свойствам правых частей систем второго порядка

${\dot{x}}_1=P(x_1,x_2),{\dot{x}}_2=Q(x_1,x_2).$ (3.1)

Одним из таких условий является известный критерий Бендиксона: «Если в односвязной области D частные производные от функций $P(x_1,x_2)$ и $Q(x_1,x_2)$ непрерывны, и выражение $\frac{\partial P}{\partial x_1}+\frac{\partial Q}{\partial x_2}$ сохраняет знак и не тождественно обращается в нуль, то в области D не содержится замкнутых решений» [11, с. 142].

Докажем свойство, верное для системы второго порядка (3.1), принадлежащей одному из трех описанных классов.

Теорема 3.1. Пусть для системы (3.1) в области D выполнено хотя бы одно из условий:

$\frac{\partial P}{\partial x_2}\cdot \frac{\partial Q}{\partial x_1}>\mathrm{0,}\frac{\partial P}{\partial x_2}\equiv \mathrm{0,}\frac{\partial Q}{\partial x_1}\equiv 0.$ (3.2)

Тогда в области D система (3.1) не имеет периодических решений.

Доказательство. Из условий (3.2) следует, что система второго порядка (3.1) принадлежит одному из трех рассмотренных классов, тогда для нее справедливы утверждения теоремы 1.1 или теоремы 2.1. Предположим, что утверждение теоремы 3.1 не верно. Тогда данная система имеет периодическое решение, которое обозначим ${\phi }_0\left(t\right),$ а его траекторию обозначим ${\gamma }_0\mathrm{.}$

Рассмотрим случай, когда движение по циклу идет по часовой стрелке. Определим прямые $x_1={\mathcal{l}}_1$ и $x_1={\mathcal{l}}_2,$ которые являются вертикальными касательными к траектории ${\gamma }_0\mathrm{,}$ такие, что ${\mathcal{l}}_1<{\mathcal{l}}_2,$ левее прямой $x_1={\mathcal{l}}_1$ и правее прямой $x_1={\mathcal{l}}_2$ нет точек данной траектории. Выберем точки $x\left(0\right)$ и $x\left(t^{*}\right)$ на кривой ${\gamma }_0\mathrm{,}$ так, что $x_1\left(0\right)={\mathcal{l}}_1,$ $x_1\left(t^{*}\right)={\mathcal{l}}_2;$ тогда на кривой ${\gamma }_0$ найдутся точки $y\left(0\right)$ и $y\left(t^{*}\right)={\phi }_0(t^{*},y(0\left)\right)$ такие, что $y\left(0\right)>x\left(0\right)$ и $y\left(t^{*}\right)<x\left(t^{*}\right).$ Следовательно, существует $t^{*}>\mathrm{0,}$ такое, что $R_i\left(0\right)<\mathrm{0,}$ $R_i\left(t^{*}\right)>0$ при $i=\mathrm{1,2.}$ Получили противоречие, так как последнее свойство не может выполняться для систем первых трех классов. Аналогичное доказательство справедливо в случае, когда движение по циклу идет против часовой стрелки (здесь нужно построить горизонтальные касательные к периодической траектории).

Замечание 3.1. Если линейная система второго порядка $\dot{x}=Ax$ принадлежит второму или третьему классу, то собственные значения матрицы A вещественные. Следовательно, особая точка $x=0$ не может быть фокусом или центром.

Пример 3.1. Приведем следствие теоремы 3.1 для уравнения нелинейных колебаний

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+f\left(x\right)\frac{dx}{dt}+g\left(x\right)=\mathrm{0,}$ (3.3)

где функции $f\left(x\right)$ и $g\left(x\right)$ непрерывно дифференцируемы. Отметим, что достаточные условия для того, чтобы уравнение (3.3) имело устойчивый предельный цикл, получены в работе А. Ф. Филиппова [9].

Следствие 3.1. Если в некоторой области $D\subseteq {ℝ}^2$ выполнено неравенство

$f^{\text{'}}\left(x_1\right)x_2+g^{\text{'}}\left(x_1\right)<\mathrm{0,}$ (3.4)

то в этой области нет периодических решений.

Доказательство. Рассмотрим систему, соответствующую данному уравнению

${\dot{x}}_1=x_2,{\dot{x}}_2=-f\left(x_1\right)x_2-g\left(x_1\right).$

Найдем $\frac{\partial P}{\partial x_2}=\mathrm{1,}$ $\frac{\partial Q}{\partial x_1}=-f^{\text{'}}\left(x_1\right)x_2-g^{\text{'}}\left(x_1\right);$ поэтому при выполнении неравенства (3.4) указанная система относится ко второму классу. В силу теоремы 3.1 данная система не может иметь периодических решений в области $G\mathrm{.}$ 

Об авторах

Людмила Ивановна Родина

ФГБОУ ВО «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»; ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Автор, ответственный за переписку.
Email: LRodina67@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-1077-2189

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры функционального анализа и его приложений, Владимирский государственный университет им. А. Г. и Н. Г. Столетовых; профессор кафедры математики, Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Россия, 600000, Владимир, ул. Горького, 87; 119049, Москва, Ленинский проспект, 4

Список литературы

Дополнительные файлы