Some questions connected with implementation of attraction sets accurate to a predetermined neighborhood

Введение

Настоящая статья продолжает исследование [1]. Основным предметом настоящего исследования являются множества притяжения (МП) в задачах о достижимости в топологических пространствах (ТП) с ограничениями асимптотического характера (ОАХ). Упомянутые ОАХ могут возникать при последовательном ослаблении стандартных ограничений (неравенства $—$ в задачах математического программирования; краевые и промежуточные условия, фазовые ограничения $—$ в задачах управления), но могут задаваться и изначально (см., в частности, [2, 3]). Так или иначе возникает непустое семейство множеств в пространстве обычных (доступных для непосредственного применения) решений, которое без потери общности можно считать направленным (двойственно к упорядоченности по включению). Предполагая, что каждому обычному решению (или управлению) сопоставляется точка топологического пространства (ТП), мы имеем некоторое целевое отображение (ЦО). Образы множеств с точками в виде обычных решений (управлений) при действии ЦО можно трактовать как аналоги областей достижимости (ОД) в задачах управления (см. в этой связи [4-6]). Известно, что ослабление стандартных ограничений в задачах управления зачастую приводит к скачкообразному расширению ОД. Возникающее при этом предельное множество, отвечающее семейству ОД при ослабленных условиях, является МП, реализуемым (в задачах об исследовании ОД управляемой системы с конечномерным фазовым пространством) в обычной секвенциальной форме, что соответствует идейно конструкциям на основе приближенных решений Дж. Варги (см. [7, гл. III]) в задачах оптимизации и, в частности, в задачах оптимального управления. Однако подход, связанный с построением МП в задачах о достижимости с ОАХ, является намного более общим; он охватывает, в частности, и уже упоминавшиеся случаи, когда ОАХ не связаны с ослаблением каких-либо стандартных ограничений. С другой стороны, в рамках данного подхода, базирующегося на конструкциях общей топологии, неестественным является и исключительно секвенциальный вариант реализации элементов МП; здесь уже имеет смысл использовать направленности и фильтры в качестве аналогов приближенных решений Дж. Варги. Отметим, что при таком (расширенном) определении МП удается охватить и некоторые, далекие на первый взгляд от ОД управляемых систем, объекты. Так, в [1] указан вариант МП в пространстве ультрафильтров (у/ф) широко понимаемого измеримого пространства (ИП): имеется в виду «совокупность» у/ф, мажорирующих наперед заданный фильтр.

Вместе с тем следует отметить, что МП являются по самому смыслу обобщенными пределами некоторых «настоящих» достижимых множеств (ДМ) (в задачах управления таковыми следует признать замыкания обычных ОД; замыкание здесь выступает в роли несущественной «технической» операции, не связанной с ослаблением стандартных ограничений исходной задачи). Упомянутые ДМ отвечают всякий раз стандартному ограничению на выбор обычного решения (управления) в виде множества из семейства, порождающего ОАХ; при этом соответствующее МП является п/м каждого такого ДМ. Вполне естественным является вопрос о реализации МП в классе ДМ, соответствующих семейству, порождающему ОАХ, с точностью до любой наперед выбранной окрестности исходного МП (т. е. о реализации уже не только в пределе). В этой связи отметим построения [8, 3.6], естественное развитие которых осуществляется в настоящей работе. В частности, мы рассматриваем, продолжая [1] , данные построения в пространстве у/ф при оснащении топологиями стоуновского и волмэновского типов.

В связи с общими вопросами построения расширений задач о достижимости с ОАХ отметим, что здесь вполне применимы методы, использовавшиеся в случае экстремальных задач и, в частности, задач оптимального управления. Особо отметим подход Дж. Варги (см. [7, гл. III,IV]); в частности, напомним понятия точных, приближенных и обобщенных решений в [7, гл. III]. Отметим исследования Р. В. Гамкрелидзе, касающиеся применения управлений-мер (мерозначных функций) в задачах оптимального управления и, в частности, в задаче быстродействия (см. [9]).

В задачах теории дифференциальных игр Н. Н. Красовский и А. И. Субботин широко использовали конструкции решения с приближенным соблюдением фазовых ограничений в виде сечений стабильных мостов, что позволило установить фундаментальную теорему об альтернативе (см.[10, 11]). Кроме того, в их работах использовались управления-меры на этапе построения программных конструкций для решения нелинейных дифференциальных игр (см.[11]). Отметим в этом направлении также монографию [12] и серию журнальных публикаций в связи с методом программных итераций, где применялись управления-меры.

Для построения расширений в задачах импульсного управления Н. Н. Красовскийпредложил использовать аппарат обобщенных функций (см. [4, гл. 4, 14]), что впоследствии стало основой в конструкциях импульсного управления. Для линейных систем управления с ограничениями импульсного и моментного характера и разрывностью в коэффициентах при управляющих воздействиях (в [2, 3, 8, 13, 14] и ряде других работ) использовались процедуры расширения в классе конечно-аддитивных мер как в случае экстремальных задач, так и в случае задач о достижимости, где с их помощью определялись МП в классе обобщенных управлений. Этот подход получил естественное развитие в виде конструкций, использующих у/ф широко понимаемых ИП (см. [1, 15, 16]).

1. Основные понятия

В статье используется стандартная теоретико-множественная символика (кванторы, связки и др.); $\varnothing$ $—$ пустое множество, $\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}$ $—$ равенство по определению, $\text{def}$ заменяет фразу «по определению». Семейством называем множество, все элементы которого $—$ множества. Принимаем аксиому выбора. Если $x$ и $y$ $—$ объекты, то $\mathrm{<mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>;</mo>}y\mathrm{<mo>\}</mo>}$ есть $\text{def}$ непустое множество, содержащее $x\mathrm{,}$ $y$ и не содержащее никаких других элементов. Тогда каждому объекту $z$ сопоставляется синглетон $\mathrm{<mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>\}</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>;</mo>}z\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ содержащий $z\mathrm{<mo>:</mo>}z\in \mathrm{<mo>\{</mo>}z\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Множества $—$ объекты и, следуя [17, с. 67], полагаем для объектов $u$ и $v\mathrm{,}$ что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo><mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo>\}</mo><mo>;</mo><mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo>;</mo>}v\mathrm{<mo>\}</mo><mo>\}</mo>,}$ получая упорядоченную пару (УП) с первым элементом $u$ и вторым элементом $v\mathrm{.}$ Для каждой УП $h$ через ${\text{pr}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\text{pr}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначаем первый и второй элементы $h\mathrm{,}$ однозначно определяемые условием $h\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\text{pr}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\text{pr}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Множеству $H$ сопоставляем семейство $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ всех подмножеств (п/м) $H$ и $\mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}\varnothing \mathrm{<mo>\}</mo>}$ (семейство всех непустых п/м $H$ ); $\text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть $\text{def}$ семейство всех конечных множеств из $\mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ В качестве $H$ может использоваться семейство. Множеству $\mathbb{M}$ и (непустому) семейству $\mathcal{M}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ сопоставляем семейство

$C_{\mathbb{M}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\mathbb{M}\backslash M\mathrm{<mo>:</mo>}M\in \mathcal{M}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1.1)

двойственное к $\mathcal{M}\mathrm{.}$ Если $\mathcal{A}$ $—$ непустое семейство и $B$ $—$ множество, то

$\mathcal{A}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_B\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}A\cap B\mathrm{<mo>:</mo>}A\in \mathcal{A}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (1.2)

есть след $\mathcal{A}$ на $B\mathrm{.}$ Используем (1.1), (1.2) в конструкциях, связанных с топологией. Если $\mathcal{H}$ $—$ семейство и $S$ $—$ множество, то

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}H\in \mathcal{H}|S\subset H\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}H\in \mathcal{H}|H\subset S\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{H}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Наконец, множеству $\mathbb{X}$ и (непустому) семейству $\mathcal{X}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ сопоставляем семейство

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{COV}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathbb{X}|\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\chi \in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\mathbb{X}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{X\in \chi }{\cup }}X\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{X}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

всех покрытий $\mathbb{X}$ множествами из $\mathcal{X}\mathrm{.}$ Если $P$ и $Q$ $—$ множества, то $Q^P$ есть $\text{def}$ множество всех функций из $P$ в $Q$ (при $f\in Q^P$ и $x\in P$ в виде $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q$ имеем значение функции $f$ в точке $x$ ); при $g\in Q^P$ и $C\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в виде $g^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}C\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\in C\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеем образ $C$ при действии $g$ (для прообраза множества $M\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при действии $g$ используем стандартное обозначение $g^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ). Если $\mathbb{A}$ и $\mathbb{B}$ $—$ непустые множества и $f\in {\mathbb{B}}^{\mathbb{A}}\mathrm{,}$ то

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}A\in \mathcal{A}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall \mathcal{A}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (1.3)

$\mathrm{<mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathcal{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}{f}^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}B\in \mathcal{B}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall \mathcal{B}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$

семейства, определяемые в (1.3), называем образом и прообразом соответствующих подсемейств $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{B}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно.

Через $ℝ$ обозначаем вещественную прямую, $\mathbb{N}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>1<mo>;</mo>2<mo>;</mo>}\dots \mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$\overline{\mathrm{1,}n}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}k\in \mathbb{N}|k⩽n\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall n\in \mathbb{N}\mathrm{.}$

Мы полагаем, что элементы $\mathbb{N}\mathrm{,}$ т. е. натуральные числа, множествами не являются. С учетом этого для каждых множества $H$ и числа $n\in \mathbb{N}$ вместо $H^{\overline{\mathrm{1,}n}}$ используем более традиционное обозначение $H^n$ для множества всех отображений из $\overline{\mathrm{1,}n}$ в $H\mathrm{,}$ именуемых далее кортежами («длины» $n$ ). В дальнейшем используем индексную форму записи функций (см. [18, с. 20,21]) и, в частности, кортежей.

Специальные семейства. Фиксируем до конца настоящего раздела множество $I\mathrm{.}$ В виде

$\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\mathcal{I}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}|\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varnothing \in \mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}I\in \mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A\cap B\in \mathcal{I}\forall A\in \mathcal{I}\forall B\in \mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ (1.4)

имеем семейство всех $\pi$ -систем [19, с. 14] п/м $I$ с «нулем» и «единицей». Среди всевозможных $\pi$ -систем из семейства (1.4) выделяем отделимые:

${\tilde{\pi }}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\mathcal{I}\in \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall L\in \mathcal{I}\forall x\in I\backslash L\exists \Lambda \in \mathcal{I}\mathrm{<mo>:</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\in \Lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\Lambda \cap L\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

есть семейство всех отделимых $\pi$ -систем из (1.4). В качестве примера $\pi$ -системы отметим полуалгебру множеств (см. [20, гл. I]). При этом $\forall \mathcal{L}\in \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall A\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall n\in \mathbb{N}$ 

${\Delta }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\in \overline{\mathrm{1,}n}}\in {\mathcal{L}}^n|\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{n}{\cup }}}{L}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{L}_p\cap L_q\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \forall p\in \overline{\mathrm{1,}n}\forall q\in \overline{\mathrm{1,}n}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}p\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

(введены упорядоченные конечные разбиения $A$ множествами $\pi$ -системы $\mathcal{L}$ ). Тогда

$\Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\mathcal{I}\in \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}\forall J\in \mathcal{I}\exists n\in \mathbb{N}\mathrm{<mo>:</mo>}{\Delta }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\backslash J\mathrm{,}\mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \varnothing \mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{\pi }}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (1.5)

(заметим, что $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ). Итак, при $\mathcal{I}\in \Pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ мы имеем вариант отделимой $\pi$ -системы; заметим, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{,}\mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть в этом случае измеримое пространство (ИП) с полуалгеброй множеств (алгебры и $\sigma$ -алгебры п/м $I$ $—$ суть частные случаи полуалгебр). Вообще, при $\mathcal{I}\in \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ мы рассматриваем $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{,}\mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ как широко понимаемое ИП; отметим. что в этом случае в виде

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{Cen}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\mathcal{Z}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|{\displaystyle \underset{Z\in \mathcal{K}}{\cap }}Z\ne \varnothing \forall \mathcal{K}\in \text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

реализуется семейство всех непустых центрированных подсемейств $\mathcal{I}\mathrm{.}$

2. Элементы топологии

В настоящем разделе мы сосредоточимся на некоторых представлениях топологических пространств (ТП), так или иначе связанных с вопросами отделимости и свойствами окрестностей. Однако, сначала введем ряд общих обозначений, фиксируя до тех пор, пока не будет оговорено противное, множество $I\mathrm{<mo>;</mo>}$ тогда в виде

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\tau \in \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|{\displaystyle \underset{G\in \mathcal{G}}{\cup }}G\in \tau \forall \mathcal{G}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|{\displaystyle \underset{G\in \mathcal{G}}{\cup }}G\in \tau \forall \mathcal{G}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

имеем семейство всех топологий на множестве $I\mathrm{.}$ При $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ в виде $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеем ТП, а в виде $C_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ семейство всех замкнутых в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ п/м $I\mathrm{<mo>;</mo>}$ при $x\in I$ полагаем, что $N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}G\in \tau |x\in G\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и

$N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}H\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\exists G\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}G\subset H\mathrm{<mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}H\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \varnothing \mathrm{<mo>\}</mo>}$ (2.1)

 (фильтр [21, гл. I] окрестностей $x$ в ТП $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ), $N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tau \cap N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ По аналогии с (2.1) вводим окрестности множеств: если $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $A\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то $N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}G\in \tau |A\subset G\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и

$N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}H\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\exists G\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}G\subset H\mathrm{<mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}H\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \varnothing \mathrm{<mo>\}</mo><mo>;</mo>}$ (2.2)

ясно, что мы получаем два непустых подсемейства $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Конечно, при $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $x\in I$ имеем равенства

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{N}_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Мы полагаем далее, что

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{D}-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall x\in I\forall y\in I\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>\}</mo>}\exists G\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}y\notin G\mathrm{<mo>\}</mo>,}$ (2.3)

$\begin{array}{r}\hfill {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall x\in I\forall y\in I\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>\}</mo>}\\ \hfill \exists G_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\exists G_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{G}_1\cap G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo>\}</mo>,}\end{array}$ (2.4)

$\begin{array}{r}\hfill {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall F\in C_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall x\in I\backslash F\exists G_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\\ \hfill \exists G_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{G}_1\cap G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo>\}</mo>,}\end{array}$ (2.5)

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{reg}-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{D}-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (2.6)

В (2.3) имеем семейство всех достижимых топологий на $I$ (т. е. топологий, превращающих $I$ в достижимые [22, c. 191] ТП), в (2.4) $—$ семейство всех хаусдорфовых топологий ( $T_2$ -топологий) на $I\mathrm{<mo>;</mo>}$ (2.5) определяет семейство всех топологий на $I\mathrm{,}$ превращающих $I$ в $T_3$ -пространство; (2.6) $—$ семейство всех топологий на $I\mathrm{,}$ реализующих каждая регулярное ТП с «единицей» $I\mathrm{.}$ В виде

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall \xi \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{COV}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I|\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\exists \mathcal{K}\in \text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}I\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{G\in \mathcal{K}}{\cup }}G\mathrm{<mo>\}</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|{\displaystyle \underset{F\in \mathcal{F}}{\cap }}F\ne \varnothing \forall \mathcal{F}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{Cen}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$

(мы учитываем, что $C_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tilde{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in \pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ при $\tilde{\tau }\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ) имеем семейство всех топологий, превращающих $I$ в компактное ТП; будем называть такие топологии компактными. Особо выделяем

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}$

при $\tau \in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ называем ТП $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ компактом. При $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ в виде

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}K\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\forall \mathcal{G}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\subset {\displaystyle \underset{G\in \mathcal{G}}{\cup }}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Rightarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists \mathcal{K}\in \text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{G}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}K\subset {\displaystyle \underset{G\in \mathcal{K}}{\cup }}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

имеем семейство всех компактных в ТП $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ п/м $I$ (всегда $\varnothing \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ). Отметим теперь ряд простых следствий известных определений (2.3)$–$(2.6), использующих [23, следствие 3.1.5, теорема 3.1.6] и используемых в дальнейшем. Так, в частности,

$\begin{array}{r}\hfill \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{\mathbb{F}\in \mathcal{F}}{\cap }}\mathbb{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\mathcal{K}\in \text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{\mathbb{F}\in \mathcal{K}}{\cap }}\mathbb{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall \mathcal{F}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{C}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}\\ \hfill \mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{\mathbb{F}\in \mathcal{F}}{\cap }}\mathbb{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\mathcal{K}\in \text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\cup }}{N}_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{\mathbb{F}\in \mathcal{K}}{\cap }}\mathbb{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall \mathcal{F}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{C}_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>.}\end{array}$ (2.7)

В представлении (2.7) проявляется эквивалентность открытых и произвольных (см. [21, гл. I]) окрестностей множеств; по этой причине далее мы будем ограничиваться, как правило, представлениями в терминах открытых окрестностей.

Замечание 2.1. В связи с (2.7) полезно отметить аналогию, касающуюся условий счетной компактности. В этой связи заметим, что

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{\mathbb{N}}-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{G}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\in \mathbb{N}}\in {\tau }^{\mathbb{N}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}I\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{i\in \mathbb{N}}{\cup }}{G}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Rightarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists n\in \mathbb{N}\mathrm{<mo>:</mo>}I\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{n}{\cup }}}{G}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

есть семейство всех топологий, превращающих $I$ в счетно компактное ТП. Тогда, используя аналоги конструкции [8, предложение 3.6.2], получаем, что

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{c}_{\mathbb{N}}-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{i\in \mathbb{N}}{\cap }}{F}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\in \mathbb{N}}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{k}{\cap }}}{F}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{F}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\in \mathbb{N}}\in C_I{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{\mathbb{N}}\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

В развитие [8, теорема 3.1.6] отметим весьма очевидное представление

$\begin{array}{r}\hfill {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall K_1\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall K_2\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \in \text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\\ \hfill \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_1\cap K_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Rightarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists G_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\exists G_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}{G}_1\cap G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}\end{array}$ (2.8)

(в (2.8) имеем понятное свойство: в $T_2$ -пространстве компактные множества ведут себя как точки). Аналогичное представление реализуется для $T_3$ -пространств:

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall A\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$

$\forall B\in C_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\cap B\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Rightarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists G_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\exists G_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}{G}_1\cap G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>.}$

Отметим здесь полезное следствие, касающееся аналогичных представлений для регулярных ТП:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{reg}-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{D}-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\forall A\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$

$\forall B\in C_I\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\cap B\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Rightarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists G_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\exists G_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}{G}_1\cap G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>.}$

Отметим здесь же, что при $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ $n\in \mathbb{N}$ и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\in \overline{\mathrm{1,}n}}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \in \text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^n$ 

${\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{n}{\cup }}}{K}_i\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \in \text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Тогда из (2.8) извлекается полезное следствие: если $\tau \in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ $n\in \mathbb{N}$ и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\in \overline{\mathrm{1,}n}}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}I{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^n\mathrm{,}$ то

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{K}_r\cap K_s\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \forall r\in \overline{\mathrm{1,}n}\forall s\in \overline{\mathrm{1,}n}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}r\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$

$\Rightarrow \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{G}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\in \overline{\mathrm{1,}n}}\in {\displaystyle \prod _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^n}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{K}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}{G}_r\cap G_s\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \forall r\in \overline{\mathrm{1,}n}\forall s\in \overline{\mathrm{1,}n}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>}r\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Непрерывные и замкнутые отображения.

Фиксируем в настоящем пункте непустые множества $X$ и $Y\mathrm{,}$ а также топологии ${\tau }_1\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и ${\tau }_2\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ В виде

$C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}f\in Y^X|f^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset {\tau }_1\mathrm{<mo>\}</mo>}$

имеем множество всех непрерывных в смысле ТП $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функций из $Y^X\mathrm{.}$ Множество всех замкнутых отображений из $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть

$C_{\text{cl}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}f\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|f^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\tau }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset C_Y\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>.}$

Наконец, почти совершенные отображения [23, с. 287] из $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ образуют множество $C_{ap}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}f\in C_{\text{cl}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}Y\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|f^{-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>\{</mo>}y\mathrm{<mo>\}</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tau }_1-\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall y\in Y\mathrm{<mo>\}</mo>.}$

Замыкание.

Если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть ТП, т. е. $H$ $—$ множество и $\tau \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ а $A\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то

$\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}h\in H|G\cap A\ne \varnothing \forall G\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}h\in H|S\cap A\ne \varnothing \forall S\in N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{F\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\cap }}F\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{C}_H\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

3. Множества притяжения

В настоящем разделе мы обращаемся к проблеме о достижимости в ТП при ограничениях асимптотического характера (ОАХ). Решение данной задачи естественно связать с множеством притяжения (МП), которое по сути является регуляризованным вариантом образа множества. Конкретный вариант данной проблемы можно связать с исследованием области достижимости (ОД) управляемой системы (см. 4, c. 116], [6, раздел 4.2]).

Фиксируем непустое множество $E\mathrm{,}$ точки которого называем обычными решениями или обычными управлениями в зависимости от контекста; п/м $E$ могут выступать в качестве способов задания ограничений. Мы допускаем использование в этом качестве и непустых подсемейств $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; среди последних будем выделять направленные подсемейства. В виде

$\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\mathcal{E}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}|\forall {\Sigma }_1\in \mathcal{E}\forall {\Sigma }_2\in \mathcal{E}\exists {\Sigma }_3\in \mathcal{E}\mathrm{<mo>:</mo>}{\Sigma }_3\subset {\Sigma }_1\cap {\Sigma }_2\mathrm{<mo>\}</mo>}$ (3.1)

имеем семейство всех направленных (двойственно к вложению) подсемейств $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Заметим, что ${\beta }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\mathcal{B}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}|\varnothing \notin \mathcal{B}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ есть семейство всех баз фильтров п/м $E\mathrm{<mo>;</mo>}$ данное семейство играет важную роль в построениях общей топологии (см. [21, гл. I]). Если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть ТП, $X\ne \varnothing \mathrm{,}$ $f\in X^E$ и $\mathcal{E}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ то полагаем, что

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}{\displaystyle \underset{\Sigma \in \mathcal{E}}{\cap }}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}$ (3.2)

мы называем (3.2) МП при ОАХ в виде направленного семейства $\mathcal{E}$ и целевом отображении $f$ (заметим, что МП рассматривались [24, (2.3)] и для случая произвольных непустых подсемейств $\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ но мы будем ограничиваться вариантом (3.2) для $\mathcal{E}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ имея в виду простую связь [24, (2.2),(2.3)] с более общими построениями (см. также [24, предложение 1])). В связи с выбором целевого отображения $f$ в (3.2) напомним одно полезное множество, использовавшееся в [25]: для произвольного ТП $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}X\ne \varnothing \mathrm{,}$ 

$F_c^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}f\in X^E|f^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>,}$ (3.3)

где ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}H\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\exists K\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}H\subset K\mathrm{<mo>\}</mo>.}$ Последнее понятие содержательно при условии отделимости $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ А именно: для непустого множества $X$ и топологии $\tau \in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (см. (2.4))

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}H\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}H\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.4)

Из (3.2)$–$( 3.4) имеем, конечно, свойство: для непустого множества $X\mathrm{,}$ $\tau \in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (т. е. для хаусдорфова ТП $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}X\ne \varnothing$ ), $f\in F_c^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $\mathcal{E}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ 

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (3.5)

(в частности, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in C_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ). В связи с (3.3) отметим полезную связь с понятием компактификатора [26] (здесь и ниже $\circ$ используется для обозначения композиции [23, c. 18] функций).

Предложение 3.1. Если $K$ и $X$ $—$ непустые множества, ${\tau }_1\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ ${\tau }_2\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ $m\in K^E$ и $g\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{,}{\tau }_1\mathrm{,}X\mathrm{,}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то

$g\circ m\in F_c^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}{\tau }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3.6)

Доказательство. Фиксируем $E\mathrm{,}\text{}$ $X\mathrm{,}\text{}$ ${\tau }_1\mathrm{,}\text{}$ ${\tau }_2\mathrm{,}\text{}$ $m$ и $g$ в соответствии с условиями. Тогда $g^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tau }_2-\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ (см. [23, c. 199]) и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\circ m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset g^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Тогда ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}g\circ m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tau }_2-\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Из (3.3) получаем нужное свойство (3.6).

Предложение 3.2. Если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}X\ne \varnothing \mathrm{,}$ есть $T_2$ -пространство (т. е. $\tau \in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ) и $f\in F_c^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ то

$N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in \mathcal{E}}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall \mathcal{E}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3.7)

Доказательство. Будем использовать (2.7). При этом согласно (3.3) для некоторого $\mathbb{K}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ 

$f^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathbb{K}\mathrm{.}$ (3.8)

Тогда (см. (1.2)) $\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c-\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\mathbb{K}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{K}\mathrm{,}\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ непустой (см. (3.8)) компакт. При этом, в частности, $\mathbb{K}\in C_X\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Пусть $\mathcal{E}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>;</mo>}$ тогда (см. (3.8))

$\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathbb{K}\forall \Sigma \in \mathcal{E}\mathrm{.}$

Как следствие получаем, что

$\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C_{\mathbb{K}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall \Sigma \in \mathcal{E}\mathrm{.}$

В итоге получаем очевидное свойство

$\mathcal{F}\stackrel{\Delta }{\mathrm{<mo>=</mo>}}\mathrm{<mo>\{</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}\Sigma \in \mathcal{E}\mathrm{<mo>\}</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo>\text{'}</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{C}_{\mathbb{K}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.9)

Теперь воспользуемся свойством (7): имеем равенство

$N_{\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in \mathcal{E}}{\cap }}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\mathcal{K}\in \text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\cup }}{N}_{\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{F\in \mathcal{K}}{\cap }}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

С учетом (3.2) получаем, как следствие, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathbb{K}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$N_{\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\mathcal{K}\in \text{Fin}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mathcal{F}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\cup }}{N}_{\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{F\in \mathcal{K}}{\cap }}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3.10)

Пусть $\mathbb{G}\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ Тогда $\mathbb{G}\cap \mathbb{K}\in N_{\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и, согласно (3.9), (3.10) для некоторых $n\in \mathbb{N}$ и ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Sigma }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{i\in \overline{\mathrm{1,}n}}\in {\mathcal{E}}^n$ 

$\mathbb{G}\cap \mathbb{K}\in N_{\tau {\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\mathbb{K}}}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{n}{\cap }}}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Sigma }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3.11)

При этом (см. (3.1)) рассуждением по индукции устанавливается, что для некоторого $\Xi \in \mathcal{E}$ 

$\Xi \subset {\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{n}{\cap }}}{\Sigma }_i$

(см. [13, (3.3.16)]). Тогда, как следствие, $\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset {\displaystyle \underset{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{n}{\cap }}}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Sigma }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ а потому (см. (3.11)) $\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathbb{G}\cap \mathbb{K}\subset \mathbb{G}$; это означает, что $\mathbb{G}\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и, тем более,

$\mathbb{G}\in {\displaystyle \underset{\Sigma \in \mathcal{E}}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Поскольку выбор $\mathbb{G}$ был произвольным, установлено вложение

$N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset {\displaystyle \underset{\Sigma \in \mathcal{E}}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3.12)

С другой стороны, в силу (3.2) имеем свойство

$N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{\Sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\forall \tilde{\Sigma }\in \mathcal{E}\mathrm{.}$

Последнее свойство доставляет вложение, противоположное (3.12), и, следовательно, равенство

$N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in \mathcal{E}}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Поскольку выбор $\mathcal{E}$ был произвольным, (3.7) установлено.

Из (2.1) и предложения 3.2 легко следует свойство: если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}X\ne \varnothing \mathrm{,}$ есть $T_2$ -пространство, $f\in F_c^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $\mathcal{E}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ то

$N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in \mathcal{E}}{\cup }}{N}_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3.13)

С учетом (3.2) и (3.13) получаем, конечно, что для всяких $T_2$ -пространства $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}X\ne \varnothing \mathrm{,}$ $f\in F_c^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ $\mathcal{E}\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $H\in N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}$ непременно

$\exists \Sigma \in \mathcal{E}\mathrm{<mo>:</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset \text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset H\mathrm{<mo>;</mo>}$ (3.14)

при этом $N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\subset N_{\tau }\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}\mathcal{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ В (3.14) мы имеем свойство реализуемости МП с точностью до любой наперед выбранной окрестности в классе замыканий образов множеств из семейства $\mathcal{E}\mathrm{<mo>;</mo>}$ имеется в виду реализация в виде вилки.

Теорема 3.1. Если $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}X\ne \varnothing \mathrm{,}$ есть $T_2$ -пространство ( $X$ $—$ непустое множество и $\tau \in {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{top}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ ), $f\in F_c^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ ${\mathcal{E}}_1\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и ${\mathcal{E}}_2\in \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ то

$\begin{array}{r}\hfill \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\iff \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists {\Sigma }_1\in {\mathcal{E}}_1\exists {\Sigma }_2\in {\mathcal{E}}_2\\ \hfill \exists G_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Sigma }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\exists G_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Sigma }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}{G}_1\cap G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (3.15)

Доказательство. Пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $f\mathrm{,}$ ${\mathcal{E}}_1$ и ${\mathcal{E}}_2$ удовлетворяют условиям предложения. Тогда, в частности, $f\in X^E\mathrm{<mo>;</mo>}$ при этом

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall \Sigma \in {\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{\Sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathcal{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall \tilde{\Sigma }\in {\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Справедливы (см. (3.2), (3.5)) следующие равенства

$\begin{array}{r}\hfill \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in {\mathcal{E}}_1}{\cap }}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\\ \hfill \mathrm{<mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in {\mathcal{E}}_2}{\cap }}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau -\text{comp}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}\end{array}$ (3.16)

С учетом предложения 3.2 получаем, что (см. (3.16))

$N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in {\mathcal{E}}_1}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (3.17)

$N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{\Sigma \in {\mathcal{E}}_2}{\cup }}{N}_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (3.18)

Далее, из (2.8) и (3.16) вытекает импликация

$\begin{array}{l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\cap \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Rightarrow \hfill \\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists G_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\exists G_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo>}{G}_1\cap G_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}$ (3.19)

Пусть истинна посылка импликации (3.19). Тогда для некоторых

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathbb{G}}_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathbb{G}}_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{AS}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}E\mathrm{<mo>;</mo>}X\mathrm{<mo>;</mo>}\tau \mathrm{<mo>;</mo>}f\mathrm{<mo>;</mo>}{\mathcal{E}}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (3.20)

имеем равенство ${\mathbb{G}}_1\cap {\mathbb{G}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing \mathrm{.}$ В силу (3.17), (3.18) и (3.20) имеем, что для некоторых ${\Sigma }^{\prime }\in {\mathcal{E}}_1$ и ${{\Sigma }^{\prime }}^{\prime }\in {\mathcal{E}}_2$ 

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathbb{G}}_1\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Sigma }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\&</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathbb{G}}_2\in N_{\tau }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{cl}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{f}^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{{\Sigma }^{\prime }}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$