About complex operator functions of a complex operator variable

Введение

Актуальность изучения комплексных операторных функций комплексного операторного переменного обусловлена тем, что такие функции оказались полезным инструментом при исследовании линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве (см. [1, 2]).

Пусть $E$ - вещественное банахово пространство; $I\mathrm{,}O$ - соответственно тождественный и нулевой операторы в пространстве $E\mathrm{<mo>;</mo>}$ $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - вещественная банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих из $E$ в $E\mathrm{<mo>;</mo>}$ $G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{A\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}\exists A^{-1}\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{<mo>;</mo>}$ $E_{ℝ}^2\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{w\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{,}y\in E\right\}$ - банахово пространство комплексных векторов над полем вещественных чисел с линейными операциями $\left(x_1\mathrm{,}{y}_1\right)+\left(x_2\mathrm{,}{y}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(x_1+x_2\mathrm{,}{y}_1+y_2\right)\mathrm{,}$  $\alpha \left(x\mathrm{,}y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\alpha x\mathrm{,}\alpha y\right)$ и нормой $‖\left(x\mathrm{,}y\right)‖\mathrm{<mo>=</mo>}‖x‖+‖y‖$ (см. [3, c. 103]).

Условимся называть элементы алгебры $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ действительными операторами, а функции со значениями в $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ действительными операторными функциями.

Заметим, что $G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \varnothing \mathrm{.}$ Например, любой скалярный оператор $\alpha I\mathrm{,}$ $\alpha \in ℝ\mathrm{,}$ $\alpha \ne \mathrm{0,}$ принадлежит множеству $G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ ибо существует ${\left(\alpha I\right)}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\alpha }^{-1}I$ и ${\left(\alpha I\right)}^{-1}\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Пусть $X\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $r\mathrm{<mo>></mo>0.}$ Обозначим через $O_r\left(X\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{F\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}‖F-X‖\mathrm{<mo><</mo>}r\right\}$ открытый шар пространства $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с центром в $X$ радиуса $r\mathrm{.}$

Известно (см. [4, c. 229]), что множество $G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ открыто: если $A_0\in G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ то

$O_{{‖A_0^{-1}‖}^{-1}}\left(A_0\right)\subset G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Тогда, при любом $\alpha \in ℝ\mathrm{,}$ $\alpha \ne \mathrm{0,}$ учитывая равенство ${‖{\left(\alpha I\right)}^{-1}‖}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left|\alpha \right|\mathrm{,}$ получаем

$O_{\left|\alpha \right|}\left(\alpha I\right)\subset G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (0.1)

В случае $\alpha \mathrm{<mo>></mo>0}$ имеем $\left|\alpha \right|\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha$ и включение (0.1) принимает вид

$O_{\alpha }\left(\alpha I\right)\subset G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Заметим, что для всех $\alpha \mathrm{,}\beta \in ℝ\mathrm{,}$ $\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo>></mo>0,}$ выполнено

$\alpha \mathrm{<mo><</mo>}\beta \Rightarrow O_{\alpha }\left(\alpha I\right)\subset O_{\beta }\left(\beta I\right)\mathrm{.}$ (0.2)

Действительно, пусть $F\in O_{\alpha }\left(\alpha I\right)\mathrm{,}$ т. е. $\parallel F-\alpha I\parallel \mathrm{<mo><</mo>}\alpha \mathrm{.}$ Тогда

$‖F-\beta I‖\mathrm{<mo>=</mo>}‖\left(F-\alpha I\right)-\left(\beta -\alpha \right)I‖\le ‖\left(F-\alpha I\right)‖+‖-\left(\beta -\alpha \right)I‖$

$\mathrm{<mo><</mo>}\alpha +\left(\beta -\alpha \right)‖I‖\mathrm{<mo>=</mo>}\alpha +\beta -\alpha \mathrm{<mo>=</mo>}\beta \mathrm{.}$

Итак $\parallel F-\beta I\parallel \mathrm{<mo><</mo>}\beta \mathrm{,}$ т. е. $F\in O_{\beta }\left(\beta I\right)\mathrm{,}$ и включение (0.2) справедливо.

В работе [2] рассмотрена вещественная банахова алгебра

$\mathcal{A}\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_{ℝ}^{Oℂ}\left(E_{ℝ}^2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{Z\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A\mathrm{,}B\right)\mathrm{<mo>:</mo>}A\mathrm{,}B\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}$

ограниченных линейных комплексных операторов, действующих в пространстве $E_{ℝ}^2$ по закону:

$Zw\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Ax-By\mathrm{,}Ay+Bx\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

с линейными операциями $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1\mathrm{,}{B}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_2\mathrm{,}{B}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{A}_1+A_2\mathrm{,}{B}_1+B_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}A\mathrm{,}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha A\mathrm{,}\alpha B\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ операцией умножения

$\left(A_1\mathrm{,}{B}_1\right)\left(A_2\mathrm{,}{B}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A_1{A}_2-B_1{B}_2\mathrm{,}{A}_1{B}_2+B_1{A}_2\right)$ (0.3)

и нормой $‖Z‖\mathrm{<mo>=</mo>}‖\left(A\mathrm{,}B\right)‖\mathrm{<mo>=</mo>}‖A‖+‖B‖\mathrm{.}$

Каждый оператор $Z\in \mathcal{A}$ непрерывен, ибо, как известно (см. [5, c. 89]), для непрерывности линейного оператора $F\mathrm{,}$ отображающего нормированное пространство $N_1$ в нормированное пространство $N_2\mathrm{,}$ необходимо и достаточно, чтобы $F$ был ограничен (в нашем случае $N_1\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{A}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Алгебра $\mathcal{A}$ некоммутативна. Единицей в ней является оператор $\widehat{I}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(I\mathrm{,}O\right)\mathrm{,}$ нулевым элементом оператор $\widehat{O}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}O\mathrm{,}O\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Рассмотрим в алгебре $\mathcal{A}$ подалгебры вида

${\mathcal{A}}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\left(A\mathrm{,}O\right)\mathrm{<mo>:</mo>}A\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{,}$

${\mathcal{A}}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\left(O\mathrm{,}B\right)\mathrm{<mo>:</mo>}B\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{.}$

Алгебра $\mathcal{A}$ является прямой суммой ${\mathcal{A}}_1$ и ${\mathcal{A}}_2\mathrm{<mo>:</mo>}$ $\mathcal{A}\mathrm{<mo>=</mo>}{\mathcal{A}}_1\oplus {\mathcal{A}}_2\mathrm{.}$

Подалгебра ${\mathcal{A}}_1$ изоморфна алгебре $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при биекции $\left(A\mathrm{,}O\right)\leftrightarrow A\mathrm{,}$ поэтому можно считать, что $\mathcal{A}$ - расширение алгебры $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Любой элемент $\left(A\mathrm{,}O\right)$ подалгебры ${\mathcal{A}}_1$ можно отождествлять с соответствующим элементом $A\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}$ 

$\left(A\mathrm{,}O\right)\mathrm{<mo>=</mo>}A\forall A\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (0.4)

Учитывая соглашение (0.4) и операцию умножения (0.3), получаем для любых $A\text{}\in \text{}\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $\left(P\mathrm{,}Q\right)\in \mathcal{A}$ равенство

$A\left(P\mathrm{,}Q\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A\mathrm{,}O\right)\left(P\mathrm{,}Q\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(AP\mathrm{,}AQ\right)\mathrm{.}$ (0.5)

В силу равенств $\left(A\mathrm{,}B\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A\mathrm{,}O\right)+\left(O\mathrm{,}B\right)\mathrm{,}$ $\left(O\mathrm{,}B\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(O\mathrm{,}I\right)\left(B\mathrm{,}O\right)$ и соглашения (0.4) алгебру $\mathcal{A}$ можно представить в виде

$\mathcal{A}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{Z\mathrm{<mo>=</mo>}A+\text{J}B\mathrm{<mo>:</mo>}A\mathrm{,}B\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{,}$

где $\text{J}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(O\mathrm{,}I\right)$ - мнимая операторная единица.

В силу соглашения (0.4) ${\mathcal{A}}_1$ можно называть подалгеброй действительных операторов $A$ алгебры $\mathcal{A}\mathrm{<mo>;</mo>}$ ${\mathcal{A}}_2$ это подалгебра чисто мнимых операторов $\text{J}B$ алгебры $\mathcal{A}\mathrm{.}$

Учитывая (0.3), (0.4), получаем

${\text{J}}^{\text{2}}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{J}\cdot \text{J}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(-I\mathrm{,}O\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\left(I\mathrm{,}O\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\widehat{I}\mathrm{<mo>=</mo>}-I\mathrm{,}$ (0.6)

следовательно, допустима запись $\text{J}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{-I}\mathrm{.}$

Заметим, что

$\text{J}\left(x\mathrm{,}y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(-y\mathrm{,}x\right)\forall \left(x\mathrm{,}y\right)\in E_{ℝ}^2\mathrm{.}$

Для любого $Z\mathrm{<mo>=</mo>}A+\text{J}B\in \mathcal{A}$ имеем

$\text{J}Z\mathrm{<mo>=</mo>}Z\text{J}\mathrm{<mo>=</mo>}-B+\text{J}A\mathrm{,}$ (0.7)

в частности, $\text{J}B\mathrm{<mo>=</mo>}B\text{J}$ для любого $B\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ следовательно, оператор $Z\mathrm{<mo>=</mo>}A+\text{J}B$ можно записывать в виде $Z\mathrm{<mo>=</mo>}A+B\text{J}\mathrm{.}$

В дальнейшем важное значение будут иметь следующие множества в алгебре $\mathcal{A}\mathrm{<mo>:</mo>}$ 

${\mathcal{A}}_K\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{Z\mathrm{<mo>=</mo>}A+\text{J}B\in \mathcal{A}\mathrm{<mo>:</mo>}AB\mathrm{<mo>=</mo>}BA\right\}\mathrm{,}{\mathcal{A}}_G\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{Z\in \mathcal{A}\mathrm{<mo>:</mo>}\exists Z^{-1}\in \mathcal{A}\right\}\mathrm{.}$

Справедливы включения

${\mathcal{A}}_1\subset {\mathcal{A}}_K\mathrm{,}{\mathcal{A}}_2\subset {\mathcal{A}}_K\mathrm{,}$ (0.8)

ибо $FO\mathrm{<mo>=</mo>}OF$ для любого $F\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Выделим в ${\mathcal{A}}_K$ множество вида

${\Omega }_{\ast }\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{Z\mathrm{<mo>=</mo>}A+\text{J}B\in {\mathcal{A}}_K\mathrm{<mo>:</mo>}{A}^2+B^2\in G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{.}$

Известно (см. [2]), что для любого $Z\mathrm{<mo>=</mo>}A+\text{J}B\in {\Omega }_{\ast }$ существует обратный оператор $Z^{-1}$ и справедлива формула

$Z^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}A{\left(A^2+B^2\right)}^{-1}-\text{J}B{\left(A^2+B^2\right)}^{-1}\mathrm{,}$ (0.9)

из которой видно, что $Z^{-1}\in \mathcal{A}\mathrm{,}$ т. е. $Z\in {\mathcal{A}}_G\mathrm{.}$ Таким образом,

${\Omega }_{\ast }\subset {\mathcal{A}}_G\mathrm{.}$ (0.10)

Рассмотрим множества вида

${\mathcal{A}}_{1G}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\left(A\mathrm{,}O\right)\in {\mathcal{A}}_1\mathrm{<mo>:</mo>}A\in G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{,}$

${\mathcal{A}}_{2G}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\left(O\mathrm{,}B\right)\in {\mathcal{A}}_2\mathrm{<mo>:</mo>}B\in G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{.}$

В силу (0.8) справедливы включения

${\mathcal{A}}_{1G}\subset {\mathcal{A}}_K\mathrm{,}{\mathcal{A}}_{2G}\subset {\mathcal{A}}_K\mathrm{.}$

Для любого $Z\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A\mathrm{,}O\right)\in {\mathcal{A}}_{1G}$ имеем $A^2+B^2\mathrm{<mo>=</mo>}{A}^2\mathrm{,}$ следовательно, существует обратный оператор ${\left(A^2+B^2\right)}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(A^{-1}\right)}^2\mathrm{,}$ т. е. $A^2+B^2\in G\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Значит, $Z\in {\Omega }_{\ast }\mathrm{.}$ Показано, что

${\mathcal{A}}_{1G}\subset {\Omega }_{\ast }\mathrm{.}$ (0.11)

Аналогично получаем включение

${\mathcal{A}}_{2G}\subset {\Omega }_{\ast }\mathrm{.}$ (0.12)

В силу (0.11), (0.12)

${\mathcal{A}}_{1G}\cup {\mathcal{A}}_{2G}\subset {\Omega }_{\ast }\mathrm{,}$

следовательно, в силу (0.10)

${\mathcal{A}}_{1G}\cup {\mathcal{A}}_{2G}\subset {\mathcal{A}}_G\mathrm{.}$

Применяя формулу (0.9), получаем $Z^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A^{-1}\mathrm{,}O\right)$ для любого $Z\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A\mathrm{,}O\right)\in {\mathcal{A}}_{1G}\mathrm{<mo>;</mo>}$ $Z^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(O\mathrm{,}-B^{-1}\right)$ для любого $Z\mathrm{<mo>=</mo>}\left(O\mathrm{,}B\right)\in {\mathcal{A}}_{2G}\mathrm{.}$

В работе [6] рассмотрены действительные операторные функции $e^X\mathrm{,}$ $\sin X\mathrm{,}$ $\cos X\mathrm{,}$ $\text{tg}X\mathrm{,}$ $\text{ctg}X\mathrm{,}$ $\sec X\mathrm{,}$ $\text{cosec}X\mathrm{,}$ $\text{sh}X\mathrm{,}$ $\text{ch}X\mathrm{,}$ $\text{th}X\mathrm{,}$ $\text{cth}X\mathrm{,}$ $\text{sech}X\mathrm{,}$ $\text{cosech}X$ действительного операторного переменного $X\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ т. е. функции, принадлежащие семейству операторных функций

$S\left(\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{f\mathrm{<mo>:</mo>}\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\supseteq D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{f}{{\displaystyle \to }}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subseteq \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right\}\mathrm{.}$ (0.13)

В данной работе изучаются комплексные операторные функции, принадлежащие семейству

$S\left(\mathcal{A}\mathrm{,}\mathcal{A}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{f\mathrm{<mo>:</mo>}\mathcal{A}\supseteq D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\stackrel{f}{{\displaystyle \to }}R\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subseteq \mathcal{A}\right\}\mathrm{.}$ (0.14

1. Основные понятия

В силу того, что $\mathcal{A}$ представляет собой декартов квадрат алгебры $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ а предельный переход в декартовом произведении нормированных пространств равносилен покоординатному предельному переходу (см. [7, c. 19]), приходим к следующим заключениям.

Рассмотрим последовательность $Z_n\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_n+\text{J}{Y}_n\mathrm{,}$ $n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ элементов из $\mathcal{A}\mathrm{.}$ Пусть $H\mathrm{<mo>=</mo>}P+\text{J}Q\in \mathcal{A}\mathrm{.}$ Тогда

$\exists \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{Z}_n\mathrm{<mo>=</mo>}H\iff \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{X}_n\mathrm{<mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\wedge \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists \underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{Y}_n\mathrm{<mo>=</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

т. е. вопрос о сходимости последовательности элементов из $\mathcal{A}$ сводится к вопросу о сходимости двух последовательностей элементов из $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Рассмотрим ряд ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{Z}_k$ с членами $Z_k\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_k+\text{J}{Y}_k$ из $\mathcal{A}\mathrm{.}$ Пусть $S\mathrm{<mo>=</mo>}{S}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\text{J}{S}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ принадлежит $\mathcal{A}\mathrm{.}$ Имеем: ряд ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{Z}_k$ сходится и его сумма равна $S$ тогда и только тогда, когда сходятся ряды ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{X}_k\mathrm{,}$ ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{Y}_k$ и их суммы равны соответственно $S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ $S^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ Таким образом, вопрос о сходимости ряда с членами из $\mathcal{A}$ сводится к вопросу о сходимости двух рядов с членами из $\mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Рассмотрим функцию $W\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из семейства (0.14). Представляя $Z$ и $W$ в алгебраической форме: $Z\mathrm{<mo>=</mo>}X+\text{J}Y\mathrm{,}$ $W\mathrm{<mo>=</mo>}U+\text{J}V\mathrm{,}$ получаем $U+\text{J}V\mathrm{<mo>=</mo>}f\left(X+\text{J}Y\right)\mathrm{,}$ следовательно, $U\mathrm{<mo>=</mo>}U\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{,}$ $V\mathrm{<mo>=</mo>}V\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{.}$ Тогда функцию $W\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно записать в виде $W\mathrm{<mo>=</mo>}U\left(X\mathrm{,}Y\right)+\text{J}V\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{,}$ при этом $U\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{,}$ $V\left(X\mathrm{,}Y\right)$ называются соответственно действительной и мнимой частями функции $W\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}$ 

$Re\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}U\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{,}Im\left(f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}V\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{.}$

Например, для функции $W\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}^2\mathrm{,}$ $Z\in \mathcal{A}\mathrm{,}$ используя формулу (0.3) , получаем

$U\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{X}^2-Y^2\mathrm{,}V\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}XY+YX\mathrm{,}$

в частности, для $Z\in {\mathcal{A}}_K$ имеем $V\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{<mo>=</mo>2}XY\mathrm{.}$

Пусть $Z_0\mathrm{<mo>=</mo>}{X}_0+\text{J}{Y}_0$ - предельная точка множества $D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $H\mathrm{<mo>=</mo>}P+\text{J}Q\in \mathcal{A}\mathrm{.}$ Тогда

$\exists \underset{Z\to Z_0}{{\displaystyle \lim }}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\iff \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists \underset{\begin{array}{c}X\to X_0\\ Y\to Y_0\end{array}}{{\displaystyle \lim }}U\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\wedge \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\exists \underset{\begin{array}{c}X\to X_0\\ Y\to Y_0\end{array}}{{\displaystyle \lim }}V\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Так как непрерывность функции определяется с помощью предельного перехода, то непрерывность функции $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в данной точке $Z_0\in D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (на данном множестве $\Omega \subseteq D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ равносильна непрерывности ее действительной и мнимой частей в этой точке (на этом множестве).

Таким образом, исследование данной комплексной операторной функции из семейства (0.14) сводится к изучению пары действительных операторных функций двух действительных операторных переменных.

2. Основные результаты

Простейшими примерами комплексных операторных функций из семейства (0.14) являются следующие функции, определенные на $\mathcal{A}\mathrm{<mo>:</mo>}$ комплексная операторная степенная функция $W\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}^n\mathrm{,}$ $n\in \mathbb{N}$ (частный случай этой функции при $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$ рассмотрен выше); комплексная операторная рациональная функция

$W\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{G}_0{Z}^n+G_1{Z}^{n-1}+\dots +G_{n-1}Z+G_n\mathrm{,}$

где $n\in \mathbb{N}\mathrm{<mo>;</mo>}$ $G_i\in \mathcal{A}\mathrm{<mo>;</mo>}$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0<mo>;</mo>}n}\mathrm{<mo>;</mo>}$ $G_0\ne \widehat{O}\mathrm{.}$ При $n\mathrm{<mo>=</mo>1}$ получаем линейную функцию $W\mathrm{<mo>=</mo>}{G}_{0}Z+G_1\mathrm{<mo>;</mo>}$ при $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$ квадратичную функцию $W\mathrm{<mo>=</mo>}{G}_0{Z}^2+G_{1}Z+G_2\mathrm{.}$

В частности, коэффициентами полинома $P_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ могут быть действительные операторы $A_i\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0<mo>;</mo>}n}\mathrm{<mo>;</mo>}$ $A_0\ne O\mathrm{<mo>:</mo>}$ 

$W\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{A}_0{Z}^n+A_1{Z}^{n-1}+\dots +A_{n-1}Z+A_n\mathrm{.}$

В этом случае коэффициенты $A_i$ нужно рассматривать как комплексные операторы, и при умножении оператора $A_i$ на оператор $Z^{n-i}\mathrm{,}$ $i\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{\mathrm{0<mo>;</mo>}n-1}\mathrm{,}$ надо использовать формулу (0.5), так как функция $W\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ действует в алгебре $\mathcal{A}\mathrm{.}$

Примером комплексной операторной рациональной функции с действительными операторными коэффициентами является характеристический операторный полином линейного однородного дифференциального уравнения $n$ -го порядка в вещественном банаховом пространстве, использованный в работах [1, 2] для построения общего решения такого уравнения.

В дальнейшем понадобится

Замечание 2.1. Известно ([8, c. 129]), что из абсолютной сходимости ряда ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{u}_k$ с членами из банахова пространства следует его сходимость и, кроме того,

$\parallel {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}{u}_k\parallel \le {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\parallel u_k\parallel \mathrm{.}$

Рассмотрим комплексные операторные функции из семейства (0.14), определяемые суммами сходящихся комплексных операторных степенных рядов. Такие функции и соотношения между ними аналогичны случаю комплексных функций комплексного переменного (см. [9]).

1. Комплексная операторная экспоненциальная функция

По определению,

$e^Z\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{Z^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{,}$ (2.1)

для любого $Z\in \mathcal{A}$ (здесь, по определению, $Z^0\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{,}$ в частности, ${\widehat{O}}^0\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{<mo>;</mo>}$ $\mathrm{0<mo>!</mo><mo>=</mo>1}$ ).

Покажем, что определение (2.1) корректно. Убедимся вначале, что ряд

${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{Z^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}$ (2.2)

сходится абсолютно, т. е. сходится знакоположительный ряд

${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}‖\frac{Z^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}‖\mathrm{.}$ (2.3)

При $Z\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{O}$ ряд (2.3) имеет вид $1+0+\dots +0+\dots$ и его сумма равна $1.$ Пусть $Z\ne \widehat{O}\mathrm{.}$ Используя неравенство $‖Z^k‖\le {‖Z‖}^k\mathrm{,}$ $k\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ вытекающее из кольцевого свойства $‖Z_1{Z}_2‖\le ‖Z_1‖‖Z_2‖$ алгебры $\mathcal{A}\mathrm{,}$ имеем

$a_k\mathrm{<mo>=</mo>}‖\frac{Z^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}‖\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{‖Z^k‖}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\le \frac{{‖Z‖}^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{b}_k\mathrm{.}$

Применяя к ряду с $b_k$ признак Даламбера, получаем

$D\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{b_{k+1}}{b_k}\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{k\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{{‖Z‖}^{k+1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}\frac{{‖Z‖}^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}\underset{k\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{‖Z‖}{k+1}\mathrm{<mo>=</mo>0<mo><</mo>1,}$

следовательно, ряд с $b_k$ сходится. Значит, по первому признаку сравнения ряд с $a_k$ сходится, т. е. ряд (2.2) является абсолютно сходящимся. Следовательно, ряд (2.2) сходится (см. замечание 2.1). Корректность определения (2.1) установлена.

При значениях $Z\mathrm{<mo>=</mo>}\left(X\mathrm{,}O\right)\in {\mathcal{A}}_1$ функцию $e^Z$ можно записать, в силу соглашения (4), в следующем виде:

$e^X\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{X^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{,}$

т. е. определение комплексной операторной экспоненциальной функции $e^Z$ согласуется с определением действительной операторной экспоненциальной функции $e^X\mathrm{.}$

Аналогично, вводимые ниже определения других комплексных операторных функций из семейства (0.14) согласуются с определениями соответствующих действительных операторных функций из семейства (0.13).

Применяя теорему 61 из [8, c. 138] при

$B\mathrm{<mo>:</mo>}\mathcal{A}\times \mathcal{A}\to \mathcal{A}\mathrm{,}B\left(Z_1\mathrm{,}{Z}_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_1{Z}_2\mathrm{,}$

получаем 

Следствие 2.1. Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с членами из алгебры $\mathcal{A}$ является абсолютно сходящимся рядом и, значит, сходящимся рядом (см. замечание 2.1); сумма произведения этих рядов равна произведению сумм перемножаемых рядов.  

Теорема 2.1. Для любых $Z_1\mathrm{,}{Z}_2\in \mathcal{A}\mathrm{,}$ удовлетворяющих условию

$Z_1{Z}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_2{Z}_1\mathrm{,}$ (2.4)

справедливо основное свойство экспоненциальной функции:

$e^{Z_1+Z_2}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{Z_1}{e}^{Z_2}\mathrm{.}$ (2.5)

Доказательство. Рассмотрим абсолютно сходящиеся ряды, суммы которых определяют левую и правую части формулы (2.5):

$P\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{{\left(Z_1+Z_2\right)}^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{,}{P}_1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{Z_1^i}{i\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{,}{P}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{Z_2^j}{j\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{.}$

В силу условия (2.4) можно применить операторный бином Ньютона:

${\left(Z_1+Z_2\right)}^k\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>0}}^k}{C}_k^s{Z}_1^{k-s}{Z}_2^s\mathrm{.}$ (2.6)

Заметим, что

$\frac{1}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}{C}_k^s\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{s\mathrm{<mo>!</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{.}$ (2.7)

В силу (2.6), (2.7)

$P\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>0}}^k}\frac{Z_1^{k-s}{Z}_2^s}{s\mathrm{<mo>!</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{.}$ (2.8)

Используя произведение рядов в форме Коши, получаем

$P_1{P}_2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\displaystyle \sum _{i+j\mathrm{<mo>=</mo>}k}}\frac{Z_1^i{Z}_2^j}{i\mathrm{<mo>!</mo>}j\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\displaystyle \sum _{s\mathrm{<mo>=</mo>0}}^k}\frac{Z_1^{k-s}{Z}_2^s}{s\mathrm{<mo>!</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k-s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{.}$ (2.9)

В силу (2.8), (2.9) $P\mathrm{<mo>=</mo>}{P}_1{P}_2\mathrm{.}$ Значит, в силу следствия 2.1 справедливо равенство (2.5).

Используя формулу (2.5) и равенство $e^{\widehat{O}}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{,}$ приходим к выводу: при любом фиксированном $Z\in \mathcal{A}$ оператор $e^{-Z}$ является левым и правым обратным оператором для оператора $e^Z\mathrm{,}$ следовательно, существует ${\left(e^Z\right)}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-Z}\mathrm{,}$ т. е. $e^Z\in {\mathcal{A}}_G\mathrm{.}$ Таким образом, область значений $R\left(e^Z\right)$ функции $e^Z$ является подмножеством множества ${\mathcal{A}}_G\subset \mathcal{A}\mathrm{,}$ следовательно, $R\left(e^Z\right)\ne \mathcal{A}\mathrm{,}$ т. е. $e^Z$ не является сюръективной функцией. Заметим, что любой оператор $Z\in \mathcal{A}\backslash {\mathcal{A}}_G$ не принадлежит множеству $R\left(e^Z\right)\mathrm{.}$ Например, $\widehat{O}\notin R\left(e^Z\right)\mathrm{,}$ т. е. функция $e^Z$ не имеет нулей: $e^Z\ne \widehat{O}$ для любого $Z\in \mathcal{A}\mathrm{.}$

Рассмотрим в алгебре $\mathcal{A}$ подалгебру скалярных операторов: ${\mathcal{A}}_s\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\alpha \widehat{I}\mathrm{<mo>:</mo>}\alpha \in ℝ\right\}\mathrm{.}$ Заметим, что подалгебра ${\mathcal{A}}_s$ коммутативна. Выделим в ${\mathcal{A}}_s$ множество позитивных скалярных операторов: ${\mathcal{A}}_s^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\beta \widehat{I}\in {\mathcal{A}}_s\mathrm{<mo>:</mo>}\beta \mathrm{<mo>></mo>0}\right\}\mathrm{.}$ Справедливо включение ${\mathcal{A}}_s^{+}\subset R\left(e^Z\right)\mathrm{,}$ ибо для любого $\beta \widehat{I}\in {\mathcal{A}}_s^{+}\mathrm{,}$ используя определение (2.1) и равенство ${\widehat{I}}^k\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{,}$ $k\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ получаем

$e^{\widehat{I}\ln \beta }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{{\left(\widehat{I}\ln \beta \right)}^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{{\widehat{I}}^k{\left(\ln \beta \right)}^k}{k\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}{e}^{\ln \beta }\mathrm{<mo>=</mo>}\beta \widehat{I}\mathrm{.}$

Попутно показано, что натуральный логарифм позитивного скалярного оператора $\beta \widehat{I}$ имеет вид $\ln \left(\beta \widehat{I}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\ln \beta \mathrm{,}$ в частности, $\ln \widehat{I}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{O}\mathrm{.}$

Известно (см. [2]), что при любом $Z\mathrm{<mo>=</mo>}X+\text{J}Y\in {\mathcal{A}}_k$ функция $e^Z$ представима в виде

$e^Z\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{X+\text{J}Y}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^X\left(\cos Y+\text{J}\sin Y\right)\text{.}$ (2.10)

В этом случае действительная и мнимая части функции $e^Z$ имеют вид

$U\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^X\cos Y\mathrm{,}V\left(X\mathrm{,}Y\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^X\sin Y\mathrm{.}$

Заметим, что $O+\text{J}Y\in {\mathcal{A}}_k$ для любого $Y\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ Тогда в силу (2.10) и равенства $e^O\mathrm{<mo>=</mo>}I$ имеем

$e^{\text{J}Y}\mathrm{<mo>=</mo>}\cos Y+\text{J}\sin Y\forall Y\in \mathcal{L}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}E\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (2.11)

Покажем периодичность функции $e^Z\mathrm{.}$

Теорема 2.2. Любой комплексный оператор $T_m\mathrm{<mo>=</mo>2}\pi m\text{J}\mathrm{,}$ $m\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$ $m\ne \mathrm{0,}$ является периодом функции $e^Z\mathrm{.}$  

Доказательство. Нужно показать, что для любого $Z\in \mathcal{A}$ справедливо равенство

$e^{Z+2\pi m\text{J}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^Z\mathrm{.}$ (2.12)

В силу (0.7) операторы $Z\mathrm{,}$ $2\pi m\text{J}$ коммутируют между собой, следовательно, в силу (2.5)

$e^{Z+2\pi m\text{J}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^Z{e}^{2\pi m\text{J}}\mathrm{.}$ (2.13)

В силу (2.11)

$e^{2\pi m\text{J}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\text{J}\left(2\pi mI\right)}\mathrm{<mo>=</mo>}\cos \left(2\pi mI\right)+\text{Jsin}\left(2\pi mI\right)\mathrm{.}$ (2.14)

Покажем, что

$\text{sin}\left(\alpha I\right)\mathrm{<mo>=</mo>}I\sin \alpha \forall \alpha \in ℝ\mathrm{,}$ (2.15)

$\cos \left(\alpha I\right)\mathrm{<mo>=</mo>}I\text{cos}\alpha \forall \alpha \in ℝ\mathrm{.}$ (2.16)

При $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>0}$ выполнимость соотношений (2.15), (2.16) следует из равенств $\sin O\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{,}$ $\cos O\mathrm{<mo>=</mo>}I\mathrm{,}$ $\sin \mathrm{0<mo>=</mo>0,}$ $\cos \mathrm{0<mo>=</mo>1.}$ Пусть $\alpha \ne 0.$ Учитывая, что $I^n\mathrm{<mo>=</mo>}I\mathrm{,}$ $n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ получаем

$\text{sin}\left(\alpha I\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{{\left(\alpha I\right)}^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}I\cdot {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{{\alpha }^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}I\sin \alpha \text{;}$

$\cos \left(\alpha I\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{{\left(\alpha I\right)}^{2k}}{\left(2k\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}I\cdot {\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{{\alpha }^{2k}}{\left(2k\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}I\cos \alpha \mathrm{.}$

Соотношения (2.15), (2.16) установлены.

Согласно соотношениям (2.15), (2.16) имеем

$\text{sin}\left(2\pi mI\right)\mathrm{<mo>=</mo>}O\mathrm{,}\cos \left(2\pi mI\right)\mathrm{<mo>=</mo>}I\mathrm{.}$ (2.17)

Используя соглашение (0.4), получаем

$I\mathrm{<mo>=</mo>}\left(I\mathrm{,}O\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{,}\text{J}\cdot O\mathrm{<mo>=</mo>}\left(O\mathrm{,}I\right)\left(O\mathrm{,}O\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(O\mathrm{,}O\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{O}\mathrm{,}$

следовательно, в силу (2.14), (2.17)

$e^{2\pi m\text{J}}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{.}$ (2.18)

Из соотношений (2.13), (2.18) следует равенство (2.12).

В качестве основного периода функции $e^Z$ берется оператор $T_1\mathrm{<mo>=</mo>2}\pi \text{J}\mathrm{.}$

2. Комплексные операторные тригонометрические функции

По определению,

$\text{sin}Z\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{Z^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\text{,}$ (2.19)

$\cos Z\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{Z^{2k}}{\left(2k\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}$ (2.20)

для любого $Z\in \mathcal{A}\mathrm{.}$

Обоснование корректности определений (2.19), (2.20) аналогично случаю функции $e^Z\mathrm{.}$

Заметим, что $\sin \widehat{O}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{O}\mathrm{,}$ $\cos \widehat{O}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{,}$ 

$\text{sin}\left(-Z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-\sin Z\mathrm{,}$ (2.21)

$\cos \left(-Z\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\cos Z\mathrm{.}$ (2.22)

Укажем, какими соотношениями связаны функция $e^Z$ и функции $\sin Z\mathrm{,}$ $\cos Z\mathrm{.}$ Для этого потребуются некоторые вспомогательные факты.

Для любых $Z_1\mathrm{,}{Z}_2\in \mathcal{A}\mathrm{,}$ удовлетворяющих условию (2.4), справедливы равенства

${\left(Z_1{Z}_2\right)}^n\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_1^n{Z}_2^n\forall n\in \mathbb{N}\mathrm{,}$ (2.23)

${\left(Z_1\pm Z_2\right)}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{Z}_1^2\pm 2Z_1{Z}_2+Z_2^2$ (2.24)

(равенство (2.24) это частный случай формулы (2.26) при $k\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Используя теорему 60 из [8, c 136], приходим к следующему утверждению.

Лемма 2.1. Пусть ряд ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}{Z}_k$ с членами из алгебры $\mathcal{A}$ сходится, и его сумма равна $S\mathrm{.}$ Тогда при любом фиксированном $H\in \mathcal{A}$ ряд ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}\left(H{Z}_k\right)$ сходится, и его сумма равна $HS\mathrm{.}$ 

Замечание 2.2. Если ряды ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}{a}_k\mathrm{,}$ ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}{b}_k$ с членами из нормированного пространства $N$ сходятся: ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}{a}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1\mathrm{,}$ ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}{b}_k\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_2\mathrm{,}$ то ряд ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}\left(a_k+b_k\right)$ сходится и выполнено ${\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}1}^{\infty }}\left(a_k+b_k\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1+s_2$ (см. [10, c. 52]).

Теорема 2.3. Для любого $Z\in \mathcal{A}$ справедлива комплексная операторная формула Эйлера:

$e^{\text{J}Z}\mathrm{<mo>=</mo>}\cos Z+\text{Jsin}Z\mathrm{.}$ (2.25)

Доказательство. Учитывая соотношения (0.6), (0.7), (2.23), лемму 2.1 при $H\mathrm{<mo>=</mo>}\text{J}$ и замечание 2.2, имеем

$\text{Jsin}Z\mathrm{<mo>=</mo>}\text{J}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{Z^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\widehat{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k\frac{\text{J}{Z}^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{{\text{J}}^{2k+1}{Z}^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{{\left(\text{J}Z\right)}^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{.}$

Аналогично получаем

$\cos Z\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{{\left(\text{J}Z\right)}^{2k}}{\left(2k\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{.}$

Тогда, используя замечание 2.2, имеем

$e^{\text{J}Z}\text{}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{m\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\text{}\frac{{\left(\text{J}Z\right)}^m}{m\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\frac{{\left(\text{J}Z\right)}^{2k}}{\left(2k\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}+\frac{{\left(\text{J}Z\right)}^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{{\left(\text{J}Z\right)}^{2k}}{\left(2k\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}+{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>}0}^{\infty }}\frac{{\left(\text{J}Z\right)}^{2k+1}}{\left(2k+1\right)\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}\cos Z+\text{J}\sin Z\mathrm{.}$

В силу (2.21), (2.22), (2.25)

$e^{-\text{J}Z}\mathrm{<mo>=</mo>}\cos Z-\text{Jsin}Z\mathrm{.}$ (2.26)

Из соотношений (2.25), (2.26) получаем

$2\text{Jsin}Z\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{\text{J}Z}-e^{-\text{J}Z}\mathrm{.}$ (2.27)

Заметим, что $\text{J}\in {\mathcal{A}}_G$ и

${\text{J}}^{-1}\mathrm{<mo>=</mo>}-\text{J}\mathrm{.}$ (2.28)

Умножая слева обе части равенства (2.27) на $2^{-1}{\text{J}}^{-1}$ и учитывая соотношение (2.28), имеем

$\text{sin}Z\mathrm{<mo>=</mo>}-\text{J}\frac{e^{\text{J}Z}-e^{-\text{J}Z}}{\text{2}}$ (2.29)

или, в силу (0.7),

$\text{sin}Z\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{e^{\text{J}Z}-e^{-\text{J}Z}}{\text{2}}\text{J}\mathrm{.}$

Согласно (2.25), (2.26), имеем

$\cos Z\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{e^{\text{J}Z}+e^{-\text{J}Z}}{\text{2}}\mathrm{.}$ (2.30)

Заметим, что для любого $Z\in \mathcal{A}$ выполнено

$e^{\text{J}Z}{e}^{-\text{J}Z}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}^{-\text{J}Z}{e}^{\text{J}Z}\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{.}$ (2.31)

Справедливо основное комплексное операторное тригонометрическое тождество: для любого $Z\in \mathcal{A}$ 

${\text{sin}}^{\text{2}}Z+{\text{cos}}^{\text{2}}Z\mathrm{<mo>=</mo>}\widehat{I}\mathrm{.}$ (2.32)

Действительно, используя соотношения (0.6), (0.7), (2.5), (2.23), (2.24), (2.29)-( 2.31), получаем

${\text{sin}}^{\text{2}}Z\mathrm{<mo>=</mo>}-4^{-1}\left(e^{\text{2J}Z}-2\widehat{I}+e^{-2\text{J}Z}\right)\mathrm{,}{{\displaystyle \cos }}^{\text{2}}Z{\mathrm{<mo>=</mo>4}}^{-1}\left(e^{\text{2J}Z}+2\widehat{I}+e^{-2\text{J}Z}\right)\mathrm{,}$

откуда и следует тождество (2.32).

Покажем периодичность функций $\text{sin}Z\mathrm{,}$ $\cos Z\mathrm{.}$

Используя (2.12), (2.29), имеем для любых $Z\in \mathcal{A}\mathrm{,}$ $m\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$ $m\ne 0$:

$\text{sin}\left(Z+2\pi m\widehat{I}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-2^{-1}\text{J}\left[e^{\text{J}\left(Z+2\pi m\widehat{I}\right)}-e^{-\text{J}\left(Z+2\pi m\widehat{I}\right)}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}-2^{-1}\text{J}\left[e^{\text{J}Z+2\pi m\text{J}}-e^{-\text{J}Z+2\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{J}}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-2^{-1}\text{J}\left(e^{\text{J}Z}-e^{-\text{J}Z}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\sin Z\mathrm{.}$

Получили равенство $\text{sin}\left(Z+2\pi m\widehat{I}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\sin Z\mathrm{.}$ Аналогично доказывается, что

$\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Z+2\pi m\widehat{I}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\cos Z\mathrm{.}$

Таким образом, любой комплексный оператор $T_m\mathrm{<mo>=</mo>2}\pi m\widehat{I}\mathrm{,}$ $m\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$ $m\ne \mathrm{0,}$ является периодом функций $\text{sin}Z\mathrm{,}$ $\cos Z\mathrm{.}$ В качестве основного периода этих функций берется оператор $T_1\mathrm{<mo>=</mo>2}\pi \widehat{I}\mathrm{.}$

Используя равенство (2.5), можно доказать некоторые формулы комплексной операторной тригонометрии.

Замечание 2.3. Пусть операторы $Z_1\mathrm{,}{Z}_2\in \mathcal{A}$ удовлетворяют условию (2.4). Тогда операторы $\text{J}{Z}_1\mathrm{,}\text{J}{Z}_2\mathrm{,}-\text{J}{Z}_1\mathrm{,}-\text{J}{Z}_2$ попарно коммутируют между собой.

Теорема 2.4. Для любых операторов $Z_1\mathrm{,}{Z}_2\in \mathcal{A}\mathrm{,}$ удовлетворяющих условию (2.4), справедливы формулы сложения

$\text{sin}\left(Z_1+Z_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\sin Z_1\text{cos}{Z}_2+\cos Z_1\sin Z_2\mathrm{,}$ (2.33)

$\cos \left(Z_1+Z_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\cos Z_1\cos Z_2-\sin Z_1\sin Z_2\mathrm{.}$ (2.34)

Доказательство. Используя соотношения (2.5), (2.29), (2.30) и учитывая замечание 2.3, получаем

$\sin Z_1\text{cos}{Z}_2+\cos Z_1\sin Z_2\mathrm{<mo>=</mo>}-4^{-1}\text{J}\left(e^{\text{J}{Z}_1}-e^{-\text{J}{Z}_1}\right)\left(e^{\text{J}{Z}_2}+e^{-\text{J}{Z}_2}\right)$

$-4^{-1}\text{J}\left(e^{\text{J}{Z}_1}+e^{-\text{J}{Z}_1}\right)\left(e^{\text{J}{Z}_2}-e^{-\text{J}{Z}_2}\right)$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-4^{-1}\text{J}\left[e^{\text{J}\left(Z_1+Z_2\right)}+e^{\text{J}\left(Z_1-Z_2\right)}-e^{\text{J}\left(Z_2-Z_1\right)}-e^{-\text{J}\left(Z_1+Z_2\right)}\right.$

$+\left.e^{\text{J}\left(Z_1+Z_2\right)}-e^{\text{J}\left(Z_1-Z_2\right)}+e^{\text{J}\left(Z_2-Z_1\right)}-e^{-\text{J}\left(Z_1+Z_2\right)}\right]$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-2^{-1}\text{J}\left[e^{\text{J}\left(Z_1+Z_2\right)}-e^{-\text{J}\left(Z_1+Z_2\right)}\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \left(Z_1+Z_2\right)\mathrm{.}$

Формула (2.33) доказана. Справедливость формулы (2.34) проверяется аналогично.

В силу теоремы 2.4, для любого $Z\in \mathcal{A}$ справедливы формулы двойного аргумента:

$\text{sin2}Z\mathrm{<mo>=</mo>2}\sin Z\text{cos}Z\mathrm{,}\text{cos2}Z\mathrm{<mo>=</mo>}{\text{cos}}^{\text{2}}Z-{{\displaystyle \sin }}^{2}Z\mathrm{.}$

Из теоремы 2.4 и соотношений (2.21), (2.22) следует, что для любых $Z_1\mathrm{,}{Z}_2\in \mathcal{A}\mathrm{,}$ удовлетворяющих условию (2.4), справедливы равенства

$\text{sin}\left(Z_1-Z_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\sin Z_1\text{cos}{Z}_2-\cos Z_1\sin Z_2\mathrm{,}$ (2.35)

$\cos \left(Z_1-Z_2\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\cos Z_1\cos Z_2+\sin Z_1\sin Z_2\mathrm{.}$ (2.36)

Из (2.33)-( 2.36) следуют формулы преобразования произведения комплексных операторных тригонометрических функций в сумму:

$\sin Z_1\text{cos}{Z}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\text{1}}{\text{2}}\left[\text{sin}\left(Z_1+Z_2\right)+\text{sin}\left(Z_1-Z_2\right)\right]\mathrm{,}$ (2.37)

$\cos Z_1\text{cos}{Z}_2\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\text{1}}{\text{2}}\left[\cos \left(Z_1+Z_2\right)+\cos \left(Z_1-Z_2\right)\right]\mathrm{,}$ (2.38)