General solution of the equations system of the moment linear elasticity theory of the isotropic Cosserat pseudo-continuum

Full Text

1. Моментная упругая среда представляется совокупностью частиц, характеризуемых в декартовой прямоугольной системе координат x_i, i = 1, 2 3, вектором смещений u_i и независимым вектором поворотов ω_i [1–3]. Такая теория впервые была предложена в начале XX в. в работах братьев Коссера [1]. В моментной среде при нагружении возникают несимметричные силовые напряжения σ_ij ≠ σ_ji и моментные напряжения μ_ij ≠ μ_ji. Деформированное состояние моментной среды характеризуют несимметричные тензоры деформации e_ij и кручения-изгиба ϰ_ij [1–3]:

e_ij = ∂_ju_i − ω_ij, ϰ_ij = ∂_jω_i, (1)

где ω_ij = ε_ikjω_k, ω_i = (1/ 2) ε_ijk ω_kj; ∂_j – производная по координате x_j; ε_ijk – кососимметричный по любой паре индексов тензор Леви-Чивиты; по повторяющимся индексам проводится суммирование. Определяющие уравнения для упругой изотропной моментной среды имеют вид [1, 2]

${\mathrm{\sigma }}_{ij} = \lambda e_{kk}{\mathrm{\delta }}_{ij} + (\mathrm{\mu } + \alpha )e_{ij}+ (\mathrm{\mu } - \alpha )e_{ji},$

μ_ij = βϰ_kkδ_ij + (γ + ε) ϰ_ij + (γ − ε) ϰ_ji, (2)

где λ, μ – постоянные Ламе; α, β, γ, ε – дополнительные постоянные упругости; δ_ij – символ Кронекера,единичная матрица.

Удельную энергию деформации можно записать в виде

$2\mathrm{Ф}={\mathrm{\sigma }}_{ij}{\mathrm{e}}_{ij}+{\mathrm{\mu }}_{ij}{}_{\mathit{i}\mathit{j}}\text{=}\frac{1}{3}\left(3\mathrm{\lambda }+2\mu \right)e_{\mathit{k}\mathit{k}}{e}_{\mathit{i}\mathit{i}}+2\mu \left(e_{\mathit{\left(}\mathit{i}\mathit{j}\mathit{\right)}}\mathit{-}\frac{1}{3}{e}_{\mathit{k}\mathit{k}}{\delta }_{\mathit{i}\mathit{j}}\right)\left({\mathrm{e}}_{\left(ij\right)}\mathit{-}\frac{1}{3}{e}_{\mathit{s}\mathit{s}}{\mathrm{\delta }}_{\mathrm{ij}}\right)+2\mathrm{\alpha }{e}_{\left[ij\right]}{e}_{\left[ij\right]}+\frac{1}{3}\left(3\mathrm{\beta }+2\mathrm{\gamma }\right){\mathrm{\varkappa }}_{kk}{\mathrm{\varkappa }}_{ii}+2\mathrm{\gamma }\left({\mathrm{\varkappa }}_{\left(ij\right)}\mathit{-}\frac{1}{3}{\mathrm{\varkappa }}_{kk}{\mathrm{\delta }}_{ij}\right)\left({\mathrm{\varkappa }}_{\left(\mathrm{ij}\right)}\mathit{-}\frac{1}{3}{\mathrm{\varkappa }}_{ss}{\mathrm{\delta }}_{ij}\right)+2{\mathrm{\epsilon \varkappa }}_{\left[ij\right]}{\mathrm{\varkappa }}_{\left[ij\right]}.$ (3)

Круглые и квадратные скобки в индексах означают симметричную и антисимметричную части тензоров по соответствующим индексам. Из последних выражений (3) очевидно, что 2Ф > 0 всегда, когда постоянные удовлетворяют неравенствам

$3\mathrm{\lambda }+2\mathrm{\mu }>\mathrm{0,} \mathrm{\mu }>\mathrm{0,} \mathrm{\alpha }>0; 3\mathrm{\beta }+2\mathrm{\gamma }>\mathrm{0,} \mathrm{\gamma }>\mathrm{0,} \mathrm{\epsilon }>\mathrm{0,}$

при этом соотношения (2) обратимы.

В упрощенной теории Коссера считают, что вектор поворота ω_i равен среднему повороту поля перемещений [1]

${\mathrm{\omega }}_i=\frac{1}{2}{\epsilon }_{ikl}{\partial }_k{u}_l.$ (4)

Тогда тензоры (1) принимают вид

$e_{ij} = {\epsilon }_{ij} = {\epsilon }_{ji} = \frac{1}{2}\left({\partial }_j{u}_i+{\partial }_i{u}_j\right),$

${\varkappa }_{ij}=\frac{1}{2}{\epsilon }_{ikl}{\partial }_{jk}{u}_l, {\varkappa }_{ii}=0$. (5)

С использованием (2), (4), (5) и уравнений равновесия получаются три уравнения для трех смещений [1]:

$\mathrm{\mu }{\partial }_{kk}{u}_i+\left(\lambda +\mathrm{\mu }\right){\partial }_{ik}{u}_k+\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right){\partial }_{kk}{\epsilon }_{imn}{\partial }_m{\epsilon }_{njl}{\partial }_j{u}_l=0.$ (6)

Слагаемые со вторыми производными в (6) соответствуют классическим уравнениям Ламе, а слагаемые с четвертыми производными отвечают за моментное состояние псевдоконтинуума Коссера. К уравнениям (6) добавляют граничные условия в напряжениях или задают на границе рассматриваемой области смещения. Вопрос о граничных условиях для системы (6) и способы ее интегрирования кратко обсуждаются в [1]. Определив из (6) смещения u_i, с учетом (2), (4), (5) можно найти ω_i, σ_ij, μ_ij.

С учетом соотношения ${\epsilon }_{imn}{\epsilon }_{njl}={\delta }_{ij}{\delta }_{ml}-{\delta }_{il}{\delta }_{mj}$ матрицу операторов системы (6) запишем в виде:

$A_{ij}=\mathrm{\mu }{\partial }_{kk}{\delta }_{ij}+\left(\lambda +\mathrm{\mu }\right){\partial }_{ij}+\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right){\partial }_{kk}\left({\partial }_{ij}-{\delta }_{ij}{\partial }_{mm}\right).$ (7)

Для матрицы (7) операторов системы (6) имеют место соотношения

$AT=TD, T^{\text{'}}A=D{T}^{\text{'}},$ (8)

где штрих означает транспонирование матрицы. Тогда общее решение системы (6) имеет вид [4, 5]

$u=Tv, Dv=f, Tf=\mathrm{0,}$ (9)

где

$T=\left[{\partial }_i, {\epsilon }_{ips}{c}_p{\partial }_s, c_i{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{mi}\right]=\left[\begin{array}{lll}{\partial }_1& c_2{\partial }_3-c_3{\partial }_2& c_1{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m1}\\ {\partial }_2& c_3{\partial }_1-c_1{\partial }_3& c_2{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m2}\\ {\partial }_3& c_1{\partial }_2-c_2{\partial }_1& c_3{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m3}\end{array}\right];$ (10)

$D=\left[\begin{array}{ccc}\left(\lambda +2\mathrm{\mu }\right){\partial }_{kk}& 0& 0\\ 0& {\partial }_{kk}\left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right){\partial }_{mm}\right]& 0\\ 0& 0& {\partial }_{kk}\left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right){\partial }_{mm}\right]\end{array}\right];$ (11)

c_p — произвольный ненулевой числовой вектор.

Запишем решение (9) с учетом (10), (11):

$u_1={\partial }_1{v}_1+\left(c_2{\partial }_3-c_3{\partial }_2\right)v_2+\left(c_1{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m1}\right)v_3,$ 

$u_2={\partial }_2{v}_1+\left(c_3{\partial }_1-c_1{\partial }_3\right)v_2+\left(c_2{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m2}\right)v_3,$ (12)

$u_3={\partial }_3{v}_1+\left(c_1{\partial }_2-c_2{\partial }_1\right)v_2+\left(c_3{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m3}\right)v_3;$

$\left(\mathrm{\lambda }+2\mathrm{\mu }\right){\partial }_{\mathrm{kk}}{\mathrm{v}}_1={\mathrm{f}}_1, {\partial }_{\mathrm{kk}}\left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\mathrm{\gamma }+\mathrm{\epsilon }\right){\partial }_{\mathrm{mm}}\right]{\mathrm{v}}_2={\mathrm{f}}_2, {\partial }_{\mathrm{kk}}\left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\mathrm{\gamma }+\mathrm{\epsilon }\right){\partial }_{\mathrm{mm}}\right]{\mathrm{v}}_3={\mathrm{f}}_3;$ (13)

${\partial }_1{f}_1+\left(c_2{\partial }_3-c_3{\partial }_2\right)f_2+\left(c_1{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m1}\right)f_3=\mathrm{0,}$

${\partial }_2{f}_1+\left(c_3{\partial }_1-c_1{\partial }_3\right)f_2+\left(c_2{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m2}\right)f_3=\mathrm{0,}$ (14)

${\partial }_3{f}_1+\left(c_1{\partial }_2-c_2{\partial }_1\right)f_2+\left(c_3{\partial }_{kk}-c_m{\partial }_{m3}\right)f_3=0.$

Таким образом, решение системы (6) по формулам (12) выражается через три функции ν_i, которые удовлетворяют трем отдельным независимым уравнениям (13), однородным или неоднородным.

Из [4] и соотношений (8) следует, что если u = Tν, где Dν = 0, то система (6), (7) удовлетворяется: Au = ATν = TDν = 0. Если $\nu =Т\text{'}\tilde{u}$ где $A\tilde{u} = 0$, то выполняется уравнение $Dv=D{T}^{\text{'}}\tilde{u}=T^{\text{'}}A\tilde{u}=0$. Таким образом, согласно формулам

$u=Tv, v=T^{\text{'}}\tilde{u},$ (15)

решения уравнений $Au=0$, $Dv=0$ переходят друг в друга, и системы эквивалентны [6]. Но чтобы не было потери части решений, в общем случае необходимо в правой части (13) учитывать функции f_i, ядро оператора T (10), (14).

Кроме того, из формул (15) получаем, что если $A\tilde{u}=0$, то $u=T{T}^{\text{'}}\tilde{u}$ – новое решение:

$Au=AT{T}^{\text{'}}\tilde{u}=TD{T}^{\text{'}}\tilde{u}=T{T}^{\text{'}}A\tilde{u}=0.$

Если $D\tilde{v}=0$, то и $v=T^{\text{'}}T\tilde{v}$ – решение:

$Dv=D{T}^{\text{'}}T\tilde{v}=T^{\text{'}}AT\tilde{v}=T^{\text{'}}TD\tilde{v}=0.$

Выражение $u=T{T}^{\text{'}}\tilde{u}$ есть формула производства решений, так как из любого решения $\tilde{u}$ получается новое решение $u$; оператор $Q=T{T}^{\text{'}}$ является оператором симметрии в смысле группового анализа [4].

В матрице (10) все три столбца ортогональны друг к другу и третий столбец содержит вторые производные. Но можно взять третий столбец в виде, аналогичном второму столбцу, содержащем первые производные. Тогда вместо матрицы (10) будет матрица вида

$T=\left[{\partial }_i, {\epsilon }_{ips}{c}_p{\partial }_s, {\epsilon }_{imn}{\gamma }_m{\partial }_n\right]=\left[\begin{array}{lll}{\partial }_1& c_2{\partial }_3-c_3{\partial }_2& {\gamma }_2{\partial }_3-{\gamma }_3{\partial }_2\\ {\partial }_2& c_3{\partial }_1-c_1{\partial }_3& {\gamma }_3{\partial }_1-{\gamma }_1{\partial }_3\\ {\partial }_3& c_1{\partial }_2-c_2{\partial }_1& {\gamma }_1{\partial }_2-{\gamma }_2{\partial }_1\end{array}\right],$ (16)

где $c_p$, ${\gamma }_m$ – произвольные ненулевые непропорциональные векторы, при этом определитель

$\left|T\right|=\left[\left(c_2{\gamma }_3-c_3{\gamma }_2\right){\partial }_1+\left(c_3{\gamma }_1-c_1{\gamma }_3\right){\partial }_2+\left(c_1{\gamma }_2-c_2{\gamma }_1\right){\partial }_3\right]{\partial }_{kk}$

не равен нулю [7]. Для случая матрицы (16) также имеют место соотношения (8) и общее решение системы (6) вида (9) с той же диагональной матрицей D (11), а функции ν_i удовлетворяют трем независимым уравнениям (13). Формулы (15) и все другие приведенные выше соотношения между функциями имеют место и в случае матрицы (16). Оператор симметрии $Q=T{T}^{\text{'}}$ дан в явном виде в [7]. Придавая компонентам $c_j$, ${\gamma }_j$ различные значения, можно получить различные варианты общих решений в случаях (10) или (16).

Во втором и третьем уравнениях (13) дифференциальный оператор $D_2=D_3=D$ представляет собой произведение оператора Лапласа $D_{\left(1\right)}={\partial }_{kk}$ и оператора Гельмгольца $D_{\left(2\right)}=\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right){\partial }_{mm}$. Тогда решение однородного уравнения $Dv=D_{\left(1\right)}{D}_{\left(2\right)}v=0$ по теореме Боджио [1] можно представить в виде суммы $v=g+h$, где $g$ – гармоническая функция $D_{\left(1\right)}g={\partial }_{kk}g=0$, а функция $h$ удовлетворяет уравнению Гельмгольца $D_{\left(2\right)}h=\left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right){\partial }_{mm}\right]h=0$. Различные частные решения уравнений Лапласа и Гельмгольца приведены в [8]. Таким образом, общее решение уравнений в смещениях (6) псевдоконтинуума Коссера по формулам (9)–(14), (16) выражается через гармонические функции и функции Гельмгольца. По формуле $u=T{T}^{\text{'}}\tilde{u}$, $A\tilde{u}=0$ получаются новые решения из любого известного решения $\tilde{u}$. Если постоянная $\gamma +\epsilon =0$, то полученные решения переходят в известные представления для случая классического изотропного материала [4, 5, 7].

2. Рассмотрим некоторые частные решения системы уравнений (6), (7). Для антиплоской деформации [9] принимают, что $u_1=0$, $u_2=0$, $u_3=u_3\left(x_1,x_2\right)$. В этом случае система (6), (7) сводится к одному уравнению

$A_{33}{u}_3=\left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)\left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right)\left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)\right]u_3=0.$ (17)

Как сказано выше, решение уравнения (17) имеет вид $u_3=g+h$. Если $h=0$, то получим решение $u_3=g$, соответствующее классической безмоментной теории упругости. В [9] в качестве решения классической антиплоской задачи теории упругости исследуется гармоническая функция

$u_3=g=\frac{K}{\text{μ}}\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi }}}{\mathrm{\rho }}^{1/2}\sin \left(\mathrm{\phi }/2\right),$ (18)

соответствующая трещине продольного сдвига, где K – постоянная, а ρ, φ – полярные координаты. Разрыв вдоль отрицательного направления оси x₁ обеспечивается функцией sin (φ/2). Решение уравнения Гельмгольца для трещины продольного сдвига имеет вид:

$u_3=h=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\pi \lambda }}_1}}{\mathrm{\rho }}^{1/2}s\mathrm{h}\left({\mathrm{\lambda }}_1\mathrm{\rho }\right)\sin \left(\mathrm{\phi }/2\right), {\mathrm{\lambda }}_1=\sqrt{\frac{4\mu }{\mathrm{\gamma }+\mathrm{\epsilon }}}$. (19)

На рис. 1 приведены графики различных решений уравнения (17). Только первые две функции являются решениями классической задачи.

 

Рис. 1. Решение задачи о трещине продольного сдвига: а – сетка до деформирования, б – классическое решение (18) (K = μ), в – моментное решение (19) (λ₁ = 1), г – линейная комбинация этих решений.

 

Для плоской деформации [9] считают, что $u_1=u_1\left(x_1,x_2\right)$, $u_2=u_2\left(x_1,x_2\right)$, $u_3=0$, при этом система (6), (7) сводится к двум уравнениям, общее решение которых принимает вид

$u_1={\partial }_1{v}_1-{\partial }_2{v}_2, u_2={\partial }_2{v}_1+{\partial }_1{v}_2;$

$\left(\lambda +2\mathrm{\mu }\right)\left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)v_1=f_1, \left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)\left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right)\left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)\right]v_2=f_2;$ (20)

${\partial }_1{f}_1-{\partial }_2{f}_2=\mathrm{0,} {\partial }_2{f}_1+{\partial }_1{f}_2=0.$

Последние два уравнения являются условиями Коши–Римана для аналитической функции $f\left(z\right)=f_1+i{f}_2$, $i=\sqrt{-1}$ комплексного переменного $z=x_1+i{x}_2$. Уравнения (20) можно переписать в виде

u₁ = ∂₁ν₁ − ∂₂ν₂ − ∂₂h, u₂ = ∂₂ν₁ + ∂₁ν₂ + ∂₁h;

$\left(\lambda +2\mathrm{\mu }\right)\left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)v_1=f_1, \mathrm{\mu }\left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)v_2=f_2;$

${\partial }_1{f}_1-{\partial }_2{f}_2=\mathrm{0,} {\partial }_2{f}_1+{\partial }_1{f}_2=0; \left[\mathrm{\mu }-\frac{1}{4}\left(\gamma +\epsilon \right)\left({\partial }_{11}+{\partial }_{22}\right)\right]h=0.$ (21)

Из уравнений (21) следует известная формула Колосова–Мусхелишвили, представляющая смещения $u_1+i{u}_2$ через комплексные потенциалы [7]:

$u_1+i{u}_2=\varkappa \mathrm{\phi }\left(z\right)-z\overline{\mathrm{\phi }\text{'}\left(z\right)}-\overline{\mathrm{\Psi }\left(z\right)}+i({\partial }_1+i{\partial }_2)h,$

$\varkappa =\frac{\mathrm{\lambda }+3\mu }{\mathrm{\lambda }+\mu }$,

где черта над функциями означает комплексное сопряжение, а штрих – производную по z. Если известна функция h, удовлетворяющая уравнению Гельмгольца (21), то из (21) несложно найти дополнительные моментные смещения $u_k^{\left(m\right)}$. Например, для функции h вида (19) получим смещения

$u_1^{\left(m\right)}=-{\partial }_{2}h=-\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\pi \lambda }}_1}}\left[\frac{1}{2}{\mathrm{\rho }}^{-3/2}\mathrm{sh}\left({\mathrm{\lambda }}_1\mathrm{\rho }\right)\cos (3\mathrm{\phi }/2)+{\mathrm{\lambda }}_1{\mathrm{\rho }}^{-1/2}\mathrm{ch}\left({\mathrm{\lambda }}_1\mathrm{\rho }\right)\mathrm{sin\phi sin}(\mathrm{\phi }/2)\right],$

$u_2^{\left(m\right)}=-{\partial }_{1}h=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\pi \lambda }}_1}}\left[-\frac{1}{2}{\mathrm{\rho }}^{-3/2}\mathrm{sh}\left({\mathrm{\lambda }}_1\mathrm{\rho }\right)\sin (3\mathrm{\phi }/2)+{\mathrm{\lambda }}_1{\mathrm{\rho }}^{-1/2}\mathrm{ch}\left({\mathrm{\lambda }}_1\mathrm{\rho }\right)\mathrm{cos\phi sin}(\mathrm{\phi }/2)\right].$

Некоторые двумерные задачи для изотропной моментной среды решены, например, в работах [10, 11].

Таким образом, в работе получено два варианта общего решения для системы уравнений в смещениях изотропного псевдоконтинуума Коссера. Система уравнений диагонализуется и решение выражается через гармонические функции и функции Гельмгольца. Даны формулы производства новых решений, исходя из любого заданного решения. Получены частное решения задачи о трещине продольного сдвига и представление общего решения уравнений плоской деформации.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований Сибирского отделения Российской академии наук (код проекта 2.3.1.3.1)

About the authors

N. I. Ostrosablin

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: o.n.ii@yandex.ru
Russian Federation, Novosibirsk

R. I. Ugryumov

Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences

Email: riugryumov@mail.ru
Russian Federation, Novosibirsk

References

Supplementary files