Removal of the stress field singularity for the Williams problem (1952) basing on a non-Euclidean continuum model

Full Text

В механике сплошной среды хорошо известен факт существования сингулярных решений для компонент поля напряжений ${\mathrm{\sigma }}_{ij}$ в задачах теории упругости о равновесии пластин с угловыми вырезами [1]. Построенное Вилльямсом [1] такое решение для плоских конфигураций связано с введением функции напряжения Эйри Ψ. При выполнении уравнений равновесия Коши

$\frac{\partial {\mathrm{\sigma }}_{11}}{\partial x^1}+\frac{\partial {\mathrm{\sigma }}_{12}}{\partial x^2}=\mathrm{0,}\frac{\partial {\mathrm{\sigma }}_{21}}{\partial x^1}+\frac{\partial {\mathrm{\sigma }}_{22}}{\partial x^2}=0$ (1)

решение для σ_ij записывается через Ψ в виде

${\mathrm{\sigma }}_{11}=\frac{{\partial }^2\mathbf{\Psi }}{\partial x^2\partial x^2}, {\mathrm{\sigma }}_{22}=\frac{{\partial }^2\mathbf{\Psi }}{\partial {\mathrm{x}}^1\partial {\mathrm{x}}^1}, {\mathrm{\sigma }}_{12}={\mathrm{\sigma }}_{21}=-\frac{{\partial }^2\mathbf{\Psi }}{\partial {\mathrm{x}}^1\partial {\mathrm{x}}^2}.$ (2)

В классической теории упругости функция напряжений Ψ_clas удовлетворяет бигармоническому уравнению [2]:

${\mathrm{\Delta }}^2{\mathrm{\Psi }}_{clas}=0$. (3)

В [1] выбирается регулярное решение χ для этого уравнения в полярной системе координат (r,φ):

$\mathrm{\chi }={\mathrm{r}}^{\mathrm{\lambda }+1}\left[{\mathrm{b}}_1\cos \right(1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{b}}_2\sin (1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{b}}_3\cos (1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{b}}_4\sin (1-\mathrm{\lambda }\left)\mathrm{\phi }\right]$, (4)

где λ – параметр, $b_1,b_2,b_3,b_4$ – постоянные. В [1] показано, что параметр λ < 1 при углах выреза пластины между π и 2π. Поскольку компоненты поля упругих напряжений τ_ij равны

${\mathrm{\tau }}_{rr}=\frac{1}{r^2}\frac{{\displaystyle {\partial }^2\mathrm{\chi }}}{\partial {\mathrm{\phi }}^2}+\frac{1}{r}\frac{{\displaystyle \partial \mathrm{\chi }}}{\partial r}, {\mathrm{\tau }}_{\phi \phi }=\frac{{\displaystyle {\partial }^2\mathrm{\chi }}}{\partial r^2},$

${\mathrm{\tau }}_{r\phi }=\frac{1}{r^2}\frac{{\displaystyle \partial \mathrm{\chi }}}{\partial \mathrm{\phi }}-\frac{1}{r}\frac{{\displaystyle {\partial }^2\mathrm{\chi }}}{\partial r\partial \mathrm{\phi }},$(5)

то из (4), (5) следует, что они проявляют сингулярное поведение ~r^λ−1 → ∞ при r → 0. Именно на эту сингулярность поля упругих напряжений указал Вилльямс [1] и предложил асимптотический метод их исследования в окрестности угла выреза. В дальнейшем подход Вилльямса вошел в фольклор механики упругости [2], а в современных работах [3] предложены идеи использовать этот подход в вычислительных методах для повышения их эффективности в узлах сетки вблизи вершины угла. С другой стороны, в физических теориях прочности и пластичности [4] сингулярности полей напряжений также рассматриваются и предлагаются способы их удаления. Тем не менее, для сингулярности Вилльямса такого способа не представлено в научной литературе, поэтому целью данной работы является восполнение данного пробела.

Следует заметить, что поля, определяемые соотношением (2), принадлежат к более широкому классу напряжений: они являются самоуравновешенными. Это означает [5], что сила, действующая на выбранную область среды, равна нулю и суммарный момент сил внутренних напряжений обращается в нуль. Математически сформулированные условия записываются соответственно в виде:

$\underset{\partial S}{\int }{\mathrm{\sigma }}_{ij}{n}_{j}dl=0,M_{ik}=\underset{\partial S}{\int }({\mathrm{\sigma }}_{ij}{x}_k-{\mathrm{\sigma }}_{kj}{x}_i)n_{j}dl=0$, (6)

где S – площадь, занимаемая телом; $\partial S$ – граница этой области, n_j – направляющие косинусы внешней нормали к границе области. Самоуравновешенные поля напряжений в инженерной литературе также называются остаточными напряжениями – это напряжения, которые существуют внутри материала или тела, когда на него не действуют внешние силы. При экспериментальном исследовании [4] этих полей не наблюдается их сингулярного поведения, хотя они могут иметь значения, сравнимые с напряжениями, возникающими при внешних воздействиях. Описание этих полей на основе классической теории упругости, т.е. используя соотношения (2), (3) для функции напряжения, приводит к сингулярностям. Однако возникшее противоречие может быть преодолено на основе обобщения классической теории.

Возможный подход в этом направлении был предложен С.К. Годуновым [6] и связан с расширением геометрических оснований классической теории упругости. Хорошо известно, что шесть компонент классического тензора деформаций ε_ij выражаются только через три компоненты вектора перемещений, поэтому функции ε_ij не могут быть произвольными и должны удовлетворять дополнительным ограничениям, которые в механике сплошной среды называются условиями совместности для деформаций. Эти условия сводятся к тому, что тензор Римана–Кристоффеля, вычисленный для метрического тензора деформации $g_{ij}={\mathrm{\delta }}_{ij}-2{\mathrm{\epsilon }}_{ij}$ [6], обращается в нуль. С геометрической точки зрения это означает, что пространство, соответствующее данной метрике, являются евклидовым. Однако Годуновым было замечено, что классические компоненты деформаций ε_ij не совпадают в общем случае с деформациями E_ij, определяемыми через реологическое соотношение между компонентами поля напряжений и деформаций даже для линейной связи (8) (в [6] поля E_ij называются эффективными). Поэтому тензор Римана–Кристоффеля, вычисленный для эффективного метрического тензора деформации G_ij = δ_ij − 2E_ij, в общем случае не равен нуля, т.е. пространство для описания эффективных деформаций становится неевклидовым. Таким образом, общая идея при обобщении классической теории состоит в отказе от классических условий совместности, что приводит к необходимости построения неевклидовой модели сплошной среды.

Используем сформулированную идею при анализе проблемы Вилльямса. Известно, что в двумерном случае тензор Римана–Кристоффеля определяется единственной компонентой [7], и для рассматриваемых нами малых деформаций | E_ij | << 1 отличие ее от нуля задается через функцию несовместности:

$\frac{R}{2}=\frac{{\partial }^{\text{2}}{E}_{\text{11}}}{\partial x^2\partial x^2}+\frac{{\partial }^{\text{2}}{E}_{22}}{\partial x^1\partial x^1}-2\frac{{\partial }^{\text{2}}{E}_{\text{12}}}{\partial x^1\partial x^2}$. (7)

В классической теории упругости R = 0, что соответствует выполнению условий совместности для деформаций (условия Сен-Венана) и существованию таких функций u₁,u₂, что $E_{ij}=\left(\partial u_i/\partial x_j+\partial u_j/\partial x_i\right)/2$. В механике сплошной среды функции u₁,u₂ определяют поле смещений точек среды и E_ij совпадают с классическими компонентами деформаций: E_ij = ε_ij.

Переход к неевклидовой модели сплошной среды связан с предположением, что R ≠ 0. Реологическое соотношение между компонентами поля напряжений и эффективными деформациями E_ij оставим линейным как в классической теории (закон Гука):

${\mathrm{\sigma }}_{ij}={\mathrm{\lambda \delta }}_{ij}{E}_{kk}+2\mathrm{\mu }{E}_{ij}$, (8)

где λ, µ – феноменологические параметры Ламе, δ_ij – символ Кронекера. Выразим E_ij из (8) и подставим в (7), что приводит к уравнению для σ = σ_jj:

$\mathrm{\Delta \sigma }=\frac{\mathrm{\mu }}{1-\mathrm{\nu }}R,\underset{}{\overset{}{}}\mathrm{\nu }=\frac{\mathrm{\lambda }}{2(\mathrm{\lambda }+\mathrm{\mu })}$.

Используя (2), получаем уравнение для функции напряжений Ψ:

${\mathrm{\Delta }}^2\mathrm{\Psi }=\frac{\mathrm{\mu }}{1-\mathrm{\nu }}R$. (9)

Таким образом, при расширении классической теории мы получили неоднородное бигармоническое уравнение для функции напряжения (9). Поскольку оно является линейным, то его решение Ψ можно представить в виде суммы классической функции напряжений Ψ_clas и дополнительного вклада Ψ_non−clas:

$\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_{clas}+{\mathrm{\Psi }}_{non-clas}$, (10)

где Ψ_non−clas – частное решение (9). Подставляя (10) в (2), получаем следующие представления для компоненты поля напряжений:

${\mathrm{\sigma }}_{11}={\mathrm{\tau }}_{11}+T_{11}, {\mathrm{\tau }}_{11}=\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_{clas}}{\partial {\mathrm{x}}^2\partial {\mathrm{x}}^2}, T_{11}=\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_{non\mathit{-}clas}}{\partial {\mathrm{x}}^2\partial {\mathrm{x}}^2},$

${\mathrm{\sigma }}_{22}={\mathrm{\tau }}_{22}+T_{22}, {\mathrm{\tau }}_{22}=\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_{clas}}{\partial {\mathrm{x}}^1\partial {\mathrm{x}}^1}, T_{22}=\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_{non\mathit{-}clas}}{\partial {\mathrm{x}}^1\partial {\mathrm{x}}^1},$(11)

${\mathrm{\sigma }}_{12}={\mathrm{\tau }}_{12}+T_{12}, {\mathrm{\tau }}_{12}=\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_{clas}}{\partial {\mathrm{x}}^1\partial {\mathrm{x}}^2}, T_{12}=\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_{non\mathit{-}clas}}{\partial {\mathrm{x}}^1\partial {\mathrm{x}}^2},$

Из (11) видно, что структура поля внутренних напряжений складывается из классического поля упругих напряжений τ_ij и неклассического поля напряжений T_ij, определяемого через функцию несовместности R.

Функция R использовалась при формулировке моделей сплошных сред с внутренней структурой [8], и в предположении квадратичной зависимости внутренней энергии среды от термодинамических переменных было получено уравнение для R в следующем виде:

∆²R = γR, γ ≠ 0, (12)

где параметр γ характеризует размер внутренней пространственной структуры. Перейдем к безразмерным переменным ${\mathrm{x}}^i\to {\mathrm{x}}^i/\sqrt[4]{\mathrm{\gamma }}$ и выполним перенормировку для σ_jj, Ψ, R, полагая σ_jj → µσ_jj, Ψ → Ψµ/$\sqrt{\gamma }$, R → R$\sqrt{\gamma }$(1-ν), получаем

∆²Ψ = R, ∆²R = R, (13)

Тогда из (10), (13) следует, что Ψ_non−clas удовлетворяет следующему уравнению:

∆²Ψ_non−clas = Ψ_non−clas. (14)

При построении решений уравнений (3), (14) выберем из них такие, чтобы полное поле σ_jj (11) не имело сингулярного поведения при r → 0. Это обеспечивается при условии, что возможные сингулярности компонент τ_ij, T_ij взаимно компенсируются и разложение функции напряжений (10) по степеням r при r → 0 начинается со слагаемых не ниже r². Далее будет показано, что такое разложение в рамках предложенных модельных представлений реализуется (см. (21)).

Сначала заметим, что класс решений уравнения (3) является более широким, чем тот, который указан в [1]. Действительно, полагая ${\mathrm{\Psi }}_{clas}=r^{1+s}F\left(\mathrm{\phi }\right)$ в (3), получаем уравнение для $F\left(\mathrm{\phi }\right)$:

$r^{s-1}\left[{(1-s)}^2+\frac{{\partial }^{\text{2}}}{\partial {\mathrm{\phi }}^2}\right]\left[{(1+s)}^2+\frac{{\partial }^{\text{2}}}{\partial {\mathrm{\phi }}^2}\right]F\left(\mathrm{\phi }\right)=0$.

Если выбрать s = λ , 0 < λ < 1, то

${\mathrm{\Psi }}_{clas}=r^{\mathrm{\lambda }+1}\left[b_1\cos (1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+b_2\sin (1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+b_3\cos (1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+b_4\sin (1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }\right]$

и построенное решение Ψ_clas для совпадает с χ (4). Если параметр $1+s<0$, то функция Ψ_clas имеет степенную особенность. Поскольку (3) является линейным уравнением, то общее решение для классической функции напряжений Ψ_clas представим в виде суммы функции χ и сингулярного вклада, для которого полагаем $s=\lambda -2$:

${\mathrm{\Psi }}_{clas}=\chi +\frac{1}{r^{1-\lambda }}\left[B_1\cos \right(1-\text{λ)φ}+B_2\sin (1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }]\underset{}{\overset{}{}}$(15)

с некоторыми постоянными B₁,B₂. На первый взгляд кажется, что такой выбор Ψ_clas приводит к увеличению порядка сингулярности классического поля упругих напряжений, создавая новую трудность при решении задачи Вилльямса. Однако предварительный анализ показал, что без введения B₁,B₂ не удается замкнуть задачу выбора всех коэффициентов в неевклидовой модели.

В полярной системе координат решение уравнения (14) представим через цилиндрические функции вещественного и мнимого аргументов. Эвристический рецепт их выбора можно сформулировать следующим образом: при $r\to 0$ компоненты T_ij должны иметь сингулярности того же порядка по r, что и функции τ_ij. Тогда решение уравнения (14) запишем в следующем виде:

${\mathrm{\Psi }}_{non-clas}=J_{1+\lambda }\left(r\right)\left(a_1\cos \right(1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+a_2\sin (1+\mathrm{\lambda }\left)\mathrm{\phi }\right)+$

$+I_{-1+\lambda }\left(r\right)\left(a_3\cos \right(1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+a_4\sin (1-\mathrm{\lambda }\left)\mathrm{\phi }\right)$, (16)

где $J_{1+\lambda }\left(r\right)$ – функция Бесселя, $I_{-1+\lambda }\left(r\right)$ – модифицированная функция Бесселя, $a_1,a_2,a_3,a_4$ — постоянные. Справедливы следующие асимптотические представления для $J_{1+\lambda }\left(r\right),I_{-1+\lambda }\left(r\right)$ при $r\to 0$ [9]:

$J_{1+\lambda }\left(r\right)={\left(\frac{r}{2}\right)}^{1+\lambda }\left(1-\frac{1}{\mathrm{Г}(2+\mathrm{\lambda })}{\left(\frac{r}{2}\right)}^2+{\left(\frac{r}{2}\right)}^4{S}_1\left(r\right)\right),$

$I_{-1+\lambda }\left(r\right)={\left(\frac{r}{2}\right)}^{-1+\lambda }\left(1+\frac{1}{\mathrm{Г}\left(\mathrm{\lambda }\right)}{\left(\frac{r}{2}\right)}^2+\frac{1}{2\mathrm{Г}(1+\mathrm{\lambda })}{\left(\frac{r}{2}\right)}^4+{\left(\frac{r}{2}\right)}^6{S}_2\left(r\right)\right),$ (17)

где $\mathrm{\Gamma }\left(\mathrm{x}\right)$ – гамма-функция, $S_1\left(r\right),S_2\left(r\right)$ – аналитические функции, ограниченные при $r\to 0$. Из (16), (17) видно, что при $r\to 0$ ведущий вклад Ψ_non−clas имеет порядок $r^{-1+\lambda }$ и он является сингулярным, такая же сингулярность присутствует в последнем слагаемом (15) для Ψ_clas. Полная функция напряжений Ψ (10) не должна содержать такого сингулярного вклада при $r\to 0$. Данное условие справедливо, если коэффициент при нем равен нулю, что приводит к следующим ограничениям на выбор постоянных:

B₁ + a₃2^1-λ = 0, B₂ + a₄2^1-λ = 0. (18)

Следующий член в разложении Ψ по r содержит слагаемые ~r^1+λ. Выше было указано, что это разложение должно включать слагаемые порядка не ниже r² тогда, приравнивая нулю коэффициенты при r^1+λ для различных тригонометрических функций, получим систему соотношений

$\begin{array}{l}{b}_1-\frac{a_1}{2^{1+\lambda }}=\mathrm{0,} b_2-\frac{a_2}{2^{1+\lambda }}=\mathrm{0,} \\ b_3+\frac{a_3}{2^{1+\lambda }\text{Г}\left(\text{λ}\right)}=\mathrm{0,} b_4+\frac{a_4}{2^{1+\lambda }\text{Г}\left(\text{λ}\right)}=0.\end{array}$ (19)

При выполнении условий (18), (19) разложение функции Ψ по степеням r начинается со слагаемых ~r^3+λ и дается формулой

$\mathrm{\Psi }={\mathrm{\Psi }}_{clas}+{\mathrm{\Psi }}_{non\mathit{-}clas}=-{\left(\frac{r}{2}\right)}^{3+\mathrm{\lambda }} \frac{1}{\mathrm{Г}(2+\mathrm{\lambda })}\left(a_1\cos \right(1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+a_2\sin (1+\mathrm{\lambda }\left)\mathrm{\phi }\right)+{\left(\frac{r}{2}\right)}^{3+\mathrm{\lambda }} \frac{1}{2\mathrm{Г}(1+\mathrm{\lambda })}\left(a_3\cos \right(1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+a_4\sin (1-\mathrm{\lambda }\left)\mathrm{\phi }\right)+{\left(\frac{r}{2}\right)}^{5+\mathrm{\lambda }}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\lambda }}(r,\mathrm{\phi })$, (20)

${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\lambda }}(\mathrm{r},\mathrm{\phi })={\mathrm{S}}_1\left(\mathrm{r}\right)\left({\mathrm{a}}_1\cos \right(1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{a}}_2\sin (1+\mathrm{\lambda }\left)\mathrm{\phi }\right)+{\mathrm{S}}_2\left(\mathrm{r}\right)\left({\mathrm{a}}_3\cos \right(1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{a}}_4\sin (1-\mathrm{\lambda }\left)\mathrm{\phi }\right).$

Если переопределить коэффициенты в (20), полагая

$-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3+\lambda }\frac{1}{\mathrm{Г}(2+\mathrm{\lambda })}{a}_1=A_1, -{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3+\lambda }\frac{1}{\mathrm{Г}(2+\mathrm{\lambda })}{a}_2=A_2,$

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3+\lambda }\frac{1}{2\mathrm{Г}(1+\mathrm{\lambda })}{a}_3=A_3, {\left(\frac{r}{2}\right)}^{3+\lambda }\frac{1}{2\mathrm{Г}(1+\mathrm{\lambda })}{a}_4=A_4$,

то функция напряжений Ψ равна

$\mathrm{\Psi }=r^{\mathrm{\lambda }+3}{\mathrm{Ф}}_{\mathrm{\lambda }}\left(\mathrm{\phi }\right)+{\left(\frac{r}{2}\right)}^{5+\mathrm{\lambda }}{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\lambda }}(r,\mathrm{\phi }),$

${\mathrm{Ф}}_{\mathrm{\lambda }}\left(\mathrm{\phi }\right)=A_1\cos (1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{A}}_2\sin (1+\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{A}}_3\cos (1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }+{\mathrm{A}}_4\sin (1-\mathrm{\lambda })\mathrm{\phi }$. (21)

Отсюда видно, что ведущее слагаемое в функции напряжений имеет порядок r^3+λ при r → 0. Следовательно, в полярной системе координат компоненты полного поля напряжений σ_ij имеют порядок r^λ+1 и не содержат сингулярностей r → 0 при для λ < −1.

Выполненные вычисления показали, что проблема Вилльямса допускает решение и реализуется на пути расширения классической теории с переходом к неевклидовой модели сплошной среды. В рамках этой модели удалось перейти к несингулярному полю полных напряжений, в котором сингулярность поля упругих напряжений была скомпенсирована дополнительным полем, источником которого является несовместность поля деформаций.

Сделаем некоторые замечания относительно выбора параметра λ. В построенном решении (21) значение λ не было фиксировано. Однако при решении краевых задач может возникать дополнительное ограничение на λ. В качестве примера рассмотрим свободные условия на границе углового выреза [1]:

${\overline{){\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{\phi \phi } }}}_{{}_{\mathrm{\phi }=0}}={\overline{){\mathrm{\sigma }}_{r\phi }}}_{{}_{\mathrm{\phi }=0}}, {\overline{){\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{\phi \phi } }}}_{{}_{\mathrm{\phi }=\alpha }}={\overline{){\mathrm{\sigma }}_{r\phi }}}_{{}_{\mathrm{\phi }=\alpha }}=0$.

Тогда из (2), (21) в ведущем порядке по r → 0 получаем Ф(0) = Ф'(0) = Ф(α) = Ф'(α) = 0, где штрих обозначает дифференцирование по φ. Линейное уравнение для нахождения постоянных A_k, k = 1, 2, 3, 4, является однородным и имеет нетривиальное решение при обращении детерминанта системы в нуль, что дает следующее условие:

$\mathrm{sin\lambda \alpha }=\pm \mathrm{\lambda sin\alpha }$. (22)

Сравнение соотношения (22) со спектральным уравнением (15) [1] показывает, что они совпадают. Значит, определяемая из (22) функциональная зависимость λ = λ(α) такая же, как и у Вилльямса. Следовательно, предложенная в данной работе процедура удаления указанной Вилльямсом сингулярности сохраняет классические спектральные соотношения в случае свободных краевых условий.

В общем случае значение параметра λ не фиксируется. Поскольку (3), (14) являются линейными уравнениями, то общее решение для функции напряжений можно представить в виде линейной комбинации решений (21) для различных λ. Такое решение для поля полных напряжений не содержит сингулярностей при r → 0 для λ < −1 и может быть полезным для моделирования физических процессов в отсутствии осевой симметрии.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-19-00447, https://rscf.ru/project/22-19-00447/.

About the authors

M. A. Guzev

aInstitute for Applied Mathematics Far Eastern Branch, Russian Academy of Sciences; Perm National Research Polytechnic University

Author for correspondence.
Email: guzev@iam.dvo.ru

Academician of the RAS

Russian Federation, Vladivostok; Perm

References

Supplementary files