Developing a Quasi-Optimal, in Terms of Transition Time and Energy Consumption, Closed-Loop Control System for an Electrical Installation

Full Text

Введение

Для электротехнических процессов и установок актуальна задача повышения эффективности работы, так как 70 % вырабатываемой электроэнергии потребляют электроприводы, 10 % – электротермические установки¹. Установки инфракрасного излучения, светотехнические и насосные установки являются энергоемкими в современных технологиях выращивания сельскохозяйственных культур в защищенном грунте [1]. Многие процессы и установки, особенно тепловые, имеют большую инерционность, то есть длительные динамические режимы перехода в устойчивое требуемое выходное состояние. Динамические режимы электроустановок как объектов управления с достаточной точностью описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в качестве управляющих воздействий служат ограниченные электрические переменные: обычно амплитуда, частота или скважность напряжения или тока.

В технических приложениях задачи оптимального перехода формулируются как задачи быстродействия, на минимум ресурсов (энерго- и ресурсосбережения) и точности (программного движения). Утверждается, что оптимальное энергосберегающее управление электрической сушильной камерой позволяет при определенных граничных условиях сэкономить до 60 % потребляемой электроэнергии [2]. Но известные алгоритмы оптимального быстродействия и энергосбережения отыскиваются в виде программного (то есть в функции времени) управления, не обеспечивают устойчивости конечного состояния объекта и в лучшем случае могут быть реализованы в форме нестационарной обратной связи.

Цель работы – применить особое оптимальное управление в качестве единого подхода для нахождения алгоритма управления с минимальными энергозатратами в функции состояний объекта, а также определить параметры и условия программного движения, обеспечивающие эффекты быстродействия и энергосбережения в устойчивой замкнутой системе управления электроустановкой.

Обзор литературы

Для решения оптимальных задач в технических приложениях используется принцип максимума Понтрягина, так как он, в отличие от классического вариационного исчисления, позволяет найти кусочно-непрерывное управление и учесть ограничения на переменные объекта². Оптимальное управление отыскивается как функция зависящих от времени вспомогательных переменных, вводимых принципом максимума. Но в задачах быстродействия и на минимум ресурсов, нелинейных по координатам с линейным управлением, возможно существование особого режима, когда принцип максимума не устанавливает однозначной связи между оптимальным управлением и вспомогательными переменными³. Известные способы вычисления особого управления используют вспомогательные переменные непосредственно или с помощью скобок Пуассона [3; 4]. Найти решение для вспомогательных переменных, даже в функции времени, сложно, а для построения замкнутой системы в функции координат, позволяющей компенсировать действующие на объект возмущения, невозможно из-за неразрешимости двухточечной граничной задачи, к которой сводится решение оптимальной задачи. В задачах энергосбережения с квадратичным по управлению критерием особых режимов не возникает, но даже если оптимальное управление в функции времени будет получено, то синтез замкнутой системы осуществляется с помощью зависящих от времени и граничных условий обратных связей [2]. Тогда как для простоты технической реализации системы требуются стационарные обратные связи.

Для достижения предельного быстродействия или минимума ресурсов в задачах с линейным управлением необходимо кусочно-постоянное управление с максимально возможными амплитудами воздействия, что ведет к перерегулированию координат, а моменты переключения определяются нелинейными нестационарными поверхностями переключения или стыковки особых и неособых траекторий [5; 6]. Поэтому алгоритмы оптимального быстродействия неприменимы в задачах программного движения или оптимального по точности управления по достижению минимального отклонения от заданной траектории, особенно для объектов с длительными и частыми динамическими режимами перехода [7]. К тому же при оптимальном быстродействии не обеспечивается устойчивость конечного состояния в отличие от программного движения, гарантирующего ее на полубесконечном интервале времени.

Что касается связи решений задач управления с критериями быстродействия и энергосбережения, то известны противоположные точки зрения: от их полного противопоставления, что объясняется необходимостью больших энергозатрат для увеличения быстродействия, до их полного совпадения, что справедливо при управлении в большом, когда при больших диапазонах задания начального и конечного состояний выхода минимальные энергозатраты получаются при максимально возможном управлении, то есть как в задаче быстродействия⁴ [8]. Сравнительные анализы оценки критериев быстродействия, энергозатрат и точности (программного движения) выполнены при управлении реальными тепловыми процессами в металлургии и теплоснабжении [9‒11]. На основе анализа особых, в смысле принципа максимума, режимов в задачах с линейным вхождением управления показано, что алгоритмы оптимальных управлений по быстродействию и на минимум ресурсов совпадают, если критерий на минимум ресурсов физически адекватно отражает поступление энергии в управляемый процесс [12].

Исходя из обзора литературы, можно говорить об актуальности разработки подхода по совмещенному определению алгоритма управления на базе принципа максимума и его особенностей в функции состояний объекта. Подход важен для построения устойчивой замкнутой системы управления.  

Материалы и методы

Пусть математическое описание объекта управления (электроустановки) задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, нелинейных по координатам с линейным скалярным управлением в векторно-матричной форме:

  $\dot{x}=A\left(x\right)+B\left(x\right)U,$           (1)

где $x\in R_n-$   вектор координат объекта; U – управление, 0 ≤ U ≤ 1; элементы вектор-столбцов A(x), B(x) непрерывны и дифференцируемы по x.

Задачами системы управления являются, во-первых, выработка ограниченного управления в функции времени или координат, переводящего объект из начального состояния x(0) в конечное x(T) за незаданное или заранее заданное время и обеспечивающего минимум критерию оптимальности в виде интегрального функционала, учитывающего временные или энергетические затраты или отклонение текущей траектории от заданной (задача оптимального управления); во-вторых, последующая стабилизация конечного состояния в замкнутой системе со стационарными обратными связями (задача устойчивости или, в конечном счете, обеспечения работоспособности установки).

Для решения первой задачи оптимального управления с определением существования особого режима и вычисления особого управления в явном виде от координат и параметров нелинейного объекта, что необходимо на практике для синтеза замкнутой системы с обратной связью, применим аппарат условий общности положения (УОП) для нелинейных объектов. УОП был выведен в работе В. А. Олейникова для задач быстродействия и расширен для задач на минимум ресурсов в одном из наших исследований⁵.

Покажем применение УОП для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат в задаче программного движения с критерием

$I={\int }_0^T{\left(x_{n\text{\hspace{0.17em}ТР}}\left(t\right)-x_n\left(t\right)\right)}^{2}dt,$        (2)

учитывающим квадратичные отклонения текущей выходной координаты объекта от требуемой [13]. Задача (1), (2) является нелинейной по координатам, поэтому в ней при использовании принципа максимума, даже для линейных объектов, возможно возникновение особых ситуаций, если на некотором интервале времени $t\in \left[t_1,t_2\right]$  :

$\frac{d^k\left(\psi ,B\left(\tilde{x}\right)\right)}{d{t}^k}=\mathrm{0,}k=\mathrm{0,1,2,}\dots ,$     (3)

где ψ – вектор вспомогательных переменных, вводимых принципом максимума, из уравнения

 $\frac{d\psi }{dt}=-{\left(\frac{\partial A\left(\tilde{x}\right)}{\partial \tilde{x}}+\frac{\partial B\left(\tilde{x}\right)U}{\partial \tilde{x}}\right)}^T\psi .$ 

Условие существования особого режима (3) требует анализа вспомогательных переменных ψ(t). Чтобы его избежать, в аппарате УОП вычисляются векторы B_j, j = 2,…, n + 2, по рекуррентному соотношению:

 $B_1\left(\tilde{x}\right)=B\left(\tilde{x}\right),$ 

$B_j=\frac{\partial B_{j-1}}{\partial U}\frac{dU}{dt}-\left(\frac{\partial A\left(\tilde{x}\right)}{\partial \tilde{x}}+\frac{\partial B\left(\tilde{x}\right)U}{\partial \tilde{x}}\right)B_{j-1}+\frac{\partial B_{j-1}}{\partial \tilde{x}}\frac{d\tilde{x}}{dt},$  (4)

где  $\tilde{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x\\ x_{n+1}\end{array}\right)$ $A\left(\tilde{x}\right)=\left(\begin{array}{c}{\left(x_{n\text{\hspace{0.33em}ТР}}\left(t\right)-x_n\left(t\right)\right)}^2\\ A\left(x\right)\\ 1\end{array}\right),$  $B\left(\tilde{x}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ B\left(x\right)\\ 0\end{array}\right).$ 

После образования матрицы D_n+2 размером (n + 2) ∙ (n + 2) из векторов (B₁ … B_n+2) и приравнивания к нулю определителя det D_n+2 = 0 находятся уравнения особых траекторий и особых управлений, множество которых можно расширить путем приравнивания к нулю функциональных элементов матрицы D_n+2, так как при этом тождественно выполняются условия особого режима (3).

При исследовании функциональных элементов матрицы D_n+2 учитываются не только особые режимы задачи программного движения, но и задач быстродействия и на минимум ресурсов с линейным управлением, так как в матрицу D_n+2 вложены матрицы

 $D_n=\left(\begin{array}{cc}{b}_{21}& b_{22}\\ b_{31}& b_{32}\end{array}\right)D_{n+1}=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right),$ 

проверяемые в этих задачах. Таким образом, свойства оптимального по быстродействию управления являются характерными для объекта и сохраняются при других критериях оптимальности, а в целом проверка УОП позволяет выявить общие свойства оптимального управления в задачах быстродействия, на минимум ресурсов и программного движения.

Интегральный критерий энергозатрат для большинства электротехнических устройств имеет вид

$I={{\displaystyle \int }}_0^T{U}^{2}dt.$                    (5)

Как и М. Атанс и П. Фалб, предположим, что «U(t) – скаляр, пропорциональный напряжению или току, тогда величина U ²(t) пропорциональна мощности, а ${{\displaystyle \int }}_{t_0}^T{U}^{2}dt$  пропорционален энергии, израсходованной на интервале [t₀, T ]»⁶. Такой критерий энергозатрат используется в большинстве работ, но иногда, как заметил Ю. П. Петров, «в задачах частотного управления рекомендуется использовать критерий ${{\displaystyle \int }}_{t_0}^T{U}^{\mathrm{1,5}}dt,$  так как потери на гистерезис и вихревые токи пропорциональны соответственно первой и второй степени частоты электрического сигнала»⁷.

Задача энергосбережения (1), (5) нелинейна по управлению, поэтому особых режимов в ней не возникает, и при ее решении можно однозначно выразить оптимальное программное управление, как отмечает В. И. Ловчаков, через вспомогательные переменные с помощью принципа максимума или множители Лагранжа в классическом вариационном исчислении или методом динамического программирования [2].

Чтобы исключить трудоемкую операцию нахождения дополнительных переменных, предложен способ поиска дифференциального уравнения для оптимального управления в функции координат объекта, основанный на применении аппарата УОП для нелинейных объектов, для чего производится приведение исходной задачи (1), (5) к редуцированной задаче с линейным вхождением управления, в которой возможно существование особого режима. Как мы писали в одной из предыдущих работ, «УОП для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат R_n+2 применяются к редуцированной задаче энергосбережения (1), (5):

$\left\{\begin{array}{c}{\dot{x}}^0=y\\ \dot{x}=A\left(x\right)+B\left(x\right)x^0\\ {\dot{x}}_{n+1}={\left(x^0\right)}^2.\end{array}\right.$

Из выражения для детерминанта и элементов матрицы D_n+2 = (B₁ B₂ … B_n B_n+1 B_n+2), вычисленных с учетом замены U на y по рекуррентному соотношению (4), в общем случае получается множество особых управлений y и его производных по времени в функции координат редуцированного объекта

$\det D_{n+2}=F_0\left(x,x^0,y,\dot{y},\dots \right)=\mathrm{0,}$

а после обратной замены переменных управления в редуцированной задаче на переменные управления в исходной задаче

$x^0=U,\frac{d^{k-1}}{d{t}^{k-1}}y=\frac{d^k}{d{t}^k}U,k=\mathrm{1,2,3,}\dots$

получается дифференциальное уравнение для оптимального программного управления в функции координат исходного объекта»⁸. А именно:

$F\left(x,U,\dot{U},\ddot{U},\dots \right)=0.$

Постоянные интегрирования в общем решении системы дифференциальных уравнений объекта (1) и дифференциального уравнения для оптимального программного управления (6) определяются из решения двухточечной граничной задачи для заданных состояний выхода объекта и его (n – 1) производных в начальный и конечный фиксированный момент времени T. Получаемое управление и соответствующие фазовые траектории являются трансцендентными функциями от времени, и замкнутая система может быть реализована с помощью нелинейных функциональных преобразователей, нестационарной обратной связи или путем аппроксимации траекторий и управления [2; 14–16].

Что касается второй задачи, стабилизации, то алгоритмы быстродействия и энергосбережения не обеспечивают устойчивость конечного состояния. Алгоритм программного движения может гарантировать устойчивость, поэтому для его эффективности по быстродействию и энергосбережению предлагается ввести в желаемый закон движения выходной координаты объекта такой параметр τ, который противоречиво влияет на время переходного процесса T и амплитуду управляющего воздействия U. Таким параметром, исходя из физических соображений по второму закону Ньютона, может быть мера инерционности процесса. Если взять апериодическое звено первого порядка с дифференциальной связью $\tau \dot{x}=U-x$ , то T прямо пропорционально τ и составляет (3÷4)τ, а амплитуда U обратно пропорциональна τ. Тогда выбор параметра τ дает эффективные решения для значений T и U, так как нельзя уменьшить значение одного, не увеличивая значение другого⁹. Найти оптимальные значения быстродействия T и энергии E как интеграла от квадрата управления U можно из экстремума энергии E по параметру τ при переходе из начального состояния x_нач в конечное x_кон за время T по условию

$\frac{\partial E\left(x_{нач},x_{кон},\tau ,U,T\right) }{\partial \tau }=0.$      (7)

Если при вычисленном по (7) τ_опт выполняются ограничения по управлению и координатам, то в задаче программного движения с критерием (2) при

$x_{n\text{\hspace{0.17em}ТР}}\left(t\right)=x_{нач}{e}^{\raisebox{1ex}{$-t$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\tau }_{опт}$}\right.}+x_{кон} \left(1-e^{\raisebox{1ex}{$-t$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\tau }_{опт}$}\right.}\right)$  (8)

обеспечивается квазиоптимальное (в смысле локальной оптимальности, в отличие от глобальной оптимальности при оптимальном программном управлении) управление по быстродействию и энергозатратам.

Устойчивость квазиоптимальной системы можно проверить по функции Ляпунова методами качественной теории дифференциальных уравнений или критериев устойчивости [17]. Структура замкнутой квазиоптимальной системы для линейных объектов управления содержит линейные стационарные обратные связи с коэффициентами передачи, зависящими от параметра τ_опт.

Результаты исследования

Покажем применение предложенных на основе особого оптимального управления подходов в решении задач оптимального и квазиоптимального управления линейным объектом, динамика которого описывается линейным дифференциальным уравнением

${\stackrel{\cdot }{x}}_1=U-x_1,$                         (9)

где коэффициент усиления и постоянная времени равны 1, на управление и состояние наложены ограничения 0 ≤ U ≤ 1, 0 ≤ x₁ ≤ 1. Граничные условия x_1нач = 0, x_1кон = x_к. Выбор объекта объясняется меньшей громоздкостью вычислений и большей прозрачностью результатов для оценки вычислительных, временных и энергетических затрат и оценки устойчивости  получаемых решений.

Задача оптимального энергосберегающего управления

УОП в расширенном пространстве координат R₃ применяются к редуцированной задаче

$\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}^0=y\\ {\dot{x}}_1=x^0-x_1\\ {\dot{x}}_2={\left(x^0\right)}^2.\end{array}\right.$

Вычисляются векторы B_j, j = 1, 2, 3, по соотношению (4), и образуется матрица D₃:

$D_3=\left(\begin{array}{ccc}{B}_1& B_2& B_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& -1\\ 0& -2x^0& -2y\end{array}\right).$

Из det D₃ = 0 определяется особое управление в редуцированной задаче y – x⁰ = 0, после перехода к оптимальному управлению в исходной задаче решается система дифференциальных уравнений

$\left\{\begin{array}{c}{\dot{x}}_1=U-x_1\\ \dot{U}=U.\end{array}\right.$

Общим решением системы дифференциальных уравнений объекта и управления являются

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1\left(t\right)=C_1{e}^t+C_2{e}^{-t},\\ U\left(t\right)=2C_1{e}^t.\end{array}\right.$

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. Пусть x₁(0) = 0, x_1кон = 0,5 при T = 2. Графики переходных процессов для координаты x₁^*(t) = 0,069(e^t + e^–t) и оптимального программного управления U ^*(t) = 0,138e ^t приведены на рисунке 1. При этом затраты энергии $E={{\displaystyle \int }}_0^2{(U^{*}\left(t\right))}^{2}dt=\mathrm{0,52,}$  что на 30,7 % меньше, чем энергозатраты в разомкнутой системе с управлением U^*(t) = 0,5 на интервале времени t $\in$  [0, 3]. Но аналитически выразить U^* через x₁^* из-за трансцендентности невозможно, к тому же нужно будет дополнительно решать задачу стабилизации конечного состояния.

 

 

 

 

Рис. 1. Траектории x₁* и U * оптимального программного управления

Fig. 1. Trajectories x₁ * and U* of optimal programmed control

 

Задача квазиоптимального управления

Рассмотрим задачу программного движения для объекта (9) с критерием

$I={\int }_0^T{\left(x_{к}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau }}\right)-x_1\right)}^{2}dt,$

учитывающим переход из x₁(0) = 0 в x₁(T → ∞) = x_к c минимальными квадратичными отклонениями от переходного процесса апериодического звена $\tau \stackrel{\cdot }{x}=U-x$  с U = x_к.

Применим УОП в расширенном пространстве координат R₃ к поставленной задаче

$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{·}{x}}_0=1,\\ {\stackrel{·}{x}}_1=U-x_1,\\ {\stackrel{·}{x}}_2={\left(x_{\text{ê}}\left(1-e^{-\frac{x_0}{\tau }}\right)-x_1\right)}^2.\end{array}\right.$

После вычисления векторов B_j, j = 1, 2, 3, по соотношению (4) образуем матрицу D₃ = (B₁ B₂ B₃):

$D_3=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 1& 1\\ 0& b_{32}& b_{33}\end{array}\right),$

из элементов которой

$b_{32}=2x_{к}\left(1-e^{-\frac{x_0}{\tau }}\right)-2x_1,$

$b_{33}=2\left(x_{к}\left(1-e^{-\frac{x_0}{\tau }}\right)-x_1\right)+2\frac{x_{к}{e}^{-\frac{x_0}{\tau }}}{\tau }-2U+2x_1$

определяются в функции времени особая траектория, совпадающая с желаемой по критерию (10), и особое управление, являющееся оптимальным в задаче программного движения

 $U\left(t,x_{к},\tau \right)=x_{к}\left(1+e^{-\frac{t}{\tau }}\left(\frac{1-\tau }{\tau }\right)\right).$ (11)

После исключения времени в последних находится управление в замкнутой системе, линейно зависящее от координаты x₁:

 $U\left(x_1,x_{к},\tau \right)=\frac{x_{к}-x_1\left(1-\tau \right)}{\tau }.$   (12)

На рисунке 2 приведена графическая иллюстрация связей между переменными в уравнении (12). Из уравнений (11) и (12) следует, что начальная амплитуда управления U(x₁(0) = 0) обратно пропорциональна параметру τ. При τ ≤ τ_мин (рис. 2) начальный участок управления в программном движении, как в задаче быстродействия, принадлежит ограничению на управление U = 1 и чем больше x_к, тем при больших τ_мин выходим на это ограничение, что следует и из связи $U\left(x_1\left(0\right)=0\right)\le 1=\frac{x_{\text{к\hspace{0.33em}макс}}}{{\tau }_{мин}}.$ . Это означает, что при больших диапазонах заданных граничных условий в программном движении исчезает эффект энергосберегающего управления и оно приближается к оптимальному управлению по быстродействию [2].

 

 

 

 

Рис. 2. Связи переменных в программном движении

Fig. 2. Relationships of variables in the program motion

 

Величина энергии, затрачиваемой на переход из x₁(0) = 0 в x_к за время T = 3τ при управлении (13), равна

$E={\int }_0^{3\tau }{\left(U\left(t,x_{к},\tau \right)\right)}^{2}dt=x_{к}^2\frac{\left(3{\tau }^2+2\tau +1\right)}{2\tau }.$

Минимум энергии Е по параметру τ определится из условия

$\frac{\partial E}{\partial \tau }=x_{к}^2\frac{\left(3{\tau }^2-1\right)}{2{\tau }^2}=\mathrm{0,}$

откуда τ_опт = 0,58. Отметим, что полученный параметр τ_опт не зависит от x_к. Зависимость энергии E от параметра τ при x = 0,5 показана на рисунке 3. Спадающий в положительном направлении τ участок функции E(τ) характеризует эффективные по быстродействию и энергозатратам режимы [18]. Оптимальное в программном движении решение с τ_опт = 0,58 дает 9,3 % относительной экономии энергии, по сравнению с управлением в разомкнутой системе с τ = 1, что существенно ниже 30,7 % экономии энергии при оптимальном программном управлении, но при программном движении обеспечивается устойчивость конечного состояния.

При выборе x_к > τ_мин, то есть, когда τ_мин > τ_опт (рис. 2, 3), переходим на восходящую ветвь функции E(τ), быстродействие и энергозатраты непротиворечивы, их эффекты хотя и снижаются, но сохраняются по сравнению с τ = 1. Отметим, что выбор меньшего τ дает больший эффект по быстродействию или производительности установки, чем эффект по энергозатратам, что следует из слабой вогнутости кривой E(τ). При больших x_к наблюдается более выраженный экстремум в зависимости E(τ). Графики переходных процессов в программном движении с τ_опт = 0,58 и τ = 1 для x_к = 0,5 приведены на рисунке 4.

 

 

 

Рис. 3. Зависимость энергии E от параметра τ в программном движении

Fig. 3. Dependence of the energy E on the parameter τ in the program motion

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4. Графики переходных процессов в программном движении

 

Fig. 4. Graphs of transients in the program motion 

 

Структура позиционной системы управления, квазиоптимальной по быстродействию и энергозатратам, полученная из (12) с τ_опт и технически просто реализуемая, приведена на рисунке 5. Если граничные условия x_к > τ_опт  или τ_мин > τ_опт, то x_к > τ_опт или τ_мин > τ_опт, то для ограничения амплитуды управления введено звено насыщения с линейным участком единичного наклона в диапазоне [0, 1].

 

 

Рис. 5. Структура позиционной системы управления

Fig. 5. Structure of the positional control system

 

Непосредственное применение результатов данной работы можно показать на примере оптимального энергосберегающего управления сушильной камерой, приведенного в работе В. И. Ловчакова [2]. Хотя поведение объекта описывается дифференциальным уравнением второго порядка, для конкретных граничных условий можно построить адекватную модель первого порядка с помощью метода наименьших квадратов по кривой переходного процесса или частотных характеристик. Далее, применяя пошагово методику данной работы, можно в замкнутой устойчивой системе получить квазиоптимальное по энергозатратам и быстродействию управление, обеспечивающее 10–30 % экономии электроэнергии и в 1,5–2,0 раза большее быстродействие при корректном сравнении с управлением в разомкнутой системе, соответствующим конечному значению выходной координаты.

Обсуждение и заключение

В целом предлагаемый подход к построению оптимальных систем по критериям быстродействия, энергосбережения и точности на основе УОП для нелинейных объектов в расширенном пространстве координат показал свою результативность и эффективность. Квазиоптимальность по энергозатратам и быстродействию в устойчивом динамическом режиме достигается тем, что в задаче программного движения выполняется минимизация энергии по параметру программного движения, противоречиво влияющему на время переходного процесса и амплитуду управляющего воздействия. Формализованность подхода предполагает его использование в задачах многокритериальной оптимизации и системах автоматизированного проектирования.

В дальнейшем предлагается применять подход к объектам большей размерности с учетом структурно-функциональных особенностей, различных представлений дифференциальных уравнений объекта в нормальной форме или с отражением физической сущности. Не решена задача достижения предельного энергосбережения, получаемого при оптимальном программном управлении, с алгоритмом и структурой устройства определения частных решений и обеспечивающего устойчивость замкнутой стационарной системы.

Результаты работы могут быть использованы при исследовании динамических режимов электроустановок в промышленных и сельскохозяйственных тепловых процессах (жилые и нежилые помещения, теплицы, печи, сушильные камеры, автоклавы); в светотехнических установках; на транспорте в автономных электроприводах; в мехатронных и робототехнических устройствах, например для обеспечения мягкого пуска электроприводов, и в других процессах и установках [19; 20].

 

 

¹           Браславский И. Я., Ишматов Э. Ш., Поляков В. Н. Энергосберегающий асинхронный электропривод : учеб. пособие для вузов. М. : Издательский центр «Академия», 2004. 256 с. URL: http://log-in.ru/books/energosberegayushiiy-asinkhronnyiy-elektroprivod-braslavskiiy-i-ya-ishmatov-z-sh-polyakov-v-n-tekhnika/ (дата обращения: 20.01.2022) ; Автоматическое управление электротермическими установками : учебник для вузов / А. Д. Свенчанский [и др.]. М. : Энергоатомиздат, 1990. 416 с. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01001521815 (дата обращения: 20.01.2022).

²           Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин [и др.]. М. : Наука, 1969. 384 с. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01006401476 (дата обращения: 20.01.2022).

³           Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления. М. : Наука, 1973. 314 с. URL: https://litgu.ru/knigi/tehnicheskie_nauki/308008-osobye-optimalnye-upravleniya.html (дата обращения: 20.01.2022).

⁴           Макеева А. В. Оптимальное по быстродействию управление одной линейной системой второго порядка // Сборник докладов всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием «Фундаментальные и прикладные проблемы механики, математики, информатики». Пермь : ФГБОУ ВО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», 2015. С. 68–71. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=24231084&pff=1 (дата обращения: 24.01.2022).

⁵           Олейников В. А. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности. Л. : Недра, 1982. 216 с. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01001089712 (дата обращения: 24.01.2022) ; Хорошавин В. С., Зотов А. В. Особое оптимальное управление нелинейными объектами : моногр. Киров : Науч. изд-во ВятГУ, 2019. 219 с. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=37523319 (дата обращения: 24.01.2022).

⁶           Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М. : Машиностроение, 1968. 734 с. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01005951981 (дата обращения: 24.01.2022).

⁷           Петров Ю. П. Оптимальное управление электроприводом с учетом ограничений по нагреву. Л. : Энергия, 1971. 144 с. URL: https://search.rsl.ru/ru/record/01007323479 (дата обращения: 24.01.2022).

⁸           Хорошавин В. С., Зотов А. В. Особое оптимальное управление нелинейными объектами.

⁹           Евланов Л. Г. Теория и практика принятия решений. М. : Экономика, 1984. 176 с. URL: https://hram-sveta.ru/9189-teoriya-i-praktika-prinyatiya-resheniy.html (дата обращения: 24.01.2022).

 

About the authors

Valeriy S. Khoroshavin

Vyatka State University

Author for correspondence.
Email: khoroshavin@vyatsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-4355-3866
ResearcherId: G-5298-2018

Professor of the Chair of Electric Drive and Industrial Equipment Automation,Dr.Sci. (Engr.)

Russian Federation, 36 Moskovskaya St., Kirov 610000

Viktor S. Grudinin

Vyatka State University

Email: grudinin@vyatsu.ru
ORCID iD: 0000-0002-1615-6195
ResearcherId: G-5550-2018

Associate Professor of the Chair of Electric Drive and Industrial Equipment Automation, Cand.Sci. (Engr.)

Russian Federation, 36 Moskovskaya St., Kirov 610000

References

Supplementary files