Associated production of J/ψ and direct photon in the parton Reggeization approach

Введение

Экспериментальное исследование процессов ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и прямых фотонов в протон-протонных столкновениях при высоких энергиях представляет большой интерес не только для проверки предсказаний пертурбативной квантовой хромодинамики (КХД) и различных моделей адронизации тяжелых кварков в тяжелый кварконий [1, 2], но и для получения информации о глюонных функциях распределения (ГФР) в протоне, в том числе зависящих от поперечного импульса поляризованных ГФР [3, 4].

Значение константы сильного взаимодействия на масштабе массы очарованного кварка ${\alpha }_S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\simeq 0.3$ позволяет проводить расчеты сечений рождения чармониев в рамках теории возмущений КХД. В настоящее время в коллинеарной партонной модели (КПМ) достигнута точность вычислений, отвечающая следующему за лидирующим порядку (СЛП) по ${\alpha }_S$ как для процессов прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ [5], так и для процессов ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов с прямыми фотонами [6].

Адронизации $c\overline{c}$ -пары в состояние чармония $—$ непертурбативный процесс, который может быть описан только в рамках феноменологических моделей. В модели цветовых синглетов (МЦС) [7, 8] предполагается, что кварк-антикварковая пара формирует синглетное по цвету состояние с квантовыми числами конечного чармония. В более общем подходе нерелятивистской квантовой хромодинамики (НРКХД), в которой учитываются релятивистские поправки по степеням относительной скорости $c\overline{c}$ -пары, рождение тяжелого чармония может происходить через октетные по цвету промежуточные состояния [9]. Другой подход к описанию адронизации $—$ это модель испарения цвета (МИЦ), в которой предполагается, что $c\overline{c}$ -пара с инвариантной массой от порога рождения чармония $\mathcal{C}$ до порога рождения самого легкого мезона с открытым очарованием с определенной вероятностью ${\mathcal{F}}^{\mathcal{C}}$ превращается в чармоний $\mathcal{C}$ [10, 11]. В настоящее время МИЦ была улучшена в работе Ма и Вогта [12].

Важную роль в описании рождения чармониев в протон-протонных столкновениях при высоких энергиях играет выбор подхода факторизации физики жестких и мягких процессов. В области больших поперечных импульсов $p_T\gg m_{\mathcal{C}}$, где поперечными импульсами начальных партонов можно пренебречь, рождение чармониев в жестких протон-протонных столкновениях может быть достаточно хорошо описано с использованием КПМ [13]. Однако для описания области малых поперечных импульсов $p_T\ll m_{\mathcal{C}}$ необходимо учитывать ненулевой поперечный импульс непертурбативной природы, что достигается в подходе TMD-факторизации, которая учитывает эффекты поперечного движения партонов [14]. Для описания экспериментальных данных в промежуточной области поперечных импульсов $p_T\simeq m_{\mathcal{C}}$ используются различные процедуры <<сшивания>> результатов расчетов в КПМ и TMD [15]. В пределе высоких энергий применим альтернативный метод описания сечений рождения при любых поперечных импульсах $p_T$ $—$ подход реджезации партонов (ПРП) [16]$–$[18]. Данный подход $—$ это один из вариантов реализации подхода факторизации при высоких энергиях, который основывается на модифицированном приближении мультиреджевской кинематики КХД, в котором имеет место эффект реджезации партонных амплитуд. В ПРП нами ранее были описаны существующие экспериментальные данные для процессов рождения прямых одиночных $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов, для рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов с учетом вкладов от распадов вышележащих состояний при энергиях $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>1.8}$ $–$ $13$ ТэВ, с использованием как НРКХД [19-21], так и УМИЦ [22].

В настоящее время накоплено большое количество экспериментальных данных по рождению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов в адронных взаимодействиях от энергий $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>19}$ ГэВ до $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>13}$ ТэВ [23]. Рождение одиночных прямых фотонов в адрон-адронных столкновениях было изучено экспериментально в широком диапазоне энергий в экспериментах с фиксированной мишенью [24] и на коллайнерах RICH, Тэватрон, БАК [25-27]. В ПРП были проведены исследования одиночного, двойного и тройного рождения фотонов при энергии БАК [28-31].

Однако до настоящего времени сечение ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и прямых фотонов не было измерено ни в одном эксперименте. В этой работе мы изучаем ассоциативное рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и прямых фотонов в ПРП, используя две различные модели адронизации пары тяжелых кварка и антикварка в тяжелый кварконий: НРКХД и УМИЦ. Мы предсказываем сечения рождения и различные спектры $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и прямых фотонов в протон-протонных столкновениях при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>13}$ ТэВ.

1 Подход реджезации партонов

ПРП $—$ калибровочно инвариантная реализация подхода $k_T$ -факторизации, который доказан в лидирующем логарифмическом приближении (ЛЛП) в пределе высоких энергий КХД [32-34]. Ключевыми элементами ПРП являются факторизация амплитуд в реджевском пределе КХД, эффективная теория поля (ЭТП) для реджезованных глюонов и кварков Л.Н. Липатова [35] и неинтегрированные ПФР (нПФР) [18], построенные в модифицированной модели Кимбера $—$ Мартина $—$ Рискина $—$ Ватта (КМРВ) [36, 37].

В ПРП сечение процесса ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и прямых фотонов с большим поперечным импульсом $p_{T\gamma }$, $pp\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma X$ выражается как свертка реджезованного партонного сечения подпроцесса и нПФР. Для подпроцесса глюон-глюонного слияния дифференциальное сечение может быть записано:

             $d\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}pp\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \int }\frac{d{x}_1}{x_1}{\displaystyle \int }\frac{d^2{q}_{T1}}{\pi }{\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{t}_1\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \int }\frac{d{x}_2}{x_2}{\displaystyle \int }\frac{d^2{q}_{T2}}{\pi }{\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{t}_2\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times$

                                                           $\times d{\widehat{\sigma }}^{\text{ПРП}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}RR\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$                                                                (1)

 где $q_{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{\mathrm{1,2}}{P}_{\mathrm{1,2}}+q_{\mathrm{1,2}T}$ $—$ это 4-импульсы реджезованных глюонов; $P_{\mathrm{1,2}}^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sqrt{s}}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,0,}\pm \mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ 4-импульсы протонов; $q_{\mathrm{1,2}T}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{q}_{\mathrm{1,2}T}\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ это 4-поперечные импульсы глюонов; $t_{\mathrm{1,2}}\mathrm{<mo>=</mo>}-q_{\mathrm{1,2}T}^2$, ${\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ нПФР реджезованного глюона.

Отметим, что для модифицированных КМРВ нПФР при произвольном $x$ выполняется условие точной нормировки[18]:

             ${\displaystyle \underset{0}{\overset{{\mu }^2}{\int }}}{\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}x{f}_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$                                                                                                          (2)

 Сечение партонного подпроцеса $d{\widehat{\sigma }}^{\text{ПРП}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}RR\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, так же как и $d{\widehat{\sigma }}^{\text{ПРП}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}RR\to {\psi }^{\prime }\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $d{\widehat{\sigma }}^{\text{ПРП}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}RR\to {\chi }_{cJ}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, записываются через усреднение квадрированных реджезованных амплитуд ${\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}_{\text{ПРП}}$ обычным образом, см. (5) и (6).

Амплитуды партон-партонного рассеяния в ПРП вычисляются с использованием правил Фейнмана ЭТП Липатова. В данном подходе амплитуды калибровочно-инвариантны и начальные партоны рассматриваются как реджезованные партоны. Чтобы получить реджезованные амплитуды мы используем программный пакет FeynArts [38] для системы Mathematica и модельный файл ReggeQCD [17].

Калибровочная инвариантность всех амплитуд подтверждается аналитически. Кроме того, квадраты амплитуд в ПРП имеют явный коллинеарный предел, который был проверен аналитически для каждой рассматриваемой квадрированной амплитуды:

             $\underset{t_1\mathrm{,}{t}_2\to 0}{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}}\frac{d{\varphi }_{1}d{\varphi }_2}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}_{\text{ПРП}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}_{\text{КПМ}}\mathrm{.}$                                                                                                  (3)

ПРП использовалась для описания рождения прямых $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ через распады вышележащих состояний при высокой энергии в протон-протонных столкновениях. В предыдущих работах было обнаружено хорошее соответствие между вычислениями ЛП ПРП [19-21, 39-41] и экспериментальными данными коллабораций CDF, ATLAS, CMS, LHCb.

 2 ПРП и НРКХД

Подход НРКХД $—$ это теоретическая модель, в которой разделяются эффекты физики больших и малых расстояний. Сечение рождения чармония $\mathcal{C}$ в подпроцессе глюонного слияния может быть выражено как сумма по всем возможным состояниям $c\overline{c}$ -пары с соответствующими квантовыми числами [9]:

             $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}RR\to \mathcal{C}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _n}\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}RR\to c\overline{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{N_{col}{N}_{pol}}\mathrm{,}$                                                                                            (1)

 где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n{\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}}^{2S+1}{L}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ $—$ состояние $c\overline{c}$ -пары, записанное в спектроскопической нотации; квантовое число в верхнем индексе ${}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ определяет синглетное или октетное по цвету состояние; $\widehat{\sigma }$ $—$ сечение партонного подпроцесса рождения состояния $c\overline{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, а $⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩$ $—$ это непертурбативные матричные элементы (НМЭ), которые описывают переход промежуточного состояния в чармоний $\mathcal{C}$. Также $N_{col}\mathrm{<mo>=</mo>2}{N}_c$ $—$ для синглетных по цвету состояний, $N_{col}\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_c^2-1$ $—$ для октетных по цвету состояний, $N_{pol}\mathrm{<mo>=</mo>2}J+1$.

При изучении рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов мы рассматриваем вклады прямого рождения подпроцесса

             $R+R\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$                                                                                                                  (2)

 и рождение в подпроцессах

             $R+R\to {\psi }^{\prime }+\gamma \mathrm{,}$                                                                                                                    (3)

             $R+R\to {\chi }_{cJ}+\gamma$                                                                                                                   (4)

 через распады ${\psi }^{\prime }\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi X$ и ${\chi }_{cJ}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma$. При энергиях большого адронного коллайдера (БАК) вклад подпроцесса кварк-антикварковой аннигиляции в $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$ мал и может быть упущен. Мы получили аналитические формулы квадрированных амплитуд с использованием программных пакетов FeynArts и ReggeQCD, которые громоздки для представления в печатной статье, но могут быть получены у авторов по запросу.

Формула для численных расчетов может быть получена в ПРП из формулы факторизации (1) и сечения партонного подпроцесса

             $d{\widehat{\sigma }}^{\text{ПРП}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}RR\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^4{\delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_1+q_2-p_{\psi }-k_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\overline{M^2}}_{\text{ПРП}}}{I}\frac{d^3{p}_{\psi }}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{3}2p_{\psi }^0}\frac{d^3{k}_{\gamma }}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{3}2k_{\gamma }^0}\mathrm{,}$                                                                (5)

 где $I\mathrm{<mo>=</mo>2}{x}_1{x}_{2}s$ $—$ потоковый фактор; $p_{\psi }^{\mu }$ $—$ 4-импульс $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезона; $k_{\gamma }$ $—$ 4-импульс фотона.

Таким образом, в ПРП с использованием НРКХД сечение рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$ может быть записано как

             $\frac{d\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}pp\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d{p}_{\psi T}d{y}_{\psi }d{k}_{\gamma T}d{y}_{\gamma }d\Delta \varphi }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{p_{\psi T}{k}_{\gamma T}}{16{\pi }^3}{\displaystyle \int }d{t}_1{\displaystyle \int }d{\varphi }_1{\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{t}_1\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{t}_2\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\overline{M^2}}_{PRA}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1{x}_{2}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}$                                                                    (6)

 где $q_{2T}\mathrm{<mo>=</mo>}{p}_T+k_T-q_{1T}$, $x_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_{\psi }^0+k_{\gamma }^0+p_{\psi }^z+k_{\gamma }^z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\sqrt{s}$, $x_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_{\psi }^0+k_{\gamma }^0-p_{\psi }^z-k_{\gamma }^z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\sqrt{s}$, $y_{\psi }$ $—$ быстрота $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$; $y_{\gamma }$ $—$ быстрота фотона; $\Delta \varphi \mathrm{<mo>=</mo>}{\varphi }_{\psi }-{\varphi }_{\gamma }$. Квадрированные амплитуды ${\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}_{\text{ПРП}}$ являются функциями переменных Мандельштама $\widehat{s}$, $\widehat{t}$, $\widehat{u}$ и переменных $t_1\mathrm{,}{t}_2\mathrm{,}{a}_k\mathrm{,}{a}_p\mathrm{,}{b}_k\mathrm{,}{b}_p$, где $a_k\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_{\gamma }{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}s$, $a_p\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_{\psi }{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}s$, $b_k\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_{\gamma }{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}s$, $b_p\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_{\psi }{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}s\mathrm{.}$

3 ПРП и УМИЦ

Описание ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезона и прямого фотона с большим $p_T$ в ПРП с использованием УМИЦ в лидирующем порядке по ${\alpha }_S$ возможно через подпроцессы

             $R+R\to c+\overline{c}+\gamma \mathrm{,}$                                                                                                                  (1)

             $Q+\overline{Q}\to c+\overline{c}+\gamma \mathrm{.}$                                                                                                                  (2)

 Как и в случае использования НРКХД, вклад процесса кварк-антикварковой аннигиляции пренебрежимо мал и может быть опущен.

В УМИЦ сечение рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов с учетом распадов вышележащих состояний записывается следующим образом:

             $\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}pp\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}^{\psi }{\displaystyle \underset{m_{\psi }^2}{\overset{4m_D^2}{\int }}}\frac{d\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}pp\to c\overline{c}\gamma X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d{M}^2}d{M}^2\mathrm{,}$                                                                                       (3)

 где $M$ $—$ инвариантная масса $c\overline{c}$ -пары; $m_D$ $—$ масса самого легкого $D$ мезона.

Другими словами, интегрирование проводится от массы чармония до порога рождения мезонов с открытым очарованием. В УМИЦ также учитывается, что масса промежуточного состояния (то есть инвариантная масса $c\overline{c}$ -пары) отлична от массы $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезона, что учитывается соотношением между 4-импульсами $p_{\psi }^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{p}^{\mu }\frac{m_{\psi }}{M}$, где $p^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{p}_c^{\mu }+p_{\overline{c}}^{\mu }$. При описании сечений рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов при энергии БАК в ПРП с использованием УМИЦ было показано, что хорошее описание экспериментальных данных достигается при значении параметра адронизации $F^{\psi }\simeq 0.02$ при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>13}$ ТэВ [22].

Сечение партонного подпроцесса (1) записывается также как (5), но с учетом того, что это подпроцесс $2\to 3$:

             $d{\widehat{\sigma }}^{\text{ПРП}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}R+R\to c+\overline{c}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^4{\delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_1+q_2-p_c-p_{\overline{c}}-k_{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}_{\text{ПРП}}}{2x_1{x}_{2}s}\times$

                                                      $\times \frac{d^3{p}_c}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{3}2p_{c0}}\frac{d^3{p}_{\overline{c}}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{3}2p_{\overline{c}0}}\frac{d^3{k}_{\gamma }}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{3}2k_{\gamma 0}}\mathrm{.}$                                                            (4)

 Формула для численных расчетов в ПРП с использованием УМИЦ может быть получена из (3) и (4):

                                                 $\times \sqrt{1-\frac{4m_c^2}{M^2}}{\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{t}_1\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\Phi }_g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{t}_2\mathrm{,}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{{\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}_{\text{ПРП}}}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1{x}_{2}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}$                                                       (5)

 где $d{\Omega }_{c\overline{c}}\mathrm{<mo>=</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\theta d\varphi$, углы $\theta$ и $\varphi$ $—$ полярный и азимутальный углы в системе покоя $c\overline{c}$ -пары.

В численных расчетах мы полагаем массу $c$ -кварка $m_c\mathrm{<mo>=</mo>1.3}$ ГэВ, массу $D$ -мезона $m_D\mathrm{<mo>=</mo>1.86}$ ГэВ, и массу $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезона $m_{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }\mathrm{<mo>=</mo>3.097}$ ГэВ.

Для численных вычислений удобно записать 4-импульсы $c$ -кварка и $\overline{c}$ -антикварка следующим образом:

             $p_c^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{p}^{\mu }+r^{\mu }\text{и}{p}_{\overline{c}}^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{p}^{\mu }-r^{\mu }\mathrm{,}$                                                                                                       (6)

 где $r^{\mu }$ 4-импульс относительного движения записан через инвариантную массу $M$, поперечный импульс $p_T$ и быстроту $y$ $c\overline{c}$ -пары как

             $r^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\sqrt{M^2-4m_c^2}\left(X^{\mu }\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+Y^{\mu }\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\varphi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+Z^{\mu }\cos \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}$                                                                         (7)

 где

             $X^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{M}\left(p_T\cosh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\sqrt{M^2+p_T^2}\mathrm{,0,}{p}_T\sinh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}$

             $Y^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\text{sign}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{0,0,1,0}\right)\mathrm{,}$

             $Z^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\text{sign}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\sinh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,0,0,}\cosh \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{.}$

Средний квадрат амплитуды ${\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}M{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}_{\text{ПРП}}$ был вычислен с использованием программных пакетов FeynArts и ReggeQCD и является функцией переменных $\widehat{s}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_1+q_2{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$, $\widehat{t}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_1-k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$, $\widehat{u}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_2-k{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$, $w_1\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_1-p_c{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$, $w_2\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_2-p_{\overline{c}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$, $a_c\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_c{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}s$, $a_{\overline{c}}\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_{\overline{c}}{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $a_k\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_{\gamma }{P}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $b_c\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_c{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}s$, $b_{\overline{c}}\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_{\overline{c}}{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $b_k\mathrm{<mo>=</mo>2<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_{\gamma }{P}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Вычисления в ПРП с использованием УМИЦ, описанные выше, могут быть выполнены альтернативным способом с использованием Монте-Карло-генератора событий партонного уровня KaTie [42], так же как и в работе [43] для процесса ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и $D$ -мезонов. Мы выполнили проверку всех наших вычислений в ПРП с использование УМИЦ с помощью генератора KaTie и получили хорошее согласие.

4 Результаты

Во-первых, мы вычислили сечение рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$ в ПРП с использованием подхода НРКХД, при этом мы раздельно рассматривали различные вклады в процессы рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$, происходящие через промежуточные синглетное и октетные по цвету различные состояния. Результаты представлены на рис. 4.1. Мы подтвердили вывод о доминирующей роли синглетного механизма в прямом рождении $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$ [1, 3]. На рис. 4.1 мы также показываем сумму вкладов от подпроцессов кварк-антикварковой аннигиляции при рождении $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ через октетные по цвету состояния, вклады такого типа крайне малы. Принимая во внимание сложности экспериментального разделения вкладов прямого рождения и рождения через распады вышележащих состояний, мы оцениваем вклад в сечение рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$, когда рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ происходит через распады $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi X$ и ${\chi }_{cJ}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \gamma$.

Рис. 4.1. Сечение ассоциативного рождения J/ψ + γ как функция поперечного импульса pψT, полученная в ПРП с использованием НРКХД при энергии √ s = 14 ТэВ в центральной области по быстроте |yγ,ψ| < 2: непрерывная кривая — вклад МЦС, шриховая кривая — вклад в прямое рождение через октетное по цвету промежуточное состояние [1S(8) 0 ], пунктирная кривая — вклад в прямое рождение через октетное по цвету промежуточное состояние [3S(8) 1 ], вклад процессов кварк-антикварковой аннигиляции показан кривой с длинным штрихом

Рис. 4.2. Сечение ассоциативного рождения J/ψ + γ как функция поперечного импульса pψT, полученная в ПРП с использованием НРКХД при энергии √ s = 14 ТэВ в центральной области по быстроте |yγ,ψ| < 2: непрерывная кривая — вклад прямого рождения J/ψ-мезонов, штриховая кривая — вклад рождения через распад ψ(2S) → J/ψX, пунктирная кривая — вклад в рождение через распад χcJ → J/ψγ

Fig. 4.2. Cross section of associative production of J/ψ + γ as a function of transverse momentum pψT obtained in PRP using NRQCD at energy √ s = 14 TeV in the central rapidity region |yγ,ψ| < 2. Solid curve — contribution of direct production of J/ψ mesons, dashed curve — contribution of production via
decay ψ(2S) → J/ψX, dotted curve — contribution to production via decay χcJ → J/ψγ

 Как можно видеть на рис. 4.2, только вклад в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ через распад $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ может быть значителен и составляет несколько процентов. Таким образом, при использовании НРКХД мы будем учитывать только вклад синглетного по цвету состояния, то есть мы будем использовать МЦС [7, 8]. Вклады от распадов $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}S\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\chi }_{cJ}$ также не будут учитываться, так как они малы по сравнению с теоретической неопределенностью вычислений в ПРП.

Рис. 4.3. Дифференциальные сечения ассоциативного рождения J/ψ + γ как функция поперечного импульса pψT при pψT > 5 ГэВ в центральной области по быстроте |yψ, yγ| < 2: непрерывная черная кривая — сечение рождения, полученное в СЛП КПМ, используются результаты из [6]; штриховая кривая — сечение рождения, полученное в ПРП с использованием МЦС; пунктирная кривая — сечение рождения, полученное в ПРП с использованием УМИЦ

Fig. 4.3. Differential cross sections of associated J/ψ + γ production as a function of transverse momentum pψT at pψT > 5 GeV in the central rapidity region |yψ, yγ| < 2. Solid black curve — production cross section
obtained in SLP KPM, results from [6] are used; dashed curve — production cross section obtained in PRP using MCS; dotted curve — production cross section obtained in PRP using UMIC

Рис. 4.4. Полные сечения ассоциативного рождения J/ψ + γ как функция нижней границы поперечного импульса фотона pмин γT при pψT > 10 ГэВ: непрерывная черная кривая — сечение рождения, полученное в СЛП КПМ, используются результаты из [6]; штриховая кривая — сечение рождения, полученное в ПРП с использованием МЦС; пунктирная кривая — сечение рождения, полученное в ПРП с использованием УМИЦ

Fig. 4.4. Total cross sections of associated J/ψ + γ production as a function of the lower bound of the photon transverse momentum pmin γT at pψT > 10 GeV. Solid black curve — production cross section obtained
in SLP KPM, results from [6] are used; dashed curve — production cross section obtained in PRP using MCS; dotted curve — production cross section obtained in PRP using UMIC

Мы провели сравнение с вычислениями в СЛП КПМ с использованием МЦС при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>14}$ ТэВ, опубликованными в [6]. Выполнен расчет спектра по поперечному импульсу $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов в кинематической области $\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_{\psi }\mathrm{<mo>|</mo>,<mo>|</mo>}{y}_{\gamma }\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>3}$ и $p_{\gamma T}\mathrm{<mo>></mo>5}$ ГэВ, которые использовались в [6]. Показано, что вычисления в ПРП с использованием МЦС немного завышают сечение рождения, вычисленное в СЛП КПМ с использованием МЦС при всех поперечных импульсах $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$, см. рис. 4.3. Это интересный эффект, так как результаты одиночного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$, полученные в ЛП ПРП и в СПЛ КПМ с использованием НРКХД, приблизительно совпадают. Также были обнаружены значительные расхождения предсказаний в ПРП, сделанных с использованием различных моделей адронизации: $p_T$ -спектр, полученный с использованием УМИЦ, значительно ниже спектра, полученного в МЦС, в области от малых $p_{\psi T}$ до $p_{\psi T}\mathrm{<mo>=</mo>30}$ ГэВ. Результаты расчета в СЛП КПМ с использованием УМИЦ в настоящее время, к сожалению, отсутствуют, и мы не можем провести сравнение расчетов в такой модели адронизации.

На рис. 4.1–4.6 теоретические неопределенности, связанные с вариацией жесткого масштаба на фактор 2, обозначаются заштрихованными областями.

Рис. 4.5. Дифференциальные сечения ассоциативного рождения J/ψ + γ при √ s = 13 ТэВ, в центральной области по быстроте |yγ,ψ| < 2 как функции поперечных импульсов pψT, pγT, быстрот yψ, yγ, разности быстрот Δy и разности азимутальных углов Δϕ: непрерывная кривая — в ПРП с использованием МЦС, штриховая кривая — в ПРП с использованием УМИЦ

Fig. 4.5. Differential cross sections of the associated production of J/ψ + γ at √ s = 13 TeV, in the central region in rapidity |yγ,ψ| < 2 as functions of the transverse momenta pψT, pγT, rapidities yψ, yγ, rapidity
difference Δy and azimuthal angle difference Δϕ. Continuous curve — in the PRP using the MCS, dashed curve — in the PRP using the UMIC

Рис. 4.6. Дифференциальные сечения ассоциативного рождения J/ψ + γ при энергии √ s = 13 ТэВ, в центральной области по быстроте |yγ,ψ| < 2 как функции инвариантной массы M = Mψγ, асимметрии поперечных импульсов AT, поперечного импульса пары pT = |pψT + pγT| и быстроты пары Yγψ: непрерывная кривая — в ПРП с использованием МЦС, штриховая — в ПРП с использованием УМИЦ

Fig. 4.6. Differential cross sections of associative production of J/ψ + γ at energy √ s = 13 TeV, in the central region in rapidity |yγ,ψ| < 2 as functions of invariant mass M = Mψγ, transverse momentum
asymmetry AT, pair transverse momentum pT = |pψT + pγT| and pair rapidity Yγψ. Continuous curve — in PRP using MCS, dashed — in PRP using UMICS

Отрасывая сравнительно небольшие вклады рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезона через октетные по цвету состояния и рождения через распады, были выполнены предсказания в ПРП с использованием МЦС и УМИЦ при энегии БАК $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>13}$ ТэВ в центральной области по быстротам $\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }\mathrm{<mo>|</mo>}$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}{y}_{\gamma }\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>2}$. На рис. 4.5 представлены дифференциальные сечения как функции поперечного импульса $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ $p_{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi T}$, поперечного импульса фотона $p_{\gamma T}$, быстроты $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ $y_{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }$, быстроты фотона $y_{\gamma }$, разности быстрот $\Delta y\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{y}_{\psi }-y_{\gamma }\mathrm{<mo>|</mo>}$ и разности азимутальных углов $\Delta \varphi \mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{\varphi }_{\psi }-{\varphi }_{\gamma }\mathrm{<mo>|</mo>}$. Непрерывная кривая $—$ расчет в ПРП с использованием МЦС, пунктирная $—$ расчет в ПРП с использованием УМИЦ. На рис. 4.6 показаны дифференциальные сечения как функции инвариантной массы пары $M\mathrm{<mo>=</mo>}{M}_{\psi \gamma }$, асимметрии поперчных импульсов ${\mathcal{A}}_T\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{p}_{\psi T}\mathrm{<mo>|</mo>}-\mathrm{<mo>|</mo>}{p}_{\gamma T}\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}{p}_{\psi T}\mathrm{<mo>|</mo>}+\mathrm{<mo>|</mo>}{p}_{\gamma T}\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, поперечного импульса пары $p_T\mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{p}_{\psi T}+p_{\gamma T}\mathrm{<mo>|</mo>}$ и быстроты пары $Y\mathrm{<mo>=</mo>}{Y}_{\psi \gamma }$. 

Заключение

Работая в рамках подхода ПРП, мы подтвердили результаты предыдущих работ других авторов, что для процесса ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и прямых фотонов МЦС как приближение НРКХД применимо и вклад в сечение рождения чармония через октетные состояния может не учитываться. Также показано, что можно не учитывать вклад в сечение рождения в процессах кварк-антикварковой аннигиляции при вычислении сечений рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma$ при энергиях $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>13}-14$ ТэВ. Показано, что сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и фотонов, предсказанные с использованием МЦС и УМИЦ, сильно отличаются, при этом отличие растет с ростом поперечного импульса фотона. Предсказания УМИЦ сильно подавлены относительно предсказаний МЦС, что контрастирует с ситуацией хорошего согласия МЦС и УМИЦ при описании одиночного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов. Также необходимо отметить, что проведенные нами ранее расчеты сечения ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и фотона при низких энергиях в обобщенной партонной модели [44], выполненные в разных моделях адронизации, УМИЦ и МЦС, примерно совпадали. Таким образом, экспериментальные измерения сечений ассоциативного рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ -мезонов и прямых фотонов с большим $p_T$ могут быть исключительно важными для проверки моделей адронизации УМИЦ и НРКХД.