Prompt polarized J/ψ production at NICA within NRQCD and generalized parton model

Введение

Экспериментальное исследование процессов рождения тяжелых кваркониев дает уникальные возможности для изучения относительной роли жестких процессов, описываемых в рамках теории возмущений квантовой хромодинамики (КХД), и непертурбативных моделей адронизации. Рождение поляризованных состояний $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ мезонов является прецизионным тестом для моделей, описывающих адронизацию тяжелых кварков в кварконий: модели цветовых синглетов (МЦС) [1], нерелятивистской КХД (НРКХД) [2] и модели испарения цвета (МИЦ) [3]. Существующие экспериментальные данные по рождению поляризованных $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ получены в протон-протонных и антипротон-протонных столкновениях при высоких энергиях от $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ [4] до $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>1.96}$ ТэВ [5] и $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>13}$ ТэВ [6]. Удовлетворительного описания данных не получено ни в одной из моделей адронизации [7]. В этой связи представляет интерес изучение рождения поляризованных $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ при энергиях коллайдера NICA, $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ ГэВ [8] и теоретические предсказания для спектров поляризованных $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ мезонов, полученных в различных подходах факторизации и моделях адронизации. В работе [9] были сделаны предсказания в модели адронизации НРКХД, выполненные в коллинеарной партонной модели [10] и подходе реджезации партонов [11]. В данной статье мы изучаем рождение поляризованных $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в обобщенной партонной модели (ОПМ) и НРКХД впервые.

1. Неколлинеарная модель факторизации

Стандартным методом рассмотрения партонных подпроцессов и способом факторизации сечения жесткого адронного процесса является коллинеарная партонная модель (КПМ), имеющая известный ряд недостатков, в частности - расходимость сечения в области малых поперечных импульсов рождающейся частицы. Один из способов включить в описание область малых импульсов - это подход TMD-факторизации (transverse-momentum-dependence) [12], в котором подразумевается, что начальные партоны обладают ненулевыми поперечными компонентами импульсов. Область применения строгой TMD-факторизации ограничивается малыми значениями поперечных импульсов чармония $p_T\ll {\mu }_F$, где ${\mu }_F$ - энергетический масштаб факторизации партонного подпроцесса.

ОПМ можно назвать феноменологической реализацией идеи TMD-факторизации. Если в КПМ импульсы начальных партонов описываются как продольные компоненты импульсов летящих друг навстречу другу протонов, то в ОПМ вводятся в рассмотрение ненулевые поперечные компоненты импульсов начальных партонов.

Описывая столкновение протонов с импульсами $p_1$ и $p_2$, обозначим импульсы партонов в соответствующих протонах как $q_1$ и $q_2$. Будем явно выделять их поперечные компоненты $q_{1T}$, $q_{2T}$, тогда импульсы начальных партонов могут быть записаны в виде

$q_1^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1{p}_1^{\mu }+y_1{p}_2^{\mu }+q_{1T}^{\mu }\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{q}_2^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_2{p}_2^{\mu }+y_2{p}_1^{\mu }+q_{2T}^{\mu }\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{q}_{iT}^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\mathrm{0,}{\overrightarrow{q}}_{iT}\mathrm{,0}\right)\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$

где $x$ и $y$ - это доли импульсов протонов. Здесь ради сохранения калибровочной инвариантности (то есть выполнения условия $q_1^2\mathrm{<mo>=</mo>}{q}_2^2\mathrm{<mo>=</mo>0}$ ) в импульсы партонов искусственно добавлены слагаемые, пропорциональные импульсам летящих им навстречу протонов. Условие калибровочной инвариантности требует, чтобы начальные партоны были на массовой поверхности, что позволяет найти выражения для долей импульса $y$:

$y_i\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{t_i}{s{x}_i}\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{t}_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\overrightarrow{q}}_{iT}^2\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}i\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$

Компоненты импульсов $q_1$, $q_2$ могут быть представлены следующим образом:

$q_1^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{x_1\sqrt{s}}{2}+\frac{t_1}{2\sqrt{s}{x}_1}\mathrm{,}{\overrightarrow{q}}_{1T}\mathrm{,}\frac{x_1\sqrt{s}}{2}-\frac{t_1}{2\sqrt{s}{x}_1}\right)}^{\mu }\mathrm{,}$

$q_2^{\mu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{x_2\sqrt{s}}{2}+\frac{t_2}{2\sqrt{s}{x}_2}\mathrm{,}{\overrightarrow{q}}_{2T}\mathrm{,}-\frac{x_2\sqrt{s}}{2}+\frac{t_2}{2\sqrt{s}{x}_2}\right)}^{\mu }\mathrm{.}$

Сечение процесса в рамках подхода КПМ, согласно теореме о факторизации, может быть представлено как произведение сечения жесткого партонного подпроцесса и партонных функций распределения (ПФР), которые описывают вероятность партона иметь ту или иную долю импульса $x$. Строго эта теорема доказана для КПМ, но не для ОПМ [12], однако используется для факторизации сечения и для процесса рождения чармония в столкновении протонов записывается в виде

$d\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}pp\to \mathcal{C}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \int }d{x}_1{\displaystyle \int }{d}^2{q}_{1T}{F}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{\mu }_F^2\mathrm{,}{q}_{1T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \int }d{x}_2{\displaystyle \int }{d}^2{q}_{2T}{F}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{,}{\mu }_F^2\mathrm{,}{q}_{2T}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\widehat{\sigma }\mathrm{,}$

где $d\widehat{\sigma }$ - сечение жесткого партонного подпроцесса, которое соответственно для подпроцессов $2\to 1$ и $2\to 2$ выражается следующим образом:

null

$d\widehat{\sigma }\left(ab\to \mathcal{C}d\right)\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^4{\delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(q_1+q_2-k_1-k_2\right)\frac{\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{M}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}{I}\frac{d^3{k}_1}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{3}2k_{10}}\frac{d^3{k}_2}{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\pi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{3}2k_{20}}\mathrm{,}$

здесь $k_i$ - импульсы конечных частиц, $I$ - потоковый фактор, а $\overline{\mathrm{<mo>|</mo>}\mathcal{M}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}$ - усредненный по конечным спиновым и цветовым состояниям и суммированный по начальным квадрат модуля амплитуды партонного подпроцесса. Партонные функции распределения $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }_F^2\mathrm{,}{q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в ОПМ-факторизации представляются в форме произведения не зависящих от поперечного импульса коллинеарных партонных распределений и множителей, включающих данную зависимость:

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }_F^2\mathrm{,}{q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{\mu }_F^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

используемый нами анзац для функции $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ имеет гауссову форму с соответствующим нормировочным условием [13]:

$G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{e^{-q_T^2\mathrm{<mo>/</mo>}⟨q_T^2⟩}}{\pi ⟨q_T^2⟩}\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{\displaystyle \int }G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{q}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{d}^2{q}_T\mathrm{<mo>=</mo>1.}$

Значение феноменологического параметра $⟨q_T^2⟩$, имеющего смысл среднего значения квадрата поперечного импульса начальных партонов, традиционно берется равным около $1$ ГэВ ${}^2$ [14], мы же, исходя из зависимости величины $⟨q_T^2⟩$ от энергии столкновения, извлечем в дальнейшем его значение из экспериментальных данных.

2. Нерелятивистская квантовая хромодинамика

Основная идея нерелятивистской квантовой хромодинамики (НРКХД) состоит в разложении волновой функции тяжелого кваркония в ряд по степеням малого параметра, роль которого выполняет относительная скорость конституентных кварков $\upsilon$ [2]. Соотношение между кинетической и потенциальной энергией, которая для достаточно больших масс кваркония $M$ подавляется членом, пропорциональным ${\alpha }_s\mathrm{<mo>/</mo>}r$, показывает, что относительная скорость $\upsilon$ пропорциональна сильной константе связи ${\alpha }_s$, которая в свою очередь с ростом $M$ логарифмически уменьшается, так как ${\alpha }_s\sim \mathrm{1<mo>/</mo>}\ln M$. Так что для чармония, для которого ${\upsilon }^2\approx 0.3$, возможно введение системы масштабов, характеризующих состояния кваркония с определенным набором квантовых чисел через значения специфических динамических величин [15]. Так, значения массы кваркония $M$ (характеризующее энергию основного состояния), трехмерного импульса $M\upsilon$ (обратно пропорционального размеру основного состояния) и кинетической энергии с точностью до числового множителя $M{\upsilon }^2$ (которая определяет величину расщепления между уровнями радиального и углового возбуждений) удовлетворяют неравенству $M^2\gg {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M\upsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2\gg {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}M{\upsilon }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2$ и позволяют реализовать разложение волновой функции основного состояния чармония

$\mathrm{<mo>|</mo>}J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi ⟩\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\upsilon }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩+\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\upsilon }^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}g⟩+\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\upsilon }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}gg⟩+\mathcal{O}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\upsilon }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}g⟩+\dots$

Если ограничиться лишь слагемым лидирующего по $\upsilon$ порядка, то в итоговое сечение внесет вклад только рождение синглетных по цвету состояний чармония, данное приближение носит название модели цветовых синглетов (МЦС).

Подход НРКХД также позволяет осуществить факторизацию жесткого сечения [2], которое распадается на произведение сечения рождения кварк-антикваркой пары в некотором состоянии, определяемом соответствующим набором квантовых чисел, и непертурбативного матричного элемента (НМЭ), отвечающего за адронизацию кварк-антикваркой пары в кварконий (здесь $c$ обозначает очарованный кварк, а суммирование проводится по фоковским состояниям, обозначенным для краткости $n$ ):

$d\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ab\to \mathcal{C}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _n}d\widehat{\sigma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ab\to c\overline{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{N}_{}col{N}_{}pol\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $N_{}col\mathrm{<mo>=</mo>2}{N}_c$ для синглетных состояний, $N_{}col\mathrm{<mo>=</mo>}{N}_c^2-1$ для октетных и $N_{}pol\mathrm{<mo>=</mo>2}J+1$ ( $N_c\mathrm{<mo>=</mo>3}$ - число учитываемых цветов, $J$ - полный момент кварк-антикварковой пары). НМЭ синглетных состояний могут быть получены в потенциальных моделях тяжелых кваркониев [16], они связаны со значениями волновой функции чармония или ее производной в нуле:

$⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>2}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\Psi {\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}⟨{\mathcal{O}}^{\mathcal{C}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>2}{N}_c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{\Psi }^{\prime }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{.}$

Подобный подход не применим к октетным НМЭ, значения которых извлекаются из экспериментальных данных.

Вычисление амплитуд в НРКХД осуществляется с помощью последовательности проецирований. Проекторы на состояния со значениями спина $0$ и $1$ имеют вид [17]

null

где $m_c$ - это масса $c$ -кварка, $P$ - полный импульс кварка и антикварка, а $q$ - их относительный импульс. Проекторы на цветовые состояния - синглетное и октетное соответственно:

$C_1\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\delta }_{ij}}{\sqrt{N_c}}\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{C}_8\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{2}{T}_{ij}^a\mathrm{,}$

где ${\delta }_{ij}$ - дельта Кронекера, $T_{ij}^a$ - генераторы фундаментального представления цветовой группы $SU\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $N_c\mathrm{<mo>=</mo>3}$. Окончательное проецирование на состояние с определенным значением углового момента производится с помощью взятия следа и производной по относительному импульсу $q$ порядка, равного орбитальному квантовому числу (с последующим занулением $q$ ). Поэтому амплитуды рождения $c\overline{c}$ -пар могут быть записаны в виде

$\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\to c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_1{\Pi }_1^{\mu }\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\to c\overline{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{q\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{,}$

$\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\to c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{d}{d{q}_{\nu }}Tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_1{\Pi }_1^{\mu }\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\to c\overline{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\mu \nu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{q\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{,}$

$\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\to c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Tr\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{C}_8{\Pi }_0\mathcal{M}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a+b\to c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}_{q\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{,}$

здесь приведены характерные амплитуды рождения пар. Обозначение $\mathcal{M}$ внутри знаков следа соответствует амлитуде рождения пары с ” линиями конечных кварков, $\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ - это вектор или тензор поляризации.

Суммирование по поляризациям в процессе получения квадрата модуля амплитуды неполяризованного ${}^3{S}_1$ состояния чармония осуществляется с помощью поляризационного тензора

${\mathcal{P}}_{\mu \nu }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{J_z}}{\epsilon }_{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\nu }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-g_{\mu \nu }+\frac{P_{\mu }{P}_{\nu }}{M^2}\mathrm{.}$

Для неполяризованных ${}^3{P}_J$ состояний тензоры имеют следующий вид ( $J\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $1$, $2$ ):

${\mathcal{P}}_{\mu \nu \rho \sigma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\epsilon }_{\mu \nu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\rho \sigma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{3}{\mathcal{P}}_{\mu \nu }{\mathcal{P}}_{\rho \sigma }\mathrm{,}$

${\mathcal{P}}_{\mu \nu \rho \sigma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{J_z}}{\epsilon }_{\mu \nu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\rho \sigma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left[{\mathcal{P}}_{\mu \rho }{\mathcal{P}}_{\nu \sigma }-{\mathcal{P}}_{\mu \sigma }{\mathcal{P}}_{\rho \nu }\right]\mathrm{,}$

${\mathcal{P}}_{\mu \nu \rho \sigma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{J_z}}{\epsilon }_{\mu \nu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\rho \sigma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left[{\mathcal{P}}_{\mu \rho }{\mathcal{P}}_{\nu \sigma }+{\mathcal{P}}_{\mu \sigma }{\mathcal{P}}_{\rho \nu }\right]-\frac{1}{3}{\mathcal{P}}_{\mu \nu }{\mathcal{P}}_{\rho \sigma }\mathrm{.}$

Кроме того, в работе изучаются и поляризованные состояния чармония. Для определения направления спина нами выбрана система отсчета, связанная со спиральностью кваркония (helicity frame); в этой системе вектор продольной поляризации направлен вдоль трехмерного импульса кваркония. Приведем выражения тензоров и для суммирования по состояниям с выделенной поляризацией. Процедура построения вектора продольной поляризации описана в работе, а его явное выражение и соответствующий тензор для ${}^3{S}_1$ состояния [18]:

${\epsilon }_{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}PQ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{P}_{\mu }\mathrm{<mo>/</mo>}M-M{Q}_{\mu }}{\sqrt{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}PQ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2-s{M}^2}}\mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}{\mathcal{P}}_{\mu \nu }^0\mathrm{<mo>=</mo>}{\epsilon }_{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\nu }^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $Q$ - сумма импульсов сталкивающихся адронов (в нашем случае протонов) и $s\mathrm{<mo>=</mo>}{Q}^2$. Поляризованное ${}^3{P}_1$ состояние вычислялось с помощью процедуры, описанной в работе [19]. Тензоры для поляризованных ${}^3{P}_2$ состояний, проекция $J_z$ указана у тензоров верхним индексом [20]:

null

${\mathcal{P}}_{\mu \nu \rho \sigma }^1\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}{J}_z\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}}}{\epsilon }_{\mu \nu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\rho \sigma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left[{\mathcal{P}}_{\mu \rho }^0{\mathcal{P}}_{\nu \sigma }^1+{\mathcal{P}}_{\mu \sigma }^0{\mathcal{P}}_{\rho \nu }^1+{\mathcal{P}}_{\nu \sigma }^0{\mathcal{P}}_{\mu \rho }^1+{\mathcal{P}}_{\nu \rho }^0{\mathcal{P}}_{\mu \sigma }^1\right]\mathrm{,}$

${\mathcal{P}}_{\mu \nu \rho \sigma }^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{\mathrm{<mo>|</mo>}{J}_z\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>2}}}{\epsilon }_{\mu \nu }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\epsilon }_{\rho \sigma }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{J}_z\mathrm{,}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left[{\mathcal{P}}_{\mu \rho }^1{\mathcal{P}}_{\nu \sigma }^1+{\mathcal{P}}_{\mu \sigma }^1{\mathcal{P}}_{\rho \nu }^1-{\mathcal{P}}_{\mu \nu }^1{\mathcal{P}}_{\rho \sigma }^1\right]\mathrm{.}$

Также следует обратить внимание на учет распадов вышележащих энергетических состояний в рождении чармония. Для получения сечения неполяризованного $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ проводится суммирование по сечениям рождения возбужденных состояний, умноженным на бранчинг распада данного состояния в основное, причем вычисление проводится с учетом эффекта отдачи, а именно - выражения для сдвига по поперечному импульсу основного состояния: $p_{T\mathcal{C}}\approx \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{M}_{\mathcal{C}}\mathrm{<mo>/</mo>}{M}_{{\mathcal{C}}^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot p_{T{\mathcal{C}}^{\prime }}$. Учет распадов в рождении продольно поляризованного состояния $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ устроен сложнее, далее приведено полное выражение для этого сечения [19]:

${\sigma }_L^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_L^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{,}прямое}+{\sigma }_L^{{\chi }_{cJ}}+{\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }}+{\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{cJ}}\mathrm{,}$

каждое из слагаемых само представлено суммой сечений:

${\sigma }_L^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}прямое}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_0^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\sigma }_0^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{3}{\sigma }^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{1}{3}{\sigma }^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{\sigma }_1^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{2}{3}{\sigma }_0^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{\sigma }_1^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\sigma }_L^{{\chi }_{cJ}}\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\frac{1}{3}{\sigma }^{{\chi }_{c0}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{3}{\sigma }^{{\chi }_{c0}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c0}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\left[\frac{1}{2}{\sigma }_1^{{\chi }_{c1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{\sigma }_0^{{\chi }_{c1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{4}{\sigma }_1^{{\chi }_{c1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c1}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\left[\frac{2}{3}{\sigma }_0^{{\chi }_{c2}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}{\sigma }_1^{{\chi }_{c2}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{17}{30}{\sigma }_0^{{\chi }_{c2}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{13}{60}{\sigma }_1^{{\chi }_{c2}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c2}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }\mathrm{,}прямое}Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

${\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{cJ}}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{3}{\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }\mathrm{,}прямое}Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{c0}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c0}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\left[\frac{1}{2}{\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }\mathrm{,}прямое}+\frac{1}{4}{\sigma }_T^{{\psi }^{\prime }\mathrm{,}прямое}\right]Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{c1}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c1}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\left[\frac{17}{30}{\sigma }_L^{{\psi }^{\prime }\mathrm{,}прямое}+\frac{13}{60}{\sigma }_T^{{\psi }^{\prime }\mathrm{,}прямое}\right]Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{c2}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}Br\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c2}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Нижние индексы $L$ и $T$ соответствуют продольной и поперечной поляризациям состояний.

3. Результаты расчетов

Приведем перечень инструментов, использованных для вычислений. В первую очередь, по процедуре, описанной в предыдущей части, были получены квадраты модулей амплитуд партонных подпроцессов, рассматриваемых ниже; их вычисление проводилось в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica с применением пакетов FeynCalc [21] и FeynArts [22]. Численное интегрирование сечений проводилось с помощью библиотеки численного интегрирования CUBA и алгоритма интегрирования Suave [23]. В качестве коллинеарных ПФР были взяты численно заданные функции MSTW2008LO [24]. Относительная погрешность всех вычислений не превышала 1 %.

Вычисление всех вкладов в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ было проведено в лидирующем порядке теории возмущений по бегущей константе связи ${\alpha }_s$. Среди партонных подпроцессов $2\to 1$ и $2\to 2$, дающих вклад как в прямое рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$, так и через промежуточные вышележащие состояния, выделим те, в которых рождаются синглетные состояния чармония, и те, в которых - октетные состояния:

$\begin{array}{ll}& g\to {\chi }_{cJ}{}^3{P}_J^{}Jg+g\to J\psi {}^1{S}_0^{}\\ & g+g\to J\psi {}^3{S}_1^{}+g\mathrm{,}g+g\to J\psi {}^3{P}_J^{}J\\ & g+g\to {\psi }^{\text{'}}{}^3{S}_1^{}+g\mathrm{,}q+\overline{q}\to J\psi {}^3{S}_1^{}\\ & g+g\to {\chi }_{c1}{}^3{P}_1^{}+g\mathrm{,}q+\overline{q}\to {\chi }_{cJ}{}^3{S}_1^{}J\end{array}$

В качестве начальных партонов учитывались глюоны $g$ и кварки $q$ ( $\overline{q}$ ). Здесь не указаны подпроцессы $2\to 1$, которым отвечают равные нулю матричные элементы синглетных состояний. В вычислениях массы состояний чармония принимались следующими [25]: $m_{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }\mathrm{<mo>=</mo>3.096}$ ГэВ, $m_{{\psi }^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>3.686}$ ГэВ, $m_{{\chi }_{c0}}\mathrm{<mo>=</mo>3.415}$ ГэВ, $m_{{\chi }_{c1}}\mathrm{<mo>=</mo>3.510}$ ГэВ, $m_{{\chi }_{c2}}\mathrm{<mo>=</mo>3.556}$ ГэВ. Распады состояний чармония в $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и распады $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в пары электрон-позитрон или мюон-антимюон учитывались бранчингами - дополнительными феноменологическими множителями, на которые домножались соответствующие сечения [25]: Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c0}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.014}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c1}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.343}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\chi }_{c2}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.19}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi +X\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.614}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \to e^{+}{e}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.05971}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \to {\mu }^{+}{\mu }^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.05961}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{c0}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.0979}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{c1}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.0975}$, Br $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\psi }^{\prime }\to {\chi }_{c2}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.0952}$. Значения НМЭ, которые в НРКХД соответствуют адронизации рождающейся пары очарованных кварков, были взяты следующими [26]: $⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>1.3}$ ГэВ ${}^3$, $⟨{\mathcal{O}}^{{\psi }^{\prime }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0.65}$ ГэВ ${}^3$, $⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{c0}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo>0.089}$ ГэВ ${}^5$, также использовались соотношения для НМЭ, справедливые в лидирующем порядке НРКХД по $\upsilon$ и отражающие спиновую симметрию тяжелых кварков:

null

$⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot ⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{,}$

$⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{cJ}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>2}J+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot ⟨{\mathcal{O}}^{{\chi }_{c0}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{.}$

При расчетах в качестве масштаба перенормировки ${\mu }_R$, входящего в выражение для константы связи ${\alpha }_s$, и масштаба факторизации ${\mu }_F$, от которого зависят ПФР, была принята поперечная масса чармония $m_T\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{m^2+p_T^2}$. Так как выбор величины для масштабов является довольно свободным, то для оценки коридора ошибок теоретических предсказаний масштаб варьировался на множитель $2$ в большую и меньшую сторону, коридор погрешностей на графиках будет показан светлой полосой того же цвета, что и основная линия.

Для предсказания рождения и поляризации $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в протон-протонных столкновениях на ускорителе NICA при энергии $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ ГэВ сначала были проведены вычисления и сравнения для того же процесса при других энергиях, мы использовали результаты измерений коллабораций PHENIX ( $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ) [27] и NA3 ( $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>19.4}$ ГэВ) [28]. Для описания рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в интервале малых быстрот $\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>0.35}$ и при $p_T\ll 3$ ГэВ было достаточно синглетного вклада при традиционном значении ${⟨q_T^2⟩}_g\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ГэВ ${}^2$. Однако его оказалось достаточно для описания данных измерений вплоть до $p_T\lesssim 3$ ГэВ, то есть во всей области применимости ОПМ, мы фитировали на этих экспериментальных данных для рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ сам параметр ${⟨q_T^2⟩}_g$, значение которого чувствительно к энергии процесса: ${⟨q_T^2⟩}_g\mathrm{<mo>=</mo>2.80}$ ГэВ ${}^2$, ${\chi }^2\mathrm{<mo>/</mo>}d\mathrm{.}o\mathrm{.}f\mathrm{.<mo>=</mo>0.18}$, а расчеты отображены на графике (рис. 1) с указанием вкладов различных синглетных состояний в суммарное сечение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$.

Также были фитированы данные измерений коллаборации PHENIX [27] для больших быстрот $\mathrm{1.2<mo><</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>2.2}$ и данные коллаборации NA3 [28]. Для описания этих экспериментов синглетного вклада было недостаточно, поэтому учитывался вклад от октетных состояний с начальными глюонами и кварками, так как состояние ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ в процессах с начальными глюонами не рождается. Следовательно, появился целый ряд новых параметров для фитирования: ${⟨q_T^2⟩}_q$ (помимо аналогичного глюонного параметра) и октетные НМЭ, причем вклады от рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в процессах $2\to 1$ в состояниях ${}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ имеют одинаковую зависимость от $p_T$, то есть пропорциональны друг другу, поэтому соответствующие им НМЭ могут быть извлечены из экспериментальных данных только в виде линейной комбинации $M_7^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }\mathrm{<mo>=</mo>}⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩+7\cdot ⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>/</mo>}{m}_c^2$. Значения всех параметров, фитированных на данных PHENIX и NA3, расположены в табл. 3.1, а результаты наших расчетов - на рис. 2 и рис. 3. Как видно, вклад октетных состояний (в процессах с начальными глюонами) становится сравним с синглетным вкладом и даже превышает его, а в случае с данными NA3 - он один почти полностью описывает эксперимент, поэтому во всяком случае при больших $y$ октетный вклад не может быть проигнорирован.

Рис. 3.1. Зависимость дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от поперечного импульса чармония $p_T$. Красная сплошная линия соответствует суммарному сечению, в которое входят сечение прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (оранжевая штриховая линия) и вклады от распадов ${\chi }_{c2}$ (желтая пунктирная), ${\psi }^{\prime }$ (зеленая штрихпунктирная), ${\chi }_{c1}$ (синяя штрихпунктирная с двумя точками) и ${\chi }_{c0}$ (фиолетовая штрихпунктирная с тремя точками). Экспериментальные данные по рождению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ коллаборации PHENIX [27]

Fig. 3.1. Differential cross section of prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production versus charmonium transverse momentum $p_T$. Summed $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ cross section (red solid line) consists of direct $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production (orange dashed line) and feed-down contributions of ${\chi }_{c2}$ (yellow dotted line), ${\psi }^{\prime }$ (green dash-dotted line), ${\chi }_{c1}$ (blue dash-dot-dotted line) and ${\chi }_{c0}$ (purple dash-dot-dot-dotted line). Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]

Таблица 3.1. Результаты фитирования сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в ОПМ на данных коллаборации PHENIX в области больших быстрот $\mathrm{1.2<mo><</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>2.2}$ и данных коллаборации NA3 при $y\mathrm{<mo>></mo>0}$

Table 3.1. Result of fitting of the prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production within GPM on the PHENIX collaboration data ( $\mathrm{1.2<mo><</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>2.2}$ ) and the NA3 collaboration data ( $y\mathrm{<mo>></mo>0}$ )

Рис. 3.2. Зависимость дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от поперечного импульса чармония $p_T$ в сравнении с экспериментальными данными коллаборации PHENIX [27]. Слева показано сравнение полных синглетного (желтая пунктирная линия) и октетного (синяя штрихпунктирная с двумя точками) вкладов в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$. Справа - сравнение прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (зеленая пунктирная) и вклада от распадов возбужденных состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная с двумя точками). Красная сплошная линия в обоих случаях отвечает суммарному сечению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$

Fig. 3.2. Differential cross section of prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production versus charmonium transverse momentum $p_T$. Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet (blue dash-dot-dotted line) contributions is shown on the left, comparison of the direct $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production (green dotted line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line) contributions is shown on the right. Red solid line refers to summed $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production on both plots. Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]

Рис. 3.3. Зависимость дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от поперечного импульса чармония $p_T$ в сравнении с экспериментальными данными коллаборации NA3 [28]. Слева показано сравнение полных синглетного (желтая пунктирная линия) и октетного (синяя штрихпунктирная с двумя точками) вкладов в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$. Справа - сравнение прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (зеленая пунктирная) и вклада от распадов возбужденных состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная с двумя точками). Красная сплошная линия в обоих случаях отвечает суммарному сечению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$

Fig. 3.3. Differential cross section of prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production versus charmonium transverse momentum $p_T$. Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet (blue dash-dot-dotted line) contributions is shown on the left, comparison of the direct $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production (green dotted line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line) contributions is shown on the right. Red solid line refers to summed $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production on both plots. Experimental data is taken from the NA3 collaboration paper [28]

Таблица 3.2. Результаты фитирования сечения рождения ${\psi }^{\prime }$ в ОПМ на данных коллаборации PHENIX в области быстрот $\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>0.35}$ 

Table 3.2. Result of fitting of the prompt ${\psi }^{\prime }$ production within GPM on the PHENIX collaboration data at midrapidity area $\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>0.35}$

Рис. 3.4. Зависимость дифференциального сечения рождения ${\psi }^{\prime }$ от поперечного импульса чармония $p_T$ в сравнении с экспериментальными данными коллаборации PHENIX [27]. Показаны вклады от рождения состояний ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (синяя штриховая линия), ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (оранжевая штрихпунктирная) и общий не разделяемый фитированием вклад состояний ${}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (желтая пунктирная). Cумма всех вкладов показана сплошной зеленой линией

Fig. 3.4. Differential cross section of prompt ${\psi }^{\prime }$ production versus charmonium transverse momentum $p_T$, contributions of the singlet state ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (blue dashed line), octet state ${}^3{S}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (orange dash-dotted line) and a sum of octet states ${}^1{S}_0^{\mathrm{8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (yellow dotted line) are shown separately. Green solid line refers to a sum of all these ${\psi }^{\prime }$ states contributions. Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]

Таблица 3.3. Результаты фитирования сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в КПМ на данных коллабораций PHENIX ( $\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>0.35}$, $\mathrm{1.2<mo><</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>2.2}$ ) и NA3 ( $y\mathrm{<mo>></mo>0}$ )

Table 3.3. Result of fitting of the prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production within CPM on the PHENIX ( $\mathrm{<mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>0.35}$, $\mathrm{1.2<mo><</mo><mo>|</mo>}y\mathrm{<mo>|</mo><mo><</mo>2.2}$ ) and NA3 ( $y\mathrm{<mo>></mo>0}$ ) collaborations data

Рис. 3.5. Предсказания зависимости дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от поперечного импульса $p_T$ для эксперимента SPD NICA. Слева показано сравнение полных синглетного (синяя пунктирная линия) и октетного (желтая штрихпунктирная с двумя точками) вкладов в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$. Справа - сравнение прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (зеленая пунктирная) и вклада от распадов возбужденных состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная с двумя точками). Красная сплошная линия в обоих случаях отвечает суммарному сечению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$

Fig. 3.5. Prediction for differential cross section of the prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production as a function of charmonium transverse momentum $p_T$ at NICA energy $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ GeV. Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet (blue dash-dot-dotted line) contributions is shown on the left, comparison of the direct $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production (green dotted line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line) contributions is shown on the right. Red solid line refers to summed $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production on both plots

Рис. 3.6. Предсказания зависимости дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от быстроты $y$ для эксперимента SPD NICA. Слева показано сравнение полных синглетного (синяя пунктирная линия) и октетного (желтая штрихпунктирная с двумя точками) вкладов в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$. Справа - сравнение прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (зеленая пунктирная) и вклада от распадов возбужденных состояний чармония (фиолетовая штрихпунктирная с двумя точками). Красная сплошная линия в обоих случаях отвечает суммарному сечению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$

Fig. 3.6. Prediction for differential cross section of the prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production as a function of charmonium rapidity $y$ at NICA energy $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>27}$ GeV. Comparison of the singlet (yellow dotted line) and octet (blue dash-dot-dotted line) contributions is shown on the left, comparison of the direct $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production (green dotted line) and feed-down (purple dash-dot-dotted line) contributions is shown on the right. Red solid line refers to summed $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production on both plots

Рис. 3.7. Зависимость дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от поперечного импульса чармония $p_T$. Расчеты в КПМ (желтая штриховая линия) и ОПМ (синяя сплошная). Экспериментальные данные коллаборации PHENIX [27]

Fig. 3.7. Differential cross section of the prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production versus charmonium transverse momentum $p_T$ within CPM (yellow dashed line) and GPM (blue solid line) approaches. Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [27]

Рис. 3.8. Зависимость дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от поперечного импульса чармония $p_T$. Расчеты в КПМ (желтая штриховая линия) и ОПМ (синяя сплошная) для экспериментальных данных коллаборации NA3 [28] (слева) и предсказаний для SPD NICA (справа)

Fig. 3.8. Differential cross section of the prompt $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production versus charmonium transverse momentum $p_T$ within CPM (yellow dashed line) and GPM (blue solid line) approaches. Experimental data is taken from the NA3 collaboration paper [28] (on the left). Prediction for differential cross section of $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production at NICA energy (on the right)

Для расчета предсказаний поляризации ${\psi }^{\prime }$ мы фитировали и данные PHENIX по рождению ${\psi }^{\prime }$ при $\sqrt{s}\mathrm{<mo>=</mo>200}$ ГэВ [27]. Параметры, относящиеся к ОПМ, были взяты из фитирования данных по рождению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (табл. 3.1), так как они не должны зависеть от процесса, а октетные НМЭ, в частности $M_7^{{\psi }^{\prime }}\mathrm{<mo>=</mo>}⟨{\mathcal{O}}^{{\psi }^{\prime }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩+7\cdot ⟨{\mathcal{O}}^{{\psi }^{\prime }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>/</mo>}{m}_c^2$ и $⟨{\mathcal{O}}^{{\psi }^{\prime }}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩$, были фитированы, и результаты этих расчетов помещены в табл. 3.2 и на рис. 4.

Перейдем к предсказаниям рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ при энергии эксперимента SPD NICA. В расчетах учитывались вклады и использовались параметры, фитированные на данных измерений коллаборации NA3 из-за близости энергии $\sqrt{s}$ этих двух экспериментов. На рис. 5 и 6 показаны результаты расчетов для дифференциального сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ как функций поперечного импульса $p_T$ и быстроты $y$ соответственно.

Кроме того, мы сравнили наши вычисления для сечения рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в ОПМ с конвенциональными расчетами в КПМ. Аналогично были фитированы данные коллабораций PHENIX и NA3 для $p_T\mathrm{<mo>></mo>2}$ ГэВ. Так же, как и в ОПМ, часть октетных НМЭ может быть фитирована лишь в виде линейной комбинации, однако она будет иной, так как в КПМ не существует процессов $2\to 1$, и все состояния могут рождаться только в процессах $2\to 2$. Анализ показывает, что отношение вкладов состояний ${}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, ${}^3{P}_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ в КПМ остается одинаковым только при достаточно больших $p_T$. Другими словами, рассмотрим отношение

$\mathcal{R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{{\displaystyle \sum _{J\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2}}}d\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ab\to c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_J^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{d\sigma \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}ab\to c\overline{c}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\to J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

в нашем случае на интервале по $p_T$ от $2$ до $3$ ГэВ отношение $\mathcal{R}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ немного больше $3$, то есть для фитирования данных и последующей оценки предсказаний КПМ будем использовать комбинацию $M_3^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }\mathrm{<mo>=</mo>}⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^1{S}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩+3\cdot ⟨{\mathcal{O}}^{J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}}^3{P}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}⟩\mathrm{<mo>/</mo>}{m}_c^2$. Результаты фитирования октетных НМЭ указаны в табл. 3.3, а расчеты для данных PHENIX и NA3 и предсказания для SPD NICA помещены на рис. 7- 8 вместе с аналогичными расчетами в ОПМ. Как видно, в области малых быстрот, где сосредоточена основная доля рождающихся $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$, предсказания в КПМ, по крайней мере в лидирующем порядке по ${\alpha }_s$, не согласуются ни с экспериментальными данными, ни с нашими предсказаниями в ОПМ, что, возможно, оправдывает наш подход к описанию неполяризованных $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в ОПМ при $p_T\mathrm{<mo><</mo>3}$ ГэВ.

Поляризация в рождении чармония может быть описана через один из коэффициентов в выражении для углового распределения лептонного распада чармония:

$\frac{d\sigma }{d\Omega }\sim 1+\lambda {{\displaystyle \cos }}^2\theta +\mu \sin 2\theta \cos \phi +\nu {{\displaystyle \sin }}^2\theta \cos 2\phi \mathrm{,<mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi><mi>\; </mi>}\lambda \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\sigma }_T-2{\sigma }_L}{{\sigma }_T+2{\sigma }_L}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\sigma -3{\sigma }_L}{\sigma +{\sigma }_L}\mathrm{,}$

угловой коэффициент $\lambda$ выражается через комбинацию сечений продольно и поперечно поляризованных чармониев. Расчеты для данных коллаборации PHENIX по измерению поляризации $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ изображены на рис. 9, построение границ коридора погрешностей для $\lambda$ мы осуществляли с помощью следующих выражений [29]:

${\lambda }_{\theta }^{above}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{\theta }^{centre}+\sqrt{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{\theta }^{{\mu }_F\mathrm{,}max}-{\lambda }_{\theta }^{centre}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{\theta }^{{\mu }_R\mathrm{,}max}-{\lambda }_{\theta }^{centre}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{,}$

${\lambda }_{\theta }^{below}\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_{\theta }^{centre}-\sqrt{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{\theta }^{{\mu }_F\mathrm{,}min}-{\lambda }_{\theta }^{centre}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2+{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }_{\theta }^{{\mu }_R\mathrm{,}min}-{\lambda }_{\theta }^{centre}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}\mathrm{.}$

Вычисления показывают практически не зависящее от $p_T$ значение коэффициента $\lambda \approx 0.4$, что совершенно не согласуется с имеющимися экспериментальными данными и говорит, вероятно, о том, что НРКХД не подходит для описания рождения поляризованных чармониев, по крайней мере, в лидирующем порядке теории возмущений.

Несмотря на расхождение наших расчетов для поляризации $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ с данными PHENIX, мы вычислили $\lambda$ и для SPD NICA - наши предсказания для зависимости коэффициента $\lambda$ от $p_T$ и $y$ в рождении $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и ${\psi }^{\prime }$ показаны на рис. 10.

На рис. 11 можно увидеть наши вычисления отношений вкладов $P$ -волновых состояний чармония ${\chi }_{cJ}$ в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$.

Рис. 3.9. Зависимость поляризации $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ от поперечного импульса $p_T$ в ОПМ. Показаны вклад прямого рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (оранжевая штриховая линия), вклад от распада $P$ -волновых состояний чармония ${\chi }_{cJ}$ (синяя пунктирная) и сумма этих вкладов (желтая сплошная). Экспериментальные данные коллаборации PHENIX [4]

Fig. 3.9. Polarization of $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ versus charmonium transverse momentum $p_T$. Direct $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production (orange dashed line), feed-down contribution of $P$ -wave ${\chi }_{cJ}$ states (blue dotted line) and summed $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production (yellow solid line) are shown. Experimental data is taken from the PHENIX collaboration paper [4]

Рис. 3.10. Предсказания зависимости поляризации $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (синяя сплошная линия) и ${\psi }^{\prime }$ (желтая штриховая) от поперечного импульса $p_T$ и быстроты $y$ в ОПМ для эксперимента SPD NICA

Fig. 3.10. Prediction for $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ (blue solid lines) and ${\psi }^{\prime }$ (yellow dashed lines) polarization as functions of charmonium transverse momentum $p_T$ (on the left) and charmonium rapidity $y$ (on the right) at NICA energy

Рис. 3.11: Предсказания для отношений вкладов $P$ -волновых состояний в рождение $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в ОПМ для эксперимента SPD NICA. Показаны отношения сечений для $J_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$ / $J_2\mathrm{<mo>=</mo>2}$ (синяя сплошная линия) и $J_1\mathrm{<mo>=</mo>1}$ / $J_2\mathrm{<mo>=</mo>2}$ (желтая штриховая)

Fig. 3.11. Prediction for ratios of $P$ -wave states contributions to the $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ production at NICA energy. Ratios  for $J_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$ / $J_2\mathrm{<mo>=</mo>2}$ (blue solid line) and $J_1\mathrm{<mo>=</mo>1}$ / $J_2\mathrm{<mo>=</mo>2}$ (yellow dashed line) are shown

Заключение

Итак, в ходе нашей работы по изучению рождения $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ в НРКХД и ОПМ мы провели фитирование ряда экспериментальных данных по рождению $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и ${\psi }^{\prime }$ в протон-протонных столкновениях для извлечения из них значений феноменологических параметров, входящих в описание процесса в рамках выбранных нами подходов. С использованием этих параметров мы получили предсказания для рождения неполяризованных и поляризованных $J\mathrm{<mo>/</mo>}\psi$ и ${\psi }^{\prime }$ на ускорителе NICA. Исходя из сравнения с предыдущими расчетами в НРКХД и ОПМ и имеющимися экспериментальными данными, можно считать адекватным выбранный нами подход для предсказания рождения неполяризованных чармониев на NICA и недостаточно удовлетворительным для описания поляризации чармониев.