Multiparametric presentation of the crack-tip fields in the vicinity of longitudinal shear crack

Full Text

Введение. Об асимптотическом представлении полей напряжений у вершины трещины

Уильямс [1] аналитически продемонстрировал существование особенностей в полях напряжений вокруг вершин трещин и углов из нескольких материалов, которые могут быть смоделированы как геометрические и/или материальные неоднородности клиньев из композитного материала. Асимптотическое решение поля напряжений в особой точке получается из основных дифференциальных уравнений упругости в частных производных с использованием метода разделения переменных (разложения по собственным функциям). Решение обычно записывается в виде ряда степенных функций в радиальной координате, исходящей из особой точки. Собственные значения, полученные в результате процедуры решения, определяют показатели степени. Собственные функции описывают угловое изменение напряжений. Собственные значения и функции асимптотического решения для композитного клина зависят от его геометрии и свойств материала. Получены многочисленные аналитические решения порядка сингулярности напряжений и полей напряжений для различных комбинаций материалов и геометрических форм.

В настоящее время в механике хрупкого разрушения сформировалось устойчивое понимание важности и необходимости учета слагаемых в асимптотических разложениях, описывающих поля напряжений, деформаций и перемещений вблизи вершины трещины [2–18].

Целью данной работы является определение коэффициентов сингулярного, Т напряжений и следующих слагаемых поля напряжений у вершины трещины антиплоского сдвига в линейно-упругом материале. Влияние членов более высокого порядка на поле напряжений в пластине с трещинами при антиплоском нагружении может быть важным в некоторых инженерных приложениях. Члены более высокого порядка особенно важны для сопоставления экспериментальных результатов, полученных с помощью цифровой корреляции изображений (DIC), с теоретическим ближним полем для определения коэффициентов интенсивности напряжений. Усеченный ряд Вильямса может быть спроецирован непосредственно на измеряемое поле для определения положения вершины трещины и коэффициентов интенсивности напряжений.

1 Методы теории функции комплексного переменного

Решение краевой задачи об антиплоском сдвиге простраства с полубесконечной трещиной продольного сдвига можно получить с помощью методов теории функции комплексного переменного. Перемещение, как хорошо известно [19], является вещественной частью функции

$u_3=\mathrm{Re}\left[\phi \right(z\left)\right].$ (1)

Напряжения в задаче антиплоского сдвига представляются соотношениями

${\sigma }_{13}-i{\sigma }_{23}=\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right),$ (2)

где голоморфная функция ${\phi }^{\text{'}}\left(z\right)$ определяется равенством

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=-\frac{i}{\pi \sqrt{z^2-a^2}}{\int }_{-a}^a\frac{\tau \left(x_1\right)}{z-x_1}\sqrt{a^2-x_1^2}d{x}_1.$ (3)

В случае действия постоянной нагрузки ${\tau }^{\infty }$ последнее соотношение принимает вид

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=\frac{i{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z^2-a^2}}\left\{\sqrt{z^2-a^2}-z\right\}=-\frac{iz{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z^2-a^2}}+i{\tau }^{\infty }.$ (4)

 Разложим комплексный потенциал в ряд в окрестности правой вершины $z=a$:

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=-\frac{i{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z-a}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1)n!a^{n-1/2}}{(z-a)}^n+i{\tau }^{\infty },$ (5)

 где было использовано разложение [2]:

$\frac{d^n}{d{z}^n}\left[\frac{z}{{(z+a)}^{1/2}}\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1)n!a^{n-1/2}}.$ (6)

Следует отметить, что (4) – решение вспомогательной задачи о нагружении пластины с центральной трещиной (сдвиговое деформирование касательными напряжениями, приложенными на разрезе):

${\sigma }_{13}=\mathrm{0,}{\sigma }_{23}=-{\tau }^{\infty }приx_2=\mathrm{0,}\left|x_1\right|⩽a.$ (7)

 Поэтому решение исходной задачи о сдвиговом деформировании пластины со свободными краями разреза имеет вид

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=-\frac{i{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z-a}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1){(n!)}^2{a}^{n-1/2}}{(z-a)}^n.$ (8)

Полагая в (8) $z-a=r{e}^{i\theta },$ с помощью соотношений (2) можно получить выражения для компонент тензора напряжений:

${\sigma }_{13}={\tau }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{r}^{n-1/2}\sin (n-1/2)\theta ,{\sigma }_{23}={\tau }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{r}^{n-1/2}\cos (n-1/2)\theta ,$ (9)

 где приняты обозначения

$a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1){(n!)}^2{a}^{n-1/2}}.$ (10)

2 Анализ вклада высших приближений в общее представление поля напряжений

На следующем этапе построим угловые распределения компонент тензора напряжений, определяемые различным числом слагаемых в рядах (9). На рис. 2.1–2.6 показаны угловые распределения напряжений у вершины трещины, полученные с удержанием различного числа слагаемых. Из графиков отчетливо видно, что высшие приближения играют существенную роль в описании поля напряжений в окрестности вершины трещины антиплоского сдвига.

Рис. 2.1. Угловые распределения напряжений (1 — различное число удерживаемых слагаемых, см. рис. здесь и далее) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.1. Angular dependences of the stress components (1): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.2. Угловые распределения напряжений (2) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.2. Angular dependences of the stress components (2): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.3. Угловые распределения напряжений (3) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.3. Angular dependences of the stress components (3): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.4. Угловые распределения напряжений (4) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.4. Angular dependences of the stress components (4): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.5. Угловые распределения напряжений (5) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.5. Angular dependences of the stress components (5): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.6. Угловые распределения напряжений (6) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.6. Angular dependences of the stress components (6): σ13 (left) и σ23 (right)

Выводы

 В статье проведен асимптотический анализ вклада высших приближений в рядах, представляющих компоненты тензора напряжений у вершины трещины антиплоского сдвига. Показано, что высшие приближения необходимо учитывать в описании поля напряжений у вершины трещины антиплоского сдвига. Анализируя полученные представления, можно сделать вывод, что при удалении от вершины трещины необходимо удерживать большее количество слагаемых в разложении М. Уильямса. В задаче о трещине антиплоского сдвига для достижения заданного порядка точности требуется меньшее количество слагаемых по сравнению с трещинами нормального отрыва и поперечного сдвига. Так, для трещины антиплоского сдвига, точность ${10}^{-6}$ на расстоянии 0,25a достигается при удерживании 6 слагаемых, а на расстоянии 1,25a для достижения того же значения точности необходимо удерживать 22 слагаемых, в то же время для трещины нормального отрыва в тех же условиях требуется удерживать 8 и 29 слагаемых соответственно.

About the authors

Yulia N. Bakhareva

Author for correspondence.
Email: bakhareva.yun@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0002-6482-504X

assistant professor of the Department of Mathematical Modeling in Mechanics

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 2.1. Angular dependences of the stress components (1): σ13 (left) и σ23 (right)

Download (205KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2.2. Angular dependences of the stress components (2): σ13 (left) и σ23 (right)

Download (196KB)

Indexing metadata

4. Fig. 2.3. Angular dependences of the stress components (3): σ13 (left) и σ23 (right)

Download (202KB)

Indexing metadata

5. Fig. 2.4. Angular dependences of the stress components (4): σ13 (left) и σ23 (right)

Download (206KB)

Indexing metadata

6. Fig. 2.5. Angular dependences of the stress components (5): σ13 (left) и σ23 (right)

Download (212KB)

Indexing metadata

7. Fig. 2.6. Angular dependences of the stress components (6): σ13 (left) и σ23 (right)

Download (238KB)

Indexing metadata