Численные методы нахождения корней многочленов с действительными и комплексными коэффициентами

Предметом исследования является рассмотрение и анализ набора алгоритмов численного нахождения корней многочленов, прежде всего комплексных на основе методов поиска приближенного разложения исходных полиномов на множители. Если численное нахождение действительных корней обычно не вызывает трудностей, то с нахождением комплексных корней возникает ряд сложностей. В данной статье предлагается набор алгоритмов последовательного нахождения кратных корней многочленов с действительными корнями, далее действительных корней выделением интервалов, потенциально содержащих корни и заведомо не содержащих их, а затем комплексных корней многочленов. Для нахождения комплексных корней используется итеративное приближение исходного многочлена произведением трехчлена на многочлен меньшей степени с последующим использованием метода касательных в комплексной области в окрестности корней полученного трехчлена. Для нахождения корней многочлена с комплексными коэффициентами предлагается решение эквивалентной задачи с действительными коэффициентами. Реализация поставленных задач осуществляется поэтапным применением комплекса алгоритмов. После каждого этапа выделяется группа корней и решается та же задача для многочлена меньшей степени. Последовательность предлагаемых алгоритмов позволяет найти все как действительные, так и комплексные корни многочлена. Для нахождения корней многочлена с действительными коэффициентами строится алгоритм, включающий следующие основные этапы: определение кратных корней с соответствующим снижением степени полинома; выделение диапазона корней; нахождение интервалов, гарантированно содержащих корни и их нахождением, по их выделении остается найти только пары комплексно сопряженных корней; итеративное построение трехчленов, служащих оценкой значений таких пар с минимальной точностью, достаточной для их локализации; собственно поиск корней в комплексной области методом касательных. Вычислительная трудность предлагаемых алгоритмов является полиномиальной и не превосходит куба от степени многочлена, что позволяет получить решение для практически любых многочленов, возникающих в реальных задачах. Областью приложения помимо собственно полиномиальных уравнений является и сводимые к ним задачи оптимизации, дифференциальных уравнений и оптимального управления.

многочлены, нахождение корней, итерационные методы, численные методы, численные алгоритмы, алгебраическое уравнение, сопряженные комплексные корни, рекурсивные алгоритмы, корни многочленов, локализация корней