Асимптотика спектра вариационных задач, возникающих в теории колебаний жидкости

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Работа представляет собой обзор результатов по асимптотике спектра вариационных задач, возникающих в теории малых колебаний жидкости в сосуде вблизи положения равновесия. Задачи были поставлены Н. Д. Копачевским в конце 1970-х годов и охватывают различные модели жидкости. Постановки даются как в виде краевых задач на собственные значения в области Ω⊂R3, которую занимает жидкость в положении равновесия, так и в виде вариационных задач о спектре отношения квадратичных форм. Общими чертами всех рассматриваемых задач является наличие «эллиптической» связи (уравнение Лапласа для идеальной жидкости или однородная система Стокса для вязкой жидкости), а также вхождение спектрального параметра в граничное условие на свободной (равновесной) поверхности Γ. Спектр в рассматриваемых задачах дискретен; функции распределения спектра имеют степенную асимптотику.

Об авторах

Т. А. Суслина

Санкт-Петербургский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: t.suslina@spbu.ru
Университетская наб., дом 7/9, СанктПетербург, 199034

Список литературы

  1. Агранович М. С. Смешанные задачи в липшицевой области для сильно эллиптических систем 2-го порядка// Функц. анализ и его прилож. - 2011. - 45, № 2. - С. 1-22.
  2. Агранович М. С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. - М.: МЦНМО, 2013.
  3. Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д. Гидромеханика невесомости. - М.: Наука, 1976.
  4. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев: Наукова думка, 1965.
  5. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. - М.: Наука, 1975.
  6. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. I// Тр. Моск. мат. об-ва. - 1972. - № 27. - С. 3-52.
  7. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории// В сб.: «Десятая мат. школа». - Киев, 1974. - С. 5-189.
  8. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропно-однородными символами. I// Вестн. Ленингр. ун-та. - 1977. - № 13. - С. 13-21.
  9. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений// Итоги науки и техн. Мат. анализ. - 1977. - 14. - С. 5-58.
  10. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра псевдодифференциальных операторов с анизотропно-однородными символами. II// Вестн. Ленингр. ун-та. - 1979. - № 13. - С. 5-10.
  11. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптических уравнений// Сиб. мат. ж. - 1979. - 20, № 1. - С. 3-22.
  12. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптических систем// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1982. - 115.- С. 23-39.
  13. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Компактные операторы со степенной асимптотикой сингулярных чисел// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1983. - 126.- С. 21-30.
  14. Вулис И. Л., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика вырождающейся задачи Стеклова// Вестн. Ленингр. ун-та - 1973. - № 19. - С. 262-265.
  15. Каразеева Н. А., Соломяк М. З. Асимптотика спектра контактной задачи для эллиптических уравнений второго порядка// Пробл. мат. анализа. - 1981. - № 8. - С. 36-48.
  16. Кожевников А. Н. Об асимптотике собственных значений и полноте корневых векторов оператора, порожденного краевой задачей с параметром в краевом условии// Докл. АН СССР. - 1971. - 200, № 6. - С. 1273-1276.
  17. Кожевников А. Н. Спектральные задачи для псевдодифференциальных систем, эллиптических по Дуглису-Ниренбергу// Мат. сб. - 1973. - 92, № 1. - С. 60-88.
  18. Копачевский Н. Д. Нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей// Докл. АН УССР. Сер. А. - 1978. - № 7. - С. 586-590.
  19. Копачевский Н. Д. Малые движения и нормальные колебания системы тяжелых вязких вращающихся жидкостей. - Харьков: ФТИНТ АН УССР, Препринт 33-77. - 1978.
  20. Копачевский Н. Д. Теория малых колебаний жидкостей с учетом сил поверхностного натяжения и вращения// Дисс. доктора физ.-мат. наук. - Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1979.
  21. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике. - М.: Наука, 1989.
  22. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.
  23. Лукьянов В. В., Назаров А. И. Решение задачи Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца с помощью повторных потенциалов// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1998. - 250. - С. 203-218.
  24. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. - М.: Гостехиздат, 1952.
  25. Розенблюм Г. В. Асимптотика собственных значений некоторых двумерных спектральных задач// Пробл. мат. анализа. - 1979. - 7. - С. 188-203.
  26. Розенблюм Г. В. Частное сообщение. - 2021.
  27. Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Пространства Соболева// В сб.: «Избранные главы анализа и высшей алгебры». - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.
  28. Суслина Т. А. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях однородного эллиптического уравнения при наличии связей на части границы// Пробл. мат. анализа. - 1984. - № 9. - С. 84-97.
  29. Суслина Т. А. Асимптотика спектра некоторых задач, связанных с колебаниями жидкостей// Деп. в ВИНИТИ. - 1985. - № 8058-B.
  30. Суслина Т. А. Асимптотика спектра вариационных задач на решениях эллиптического уравнения в области с кусочно-гладкой границей// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1985. - 147. - С. 179-183.
  31. Суслина Т. А. Об асимптотике спектра некоторых задач, связанных с колебаниями жидкостей// Зап. науч. сем. ЛОМИ. - 1986. - 152. - С. 158-164.
  32. Суслина Т. А. Асимптотика спектра двух модельных задач теории колебаний жидкостей// Тр. СПб. Мат. об-ва. - 1996. - 4. - С. 287-322.
  33. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981.
  34. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. Т. 1, 2. - М.: Мир, 1984.
  35. Boutet de Monvel L. Boundary problems for pseudodifferential operators// Acta Math. - 1971. - 126.- С. 11-51.
  36. Galkowski J., Toth J. A. Poinwise bounds for Steklov eigenfunctions// J. Geom. Anal. - 2019. - 29.- С. 142-193.
  37. Girouard A., Polterovich I. Spectral geometry of the Steklov problem// J. Spectr. Theory - 2017. - 7, № 2. - С. 321-359.
  38. Grubb G. Functional calculus of pseudodifferential boundary problems. - Boston: Birkha¨user, 1996.
  39. Grubb G., Geymonat G. The essential spectrum of elliptic systems of mixed order// Math. Ann. - 1977. - 227. - С. 247-276.
  40. Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 1: Self-adjoint problems for an ideal fluid. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2001.
  41. Kopachevsky N. D., Krein S. G. Operator approach to linear problems of hydrodynamics. Vol. 2: Non-selfadjoint problems for viscous fluids. - Basel-Boston-Berlin: Birkha¨user, 2003.
  42. Maz’ya V. G., Plamenevskii B. A. The first boundary value problem for the classical equations of mathematical physics. I// Z. Anal. Anwend. - 1983. - 2, № 1. - С. 335-359.
  43. Metivier G. Valeurs propres d’operateurs definis par la restriction de systemes variationnels a des sousespaces// J. Math. Pures Appl. - 1978. - 57, № 2. - С. 133-156.
  44. Sandgren L. A vibration problem// Medd. Lunds Univ. Mat. Semin. - 1955. - 13.
  45. Suslina T. A. Spectral asymptotics of variational problems with elliptic constraints in domains with piecewise smooth boundary// Russ. J. Math. Phys. - 1999. - 6, № 2. - С. 214-234.
  46. Zhu J. Geometry and interior nodal sets of Steklov eigenfunctions// Calc. Var. Part. Differ. Equ. - 2020. - 59, № 5. - Paper No. 150.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).