Динамика популяций глобально связанных осцилляторов с распределёнными фазовыми сдвигами
- Авторы: Смирнов Л.А.1, Пиковский А.С.2
-
Учреждения:
- Институт информационных технологий, математики и механики, Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского
- University of Potsdam
- Выпуск: Том 18, № 4 (2023)
- Страницы: 886-889
- Раздел: Материалы конференции
- URL: https://ogarev-online.ru/2313-1829/article/view/256376
- DOI: https://doi.org/10.17816/gc623518
- ID: 256376
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Популяции глобально связанных осцилляторов являются базовыми моделями при изучении процессов синхронизации и возникновения коллективных мод. Во многих случаях глобальный характер связи определяется непосредственно свойствами рассматриваемой системы. Однако осцилляторы, входящие в состав ансамбля, могут иметь разные по величине параметры, а также находиться под воздействием внешних шумов, что приводит к неидентичности взаимодействующих элементов. Наиболее распространённым источником такой неидентичности является разброс в собственных частотах осцилляторов. Эффекты, к которым приводит такого рода беспорядок в системе, на данный момент уже достаточно детально рассмотрены. В представленном исследовании проанализировано влияние различия в фазовых сдвигах в связи. Данные фазовые задержки естественным образом возникают там, где сформированный средним полем сигнал должен распространяться, чтобы достичь пространственно распределённых элементов, принадлежащих популяции.
Во-первых, в качестве примера была построена фазовая модель в форме Курамото–Сакагучи для ансамбля квадратичных нейронов типа «накопление-сброс», рекуррентно связанных друг с другом посредством синаптического тока, приходящего на отдельно взятые клетки с разными сдвигами по времени, т.е. когда каждый нейрон получает стимул от других клеток ансамбля со своей собственной задержкой. С математической точки зрения в такой ситуации глобальная сила действует на различные осцилляторы с распределённым временным запаздыванием, что в итоге приводит к разбросу по параметру Сакагучи в соответствующей фазовой модели. Отметим, что при её выводе предполагалось слабое взаимодействие между элементами системы, был осуществлён переход к медленно меняющимся фазам и использована стандартная процедура усреднения.
Во-вторых, в работе показано, что распределение фазовых сдвигов в связи может возникать и из-за неидентичности локальных свойств осцилляторов, в частности когда взаимодействие нейронов осуществляется через глобально усреднённое с учётом «фильтрации низких частот» синаптическое поле. Для этого нами была рассмотрена каноническая модель θ-нейрона, традиционно используемая при анализе коллективной динамики популяции нейронов, которые демонстрируют в своем поведении переход, описываемый нормальной формой седло-узловой бифуркации. Здесь, как и в предыдущем случае, предполагается, что нейроны глобально связаны между собой химическими синапсами, однако для соответствующего синаптического тока принимаются во внимание релаксационные процессы, которые для каждого нейрона протекают со своей скоростью. В этой ситуации, аналогичным образом считая характер взаимодействия слабым и используя асимптотический метод во многих временных масштабах, авторы получили модель Курамото–Сакагучи для ансамбля фазовых осцилляторов с распределёнными фазовыми задержками.
Далее были проанализированы свойства фазовой модели. В термодинамическом пределе исследуемую модель можно охарактеризовать одночастичной плотностью вероятности, которая эволюционирует согласно уравнению непрерывности и имеет точное решение в виде анзаца Отта–Антонсена при каждом значении фазового сдвига α. Это многообразие является притягивающим (как показано в других работах) и соответствует специальному представлению для разложения в ряд Фурье по фазовой переменной в виде ядра Пуассона. С помощью данного аналитического подхода получено низкоразмерное описание коллективного поведения соответствующей системы, где в сами уравнения для макроскопических комплексных полей значение фазовых сдвигов α не входит, и только переопределённый параметр порядка Q(t,α) зависит от α через начальные условия. Таким образом, основываясь на этих редуцированных уравнениях и используя анализ устойчивости в линейном приближении, удаётся привести убедительные аргументы в пользу того, что в ходе динамики память о начальном состоянии теряется и Q(t,α)→Q(t). После того как вспомогательный параметр порядка Q(t,α) сошёлся к Q(t), динамика популяции фазовых осцилляторов с разбросом фазовых сдвигов сводится к одному динамическому уравнению для величины Q(t), с которой исходные параметры порядка связаны через круговые моменты плотности распределения g(α) величины α.
Все теоретические выводы подтверждаются численными расчётами, выполненными непосредственно в рамках рассматриваемых моделей популяций глобально связанных осцилляторов.
Полный текст
Популяции глобально связанных осцилляторов являются базовыми моделями при изучении процессов синхронизации и возникновения коллективных мод. Во многих случаях глобальный характер связи определяется непосредственно свойствами рассматриваемой системы. Однако осцилляторы, входящие в состав ансамбля, могут иметь разные по величине параметры, а также находиться под воздействием внешних шумов, что приводит к неидентичности взаимодействующих элементов. Наиболее распространённым источником такой неидентичности является разброс в собственных частотах осцилляторов. Эффекты, к которым приводит такого рода беспорядок в системе, на данный момент уже достаточно детально рассмотрены. В представленном исследовании проанализировано влияние различия в фазовых сдвигах в связи. Данные фазовые задержки естественным образом возникают там, где сформированный средним полем сигнал должен распространяться, чтобы достичь пространственно распределённых элементов, принадлежащих популяции.
Во-первых, в качестве примера была построена фазовая модель в форме Курамото–Сакагучи для ансамбля квадратичных нейронов типа «накопление-сброс», рекуррентно связанных друг с другом посредством синаптического тока, приходящего на отдельно взятые клетки с разными сдвигами по времени, т.е. когда каждый нейрон получает стимул от других клеток ансамбля со своей собственной задержкой. С математической точки зрения в такой ситуации глобальная сила действует на различные осцилляторы с распределённым временным запаздыванием, что в итоге приводит к разбросу по параметру Сакагучи в соответствующей фазовой модели. Отметим, что при её выводе предполагалось слабое взаимодействие между элементами системы, был осуществлён переход к медленно меняющимся фазам и использована стандартная процедура усреднения.
Во-вторых, в работе показано, что распределение фазовых сдвигов в связи может возникать и из-за неидентичности локальных свойств осцилляторов, в частности когда взаимодействие нейронов осуществляется через глобально усреднённое с учётом «фильтрации низких частот» синаптическое поле. Для этого нами была рассмотрена каноническая модель θ-нейрона, традиционно используемая при анализе коллективной динамики популяции нейронов, которые демонстрируют в своем поведении переход, описываемый нормальной формой седло-узловой бифуркации. Здесь, как и в предыдущем случае, предполагается, что нейроны глобально связаны между собой химическими синапсами, однако для соответствующего синаптического тока принимаются во внимание релаксационные процессы, которые для каждого нейрона протекают со своей скоростью. В этой ситуации, аналогичным образом считая характер взаимодействия слабым и используя асимптотический метод во многих временных масштабах, авторы получили модель Курамото–Сакагучи для ансамбля фазовых осцилляторов с распределёнными фазовыми задержками.
Далее были проанализированы свойства фазовой модели. В термодинамическом пределе исследуемую модель можно охарактеризовать одночастичной плотностью вероятности, которая эволюционирует согласно уравнению непрерывности и имеет точное решение в виде анзаца Отта–Антонсена при каждом значении фазового сдвига α. Это многообразие является притягивающим (как показано в других работах) и соответствует специальному представлению для разложения в ряд Фурье по фазовой переменной в виде ядра Пуассона. С помощью данного аналитического подхода получено низкоразмерное описание коллективного поведения соответствующей системы, где в сами уравнения для макроскопических комплексных полей значение фазовых сдвигов α не входит, и только переопределённый параметр порядка Q(t,α) зависит от α через начальные условия. Таким образом, основываясь на этих редуцированных уравнениях и используя анализ устойчивости в линейном приближении, удаётся привести убедительные аргументы в пользу того, что в ходе динамики память о начальном состоянии теряется и Q(t,α)→Q(t). После того как вспомогательный параметр порядка Q(t,α) сошёлся к Q(t), динамика популяции фазовых осцилляторов с разбросом фазовых сдвигов сводится к одному динамическому уравнению для величины Q(t), с которой исходные параметры порядка связаны через круговые моменты плотности распределения g(α) величины α.
Все теоретические выводы подтверждаются численными расчётами, выполненными непосредственно в рамках рассматриваемых моделей популяций глобально связанных осцилляторов.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ
Вклад авторов. Все авторы подтверждают соответствие своего авторства международным критериям ICMJE (все авторы внесли существенный вклад в разработку концепции, проведение исследования и подготовку статьи, прочли и одобрили финальную версию перед публикацией).
Источник финансирования. Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (грант № 22-12-00348).
Конфликт интересов. Авторы декларируют отсутствие явных и потенциальных конфликтов интересов, связанных с публикацией настоящей статьи.
Об авторах
Л. А. Смирнов
Институт информационных технологий, математики и механики, Нижегородский государственный университет имени Н.И. Лобачевского
Email: smirnov.lev.al@gmail.com
Россия, Нижний Новгород
А. С. Пиковский
University of Potsdam
Автор, ответственный за переписку.
Email: smirnov.lev.al@gmail.com
Германия, Гольм (Потсдам)
Список литературы
Дополнительные файлы
