Том 27, № 1 (2025)

В работе для векторного пространства $V$ размерности $n$ над совершенным полем $K$ характеристика два с заданной невырожденной ортогональной формой рассматривается действие ортогональной алгебры Ли $\mathfrak{o}(V)$ на внешних степенях пространства $V$. Внешняя алгебра отождествляется с алгеброй срезанных многочленов от $n$ неизвестных, а внешние степени как модули над $\mathfrak{o}(V)$ - с однородными подпространствами неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли $P(n)$ относительно скобки Пуассона, соответствующей ортонормированному базису пространства переменных. Доказывается, что все внешние степени стандартного представления алгебры Ли $\mathfrak{o}(V)$ неприводимы и попарно неэквивалентны. Относительно подалгебры $so(V)$, $n= 2l+1$ или $n= 2l$, существует $l$ попарно неэквивалентных фундаментальных представлений в пространствах $\Lambda^{r}V$, $r= 1, \ldots, l$. Все они допускают невырожденную инвариантную ортогональную форму и неприводимы при $n= 2l+1$. При $n= 2l$ представления $so(V)$ на $\Lambda^{r}V$, $r= 1, \ldots, l-1$ неприводимы, а пространство $\Lambda^{l}V$ имеет единственное нетривиальное собственное инвариантное подпространство $M$, которое является максимальным изотропным подпространством относительно инвариантной формы. Найдены две исключительные простые подалгебры Ли $P_{1}(6)$, $P_{2}(6)$ в $P(6)$, размерности $2^{5}-1$ и $2^{6}-1$, соответственно, содержащие подмодуль $M$, которые существуют только в случае 6 неизвестных.

 

В статье решается задача групповой классификации нелинейного одномерного дробно-дифференциального уравнения теплопроводности с полной памятью и двухфазным запаздыванием, включающим тепловую релаксацию и термическое демпфирование. Характерные времена релаксационных процессов считаются малыми, что учитывается в уравнении введением малого параметра при дробно-дифференциальных релаксационных слагаемых. Все теплофизические параметры считаются функциями температуры. Групповая классификация выполняется с точностью до преобразований эквивалентности по допускаемым уравнением группам приближенных точечных преобразований в линейном приближении по малому параметру. Доказано, что в общем случае допускаемая уравнением приближенная группа является пятипараметрической. Выделены случаи ее расширения до семи- и девятипараметрической, соответственно. Показано также, что рассматриваемое нелинейное уравнение обладает бесконечной группой приближенных симметрий в случае, когда соответствующее невозмущенное уравнение является линейным.  Доказано, что рассматриваемое уравнение всегда точно наследует симметрии невозмущенного уравнения. Полученные результаты дают возможность построения приближенно-инвариантных решений рассматриваемого уравнения. В частности, из найденной классификации следует, что рассматриваемое уравнение всегда будет обладать решением типа бегущей волны, а автомодельные решения возможны только в случае степенных зависимостей теплофизических параметров от температуры. Получены анзацы данных типов решений и выполнена симметрийная редукция рассматриваемого уравнения к соответствующим обыкновенным дробно-дифференциальным уравнениям.

 

Найдены точные оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе $B$ ограниченных не обращающихся в ноль в единичном круге функций $f.$ Получено два типа оценок: при "больших" значениях $|f(0)|$ и при "малых" значениях $|f(0)|.$ Первый тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем больше $|f(0)|,$ тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Второй тип оценок является асимптотическим в том смысле, что чем меньше $|f(0)|,$ тем для большего количества начальных коэффициентов он применим. Оба типа оценок получены при помощи методов теории подчинённых функций и теоремы Каратеодори-Тёплица для класса Каратеодори. Это стало возможным благодаря найденной связи между коэффициентами выпуклых однолистных функций (класс $S^0$) и коэффициентами мажорирующих функций изучаемых подклассов класса $B.$ Указаны границы применимости метода в зависимости от $|f(0)|$ и от номера коэффициента. Дано приложение полученных результатов к теории многочленов Лаггера. Полученные результаты сравниваются с известными ранее. Методы, изложенные здесь могут быть применены на произвольных классах подчинённых функций.