Об ортогонализации сплайнов Шенберга

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Cтатья посвящена применению авторской процедуры ортогонализации финитных функций, не разрушающей их конечные носители, к сплайнам Шенберга третьей степени. Описывается общий алгоритм модификации материнского сплайна Шенберга в рамках этой процедуры ортогонализации. Показано, что в случае использования восьми ступенчатых функций для модификации материнского сплайна Шенберга третьей степени достигается ортогонализация порождаемого им сеточного набора сплайнов без изменения конечных носителей сплайнов. Найдены шестнадцать вариантов ортогонализации сплайнов Шенберга третьей степени ступенчатыми функциями. В первой группе восьми вариантов все коэффициенты модифицирующих ступенчатых функций имеют действительные значения, но сплайны Шенберга после такой модификации не являются четными или нечетными функциями. В каждом из восьми вариантов второй группы два коэффициента являются комплексными, а остальные шесть коэффициентов имеют действительные значения. Модифицированные сплайны Шенберга второй группы представляют собой суммы четной и нечетной функций. Доказана теорема о порядке аппроксимации любой функции пространства Соболева линейными комбинациями построенных ортогональных сплайнов Шенберга.

Об авторах

Виктор Леонтьевич Леонтьев

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Автор, ответственный за переписку.
Email: leontiev_vl@spbstu.ru
ORCID iD: 0000-0002-8669-1919

докт. физ.-мат. наук, профессор Научного Центра мирового уровня "Передовые цифровые технологии"
Россия, 195251, Россия, г. Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 29B

Список литературы

  1. Schoenberg I. J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4, no. 2. P. 45-99, P. 112-141.
  2. Haar A. Zue Theorie der orthogonalen Funktionensysteme. Math. Ann. 1910. Vol. 69, no. 3. P. 331-371. doi: 10.1007/BF01456326
  3. Faber G. Uber die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1910. Vol. 19. P. 104-112.
  4. Shauder J. Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems. Math. Z. 1928. Vol. 28, no. 1. P. 317-320. doi: 10.1007/BF01181164
  5. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов: Пер. с англ. – М.: Мир, 1977. – 349 c.
  6. Леонтьев В. Л. Ортогональные сплайны и специальные функции в методах вычислительной механики и математики. – СПб: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2021. – 465 c. doi: 10.18720/SPBPU/2/i21-120
  7. Леонтьев В. Л. Об ортогональных финитных функциях и о численных методах, связанных с их применением // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2002. Т. 9, № 3. С. 497-504.
  8. Леонтьев В. Л., Михайлов И. С. О построении потенциала взаимодействия атомов, основанном на ортогональных финитных функциях // Нано- и микросистемная техника. 2011. Т. 9, № 134. С. 48-50.
  9. I. J.Schoenberg Spline Functions and the problem of Graduation. Proceedings of the National Academy of Sciences of USA. 1964. Vol. 52, no. 4. P. 947-950. doi: 10.1073/pnas.52.4.947
  10. Aлексеев В. Г., Суходоев В. А. Полиномиальные В-сплайны Шенберга нечетных степеней. Краткий обзор применений //Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52, № 10. C. 1756-1767. doi: 10.1134/S096554251
  11. Алексеев В. Г. B-сплайны Шенберга и их применения в радиотехнике и в смежных с ней областях // Радиотехника. 2003. Т. 12, № 12. С. 21-23.
  12. Kushpel A., Tas K. On the problem of Schoenberg on Rⁿ. Journal of Mathematical Analysis. 2024. Vol. 15, No. 6. P. 71-81. doi: 10.54379/jma-2024-6-6
  13. Светов И. Е. Использование В-сплайнов при численном решении задачи векторной 2-D томографии // Методы сплайн-функций. Российская конференция, посвященная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова. (Новосибирск, 31.01.2011-02.02.2011). Новосибирск: ИМ СО РАН, 2011. C. 81-82.
  14. Волков Ю. С., Стрелкова Е. В., Шевалдин В. Т. О локальной аппроксимации кубическими сплайнами // Методы сплайн-функций. Российская конференция, посвященная 80-летию со дня рождения Ю. С. Завьялова. (Новосибирск, 31.01.2011-02.02.2011). Новосибирск: ИМ СО РАН, 2011. C. 35-36.
  15. Volkov Yu. S., Subbotin Yu. N. Fifty years to Schoenberg’s problem on the convergence of spline interpolation. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN. 2014. Vol. 20, no. 1. P. 52–67. doi: 10.1134/S0081543815020236
  16. K. Jetter, S. D. Riemenschneider, N. Sivakumar Schoenberg’s exponential Euler spline curves. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics. 1991. Vol. 118, no. 1-2. P. 21–33. doi: 10.1017/S0308210500028869
  17. T. Briand, P. Monasse Theory and Practice of Image B-Spline Interpolation. Image Processing On Line. 2018. Vol. 8. P. 99-141. DOI: 10.5201 /ipol.2018.221
  18. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М.: Наука, 1981. – 416 c.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Леонтьев В.Л., 2025

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Мы используем файлы cookies, сервис веб-аналитики Яндекс.Метрика для улучшения работы сайта и удобства его использования. Продолжая пользоваться сайтом, вы подтверждаете, что были об этом проинформированы и согласны с нашими правилами обработки персональных данных.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).