Об устойчивости относительно части переменных в некоторых критических случаях

Рассматривается задача об устойчивости относительно части переменных и критических случаях, когда необходимо принимать во внимание нелинейные слагаемые в разложениях правых частей уравнений в ряды. Эта задача является нелокальной из-за наличия неконтролируемых переменных, устойчивость по которым не анализируется и имеет ряд особенностей, затрудняющих исследование по сравнению с аналогичной задачей об устойчивости по всем переменным. Обсуждается аналог принципа сведения Ляпунова применительно к данной задаче. Выделены две ситуации, различающиеся характером вхождения критических переменных в уравнения для некритических переменных. Предложены признаки устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости относительно части переменных, устанавливаемые на основе аналогичных свойств вспомогательных систем меньшей размерности по сравнению с исходной. Для случая нескольких нулевых корней характеристического уравнения системы линейного приближения получены условия асимптотической устойчивости относительно части переменных, устанавливаемые по выделяемым устойчивым подсистемам с однородной правой частью. Для доказательства используются знакопостоянные скалярные функции Ляпунова, а также векторные функции Ляпунова–Матросова и метод сравнения. Для сопоставления с известными результатами приводится ряд примеров, показывающих эффективность применения доказанных теорем.