Bitsadze-Samarskii type problem for the diffusion equation and degenerate hyperbolic equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A boundary value problem of the Bitsadze-Samarskii type is studied in the article for a fractional- order diffusion equation and a degenerate hyperbolic equation with singular coefficients at lower terms in an unbounded domain. The article considers a mixed domain where the parabolic part of the domain under consideration coincides with the upper half-plane and the hyperbolic part is bounded by two characteristics of the equation under consideration and a segment of the abscissa axis. The uniqueness of the solution to the problem under consideration is proven by the method of energy integrals. The existence of a solution to the problem under consideration is reduced to the concept of solvability of a fractional-order differential equation. An explicit form of the solution to the modified Cauchy problem is given in the hyperbolic part of the mixed domain under consideration. Using this solution, due to the boundary condition of the problem, the main functional relationship between the traces of the unknown function brought to the interval of the degeneracy line of the equation is obtained. Further, using the representation of the solution of the diffusion equation of fractional order, the second main functional relationship between the traces of the sought-for function on the interval of the abscissa axis from the parabolic part of the considered mixed domain is obtained. Through the conjugation condition of the problem under study, an equation with fractional derivatives is obtained from two functional relationships by eliminating one unknown function; its solution is written out in explicit form. In the study of the boundary value problem, generalized fractional integro-differentiation operators with the Gauss hypergeometric function are employed. The properties of the Wright and Mittag-Leffler type functions are extensively utilized in the study.

About the authors

Menglibay Kholtozhibaevich Ruziev

V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: mruziev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-1097-0137

D. Sci. (Phys. & Math.), Senior Researcher, Leading Researcher

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University street, 9

Rakhimjon Temirbekovich Zunnunov

Branch of the Russian State University of Oil and Gas (NRU) named after I.M. Gubkin in Tashkent

Email: mruziev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-9392-5464

D. Sci. (Phys. & Math.), Senior Researcher, Senior Lecturer

Uzbekistan, 100125, Tashkent, Durmon yuli street, 34

Nargiza Takhirjonovna Yuldasheva

V. I. Romanovskiy Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences

Email: mruziev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-6921-5374

Basic Doctoral Candidate

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University street, 9

Gulkhayo Botirjon kizi Rakhimova

Fergana State University

Email: mruziev@mail.ru
ORCID iD: 0009-0002-3090-8442

Applicant

Uzbekistan, 150100, Fergana, Murabbiylar street, 19

References

  1. Nigmatullin R. R. The realization of generalized transfer equation in a medium with fractal geometry, Phys. Status solidi, 1986. vol. 133, pp. 425–430 (In Russian).
  2. Kochubey A. N. Fractional order diffusion, Differential equations, 1990. vol. 26, no. 4, pp. 660–670 (In Russian).
  3. Gekkieva S. Kh. On one analog of the Tricomi problem for a mixed-type equation with a fractional derivative, Reports of the AMAN, 2001. vol. 5, no. 2, pp. 18–22 (In Russian).
  4. Gekkieva S. Kh. The Cauchy problem for a generalized transport equation with a fractional time derivative, Reports of the AMAN, 2000. vol. 5, no. 1, pp. 16–19 (In Russian).
  5. Kilbas A. A., Repin O. A. Analog of the Bitsadze-Samarskii problem for a mixed-type equation with a fractional derivative, Differential Equations, 2003. vol. 39, no. 5, pp. 638–644 (In Russian).
  6. Pskhu A. V. Solution of boundary value problems for a fractional-order diffusion equation by the Green’s function method, Differential Equations, 2003. vol. 39, no. 10, pp. 1430–1433 (In Russian).
  7. Tomovski Z., Hilfer R., Srivastava H. M. Fractional and operational calculus with generalized fractional derivative operators and Mittag-Leffler type functions, Trans. and Special functions, 2010. vol. 21, no. 11, pp. 797–814 doi: 10.1080/10652461003675737
  8. Hilfer R. Experimental evidence for fractional time evolution in glass forming materials, Chemical Phys., 2002. vol. 284, no. 1-2, pp. 399–408.
  9. Repin O. A., Frolov A. A. On a boundary value problem for an equation of mixed type with a Riemann–Liouville fractional partial derivative, Differential Equations, 2016. vol. 52, no. 10, pp. 1384–1388 doi: 10.1134/S0012266116100165
  10. Kilbas A. A., Repin O. A. An analogue of the Bitsadze-Samarskiy problem for a mixed-type equation with a fractional derivative, Differential Equations, 2003. vol. 39, no. 10, pp. 1430–1433.
  11. Repin O. A. Boundary value problem for a differential equation with a partial fractional Riemann-Liouville derivative, Ufa Mathematical Journal, 2015. vol. 7, no. 3, pp. 70–75 (In Russian).
  12. Zunnunov R. T. Analog of Bitsadze-Samarskii problem for a mixed-type equation with a fractional derivative an unbounded domain, Uzbek Mathematical Journal, 2023. vol. 67, no. 3, pp. 189–195.
  13. Samko S. G., Kilbas A. A., Repin O. A. Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Science and Technology, 1987. 688 pp (In Russian).
  14. Saigo M. A remark on integral operators involving the Gauss hypergeometric function, Math. Rep. Kyushu Univ., 1978. vol. 11, no. 2, pp. 135–143.
  15. Ruziev M. Kh. A boundary value problem for a partial differential equation with fractional derivative, Fractional calculus and Applied Analysis, 2021. vol. 24, no. 2, pp. 509–517 doi: 10.1515/fca-2021-0022
  16. Ruziev M. Kh., Rakhimova G. B. On a boundary value problem for a differential equation with a partial fractional derivative, Bulletin of the Institute of Mathematics, 2023. vol. 6, no. 2, pp. 114–121 (In Russian).
  17. Ruziev M. Kh., Zunnunov R. T. On a nonlocal problem for mixed-type equation with partial Riemann-Liouville fractional derivative, Fractal Fractional, 2022. vol. 6, no. 2, pp. 110 doi: 10.3390/fractalfract6020110
  18. Balkizov Zh. A. Boundary value problems with data on opposite characteristics for a second-order mixed-hyperbolic equation., Adyghe Inst. Sci. J., 2023. vol.23, no. 1, pp. 11-19 doi: 10.47928/1726-9946-2023-23-1-11-19 (In Russian).
  19. Balkizov Zh. A. Nonlocal problems with displacement for matching two second order hyperbolic equations., Ufa Mathematical Journal, 2023. vol. 15, no. 2, pp. 9-19 doi: 10.13108/2023-15-2-9
  20. Gekkieva S. Kh. Analog of the Tricomi problem for a mixed-type equation with a fractional derivative, Izv. Kabardino-Balkarian Sci. Center, 2001. vol. 2, no. 7, pp. 78–80 (In Russian).
  21. Ruziev M. Kh., Yuldasheva N. T. On a boundary value problem for a mixed type equations with a partial fractional derivative, Lobachevskii Journal of Mathematics, 2022. vol. 43, no. 11, pp. 3264–3270 doi: 10.1134/S1995080222140293
  22. Prudnikov A. P., Brychkov Yu. A., Marichev O. I Integrals and series. Moscow: Nauka, 2003. 688 pp. (In Russian)
  23. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo Y. Y. Theory and applications of fractional differential equations. Amsterdam-Boston. Tokio: North Holland. Math. Studies, 2006. 204 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».