Потенциалы для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом и их применение

Обложка
  • Авторы: Эргашев Т.Г.1,2
  • Учреждения:
    1. Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан
    2. Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства
  • Выпуск: Том 25, № 2 (2021)
  • Страницы: 257-285
  • Раздел: Дифференциальные уравнения и математическая физика
  • URL: https://ogarev-online.ru/1991-8615/article/view/60038
  • DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1810
  • ID: 60038

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Рассматривается теория потенциала для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом. В рассмотрение вводятся потенциалы двойного и простого слоев с неизвестной плотностью, которые выражаются через фундаментальное решение названного эллиптического уравнения. При исследовании этих потенциалов используются свойства гипергеометрической функции Гаусса.

Доказаны теоремы о предельных значениях введенных потенциалов и их конормальных производных, которые позволяют эквивалентным образом свести краевые задачи для сингулярных эллиптических уравнений к интегральному уравнению второго рода, к которому применима теория Фредгольма.

В качестве приложения изложенной теории в области, ограниченной координатной плоскостью \(x=0\) и поверхностью Ляпунова при \(x>0\), для трехмерного эллиптического уравнения с одним сингулярным коэффициентом решается задача Хольмгрена. Единственность решения поставленной задачи доказывается известным методом \(abc\), а существование — методом функции Грина, регулярная часть которой ищется в виде потенциала двойного слоя с временно неизвестной плотностью. Решение задачи Хольмгрена находится в виде, удобном для дальнейших исследований.

Об авторах

Тухтасин Гуламжанович Эргашев

Институт математики имени В. И. Романовского Академии наук Республики Узбекистан; Ташкентский институт инженеров ирригации и механизации сельского хозяйства

Автор, ответственный за переписку.
Email: ergashev.tukhtasin@gmail.com
ORCID iD: 0000-0003-3542-8309
Scopus Author ID: 57204027944
http://www.mathnet.ru/person37309

доктор физико-математических наук; лаб. дифференциальных уравнений и их приложений; доцент; каф. высшей математики

Узбекистан, 100174, Ташкент, ул. Университетская, 4-а; Узбекистан, 100000, Ташкент, ул. Кары-Ниязи, 39

Список литературы

  1. Кондратьев Б. П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: Мир, 2007. 512 с.
  2. Ergashev T. G. Fundamental solutions for a class of multidimensional elliptic equations with several singular coefficients // J. Sib. Fed. Univ. Math. Phys., 2020. vol. 13, no. 1. pp. 48–57. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2020-13-1-48-57.
  3. Ergashev T. G. Fundamental solutions of the generalized Helmholtz equation with several singular coefficients and confluent hypergeometric functions of many variables // Lobachevskii J. Math, 2020. vol. 41, no. 1. pp. 15–26. https://doi.org/10.1134/S1995080220010047.
  4. Hasanov A. Fundamental solutions bi-axially symmetric Helmholtz equation // Complex Var. Elliptic Equ., 2007. vol. 52, no. 8. pp. 673–683. https://doi.org/10.1080/17476930701300375.
  5. Hasanov A., Karimov E. T. Fundamental solutions for a class of three-dimensional elliptic equations with singular coefficients // Appl. Math. Letters, 2009. vol. 22, no. 12. pp. 1828–1832, arXiv: 0901.0468 [math-ph]. https://doi.org/10.1016/j.aml.2009.07.006.
  6. Urinov A. K., Karimov E. T. On fundamental solutions for 3D singular elliptic equations with a parameter // Appl. Math. Letters, 2011. vol. 24, no. 3. pp. 314–319. https://doi.org/10.1016/j.aml.2010.10.013.
  7. Ergashev T. G. On fundamental solutions for multidimensional Helmholtz equation with three singular coefficients // Comp. Math. Appl., 2019. vol. 77, no. 1. pp. 69–76, arXiv: 1804.04363 [math.AP].
  8. Уринов A. K., Эргашев T. Г. Конфлюэнтные гипергеометрические функции многих переменных и их применение к нахождению фундаментальных решений обобщенного уравнения Гельмгольца с сингулярными коэффициентами // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех., 2018. № 55. С. 45–56. https://doi.org/10.17223/19988621/55/5.
  9. Mavlyaviev R. M., Garipov I. B. Fundamental solution of multidimensional axisymmetric Helmholtz equation // Complex Var. Elliptic Equ., 2017. vol. 63, no. 3. pp. 287–296. https://doi.org/10.1080/17476933.2016.1218853.
  10. Мавлявиев Р. М. Построение фундаментальных решений B-эллиптических уравнений с младшими членами // Изв. вузов. Матем., 2017. № 6. С. 70–75.
  11. 11. Уринов А. К., Каримов К. Т. Задача Дирихле для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, № 4. С. 665–683. https://doi.org/10.14498/vsgtu1559.
  12. Shishkina E. L. The Dirichlet problem for an elliptic singular equation // Complex Var. Elliptic Equ., 2020. vol. 65, no. 7. pp. 1210–1218. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1588259.
  13. Эргашев T. Г. Обобщённая задача Хольмгрена для эллиптического уравнения с несколькими сингулярными коэффициентами // Диффер. уравн., 2020. Т. 56, № 7. С. 872–886, arXiv: 1910.05264 [math.AP]. https://doi.org/10.1134/S0374064120070043.
  14. Gellerstedt S. Sur un problème aux limites pour l’équation \(y^{2s}z_{xx}+z_{yy}=0\) // Ark. Mat. Astron. Fys. A, 1935. vol. 25, no. 10. pp. 1–12 (In French).
  15. Франкль Ф. И. К теории уравнения \(y\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=0\) // Изв. АН СССР. Сер. матем., 1946. Т. 10, № 2. С. 135–166.
  16. Пулькин С. П. Некоторые краевые задачи для уравнения \(u_{xx}\pm u_{yy}+{p}{x^{-1}}u_x=0\) // Уч. зап. Куйбышев. пед. ин-та., 1958. Т. 21. С. 3–55.
  17. Смирнов M. M. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. 292 с.
  18. Srivastava H. M., Hasanov A., Choi J. Double-layer potentials for a generalized bi-axially symmetric Helmholtz equation // Sohag J. Math., 2015. vol. 2, no. 1. pp. 1–10, arXiv: 0810.3979 [math.AP].
  19. Berdyshev A. S., Hasanov A., Ergashev T. G. Double-layer potentials for a generalized biaxially symmetric Helmholtz equation. II // Complex Var. Elliptic Equ., 2020. vol. 65, no. 2. pp. 316–332. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1583219.
  20. Эргашев Т. Г. Третий потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Уфимск. матем. журн., 2018. Т. 10, № 4. С. 111–122, arXiv: 1807.00903 [math.AP].
  21. Эргашев Т. Г. Четвертый потенциал двойного слоя для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца // Вестн Том. гос. ун-та. Математика и механика, 2017. № 50. С. 45–56. https://doi.org/10.17223/19988621/50/4.
  22. Мухлисов Ф. Г., Нигмедзянова А. М. Решение краевых задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго рода методом потенциалов // Изв. вузов. Матем., 2009. № 8. С. 57–70.
  23. Ergashev T. G. Potentials for three-dimensional singular equation and their application to the solving a mixed problem // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 6. pp. 1067–1077. https://doi.org/10.1134/S1995080220060086.
  24. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1: Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М.: Наука, 1973. 296 с.
  25. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962. 1100 с.
  26. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2021

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».