$L_p$-estimates of the nontangential maximal function for solutions a second-order elliptic equation solutions


Cite item

Full Text

Abstract

The work contains the survey of results related to the study of near the boundary behavior of the solution of the Dirichlet problem with the boundary function in $L_p,$ $p > 1$ for a second-order elliptic equation. There are new statements and some unsolved problems in this direction.

About the authors

Anatolii Konstantinovich Gushchin

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences

Email: akg@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. L. Carleson, "An interpolation problem for bounded analytic functions", Amer. J. Math., 80:4 (1958), 921-930
  2. L. Carleson, "Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem", Ann. of Math., 76:3 (1962), 547-559
  3. L. Hormander, "-estimates for (pluri-) subharmonic functions", Math. scand., 20 (1967), 65-78
  4. А. К. Гущин, "О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка", Матем. сб., 137(179):1(9) (1988), 19-64
  5. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, "О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка", Матем. сб., 185:1 (1994), 121-160
  6. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, "Внутренние оценки обобщенных решений эллиптического уравнения второго порядка", Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия, 2008, № 8/1(67), 76–94
  7. В. П. Михайлов, "О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка", Дифференц. уравнения, 12:10 (1976), 1877–1891
  8. А. К. Гущин, "О внутренней гладкости решений эллиптических уравнений второго порядка", Сиб. матем. журн., 46:5 (2005), 1036-1052
  9. А. К. Гущин, "Некоторое усиление свойства внутренней непрерывности по Гeльдеру решений задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка", ТМФ, 157:3 (2008), 345-363
  10. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, "О граничных значениях в , , решений эллиптических уравнений", Матем. сб., 108(150):1 (1979), 3-21
  11. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, "О граничных значениях решений эллиптических уравнений", Обобщeнные функции и их применения в математической физике, Тр. междунар. конференции, ВЦ АН СССР, М., 1981, 189-205
  12. И. М. Петрушко, "О граничных значениях в , , решений эллиптических уравнений в областях с ляпуновской границей", Матем. сб., 120(162):4 (1983), 569-588
  13. Ю. А. Михайлов, "О граничных значениях в , , решений эллиптического уравнения второго порядка", Дифференц. уравнения, 19:2 (1983), 318-337
  14. Ю. А. Алхутов, В. А. Кондратьев, "Разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в выпуклой области", Дифференц. уравнения, 28:5 (1992), 806-817
  15. Ю. А. Алхутов, "-оценки решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка", Матем. сб., 189:1 (1998), 3-20
  16. А. К. Гущин, "О разрешимости задачи Дирихле с граничной функцией из для эллиптического уравнения второго порядка", Докл. Акад. наук, 437:5 (2011), 583-586
  17. А. К. Гущин, "О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка с граничной функцией из ", Матем. сб., 203:1 (2012), 3-30
  18. E. De Giorgi, "Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari", Mem. Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur, 3:3 (1957), 25-43
  19. J. Nash, "Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations", Amer. J. Math, 80:4 (1958), 931-954
  20. J. Moser, "A new proof of De Giorgi's theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations", Comm. Pure Appl. Math, 13:3 (1960), 457-468
  21. А. К. Гущин, "Оценки некасательной максимальной функции решений эллиптического уравнения второго порядка", Докл. Акад. наук, 446:5 (2012), 487-489
  22. О. А.Ладыженская, Н. Н. Уральцева, Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа, Наука, М., 1973, 576 с.
  23. D. Gilbarg, N. Trudinger, Elliptic partial differentiol equations of second order, Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1983, 529 pp.
  24. В. П. Михайлов, А. К. Гущин, "Дополнительные главы курса «Уравнения математической физики»", Лекц. курсы НОЦ, 7, МИАН, М., 2007, 3-144
  25. E. M. Stein, Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Mathematical Series, 30, Prinston University Press, Prinston, N.J., 1970, xiv+290 pp.
  26. D. L. Burkholder, R. F. Gundy, "Distribution function inequalities for the area integral", Collection of articles honoring the completion by Antoni Zygmund of 50 years of scientific activity, VI, Studia Math., 44 (1972), 527-544 .
  27. B. E. J. Dahlberg, "Weighted norm inequalities for the Lusin area integral and the nontangential maximal functions for functions harmonic in a Lipschitz domain", Studia Math., 67:3 (1980), 297-314
  28. В. Ю. Шелепов, "О граничных свойствах решений эллиптических уравнений в многомерных областях, представимых с помощью разности выпуклых функций", Матем. сб., 133(175):4(8) (1987), 446-468
  29. H. Fatou, "Series trigonometriques et series de Taylor", Acta Math., 30:1 (1906), 335-400
  30. И. И. Привалов, Интеграл Коши, Саратов, 1919, 96 с.
  31. E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces, Princeton Mathematical Series, 32, Prinston University Press, Prinston, N.J., 1971, x+297 pp.
  32. В. А. Кондратьев, Е. М. Ландис, "Качественная теория линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка", Дифференциальные уравнения с частными производными - 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 32, ВИНИТИ, М., 1988, 99-215
  33. Н. К. Никольский, Лекции об операторе сдвига, Наука, М., 1980, 384 с.
  34. J. B. Garnett, Bounded analytic functions, Pure and Applied Mathematics, 96, Academic Press, Inc., New York, London, 1981, xvi+467 pp.
  35. В. Ж. Думанян, "О разрешимости задачи Дирихле для общего эллиптического уравнения второго порядка", Матем. сб., 202:7 (2011), 75-94
  36. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, "О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения", Матем. сб., 186:2 (1995), 37-58
  37. А. К. Гущин, В. П. Михайлов, "Об однозначной разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения", Докл. Акад. наук, 351:1 (1996), 7-8
  38. А. К. Гущин, "Условие полной непрерывности операторов, возникающих в нелокальных задачах для эллиптических уравнений", Докл. Акад. наук, 373:2 (2000), 161-163
  39. А. К. Гущин, "Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений", Матем. сб., 193:5 (2002), 17-36
  40. А. К. Гущин, "-оценки решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка", ТМФ, 174:2 (2013), 243-255

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).