Гравитационное поле однородного куба. Классический и релятивистский случай

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Вопрос исследования гравитационного поля тел сложной формы (не относящийся к шарообразной) представляет большой интерес для геофизики, астрофизики, математической физики и других областей. Статья состоит из двух частей. В первой части представлен краткий литературный обзор различных методов расчета потенциала гравитационного поля однородного куба в рамках классической механики: получение аналитического решения; как частный случай задачи нахождения гравитационного поля полиэдра; методом конечных элементов; методом мультипольного разложения. Более подробно проанализирован метод расчета потенциала гравитационного поля однородного куба с помощью аналитического решения и мультипольного разложения. Во второй части статьи описан релятивистский случай гравитационного поля однородного куба в рамках постньютоновского формализма в первом и втором приближении. Данный метод расчета выбран по причине чрезвычайной сложности получение решения с помощью уравнений Эйнштейна. Ранее подобные задачи для тел с формой куба не рассматривались. Для решения задачи выбрана физическая модель — координатный равновесный куб, заполненный несжимаемой жидкостью с нулевой скоростью и постоянной плотностью. Получены релятивистские поправки для временной и пространственной координаты. Получен точный аналитический вид этих поправок для области вне куба, а также компоненты метрического тензора. Дано краткое сравнение полученных результатов для релятивистского случая с результатами классического ньютоновского случая. Для области внутри куба решение получено с помощью численных методов. Полученные результаты с достаточной точностью определяют параметры гравитационного поля для однородного куба, рассмотренного в рамках релятивистского подхода. Основное приложение этой задачи в рамках релятивистской физики относится к области математической физики (или, шире, математики).

Об авторах

Валерий Николаевич Макаров

Оренбургский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: makarsvet13@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5749-1427
https://www.mathnet.ru/person190858

кандидат физико-математических наук; доцент; каф. физики и методики преподавания физики

Россия, 460018, Оренбург, просп. Победы, 13

Леонид Александрович Шлейгер

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

Email: lslejger@gmail.com
ORCID iD: 0009-0007-9648-3172
https://www.mathnet.ru/person191490

младший научный сотрудник; сектор теоретической астрофизики

Россия, 194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 26

Александр Александрович Карасев

Институт промышленной экологии УрО РАН; Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина

Email: KarasevAL@ecko.uran.ru
ORCID iD: 0000-0001-7394-7375
https://www.mathnet.ru/person130772

младший научный сотрудник; лаб. эколого-климатических проблем Арктики; ассистент; каф. прикладной математики и механики

Россия, 620108, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 20; 620075, Екатеринбург, просп. Ленина, 51

Список литературы

  1. Haug E. G., Spavieri G. New exact solution to Einsteins field equation gives a new cosmological model, 2023. hal: hal-04286328. DOI: https://doi.org/10.13140/RG.2.2.36524.44161.
  2. Stephani H., Kramer D., MacCallum M., et al. Exact solutions of Einstein’s field equations / Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. xxix+701 pp. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511535185.
  3. Watanabe S., Hirabayashi M., Hirata N., et al. Hayabusa2 arrives at the carbonaceous asteroid 162173 Ryugu — A spinning top-shaped rubble pile // Science, 2019. vol. 364, no. 6437. pp. 268–272. DOI: https://doi.org/10.1126/science.aav8032.
  4. Domokos G., Sipos A. Á., Szabó Gy. M., Várkonyi P. L. Formation of sharp edges and planar areas of asteroids by polyhedral abrasion // Astrophys. J., 2009. vol. 699, no. 1, L13. DOI: https://doi.org/10.1088/0004-637X/699/1/L13.
  5. Gibney E. Freefall space cubes are test for gravitational wave spotter // Nature, 2015. vol. 527, no. 7578. pp. 284–285. DOI: https://doi.org/10.1038/527284a.
  6. Liu X., Baoyin H., Ma X. Equilibria, periodic orbits around equilibria, and heteroclinic connections in the gravity field of a rotating homogeneous cube // Astrophys. Space Sci., 2011. vol. 2, no. 333. pp. 409–418. DOI: https://doi.org/10.1007/s10509-011-0669-y.
  7. Liu X., Baoyin H., Ma X. Periodic orbits in the gravity field of a fixed homogeneous cube // Astrophys. Space Sci., 2011. vol. 2, no. 334. pp. 357–364. DOI: https://doi.org/10.1007/s10509-011-0732-8.
  8. Park R. S., Werner R. A., Bhaskaran S. Estimating small-body gravity field from shape model and navigation data // J. Guid. Control Dyn., 2010. vol. 33, no. 1. pp. 212–221. DOI: https://doi.org/10.2514/1.41585.
  9. Mufti I. R. Iterative gravity modeling by using cubical blocks // Geophys. Prospect., 1975. vol. 23, no. 1. pp. 163–198. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-2478.1975.tb00688.x.
  10. Fukushima T. Mosaic tile model to compute gravitational field for infinitely thin nonaxisymmetric objects and its application to preliminary analysis of gravitational field of M74 // Mon. Not. R. Astron. Soc., 2016. vol. 459, no. 4. pp. 3825–3860. DOI: https://doi.org/10.1093/mnras/stw924.
  11. Sanny J., Smith D. How spherical is a cube (Gravitationally)? // Phys. Teacher, 2015. vol. 53, no. 2. pp. 111–113. DOI: https://doi.org/10.1119/1.4905815.
  12. Lira J. A. If the Earth were a cube, what would be the value of the acceleration of gravity at the center of each face? // Phys. Educ., 2018. vol. 53, no. 6, 065013. DOI: https://doi.org/10.1088/1361-6552/aadb25.
  13. Chappell J. M., Chappell M. J., Iqbal A., Abbott D. The gravity field of a cube // Physics International, 2013. vol. 3, no. 2. pp. 50–57. DOI: https://doi.org/10.3844/pisp.2012.50.57.
  14. Seidov Z. F., Skvirsky P. I. Gravitational potential and energy of homogeneous rectangular parallelepiped, 2000, arXiv: astro-ph/0002496. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.astro-ph/0002496.
  15. Bessel F. W. Auszug aus einem Schreiben des Herrn Prof. Bessel an den Herausgeber // Astron. Nachr., 1823. vol. 2, no. 32. pp. 133–136 (In German).
  16. Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde / hrsg. vom Freyherrn von Zach, Band 24, November 1811. Gotha: Becker, 1811. pp. 425–522 (In German). https://zs.thulb.uni-jena.de/receive/jportal_jpvolume_00203228.
  17. Everest G. An Account of the Measurement of an Arc of the Meridian Between the Parallels of 18° 3’ and 24° 7’: Being a Continuation of the Grand Meridional Arc of India as Detailed by the Late Lieut.–Col. Lambton in the Volumes of the Asiatic Society of Calcutta. London: J.L. Cox, 1830. xii+337 pp. https://catalog.hathitrust.org/Record/012336511.
  18. Haáz I. B. Relations between the potential of the attraction of the mass contained in a finite rectangular prism and its first and second derivatives // Geofizikai Közlemények, 1953. vol. 2, no. 7. pp. 57–66 (In Hungarian). http://epa.niif.hu/02900/02941/00002/pdf/EPA02941_geofizikai_kozlemenyek_1953_02_057-066.pdf.
  19. Mader K. Das Newtonsche Raumpotential prismatischer Körper u. seine Ableitungen bis zur dritten Ordnung: Sonderheft 11 der Österreichischen Zeitschrift für Vermessungswesen. Wien: Österr. Verein f. Vermessungswesen, 1951. 74 pp. (In German). https://www.ovg.at/static/vgi-sonderhefte/sonderheft1951_11_final_OCR.pdf.
  20. Nagy D. The gravitational attraction of a right rectangular prism // Geophys., 1966. vol. 31, no. 2. pp. 362–371. DOI: https://doi.org/10.1190/1.1439779.
  21. Botezatu R., Visarion M., Scurtu F., Cucu G. Approximation of the gravitational attraction of geological bodies // Geophys. Prospect., 1971. vol. 19, no. 2. pp. 218–227. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-2478.1971.tb00594.x.
  22. Mufti I. R. Rapid determination of cube’s gravity field // Geophys. Prospect., 1973. vol. 21, no. 4. pp. 724–735. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-2478.1973.tb00054.x.
  23. Banerjee B., Das Gupta S. P. Gravitational attraction of a rectangular parallelepiped // Geophys., 1977. vol. 42, no. 5. pp. 1053–1055. DOI: https://doi.org/10.1190/1.1440766.
  24. Waldvogel J. The Newtonian potential of a homogeneous cube // ZAMP, 1976. vol. 27, no. 6. pp. 867–871. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01595137.
  25. Conway J. T. Analytical solution from vector potentials for the gravitational field of a general polyhedron // Celest. Mech. Dyn. Astron., 2015. vol. 121. pp. 17–38. DOI: https://doi.org/10.1007/s10569-014-9588-x.
  26. Barnett C. T. Theoretical modeling of the magnetic and gravitational fields of an arbitrarily shaped three-dimensional body // Geophys., 1976. vol. 41, no. 6. pp. 1353–1364. DOI: https://doi.org/10.1190/1.1440685.
  27. Jessop C., Duncan M., Chau W. Y. Multigrid methods for n-body gravitational systems // J. Comput. Phys., 1994. vol. 115, no. 2. pp. 339–351. DOI: https://doi.org/10.1006/jcph.1994.1200.
  28. MacMillan W. D. Theoretical Mechanics. II: The Theory of Potential. New York, London: McGraw-Hill, 1930. xiii+469 pp.
  29. Fock V. A. The Theory of Space, Time and Gravitation. New York: Pergamon Press, 1963. 411 pp.
  30. O’Leary J., Barriot J. P. Reconstructing the cruise-phase trajectory of deep-space probes in a general relativistic framework: An application to the Cassini gravitational wave experiment // Astrodyn., 2023. vol. 7, no. 3. pp. 301–314. DOI: https://doi.org/10.1007/s42064-023-0160-x.
  31. Денисов В. И., Умнов А. Н. Параметризованный постньютоновский формализм для неметрических теорий гравитации // ТМФ, 1993. Т. 96, №1. С. 79–95.
  32. Zhu Y. Equations and Analytical Tools in Mathematical Physics. A Concise Introduction. Singapore: Springer, 2021. xii+252 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-16-5441-1.
  33. Багапш А. О. Интеграл Пуассона и функция Грина для одной сильно эллиптической системы уравнений в круге и эллипсе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016. Т. 56, №12. С. 2065–2072. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466916120048.
  34. Кондратьев Б. П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: Мир, 2007. 512 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Визуализация эквипотенциальных поверхностей, полученная с помощью формулы (6)

Скачать (85KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Визуализация эквипотенциальных поверхностей, полученная с помощью формулы (7)

Скачать (109KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Потенциалы гравитационного поля однородного куба от координаты $x$, полученные с помощью формул (6), (7) и (2), причем $G=c=\rho=1$; вертикальные линии представляют собой границы куба: $a=0.5$

Скачать (139KB)
Метаданные
5. Рис. 4. Результат расчета релятивистских поправок $V(x,y)$ и $V(x,y,z)$ в системе Wolfram Mathematica 13.0 с использованием численных методов ($c=G=\rho=1$)

Скачать (323KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Результат расчета релятивистских поправок $S(x,y)$ и $S(x,y,z)$ в системе Wolfram Mathematica 13.0 с использованием численных методов ($c=G=\rho=1$)

Скачать (322KB)
Метаданные
7. Рис. 6. Сравнение параметров гравитационного поля во внешнем пространстве без релятивистских поправок и с их наличием от координаты $x$, причем $c=G=\rho=1$; вертикальные линии представляют собой границы куба: $a=1$

Скачать (84KB)
Метаданные

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).