The eigenfunctions of curl, gradient of divergence and stokes operators. Applications


Cite item

Full Text

Abstract

We consider the spectral problems for curl, gradient of divergence and Stokes operators. The eigenvalues are defined by zeroes of half-integer order Bessel functions and derivatives thereof. The eigenfunctions are given in an explicit form by half-integer order Bessel functions and spherical harmonics. Their applications are described. The completeness of eigenfunctions of curl operator in $L_2 (B)$ is proved.

About the authors

Romen S Saks

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Science Centre, Russian Academy of Sciences

Email: romen-saks@yandex.ru
(Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Researcher, Dept. of Computational Mathematics. 112, Chernyshevskiy st., Ufa, Russia, 450077

References

  1. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
  2. Chandrasekhar S. On force-free magnetic fields // Proc. Nat. Ac. Sci. USA, 1956. Vol. 42, no. 1. Pp. 1–5.
  3. Taylor J. B. Relaxation of Toroidal Plasma and Generation of Reverse Magnetic Fields // Phys. Rev. Lett., 1974. Vol. 33, no. 19. Pp. 1139–1141.
  4. Козлов В. В. Общая теория вихрей. Ижевск: Удмурдский университет, 1998. 240 с.
  5. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье—Стокса // Успехи механики, 2006. Т. 4, № 1. С. 6–76.
  6. Махалов А. С., Николаенко В. П. Глобальная разрешимость трехмерных уравнений Навье–Стокса с равномерно большой начальной завихренностью // УМН, 2003. Т. 58, № 2(350). С. 79–110.
  7. Arnold V. Sur la topologie des écoulements stationnaires des fluides parfaits // C. R. Acad. Sci. Paris, 1965. Vol. 261. Pp. 17–20.
  8. Hénon M. Sur la topologie des lignes de courant dans un cas particulier // C. R. Acad. Sci. Paris, 1966. Vol. 262. Pp. 312–314.
  9. Сакс Р. C. О краевых задачах для системы rot u + λu = h // Докл. Акад. наук СССР, 1971. Т. 199, № 5. С. 1022–1025.
  10. Сакс Р. С. О краевых задачах для системы rot u + λu = h // Диффер. уравн., 1972. Т. 8, № 1. С. 126–133.
  11. Вайнберг Б. Р., Грушин В. В. О равномерно неэллиптических задачах. I // Матем. сб., 1967. Т. 72(114), № 4. С. 602–636.
  12. Сакс Р. С. Спектр оператора вихря в шаре при условии непротекания и собственные значения колебаний упругого шара, закрепленного на границе / В сб.: Труды конф. «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», IV. Прикладная математика. Уфа, 2000. С. 61–68.
  13. Chandrasekhar S. , Kendall P. S. On force-free magnetic fields // Astrophys. J., 1957. Vol. 126. Pp. 457–460.
  14. Montgomery D., Turner L., Vahala G. Three-dimentional magnetohydrodyamic turbulence in cylindrical geometry // Phys. Fluids, 1978. Vol. 21, no. 5. Pp. 757–764.
  15. Берхин П. Е. Самосопряженная краевая задача для системы ∗ du + λu = f // Докл. Акад. наук СССР, 1975. Т. 222, № 1. С. 15–17.
  16. Yoshida Z., Giga Y. Remark on spectra of operator rot // Math. Z., 1990. Vol. 204, no. 2. Pp. 235–245.
  17. Picard R. On a selfadjoint realization of curl and some of its applications // Riceche di Matematica, 1998. Vol. XLVII. Pp. 153–180.
  18. Ладыженская О. А. О построении базисов в пространствах соленоидальных векторных полей / В сб.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 34 / Зап. научн. сем. ПОМИ, Т. 306. СПб.: ПОМИ, 2003. С. 92–106.
  19. Сакс Р. С. Решение спектральной задачи для оператора ротор и оператора Стокса с периодическими краевыми условиями / В сб.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 36 / Зап. научн. сем. ПОМИ, Т. 318. СПб.: ПОМИ, 2004. С. 246–276.
  20. Сакс Р. С. Глобальные решения уравнений Навье–Стокса в равномерно вращающемся пространстве // ТМФ, 2010. Т. 162, № 2. С. 196–215.
  21. Сакс Р. С. Задача Коши для уравнений Навье–Стокса, метод Фурье // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, № 1. С. 53–79.
  22. Сакс Р. С. Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса // ДАН, 2007. Т. 416, № 4. С. 446–450.
  23. Темам Р. Уравнения Навье–Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.
  24. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.
  25. Weyl H. The method of orthogonal projection in potential theory // Duke Math., 1940. Vol. 7. Pp. 411–444.
  26. Сакс Р. С. О свойствах обобщенно эллиптических псевдодифференциальных операторов на замкнутых многообразиях / В сб.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 28 / Зап. научн. сем. ПОМИ, Т. 243. СПб.: ПОМИ, 1997. С. 215–269.
  27. Солонников В. А. Переопределенные эллиптические краевые задачи / В сб.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 5 / Зап. научн. сем. ЛОМИ, Т. 21. Л.: Изд-во «Наука», Ленинград. отд., 1971. С. 112–158.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2013 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).