On the “splitting” effect for multipoint differential operators with summable potential


Cite item

Full Text

Abstract

We study the differential operator of the fourth order with multipoint boundary conditions. The potential of the differential operator is summable function on a finite segment. For large values of spectral parameter the asymptotic behavior of solutions of differential equation which define the differential operator is found. The equation for eigenvalues of the studied operators is derived by studying the boundary conditions. The parameters of boundary conditions are selected in such a way that the main approach of the equation for eigenvalues has multiple roots. The author shows that for the studied operator the effect of “splitting” of multiple eigenvalues in the main approximation is observed. We derive all series of single eigenvalues of the investigated operator. The indicator diagram of the considered operator is studied. The asymptotic behavior of eigenvalues in all sectors of the indicator diagram is found. The obtained precision of the asymptotic formulas is enough for finding an asymptotics of eigenfunctions of the studied differential operator.

About the authors

Sergey I Mitrokhin

Lomonosov Moscow State University

Email: mitrokhin-sergey@yandex.ru
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Researcher; Research Computing Center Vorob’evy gory, Moscow, 119899, Russian Federation

References

  1. Митрохин С. И. О «расщеплении» кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Изв. вузов. Матем., 1997. № 3. С. 38-43.
  2. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Дифференц. уравнения, 1998. Т. 34, № 10. С. 1423-1426.
  3. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем., 2000. Т. 64, № 4. С. 47-108. doi: 10.4213/im295.
  4. Митрохин С. И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвёртого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестник Московского университета. Сер. Матем., мех., 2009. № 3. С. 14-17.
  5. Митрохин С. И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфимск. матем. журн., 2011. Т. 3, № 4. С. 95-115.
  6. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Матем. заметки, 1977. Т. 22, № 5. С. 679-698.
  7. Будаев В. Д. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения, 1987. Т. 23, № 6. С. 941-952.
  8. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения, 1986. Т. 22, № 12. С. 2059-2071.
  9. Митрохин С. И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН, 1997. Т. 356, № 1. С. 13-15.
  10. Гуревич А. П., Хромов А. П. Операторы дифференцирования первого и второго порядков со знакопеременной весовой функцией // Матем. заметки, 1994. Т. 56, № 1. С. 3-15.
  11. Лидский В. В., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функц. анализ и его прил., 1967. Т. 1, № 2. С. 52-59.
  12. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения, 1992. Т. 28, № 3. С. 530-532.
  13. Лидский В. Б., Садовничий В. А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Матем. сб., 1968. Т. 75(117), № 4. С. 558-566.
  14. Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с δ-потенциалом // УМН, 2000. Т. 55, № 6(336). С. 155-156. doi: 10.4213/rm352.
  15. Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, 1999. Т. 66, № 6. С. 897-912. doi: 10.4213/mzm1234.
  16. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.
  17. Левитан Б. М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. Самосопряженные обыкновенные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1970. 672 с.
  18. Bellman R., Cooke K. L. Differential-difference equations / Mathematics in Science and Engineering. vol. 6. New York-London: Academic Press, 1963. xvi+462 pp.
  19. Садовничий В. А., Любишкин В. А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, № 1. С. 109-116.
  20. Садовничий В. А., Любишкин В. А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Докл. АН СССР, 1980. Т. 254, № 6. С. 1346-1348.
  21. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с запаздывающим аргументом // Вестник Московского университета. Сер. Матем., мех., 2013. № 4. С. 38-42.
  22. Митрохин С. И. О спектральных свойствах дифференциальных операторов нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Дифференц. уравнения, 2011. Т. 47, № 12. С. 1808-1811.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2017 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).