Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии


Цитировать

Полный текст

Аннотация

Решена задача групповой классификации нелинейного приближенного уравнения субдиффузии с малым параметром по приближенным допускаемым группам точечных преобразований относительно коэффициента аномальной диффузии, рассматриваемого как функция зависимой переменной. Приближенное уравнение получено из дробно-дифференциального уравнения субдиффузии с дробной производной Римана-Лиувилля по времени в предположении о близости порядка дробного дифференцирования к единице. Показано, что рассматриваемое приближенное уравнение субдиффузии обладает более широкой группой точечных симметрий по сравнению с исходным дробно-дифференциальным уравнением. Результаты групповой классификации позволяют строить приближенно инвариантные решения приближенного уравнения субдиффузии для различных видов функциональной зависимости коэффициента аномальной диффузии от зависимой переменной. Такие решения также будут являться приближенными решениями исходного дробнодифференциального уравнения субдиффузии.

Об авторах

Станислав Юрьевич Лукащук

Уфимский государственный авиационный технический университет

Email: lsu@ugatu.su
(к.ф.-м.н., доц.; lsu@ugatu.su), доцент, каф. высокопроизводительных вычислительных технологий и систем Россия, 450000, Уфа, ул. К. Маркса, 12

Список литературы

  1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  2. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo Y. Y. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204 / ed. J. van Mill. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 pp.
  3. Нахушев А. М. Дробное исчисление его применение. М.: Физматлит, 2009. 272 с.
  4. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  5. Mainardy F. Fractional calculus and waves in linear viscoelasticity. An introduction to mathematical models. Singapore: World Scientific, 2010. xx+367 pp. doi: 10.1142/9781848163300.
  6. Головизнин В. М., Кондратенко П. С., Матвеев Л. В., Короткин И. А., Драников И. Л. Аномальная диффузия радионуклидов в сильно-неоднородных геологических формациях. М.: Наука, 2010. 342 с.
  7. Tarasov V. E. Fractional dynamics: Application of fractional calculus to dynamics of particles, fields and media / Nonlinear Physical Science. Heidelberg: Springer, 2011. xv+495 pp. doi: 10.1007/978-3-642-14003-7.
  8. Baleanu D., Diethelm K., Scalas E., Trujillo J. J. Fractional calculus: Models and numerical methods / Series on Complexity, Nonlinearity and Chaos. vol. 3. Singapore: World Scientific, 2012. 400 pp. doi: 10.1142/9789814355216.
  9. Uchaikin V., Sibatov R. Fractional kinetics in solids: Anomalous charge transport in semiconductors, dielectrics and nanosystems. Singapore: World Scientific, 2013. 276 pp. doi: 10.1142/8185.
  10. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  11. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
  12. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Непрерывные группы преобразований дифференциальных уравнений дробного порядка // Вестник УГАТУ, 2007. Т. 9, № 32(21). С. 125-135.
  13. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetry properties of fractional diffusion equations // Physica Scripta, 2009. vol. 2009, no. T136, 014016. doi: 10.1088/0031-8949/2009/t136/014016.
  14. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимск. матем. Журн., 2012. Т. 4, № 4. С. 54-68.
  15. Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Dynamics with low-level fractionality // Phys. A, 2006. vol. 368, no. 2. pp. 399-415. doi: 10.1016/j.physa.2005.12.015.
  16. Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena // Phys. A, 2008. vol. 387, no. 8-9. pp. 1807-1817. doi: 10.1016/j.physa.2007.11.046.
  17. Tofighi A. An Especial Fractional Oscillator // International Journal of Statistical Mechanics, 2013. vol. 2013, 175273. 5 pp. doi: 10.1155/2013/175273.
  18. Nayfeh A. H. Perturbation Methods. Mörlenbach: Willey, 2000. xii+495 pp. doi: 10.1002/9783527617609.
  19. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии // Матем. сб., 1988. Т. 136(178), № 4(8). С. 435-450.
  20. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Методы возмущений в групповом анализе / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., Т. 20. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 85-147.
  21. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные группы преобразований // Дифференц. уравнения, 1993. Т. 29, № 10. С. 1712-1732.
  22. Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Phys. Rep., 2000. vol. 339, no. 1. pp. 1-77. doi: 10.1016/s0370-1573(00)-00070-3.
  23. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН, 2003. Т. 173, № 8. С. 847-876. doi: 10.3367/UFNr.0173.200308c.0847.
  24. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука, 2005. 199 с.
  25. Luchko Yu. Anomalous diffusion: models, their analysis, and interpretation / Advances in Applied Analysis. Trends in Mathematics; eds. S. Rogosin, A. Koroleva. Basel: Birkhäuser, 2012. pp. 115-145. doi: 10.1007/978-3-0348-0417-2_3.
  26. Хуштова Ф. Г. Фундаментальное решение модельного уравнения аномальной диффузии дробного порядка // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. Науки, 2015. Т. 19, № 4. С. 722-735. doi: 10.14498/vsgtu1445.
  27. Bologna M., Tsallis C., Grigolini P. Anomalous diffusion associated with nonlinear fractional derivative Fokker-Planck-like equation: Exact time-dependent solutions // Phys. Rev. E, 2000. vol. 62, no. 2. pp. 2213-2218. doi: 10.1103/physreve.62.2213.
  28. Lenzi E. K., Lenzi M. K., Evangelista L. R., Malacarne L. C., Mendes R. S. Solutions for a fractional nonlinear diffusion equation with external force and absorbent term // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2009. vol. 2009, no. 2, P02048. doi: 10.1088/1742-5468/2009/02/p02048.
  29. Bonforte M., Vázquez J. L. Fractional nonlinear degenerate diffusion equations on bounded domains part I. Existence, uniqueness and upper bounds // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2016. vol. 131. pp. 363-398. doi: 10.1016/j.na.2015.10.005.
  30. Lukashchuk S. Yu., Makunin A. V. Group classification of nonlinear time-fractional diffusion equation with a source term // Applied Mathematics and Computation, 2015. vol. 257. pp. 335-343. doi: 10.1016/j.amc.2014.11.087.
  31. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables / eds. Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1984. xiv+1046 pp.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 2016

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».