The nonlocal problem for a hyperbolic equation with bessel operator in a rectangular domain


Cite item

Full Text

Abstract

We consider a boundary value problem for a hyperbolic equation with Bessel differential operator in a rectangular domain with integral nonlocal boundary value condition of the first kind. The equivalence between boundary value problem with integral nonlocal condition of the first kind and a local boundary value problem with mixed boundary conditions of the first and third kinds is proved. The existence and uniqueness of solution of the equivalent problem are established by means of the spectral method. At the uniqueness proof the completeness of the eigenfunction system of the spectral problem is used . At the existence proof the assessment of coefficients of series, the asymptotic formula for Bessel function of the first kind and asymptotic formula for eigenvalues are used. Sufficient conditions on the functions defining initial data of the problem are received. The solution of the problem is obtained in explicit form. The solution is obtained in the form of the Fourier-Bessel series. Its convergence is proved in the class of regular solutions.

About the authors

Natalya V Zaitseva

Kazan (Volga Region) Federal University

Email: n.v.zaiceva@yandex.ru
(Assistant), Dept. of Higher Mathematics and Mathematical Modeling 18, Kremlyovskaya str., Kazan, 420008, Russian Federation

References

  1. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Физматлит, 1997. 208 с.
  2. Пулькин С. П. Избранные труды. Самара: Универс групп, 2007. 264 с.
  3. Пулькин С. П. О единственности решения сингулярной задачи Геллерстедта // Изв. вузов. Матем., 1960. № 6. С. 214-225.
  4. Сабитов К. Б., Ильясов Р. Р. О некорректности краевых задач для одного класса гиперболических уравнений // Изв. вузов. Матем., 2001. № 5. С. 59-63.
  5. Сабитов К. Б., Ильясов Р. Р. Решение задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом спектральным методом // Изв. вузов. Матем., 2004. № 2. С. 64-71.
  6. Cannon J. R. The solution of heat equation subject to the specification of energy // Quart. Appl. Math, 1963. vol. 21, no. 2. pp. 155-160. doi: 10.1090/qam/160437.
  7. Камынин Л. И. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1964. Т. 4, № 6. С. 1006-1024.
  8. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием // Дифференц. уравнения, 1977. Т. 13, № 2. С. 294-304.
  9. Пулькина Л. С. Нелокальная задача с интегральными условиями для гиперболического уравнения // Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, № 7. С. 887-892.
  10. Пулькина Л. С. Краевые задачи для гиперболического уравнения с нелокальными условиями I и II рода // Изв. вузов. Матем., 2012. № 4. С. 74-83.
  11. Пулькина Л. С. Задачи с неклассическими условиями для гиперболических уравнений. Самара: Самарский университет, 2012. 194 с.
  12. Бенуар Нур-Эддин, Юрчук Н. И. Смешанная задача с интегральным условием для параболических уравнений с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения, 1991. Т. 27, № 12. С. 2094-2098.
  13. Beilin S. A. Existence of solutions for one-dimensional wave equations with nonlocal conditions // Electronic Journal of Differential Equations, 2001. vol. 2001, no. 76. pp. 1-8, http://ejde.math.txstate.edu/Volumes/2001/76/abstr.html.
  14. Mesloub S., Bouziani A., Kechkar N. A strong solution of an envolution problem with integral condition // Georgian Mathematical Journal, 2002. vol. 9, no. 1. pp. 149-159. doi: 10.1515/GMJ.2002.149.
  15. Сабитова Ю. К. Нелокальные начально-граничные задачи для вырождающегося гиперболического уравнения // Изв. вузов. Матем., 2009. № 12. С. 49-58.
  16. Сабитов К. Б. Краевая задача для уравнения параболо-гиперболического типа с нелокальным интегральным условием // Дифференц. уравнения, 2010. Т. 46, № 10. С. 1468-1478.
  17. Сабитов К. Б. Нелокальная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Матем. заметки, 2011. Т. 89, № 4. С. 596-602. doi: 10.4213/mzm8462.
  18. Сабитова Ю. К. Краевая задача с нелокальным интегральным условием для уравнений смешанного типа с вырождением на переходной линии // Матем. заметки, 2015. Т. 98, № 3. С. 393-406. doi: 10.4213/mzm9135.
  19. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2013. 352 с.
  20. Zaitseva N. V. Keldysh type problem for B-hyperbolic equation with integral boundary value condition of the first kind // Lobachevskii J. Math., 2017. vol. 38, no. 1 (to appear).
  21. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Мир, 1986. 381 с.
  22. Сабитов К. Б., Вагапова Э. В. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения в прямоугольной области // Дифференц. уравнения, 2013. Т. 49, № 1. С. 68-78.
  23. Сафина Р. М. Задача Келдыша для уравнения смешанного типа второго рода с оператором Бесселя // Дифференц. уравнения, 2015. Т. 51, № 10. С. 1354-1366.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2016 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).